ในทฤษฎีฟิลด์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิต การขยาย ฟิลด์พีชคณิต เรียกว่าการขยายที่แยกได้ถ้าสำหรับทุกๆพหุนามขั้นต่ำของเหนือFเป็นพหุนามที่แยกได้ (กล่าวคือ เป็นพหุนามเฉพาะกับอนุพันธ์เชิงรูปหรือเทียบเท่ากับไม่มีราก ซ้ำ ในฟิลด์การขยายใดๆ) ^{[ 1 ]} นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความทั่วไปที่ใช้เมื่อEไม่จำเป็นต้องเป็นพีชคณิตเหนือFการขยายที่ไม่สามารถแยกได้เรียกว่าไม่สามารถแยกได้ ${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\displaystyle \alpha }$

ส่วนขยายเชิงพีชคณิตทุกส่วนของฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์สามารถแยกได้ และส่วนขยายเชิงพีชคณิตทุกส่วนของฟิลด์จำกัดสามารถแยกได้^{[ 2 ]} เป็นผลให้ส่วนขยายส่วนใหญ่ที่พิจารณาในทางคณิตศาสตร์สามารถแยกได้ อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องความสามารถในการแยกนั้นมีความสำคัญ เนื่องจากความมีอยู่ของส่วนขยายที่ไม่สามารถแยกได้เป็นอุปสรรคสำคัญในการขยายทฤษฎีบทหลายข้อที่พิสูจน์ในลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ไปยังลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับส่วนขยายปกติซึ่งยังคงเป็นจริงในลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อส่วนขยายนั้นถือว่าสามารถแยกได้เช่นกัน^{[ 3 ]}

แนวคิดตรงกันข้ามการขยายที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้อย่างแท้จริงก็เกิดขึ้นตามธรรมชาติเช่นกัน เนื่องจากการขยายเชิงพีชคณิตทุกแบบสามารถแยกส่วนได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นการขยายที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้อย่างแท้จริงของการขยายที่สามารถแยกออกจากกันได้ การขยายเชิง พีชคณิต ของฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะp ที่ไม่เป็นศูนย์ เป็นการขยายที่ ไม่สามารถแยกออกจากกันได้อย่างแท้จริงก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆพหุนามขั้นต่ำของเหนือFไม่ใช่พหุนามที่สามารถแยกออกจากกันได้ หรือเทียบเท่ากับ สำหรับทุกองค์ประกอบxของEจะมีจำนวนเต็ม บวก kเช่นนั้น^{[ 4 ]}${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของส่วนขยายที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ (อย่างแท้จริง) คือฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรxที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์จำกัดองค์ประกอบมีพหุนามขั้นต่ำโดยมีและรากซ้ำp เท่า เนื่องจาก นี่คือส่วนขยายพีชคณิตอย่างง่าย ที่มีดีกรี pเนื่องจากแต่ไม่ใช่ส่วนขยายปกติเนื่องจากกลุ่มกาโลอิสเป็น กลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$${\displaystyle f'(X)=0}$${\displaystyle f(X)=(Xx)^{p}\in E[X]}$${\displaystyle E=F[x]}$${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$

พหุนามf ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์F ใดๆ จะเรียกว่ามีรากที่แตกต่างกันหรือเป็นพหุนามที่ไม่มี รากกำลังสอง ถ้ามี ราก deg fในฟิลด์ส่วนขยาย ^ใด ๆ ตัวอย่างเช่น พหุนามg ( X ) = X² - ​​1มี ราก deg g = 2รากในระนาบเชิงซ้อนคือ1และ-1ดังนั้นจึงมีรากที่แตกต่างกัน ในทางกลับกัน พหุนามh ( X ) = ( X - 2) ^²ซึ่งเป็นกำลังสองของพหุนามที่ไม่คงที่ไม่มีรากที่แตกต่างกัน เพราะดีกรีของมันคือสอง และ2เป็นรากเดียวของมัน ${\displaystyle E\supseteq F}$

พหุนามทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นบน ฟิลด์ ปิดเชิงพีชคณิตของสัมประสิทธิ์ของมัน ดังนั้น พหุนามจะไม่มีรากที่แตกต่างกันก็ต่อเมื่อมันหารลงตัวด้วยกำลังสองของพหุนามที่มีดีกรีเป็นบวก กรณีนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวหารร่วมมากที่สุดของพหุนามและอนุพันธ์ ของมัน ไม่ใช่ค่าคงที่ ดังนั้น ในการทดสอบว่าพหุนามไม่มีรากที่สองหรือไม่ จึงไม่จำเป็นต้องพิจารณาการขยายฟิลด์ใดๆ อย่างชัดเจน หรือคำนวณราก

ในบริบทนี้ กรณีของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้นั้นต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ โดยหลักการแล้ว อาจดูเหมือนว่าพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ จะหารลงตัวด้วยกำลังสองไม่ได้ เนื่องจากพหุนามดังกล่าวไม่มีตัวหารอื่น ใดนอกจากตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม การไม่สามารถแยกตัวประกอบได้นั้นขึ้นอยู่กับฟิลด์แวดล้อม และพหุนามอาจไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในFแต่สามารถแยกตัวประกอบได้ในส่วนขยายของFในทำนองเดียวกัน การหารลงตัวด้วยกำลังสองก็ขึ้นอยู่กับฟิลด์แวดล้อมเช่นกัน ถ้าพหุนามที่ไม่สามารถ แยกตัวประกอบได้ f ในFหารลงตัวด้วยกำลังสองในส่วนขยายของฟิลด์บางอย่างแล้ว (จากการอธิบายข้างต้น) ตัวหารร่วมมากที่สุดของfและอนุพันธ์f ′จะไม่เป็นค่าคงที่ โปรดสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ของf ′อยู่ในฟิลด์เดียวกันกับสัมประสิทธิ์ของfและตัวหารร่วมมากที่สุดของพหุนามสองตัวนั้นไม่ขึ้นอยู่กับฟิลด์แวดล้อม ดังนั้นตัวหารร่วมมากที่สุดของfและf ′จึงมีสัมประสิทธิ์อยู่ในFเนื่องจากfไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในFตัวหารร่วมมากที่สุดนี้จึงจำเป็นต้อง เป็น fเอง เนื่องจากดีกรีของf ′น้อยกว่าดีกรีของf อย่างชัดเจน จึงสรุปได้ว่าอนุพันธ์ของfเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าลักษณะเฉพาะของฟิลด์เป็นจำนวนเฉพาะpและสามารถเขียน f ได้ดังนี้

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

พหุนามเช่นนี้ ซึ่งอนุพันธ์เชิงรูปธรรมเป็นศูนย์ เรียกว่า พหุ นามที่แยกไม่ ได้พหุนามที่แยกได้เรียกว่าพหุ นาม ที่แยกได้ส่วนขยายที่แยกได้คือ ส่วนขยายที่สามารถสร้างขึ้นได้จากองค์ประกอบที่แยกได้กล่าวคือ องค์ประกอบที่มีพหุนามขั้นต่ำที่แยกได้

พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้fในF [ X ]จะแยกตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อมีรากที่แตกต่างกันในส่วนขยายใดๆ^{ของ F นั่นคือ ถ้าเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน X - a ในการปิดเชิงพีชคณิตบางอย่างของ F [ 5 ]}ให้ f ใน F [ X ]เป็นพหุนามที่^{ไม่สามารถ}แยก ตัวประกอบได้และf ' เป็นอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของมันจากนั้นเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันสำหรับพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้fที่จะแยกตัวประกอบได้:

• ถ้าEเป็นส่วนขยายของFซึ่งfเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นแล้ว ไม่มีกำลังสองของตัวประกอบเหล่านี้ที่หารfในE [ X ] ลงตัว (นั่นคือfไม่มีกำลังสองเหนือE ) ^{[ 6 ]}
• มีส่วนขยายEของF อยู่ ซึ่งfมี^ราก ที่แตกต่างกันเป็นคู่ๆ deg( f )ในE [ ^{6 ]}
• ค่าคงที่1เป็น ตัวหารร่วมมากที่สุด ^ของพหุนามของfและf ' [ ^{7 ]}
• อนุพันธ์อย่างเป็นทางการf 'ของfไม่ใช่พหุนามศูนย์^{[ 8 ]}
• ลักษณะเฉพาะของ F อาจ เป็นศูนย์ หรือลักษณะเฉพาะอาจเป็นpและfไม่ได้อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{p_{i}}.}$

เนื่องจากอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของพหุนามดีกรีบวกจะเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อฟิลด์มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น สำหรับพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ สัมประสิทธิ์ของมันจะต้องอยู่ในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะ โดยทั่วไปแล้ว พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ไม่เป็นศูนย์) fในF [ X ]จะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ก็ต่อเมื่อลักษณะเฉพาะของFเป็นจำนวนเฉพาะ (ไม่เป็นศูนย์) pและf ( X )= g ( X ^p ) สำหรับพหุนาม^ที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ g บางตัว ในF [ X ] [ ^{9 ]}โดยการประยุกต์ใช้คุณสมบัตินี้ซ้ำๆ จะได้ว่าในความเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnและพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้g บางตัว ในF [ X ] (โดยที่Fถือว่ามีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะp ) ^{[ 10 ]}${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$

ถ้าเอนโดมอร์ฟิซึม ของฟรอเบนิอุส ของFไม่เป็นการส่งทั่วถึง จะมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ กำลัง pขององค์ประกอบของFในกรณีนี้ พหุนามจะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และไม่สามารถแยกส่วนได้ ในทางกลับกัน ถ้ามีพหุนามที่ไม่สามารถแยกส่วนได้และไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ไม่ใช่ศูนย์) ในF [ X ]แล้ว เอนโดมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุสของFจะไม่สามารถเป็นออโตมอร์ฟิซึมได้เพราะมิฉะนั้น เราจะมีสำหรับบางและพหุนามfจะแยกตัวประกอบได้เป็น^{[ 11 ]}${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle X^{p}-a}$${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

ถ้าKเป็นฟิลด์จำกัดที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะpและถ้าXเป็นตัวแปรไม่แน่นอนฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะเหนือK , K ( X )จะต้องไม่สมบูรณ์และพหุนามf ( Y ) = Yp − X จะไม่สามารถแยกได้ ( ^{อนุพันธ์}เชิงรูปในYคือ 0) ^{[ 1 ]}โดยทั่วไปแล้ว ถ้าFเป็นฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) ซึ่งเอนโดมอร์ฟิซึมของ Frobeniusไม่ใช่ออโตมอร์ ฟิซึม Fจะมีส่วนขยายพีชคณิตที่ไม่สามารถแยกได้^{[ 12 ]}

ฟิลด์Fเป็นฟิลด์สมบูรณ์ก็ต่อเมื่อพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทั้งหมดสามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นF จึง เป็นฟิลด์สมบูรณ์ก็ต่อเมื่อFมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ หรือF มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะ p (ที่ไม่ใช่ศูนย์) และเอนโดมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุสของFเป็นออโตมอร์ฟิซึม ซึ่งรวมถึงทุกฟิลด์จำกัด

ให้F เป็นส่วนขยายของฟิลด์ สมาชิกใดๆจะแยกได้เหนือF ก็ต่อ เมื่อสมาชิกนั้นเป็นพีชคณิตเหนือFและพหุนามขั้นต่ำ ของสมาชิกนั้น ก็แยกได้ (พหุนามขั้นต่ำของสมาชิกนั้นจำเป็นต้องแยกตัวประกอบไม่ได้) ${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E}$

ถ้าสามารถแยกออกจากกันได้บนFแล้วและก็สามารถแยกออกจากกันได้บนFเช่นกัน ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$${\displaystyle \อัลฟา +\เบต้า }$${\displaystyle \alpha \beta }$${\displaystyle 1/\alpha }$

ดังนั้นเซตขององค์ประกอบทั้งหมดในEที่แยกได้เหนือF ก่อ ^ให้เกิดฟิลด์ย่อยของEซึ่งเรียกว่าการปิดที่แยกได้ของFในE [ ^{13 ]}

ส่วนปิดที่แยกได้ของFในส่วนปิดเชิงพีชคณิตของFเรียกว่าส่วนปิดที่แยกได้ของFเช่นเดียวกับส่วนปิดเชิงพีชคณิต มันมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม และโดยทั่วไป ไอโซมอร์ฟิซึมนี้จะไม่เป็นเอกลักษณ์

ส่วนขยายของฟิลด์จะเรียกว่าแยกส่วนได้ถ้าEเป็นการปิดแบบแยกส่วนของFในEซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อEถูกสร้างขึ้นบนFโดยองค์ประกอบแบบแยกส่วนได้ ${\displaystyle E\supseteq F}$

ถ้าเป็นส่วนขยายของฟิลด์Eจะแยกได้เหนือFก็ต่อเมื่อEแยกได้เหนือ^Lและ L แยกได้เหนือF ^{[ 14} ]${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

ถ้าE เป็นส่วนขยายจำกัด (นั่นคือEเป็นปริภูมิเวกเตอร์ F ที่ มี มิติจำกัด) แล้วข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน ${\displaystyle E\supseteq F}$

1. Eสามารถแยกออกจาก Fได้
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$โดย ที่ องค์ประกอบที่แยกออกจากกันได้ของE อยู่ ที่ไหน${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\displaystyle E=F(a)}$โดยที่aเป็นองค์ประกอบที่แยกได้ของE
4. ถ้าKเป็นการปิดเชิงพีชคณิตของFแล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของ ฟิลด์จาก EไปยังKที่ตรึงFไว้ ได้จำนวนหนึ่ง${\displaystyle [E:F]}$
5. สำหรับส่วนขยายปกติK ใดๆ ของFที่มีE อยู่ภายใน จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมฟิลด์จากEไปยังKที่ตรึงF ไว้ ได้ จำนวนหนึ่ง${\displaystyle [E:F]}$

ความเท่าเทียมกันของข้อ 3 และ 1 เรียกว่าทฤษฎีบทองค์ประกอบดั้งเดิมหรือ ทฤษฎีบทของอาร์ตินเกี่ยวกับองค์ประกอบดั้งเดิมคุณสมบัติข้อ 4 และ 5 เป็นพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสและโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิส

ให้ E เป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตของฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะpส่วนปิดที่แยกได้ของFในEคือสำหรับทุกองค์ประกอบจะมีจำนวนเต็มบวกk อยู่ เช่นนั้นและดังนั้นE จึง เป็นส่วนขยายที่ไม่สามารถแยกได้โดยสมบูรณ์ของ Sเป็นผลให้ Sเป็นฟิลด์ตัวกลางที่ไม่ซ้ำกันซึ่งแยกได้เหนือFและเหนือEไม่ สามารถแยก ได้โดยสมบูรณ์^{[ 15 ]}${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ สามารถแยกได้ด้วย F\}.}$${\displaystyle x\in E\setminus S}$${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

ถ้าเป็นส่วนขยายจำกัดดีกรี[ E  : F ]ของมันคือผลคูณของดีกรี[ S  : F ]และ [ E  : S ]โดยดีกรีแรก มักเขียนแทนด้วย[ E  : F ] _sepเรียกว่าส่วนที่แยกได้ของ [ E  : F ]หรือเรียกว่า${\displaystyle E\supseteq F}$ระดับที่แยกออกจากกันได้ของ E / F ; ส่วนหลังเรียกว่าส่วนที่แยกออกจากกันไม่ได้ของระดับหรือระดับที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ [ ^{16 ] ระดับ}ที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้คือ 1 ในลักษณะเฉพาะศูนย์และกำลังของ pในลักษณะเฉพาะ p >0 ^{[ 17 ]}

ในทางกลับกัน ส่วนขยายพีชคณิตโดยพลการอาจไม่มีส่วนขยายระดับกลางKที่แยกไม่ได้โดยสมบูรณ์เหนือFและEแยกได้ เหนือ F อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายระดับกลางดังกล่าวอาจมีอยู่ได้หาก ตัวอย่างเช่นเป็นส่วนขยายปกติที่มีดีกรีจำกัด (ในกรณีนี้Kคือฟิลด์คงที่ของกลุ่มกาโลอิสของEเหนือF ) สมมติว่าส่วนขยายระดับกลางดังกล่าวมีอยู่จริง และ[ E  : F ]เป็นจำนวนจำกัด แล้ว[ S  : F ] = [ E  : K ]โดยที่Sคือส่วนปิดที่แยกได้ของFใน E [ ^{18 ]}บทพิสูจน์ที่ทราบของความเท่าเทียมกันนี้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าเป็นส่วนขยายที่แยกไม่ได้โดยสมบูรณ์ และถ้าfเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในF [ X ]แล้วf ยังคงไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ในK [ X ] ^{[ 19 ] )}ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่า ถ้า[ E  : F ]เป็นฟิลด์จำกัด และUเป็นฟิลด์กลางระหว่างFและEแล้ว[ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _sep . ^{[ 20 ]}${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle K\supseteq F}$

ส่วนปิดที่แยกได้F ^sepของฟิลด์Fคือส่วนปิดที่แยกได้ของFในส่วนปิดเชิงพีชคณิตของF มันคือ ส่วนขยายกาโลอิสสูงสุดของFตามคำนิยามFเป็น ฟิลด์ สมบูรณ์ก็ต่อเมื่อส่วนปิดที่แยกได้และส่วนปิดเชิงพีชคณิตของมันตรงกัน

ปัญหาการแยกส่วนอาจเกิดขึ้นได้เมื่อจัดการกับส่วนขยายเชิงอดิศัย โดยทั่วไปแล้วจะเป็นกรณีสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้เชิงพีชคณิตมีดีกรีเชิงอดิศัยเหนือฟิลด์พื้นฐานที่เท่ากับมิติของวาไรตี้

ในการกำหนดคุณสมบัติการแยกส่วนของส่วนขยายเชิงอภิปรัชญา เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนขยายของฟิลด์ทุกอันเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตของส่วนขยายเชิงอภิปรัชญาบริสุทธิ์ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความต่อไปนี้

ฐานทรานสเซนเดนซ์ที่แยกได้ของส่วนขยายคือฐานทรานสเซน เดนซ์ TของEโดยที่Eเป็นส่วนขยายพีชคณิตที่แยกได้ของF ( T )ส่วนขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจะแยกได้ก็ต่อเมื่อมีฐานทรานสเซนเดนซ์ที่แยกได้ ส่วนขยายที่ไม่ได้สร้างขึ้นอย่างจำกัดเรียกว่าแยกได้ก็ต่อเมื่อส่วนขยายย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกอันมีฐานทรานสเซนเดนซ์ที่แยกได้^{[ 21 ]}${\displaystyle E\supseteq F}$

ให้เป็นส่วนขยายของฟิลด์ที่มีเลขชี้กำลังลักษณะเฉพาะp (นั่นคือp = 1ที่ลักษณะเฉพาะศูนย์ และในกรณีอื่น ๆpคือลักษณะเฉพาะ) คุณสมบัติต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ${\displaystyle E\supseteq F}$

• Eเป็นส่วนขยายที่แยกได้ของ F
• ${\displaystyle E^{p}}$และFแยกออกจากกันเชิงเส้นเหนือ${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$ลดลง​
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$จะลดลงสำหรับส่วนขยายสนามL ของ E ทุก ตัว

โดยที่แทนผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์ , คือฟิลด์ของ กำลังที่ pขององค์ประกอบของF (สำหรับฟิลด์F ใดๆ ) และคือฟิลด์ที่ได้จากการเพิ่ม ราก ที่pขององค์ประกอบทั้งหมดของ F เข้าไปใน ฟิลด์ F (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ใน พีชคณิตแบบแยกส่วน ) ${\displaystyle \otimes _{F}}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle F^{1/p}}$

การแยกส่วนสามารถศึกษาได้โดยอาศัยการอนุพันธ์ ให้ Eเป็นส่วนขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของฟิลด์Fโดยกำหนดให้E เป็นปริภูมิเวกเตอร์ของ อนุพันธ์เชิงเส้น FของEจะได้ว่า ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\ชื่อผู้ดำเนินการ {Der} _{F}(E,E)\geq \ชื่อผู้ดำเนินการ {tr.deg} _{F}E,}$

และความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อEสามารถแยกออกจากF ได้ (ในที่นี้ "tr.deg" หมายถึงระดับความเป็นอิสระ )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นการขยายพีชคณิต ก็ต่อเมื่อสามารถแยกได้^{[ 22 ]}${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Der} _{F}(E,E)=0}$${\displaystyle E/F}$

ให้เป็นฐานของและแล้วเป็นพีชคณิตที่แยกได้เหนือก็ต่อเมื่อเมทริกซ์สามารถผกผันได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเมทริกซ์นี้ สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อเป็นฐานทรานซิเดนซ์ที่แยกได้ ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Der} _{F}(E,E)}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

• "ส่วนขยายที่แยกได้ของฟิลด์ k" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]