ในพีชคณิตนามธรรมฟิลด์ของเศษส่วนในโดเมนจำนวนเต็ม คือ ฟิลด์ที่เล็กที่สุดที่สามารถฝังโดเมนจำนวนเต็ม นั้น ได้ การสร้างฟิลด์ของเศษส่วนนั้นจำลองมาจากความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนจำนวนเต็มของจำนวนเต็มและฟิลด์ของจำนวนตรรกยะโดยสัญชาตญาณแล้ว ฟิลด์ของเศษส่วนประกอบด้วยอัตราส่วนระหว่างสมาชิกในโดเมนจำนวนเต็ม

ฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็มบางครั้งใช้สัญลักษณ์หรือและโครงสร้างนี้บางครั้งก็เรียกว่าฟิลด์เศษส่วน ฟิลด์ผลหารหรือฟิลด์ผลหารของทั้งสี่คำนี้ใช้กันทั่วไป แต่ไม่ควรสับสนกับผลหารของริงโดยไอเดียลซึ่งเป็นแนวคิดที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง สำหรับริงสลับที่ไม่ได้เป็นโดเมนจำนวนเต็ม โครงสร้างที่คล้ายคลึงกันนี้เรียกว่าโลคัลไลเซชันหรือ ริงผลหาร ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$${\displaystyle R}$

กำหนดโดเมนจำนวนเต็มและให้เรากำหนดความสัมพันธ์สมมูลบน โดยให้เมื่อใดก็ตามที่เราใช้สัญลักษณ์แทนชั้นสมมูลของ แนวคิดเรื่อง สมมูลนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากจำนวนตรรกยะซึ่งมีคุณสมบัติเดียวกันเมื่อเทียบกับวงแหวนของจำนวนเต็ม พื้นฐาน${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$${\displaystyle R\times R^{*}}$${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$${\displaystyle nb=md}$${\displaystyle (n,d)}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ดังนั้นขอบเขตของเศษส่วนคือเซตที่มีการบวกกำหนดโดย ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

และการคูณที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

เราสามารถตรวจสอบได้ว่าการดำเนินการเหล่านี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี และสำหรับโดเมนจำนวนเต็มใดๆ ก็ตาม นั้นเป็นฟิลด์จริงๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ นั้นตัวผกผันการคูณของคือ ตามที่คาดไว้: ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$${\displaystyle n,d\neq 0}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$

การฝังตัวของในแผนที่แต่ละอันลงในเศษส่วนสำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ( ชั้นสมมูลไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก) สิ่งนี้จำลองมาจากเอกลักษณ์${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$${\displaystyle e\in R}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

ขอบเขตของเศษส่วนของมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากล ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle R}$

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง บนริง จากไปยังฟิลด์แล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมบนริงเพียงหนึ่งเดียวที่ขยาย ไปยัง${\displaystyle h:R\to F}$${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$${\displaystyle h}$

มี การตีความเชิง หมวดหมู่ของการสร้างนี้ ให้เป็นหมวดหมู่ของโดเมนจำนวนเต็มและแผนที่วงแหวนแบบฉีด ฟังก์ชันจากไปยังหมวดหมู่ของฟิลด์ที่แปลงโดเมนจำนวนเต็มทุกโดเมนเป็นฟิลด์เศษส่วน และการแปลงแบบโฮโมมอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นแผนที่เหนี่ยวนำบนฟิลด์ (ซึ่งมีอยู่โดยคุณสมบัติสากล) คือตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันการรวมจากหมวดหมู่ของฟิลด์ไปยังดังนั้น หมวดหมู่ของฟิลด์ (ซึ่งเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์) จึงเป็นหมวด หมู่ย่อยสะท้อนของ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

ไม่จำเป็นต้องมี เอกลักษณ์การคูณสำหรับบทบาทของโดเมนอินทิกรัล การสร้างนี้สามารถนำไปใช้กับrngสลับตำแหน่งที่ไม่เป็น ศูนย์ใดๆ ที่ ไม่มีตัวหารศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์ การฝังตัวกำหนดโดยสำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ^{[ 1 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$${\displaystyle s\in R}$

• ฟิลด์ของเศษส่วนในวงแหวนของจำนวนเต็มคือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ : .${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$
• ให้เป็นวงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียนแล้วคือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะเกาส์เซียน${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• ฟิลด์ของเศษส่วนของฟิลด์หนึ่งนั้น มีสมบัติสมมาตรเชิงแคนอ นิก กับฟิลด์นั้นเอง
• สำหรับฟิลด์k ใดๆ ฟิลด์เศษส่วนของวงแหวนพหุ นามตัวแปรเดียว คือ${\displaystyle k[t]}$ฟิลด์ฟังก์ชันเชิง ตรรกะ ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle k(t)}$
• สำหรับฟิลด์k ใดๆ ฟิลด์ของเศษส่วนของวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม คือฟิลด์ของ อนุกรมลอเรนต์ เชิงรูปธรรม${\displaystyle k[\![t]\!]}$${\displaystyle k(\!(t)\!)}$
• ฟิลด์เศษส่วนของ วงแหวน คอนโวลูชันของฟังก์ชันครึ่งเส้นให้พื้นที่ของตัวดำเนินการซึ่งรวมถึงฟังก์ชันเดลต้าของ Diracตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และตัวดำเนินการเชิงอินทิกรัล การสร้างนี้ให้การแสดงแทน การแปลงลาปลาสแบบอื่นที่ไม่ขึ้นอยู่กับการแปลงเชิงอินทิกรัลอย่างชัดเจน^{[ 6 ]}

สำหรับวงแหวนสลับที่ ใดๆ และเซตการคูณ ใดๆ ใน นั้นการหาตำแหน่งเฉพาะที่คือวงแหวนสลับที่ซึ่งประกอบด้วยเศษส่วน${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

โดยที่ตอนนี้เทียบเท่ากับก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงที่ ทำให้${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r',s')}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

มีกรณีพิเศษสองกรณีที่น่าสนใจ:

• ถ้าเป็นส่วนเติมเต็มของอุดมคติเฉพาะแล้วจะถูกแทนด้วย เช่นกันเมื่อเป็นโดเมนเชิงอินทิก รัล และเป็นอุดมคติศูนย์คือฟิลด์เศษส่วนของ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$
• ถ้าเป็นเซตของตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ในแล้วเรียกว่าวงแหวนผลหารรวมวงแหวนผลหารรวมของโดเมนจำนวนเต็มคือฟิลด์เศษส่วนของโดเมนนั้น แต่วงแหวนผลหารรวมนั้นถูกนิยามไว้สำหรับวงแหวนสลับที่ ใดๆ ก็ได้${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

โปรดทราบว่าอนุญาตให้มีค่าเป็น 0 ได้ แต่ในกรณีนั้น วงแหวน จะเป็นวงแหวนที่ไม่มีนัยสำคัญ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}R}$

เซมิฟิลด์ของเศษส่วนของเซมิริงสลับที่ซึ่งสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวสามารถตัดทอนได้ (โดยการคูณ) คือเซมิฟิลด์ ที่เล็กที่สุด ที่สามารถฝัง เซมิริงนั้น ได้ (โปรดทราบว่า ต่างจากกรณีของริง เซมิริงที่ไม่มีตัวหารศูนย์ยังคงมีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ที่ไม่สามารถตัดทอนได้ ตัวอย่างเช่น ให้แทนเซมิริงทรอปิคอลและให้เป็นเซมิริงพหุนามเหนือแล้วไม่มีตัวหารศูนย์ แต่สมาชิกไม่สามารถตัดทอนได้เพราะ) ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle R=\mathbb {T} [X]}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1+X}$${\displaystyle (1+X)(1+X+X^{2})=1+X+X^{2}+X^{3}=(1+X)(1+X^{2})}$

องค์ประกอบของเซมิฟิลด์เศษส่วนของเซมิริงสลับที่ คือชั้นสมมูลที่เขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

ด้วยและในและ​ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b\neq 0}$

• เงื่อนไขของแร่ ; เงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับการสร้างเศษส่วนในกรณีที่ไม่สลับที่กัน
• วงแหวนเศษส่วนทั้งหมด