ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตแบบสมาคมAเหนือริงสลับที่ (มักเป็นฟิลด์ ) KคือริงAพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของริงจากKไปยังศูนย์กลางของAดังนั้น นี่จึงเป็นโครงสร้างพีชคณิตที่มีการบวก การคูณ และการคูณด้วยสเกลาร์ (การคูณด้วยภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมของริงของสมาชิกในK ) การดำเนินการบวกและการคูณรวมกันทำให้Aมีโครงสร้างของริง การดำเนินการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์รวมกันทำให้Aมีโครงสร้างของโมดูลหรือปริภูมิเวกเตอร์เหนือKในบทความนี้ เราจะใช้คำว่าK-พีชคณิตเพื่อหมายถึงพีชคณิตแบบสมาคมเหนือ Kตัวอย่างแรกมาตรฐานของK-พีชคณิต คือ ริงของเมทริกซ์จัตุรัสเหนือริงสลับที่Kพร้อมกับการคูณเมทริกซ์ ตาม ปกติ

พีชคณิตสลับที่ (commutative algebra)คือพีชคณิตสมาคม (associative algebra) ที่การคูณเป็นแบบสลับที่หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พีชคณิตสมาคมที่เป็นวงแหวนสลับที่ (commutative ring ) ด้วย

ในบทความนี้ เราจะถือว่าพีชคณิตแบบเชื่อมโยงมีเอกลักษณ์การคูณ ซึ่งแทนด้วย 1 บางครั้งเราอาจเรียกพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ ว่า พีชคณิตแบบเชื่อมโยง เพื่อความชัดเจน ในบางสาขาของคณิตศาสตร์ ข้อสมมตินี้ไม่ได้ถูกบังคับใช้ และเราจะเรียกโครงสร้างดังกล่าวว่า พีชคณิตแบบเชื่อมโยง ที่ไม่มีเอกลักษณ์นอกจากนี้ เราจะถือว่าวงแหวนทั้งหมดมีเอกลักษณ์ และโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนทั้งหมดมีเอกลักษณ์ด้วย

วงแหวนทุกวงเป็นพีชคณิตแบบสมาคมเหนือศูนย์กลางและเหนือจำนวนเต็ม

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ (ดังนั้นRอาจเป็นฟิลด์ก็ได้) พีชคณิตRแบบสมาคมA (หรือเรียกง่ายๆ ว่าพีชคณิตR A ) คือวงแหวนA ที่เป็นโมดูลRในลักษณะที่การบวกสองแบบ (การบวกวงแหวนและการบวกโมดูล) เป็นการดำเนินการเดียวกัน และการคูณด้วยสเกลาร์เป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}$

สำหรับทุกrในRและx , yในพีชคณิต (นิยามนี้หมายความว่าพีชคณิตซึ่งเป็นริงนั้นมีเอกลักษณ์เนื่องจากริงควรจะมีเอกลักษณ์การคูณ )

ในทำนองเดียวกัน พีชคณิตแบบสมาคมAก็คือวงแหวนพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากRไปยังศูนย์กลางของAถ้าfเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมดังกล่าว การคูณด้วยสเกลาร์คือ( r , x ) ↦ f ( r ) x (ในที่นี้การคูณคือการคูณของวงแหวน) ถ้ากำหนดการคูณด้วยสเกลาร์ไว้แล้ว โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจะกำหนดโดยr ↦ r ⋅ 1 _A (ดูเพิ่มเติมในหัวข้อ§ จากโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนด้านล่าง)

วงแหวนทุกวงเป็น พีชคณิต Z แบบสมาคม โดยที่Zแทน วงแหวนของจำนวนเต็ม

เอพีชคณิตสลับที่ (commutative algebra)คือพีชคณิตแบบสมาคม (associative algebra) ที่เป็นวงแหวนสลับที่ (commutative ring)

นิยามนี้เทียบเท่ากับการกล่าวว่า พีชคณิต R แบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ เป็นวัตถุโมโนอิดในR -Mod ( หมวดหมู่โมโนอิดของ โมดูล R ) ตามนิยาม วงแหวนเป็นวัตถุโมโนอิดในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนดังนั้น แนวคิดของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงจึงได้มาจากการแทนที่หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนด้วยหมวดหมู่ของโมดูล

เพื่อต่อยอดแนวคิดนี้ ผู้เขียนบางคนได้เสนอ "วงแหวนทั่วไป" (generalized ring) เป็นวัตถุโมโนอิด (monoid object) ในหมวดหมู่อื่นที่ทำงานคล้ายกับหมวดหมู่ของโมดูล (modules) อันที่จริง การตีความใหม่นี้ช่วยให้หลีกเลี่ยงการอ้างอิงถึงองค์ประกอบของพีชคณิตA อย่างชัดเจน ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติการสลับที่สามารถแสดงได้ดังนี้ โดยคุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลการคูณ ( แผนที่ R -bilinear) สอดคล้องกับแผนที่ R -linear ที่ไม่ซ้ำกัน

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$.

ดังนั้น ความสัมพันธ์เชิงสัมพันธ์จึงหมายถึงเอกลักษณ์:

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}$

พีชคณิตแบบสมาคม (associative algebra) เทียบเท่ากับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่มีภาพอยู่ในจุดศูนย์กลางที่จริงแล้ว เริ่มต้นด้วยวงแหวนAและโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนη  : R → Aที่มีภาพอยู่ในจุดศูนย์กลางของAเราสามารถทำให้Aเป็นR-พีชคณิตได้โดยการกำหนด

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

สำหรับทุกr ∈ Rและx ∈ Aถ้าAเป็นR -algebra โดยกำหนดให้x = 1สูตรเดียวกันนี้จะกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของริงη  : R → Aซึ่งภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้อยู่ที่จุดศูนย์กลาง

ถ้าวงแหวนเป็นวงแหวนสลับที่ได้ วงแหวนนั้นจะเท่ากับศูนย์กลางของวงแหวน ดังนั้น พีชคณิต R สลับที่ได้จึง สามารถนิยามได้ง่ายๆ ว่าเป็นวงแหวนสลับที่ได้A พร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนสลับที่ได้η  : R → A

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนηที่ปรากฏในข้างต้น มักเรียกว่าแผนที่โครงสร้างในกรณีสลับที่ได้ เราสามารถพิจารณาหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนR → AสำหรับR ที่กำหนดไว้ กล่าว คือ พีชคณิต R สลับที่ได้ และมีมอร์ฟิซึมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนA → A ′ที่อยู่ภายใต้Rกล่าวคือR → A → A ′คือR → A ′ (กล่าวคือหมวดหมู่โคสไลซ์ของหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ได้ภายใต้R ) จากนั้น ฟังก์ชัน สเปกตรัมไพรม์ Spec จะกำหนดความเท่าเทียมกันแบบผกผันของหมวดหมู่นี้กับหมวดหมู่ของโครงร่างแอฟฟินเหนือSpec R

วิธีการลดทอนข้อสมมติฐานเรื่องการสลับที่กันได้นั้นเป็นหัวข้อหนึ่งในเรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่กันได้และเมื่อไม่นานมานี้ก็เป็นหัวข้อในเรขาคณิตพีชคณิตแบบอนุพันธ์ด้วย ดูเพิ่มเติม: วงแหวนเมทริกซ์ทั่วไป

โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่าง พีชคณิต R สองตัว คือโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเชิงเส้นR กล่าวคือφ  : A ₁ → A ₂เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงถ้า

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}}$

กลุ่มของ พีชคณิต R ทั้งหมด รวมทั้งโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตระหว่างกัน ก่อให้เกิดหมวดหมู่ซึ่งบางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์R - Alg

หมวดหมู่ย่อยของ พีชคณิต R แบบสลับที่ได้ สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นหมวดหมู่โคสไลซ์R / CRingโดยที่CRingคือหมวดหมู่ของวงแหวนแบบสลับที่ได้

ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดคือวงแหวนเอง วงแหวนคือพีชคณิตเหนือศูนย์กลาง ของมัน หรือวงแหวนย่อยใดๆ ที่อยู่ตรงกลาง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนสลับที่ใดๆ ก็เป็นพีชคณิตเหนือวงแหวนย่อยใดๆ ของมัน ตัวอย่างอื่นๆ มีมากมายทั้งจากพีชคณิตและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์

• วงแหวนA ใดๆ ก็สามารถถือได้ว่าเป็นZ -algebra การส่งแบบโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากZไปยังA นั้น มีเพียง หนึ่งเดียว โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันจะต้องส่งค่า 1 ไปยังเอกลักษณ์ในAดังนั้น วงแหวนและZ -algebra จึงเป็นแนวคิดที่เทียบเท่ากัน ในทำนองเดียวกับที่กลุ่มอาเบเลียนและZ -module เทียบเท่ากัน
• วงแหวนใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะnก็เป็นพีชคณิต ( Z / n Z ) ในลักษณะเดียวกัน
• กำหนดให้M เป็น R-โมดูลวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของMซึ่งเขียนแทนด้วย End _R ( M ) เป็นR-พีชคณิตโดยกำหนด( r · φ )( x ) = r · φ ( x )
• วงแหวนเมทริกซ์ ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rจะก่อให้เกิด พีชคณิต Rภายใต้การบวกและการคูณเมทริกซ์ ซึ่งสอดคล้องกับตัวอย่างก่อนหน้านี้เมื่อM เป็น โมดูล อิสระRที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์ จัตุรัสขนาด n x n ที่มี สมาชิกจากฟิลด์Kจะก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคมเหนือK
• จำนวนเชิงซ้อน ก่อให้ เกิด พีชคณิตสลับที่ แบบ 2 มิติเหนือจำนวนจริง
• ควอเทอร์เนียนก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคม 4 มิติเหนือจำนวนจริง (แต่ไม่ใช่พีชคณิตเหนือจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้อยู่ตรงกลางของควอเทอร์เนียน)
• วงแหวนพหุนาม ทุก วง R [ x ₁ , ..., x _n ]เป็น พีชคณิต R แบบสลับที่ได้ อันที่จริง นี่คือพีชคณิต R แบบสลับที่ได้อิสระบนเซต { x 1 _, ..., x _n }
• พีชคณิตRอิสระบนเซตEคือพีชคณิตของ "พหุนาม" ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในRและตัวแปรไม่สลับที่กันซึ่งนำมาจากเซตE
• พีชคณิตเทนเซอร์ของ โมดูล Rเป็น พีชคณิต R แบบสมาคมโดยธรรมชาติ เช่นเดียวกับผลหาร เช่น พีชคณิต ภายนอกและพีชคณิตสมมาตรในเชิงหมวดหมู่ฟังก์ชันที่แมปโมดูลRไปยังพีชคณิตเทนเซอร์ของมันจะเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของฟังก์ชันที่ส่ง พีชคณิต R ไปยังโมดูล Rพื้นฐานของมัน(โดยไม่คำนึงถึงโครงสร้างการคูณ)
• เมื่อกำหนดโมดูลMเหนือริงสลับที่Rแล้ว ผลรวมโดยตรงของโมดูลR ⊕ Mจะมีโครงสร้างของ พีชคณิต Rโดยคิดว่าMประกอบด้วยองค์ประกอบอนันต์เล็ก ๆ กล่าวคือ การคูณจะกำหนดเป็น( a + x )( b + y ) = ab + ay + bxแนวคิดนี้บางครั้งเรียกว่าพีชคณิตของจำนวนคู่
• พีชคณิตกึ่งอิสระ (quasi-free algebra ) ซึ่งเสนอโดย Cuntz และ Quillen เป็นการขยายความทั่วไปของพีชคณิตอิสระ (free algebra) และพีชคณิตกึ่งง่าย (semisimple algebra) บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (algebraically closed field)

• ถ้าRเป็นเซตสลับที่ และXเป็นเซตใดๆ แล้วA = R ^X = { f  : X → R } พร้อมด้วยการดำเนินการแบบจุดต่อจุด จะเป็นพีชคณิตสลับที่

• พีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตลี คือพีชคณิตแบบสมาคมที่สามารถใช้ศึกษาพีชคณิตลีที่กำหนดให้
• ถ้าGเป็นกลุ่ม และRเป็นวงแหวนสลับที่กันได้ เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากGไปยังRที่มีขอบเขตจำกัด จะก่อให้เกิด พีชคณิต Rโดยมีการสังเคราะห์เป็นการคูณ เรียกว่าพีชคณิตกลุ่มของGการสร้างนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการประยุกต์ใช้ในการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่ม (แบบไม่ต่อเนื่อง)
• ถ้าGเป็นกลุ่มพีชคณิต (เช่นกลุ่ม Lie เชิงซ้อน กึ่งง่าย ) แล้ววงแหวนพิกัดของGคือพีชคณิต Hopf Aที่สอดคล้องกับGโครงสร้างหลายอย่างของGสามารถแปลงไปเป็นโครงสร้างของAได้
• พีชคณิตควีเวอร์ (หรือพีชคณิตเส้นทาง) ของกราฟทิศทาง คือพีชคณิตแบบสมาคมอิสระเหนือฟิลด์ที่สร้างขึ้นจากเส้นทางในกราฟ

• สำหรับ ปริภูมิ บานาคX ใดๆ ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องA  : X → Xจะก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคม (โดยใช้การประกอบตัวดำเนินการเป็นการคูณ) ซึ่งก็คือพีชคณิตบานาค
• สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ Xฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนบนXจะก่อให้เกิดพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่มีค่าเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกบวกและคูณกันแบบจุดต่อจุด
• เซตของเซมิมาติงเกลที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นแบบกรอง(Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P)ก่อให้เกิดวงแหวนภายใต้การบูรณาการเชิงสุ่ม
• พีชคณิตเวล์
• พีชคณิตอะซูมายะ

• พีชคณิตคลิฟฟอร์ดซึ่งมีประโยชน์ในเรขาคณิตและฟิสิกส์
• พีชคณิตเหตุการณ์ของเซตที่มีลำดับบางส่วนจำกัดเฉพาะที่ คือ พีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่พิจารณาในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง
• พีชคณิตพาร์ติชันและพีชคณิตย่อยของมัน รวมถึงพีชคณิตบราวเออร์และพีชคณิตเทมเปอร์ลีย์-ลีบ
• พีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับ (Differential graded algebra)คือพีชคณิตแบบเชื่อมโยง (associative algebra) ที่รวมเอาการแบ่งระดับและอนุพันธ์เข้าไว้ด้วยกัน ตัวอย่างเช่นพีชคณิตเดอแรม (de Rham algebra ) ซึ่งประกอบด้วย รูปแบบ p เชิงอนุพันธ์ บนแมนิโฟลด์Mเป็นพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

• พีชคณิตปัวซง ( Poisson algebra)คือพีชคณิตแบบสลับที่และเชื่อมโยงกันบนฟิลด์ พร้อมด้วยโครงสร้างของพีชคณิตลี (Lie algebra)โดยที่วงเล็บลี {,} เป็นไปตามกฎของไลบ์นิซ (Leibniz rule) กล่าวคือ{ fg , h } = f { g , h } + g { f , h }
• กำหนดให้พีชคณิตปัวซงพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมเหนือถ้า มีโครงสร้างของพีชคณิตแบบสมาคมที่มีการคูณโดยที่สำหรับ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$${\displaystyle *}$${\displaystyle f,g\in {\mathfrak {a}}}$

  ${\displaystyle f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,}$

จากนั้นจึงเรียกว่าการหาปริมาณเชิงการเปลี่ยนรูปของ${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

• พีชคณิตห่อหุ้มแบบควอนตัม พีชคณิตคู่ขนานของพีชคณิตดังกล่าวกลับกลายเป็นพีชคณิตแบบสมาคม (ดู§ คู่ขนานของพีชคณิตแบบสมาคม ) และในเชิงปรัชญาแล้ว มันคือวงแหวนพิกัด (แบบควอนตัม) ของกลุ่มควอนตัม
• พีชคณิต Gerstenhaber

พีชคณิตย่อย

สับอัลเจบราของR-อัลเจบราAคือเซตย่อยของAที่เป็นทั้งซับริงและซับโมดูลของAกล่าวคือ ต้องปิดภายใต้การบวก การคูณริง การคูณสเกลาร์ และต้องมีเอกลักษณ์ของA อยู่ ภายใน

พีชคณิตผลหาร

ให้Aเป็นR- algebra ไอเดีย ลเชิงวงแหวนใดๆ IในAจะเป็นR -module โดยอัตโนมัติ เนื่องจากr · x = ( r 1 _A ) xซึ่งทำให้วงแหวนผลหารA / Iมีโครงสร้างของR -module และในความเป็นจริงก็เป็นR -algebra ด้วย ดังนั้น ภาพโฮโมมอร์ฟิกของวงแหวนใดๆ ของAก็เป็นR -algebra เช่นกัน

ผลิตภัณฑ์โดยตรง

ผลคูณโดยตรงของกลุ่มR -algebra คือ ผลคูณโดยตรงเชิงทฤษฎีวงแหวนซึ่งจะกลายเป็นR- algebra ที่มีการคูณด้วยสเกลาร์อย่างชัดเจน

สินค้าฟรี

เราสามารถสร้างผลคูณอิสระของR -algebras ได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับผลคูณอิสระของกลุ่ม ผลคูณอิสระนี้คือผลคูณร่วมในหมวดหมู่ของR -algebras

ผลคูณเทนเซอร์

ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตR สองตัวก็เป็นพีชคณิต Rในทางธรรมชาติเช่นกัน ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตเมื่อกำหนดวงแหวนสลับที่RและวงแหวนA ใดๆ ผลคูณเทนเซอร์R  ⊗ _Z  Aสามารถกำหนดโครงสร้างของ พีชคณิต R ได้ โดยการกำหนดr · ( s ⊗ a ) = ( rs ⊗ a )ฟังก์ชันที่ส่งAไปยังR ⊗ _Z A นั้น เป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของฟังก์ชันที่ส่ง พีชคณิต Rไปยังวงแหวนพื้นฐาน (โดยไม่คำนึงถึงโครงสร้างโมดูล) ดูเพิ่มเติมที่ การ เปลี่ยนวงแหวน

พีชคณิตอิสระ

พีชคณิตอิสระคือพีชคณิตที่สร้างขึ้นจากสัญลักษณ์ หากเรากำหนดให้มีการสลับที่ได้ กล่าวคือ หาผลหารโดยใช้ตัวสลับที่ได้ เราก็จะได้พีชคณิตพหุนาม

ให้Aเป็นพีชคณิตแบบสมาคมเหนือริงสลับที่Rเนื่องจากAเป็นโมดูลโดยเฉพาะ เราจึงสามารถสร้างโมดูลคู่A ^*ของA ได้ โดยหลักการแล้ว โมดูลคู่A ^*ไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างของพีชคณิตแบบสมาคม อย่างไรก็ตามAอาจมีโครงสร้างเพิ่มเติม (กล่าวคือ โครงสร้างของพีชคณิตฮอปฟ์) ทำให้โมดูลคู่เป็นพีชคณิตแบบสมาคมด้วย

ตัวอย่างเช่น ให้Aเป็นวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องบนกลุ่มกระชับGดังนั้นA ไม่เพียงแต่ เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงเท่านั้น แต่ยังมาพร้อมกับการคูณร่วมΔ( f )( g , h ) = f ( gh )และหน่วยร่วมε ( f ) = f (1) [ ^{1 ] คำ}ว่า "ร่วม" หมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าพวกมันสอดคล้องกับคู่ของการคูณและหน่วยตามปกติในสัจพจน์พีชคณิต ดังนั้นคู่A ^*จึงเป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยง การคูณร่วมและหน่วยร่วมยังมีความสำคัญในการสร้างผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทนของพีชคณิตแบบเชื่อมโยง (ดู§ การแสดงแทนด้านล่าง)

เมื่อกำหนดพีชคณิตแบบเชื่อมโยงAเหนือวงแหวนสลับที่R พีชคณิตห่อหุ้ม A e ^ของ A คือพีชคณิตA ⊗ _R A ^opหรือA ^op ⊗ _R Aขึ้นอยู่กับผู้เขียน^{[ 2 ]}

โปรด ทราบว่าไบโมดูลเหนือAคือโมดูลซ้ายเหนือA ^{e อย่างแท้จริง}

ให้Aเป็นพีชคณิตเหนือวงแหวนสลับที่Rแล้วพีชคณิตAเป็นโมดูลขวา^{[ a ]}เหนือA ^e  := A ^op ⊗ _R Aโดยมีแอคชั่นx ⋅ ( a ⊗ b ) = axbแล้วตามนิยามAกล่าวได้ว่าแยกได้ถ้าแผนที่การคูณA ⊗ _R A → A  : x ⊗ y ↦ xyแยกออกเป็นแผนที่เชิงเส้น^{A e} [ ^{3 ] โดย}ที่A ⊗ Aเป็น โมดูล A ^eโดย( x ⊗ y ) ⋅ ( a ⊗ b ) = ax ⊗ ybหรือเทียบเท่า^{[ b ]} Aแยกได้ถ้ามันเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟเหนือA ^eดังนั้น มิติเชิงโปรเจกทีฟ A ^eของAซึ่งบางครั้งเรียกว่ามิติคู่ของAจะวัดความล้มเหลวของการแยกได้

ให้Aเป็นพีชคณิตมิติจำกัดเหนือฟิลด์kแล้วAเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียน

เนื่องจากAเป็น Artinian ถ้ามันเป็นสลับที่ได้ ก็จะเป็นผลคูณจำกัดของวงแหวนเฉพาะที่ Artinian ซึ่งฟิลด์ตกค้างเป็นพีชคณิตเหนือฟิลด์ฐานkตอนนี้ วงแหวนเฉพาะที่ Artinian ที่ลดรูปเป็นฟิลด์ ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จึงเทียบเท่ากัน^{[ 4 ]}

1. ${\displaystyle A}$สามารถแยกออกจากกันได้
2. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}}$ลดลง โดยที่k คือส่วนปิดเชิงพีชคณิต บางส่วน${\displaystyle {\overline {k}}}$
3. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}}$สำหรับค่าn บาง ค่า
4. ${\displaystyle \dim _{k}A}$คือจำนวนของโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิต${\displaystyle k}$${\displaystyle A\to {\overline {k}}}$

ให้ เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ของส่วนขยายกาโลอิสจำกัดของkแล้วเป็นการเทียบเท่าแบบผกผันของหมวดหมู่ของ พีชคณิต k ที่แยกได้ในมิติจำกัด กับหมวดหมู่ของเซตจำกัดที่มีการกระทำแบบ ต่อเนื่อง ^{[ 5 ]}${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)}$${\displaystyle A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}}$${\displaystyle \Gamma }$

เนื่องจากวงแหวนอาร์ทิเนียนแบบง่ายเป็นวงแหวนเมทริกซ์ (เต็ม) เหนือวงแหวนหารดังนั้น ถ้าAเป็นพีชคณิตแบบง่ายแล้วAจะเป็นพีชคณิตเมทริกซ์ (เต็ม) เหนือพีชคณิตหารDเหนือkกล่าวคือA = M _n ( D )โดยทั่วไปแล้ว ถ้าA เป็นพีชคณิตกึ่งง่ายแล้ว มันจะเป็นผลคูณจำกัดของพีชคณิตเมทริกซ์ (เหนือพีชคณิตหาร kต่างๆ) ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทอาร์ทิน-เวดเดอร์เบิร์น

ข้อเท็จจริงที่ว่าAเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียนทำให้แนวคิดของราดิคัลจาคอบ สันง่ายขึ้น สำหรับวงแหวนอาร์ทิเนียน ราดิคัลจาคอบสันของAคือจุดตัดของอุดมคติสูงสุด (สองด้าน) ทั้งหมด (ในทางตรงกันข้าม โดยทั่วไปแล้ว ราดิคัลจาคอบสันคือจุดตัดของอุดมคติสูงสุดด้านซ้ายทั้งหมด หรือจุดตัดของอุดมคติสูงสุดด้านขวาทั้งหมด)

ทฤษฎีบทหลัก ของ Wedderburn ระบุว่า: ^{[ 6 ]}สำหรับพีชคณิตมิติจำกัดAที่มีอุดมคตินิลโพเทนต์Iถ้ามิติเชิงโปรเจกทีฟของA / Iในฐานะโมดูลเหนือพีชคณิตห่อหุ้ม( A / I ) ^eมีค่าไม่เกินหนึ่ง การส่งแบบทั่วถึงตามธรรมชาติp  : A → A / Iจะแยกออก กล่าวคือAมีพีชคณิตย่อยBเช่นนั้นp | _B  : B~→A / Iเป็นไอโซมอร์ฟิซึม โดยถือว่า Iเป็นราดิคัลของเจคอบสัน ทฤษฎีบทนี้กล่าวโดยเฉพาะว่า ราดิคัลของเจคอบสันนั้นสมบูรณ์ด้วยพีชคณิตกึ่งง่าย ทฤษฎีบทนี้เป็นอนาล็อกของทฤษฎีบทของเลวีสำหรับพีชคณิตลี

ให้Rเป็นโดเมนอินทิกรัลแบบโนเธอร์เรียน ที่มีฟิลด์เศษส่วนK (ตัวอย่างเช่น อาจเป็นZหรือQ ) แลตทิซ L ใน ปริภูมิเวกเตอร์KมิติจำกัดVคือ โมดูลย่อย R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ของVซึ่งครอบคลุมVกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ L ⊗ _R K = V

ให้A _K เป็น พีชคณิตKมิติจำกัด ลำดับใน A K _คือพีชคณิต ย่อย Rที่เป็นแลตทิซ โดยทั่วไปแล้ว จำนวนลำดับมีน้อยกว่าจำนวนแลตทิซมาก เช่น⁠1/2Zเป็นแลตทิซในQ แต่ไม่ใช่ลำดับ (เนื่องจากไม่ใช่พีชคณิต) ^{[ 7 ]}

ลำดับสูงสุดคือ ลำดับที่สูงที่สุดในบรรดาลำดับทั้งหมด

พีชคณิตแบบสมาคมเหนือKกำหนดโดยปริภูมิเวกเตอร์K Aที่มีแผนที่ทวิเชิงเส้นA × A → Aซึ่งมีอินพุตสองตัว (ตัวคูณและตัวตั้งคูณ) และเอาต์พุตหนึ่งตัว (ผลคูณ) รวมถึงมอร์ฟิซึมK → Aที่ระบุผลคูณเชิงสเกลาร์ของเอกลักษณ์การคูณ หากแผนที่ทวิเชิงเส้นA × A → Aถูกตีความใหม่เป็นแผนที่เชิงเส้น (เช่นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์K ) A ⊗ A → A (โดยคุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ ) แล้วเราสามารถมองพีชคณิตแบบสมาคมเหนือKเป็นปริภูมิเวกเตอร์K Aที่มีมอร์ฟิซึมสองตัว (ตัวหนึ่งอยู่ในรูปแบบA ⊗ A → Aและอีกตัวหนึ่งอยู่ในรูปแบบK → A ) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขบางประการซึ่งสรุปได้เป็นสัจพจน์ของพีชคณิต มอร์ฟิซึมทั้งสองนี้สามารถแปลงเป็นคู่กันได้โดยใช้ทฤษฎีคู่เชิงหมวดหมู่โดยการกลับทิศทางของลูกศรทั้งหมดในแผนภาพการสลับตำแหน่งที่อธิบายสัจพจน์ ของพีชคณิต ซึ่ง เป็นการกำหนดโครงสร้างของโคอัลจีบรา

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเชิงนามธรรมของF -coalgebraซึ่งFเป็นฟังก์ชันแนวคิดนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างคลุมเครือกับแนวคิดของ coalgebra ที่กล่าวถึงข้างต้น

การแทนพีชคณิตAคือโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตρ  : A → End( V )จากAไปยังพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูล) V บางตัว คุณสมบัติของρที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตหมายความว่าρรักษาการดำเนินการคูณ (นั่นคือρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y )สำหรับทุกxและyในA ) และρส่งหน่วยของAไปยังหน่วยของ End( V ) (นั่นคือ ไปยังเอนโดมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของV )

ถ้าAและBเป็นพีชคณิตสองตัว และρ  : A → End( V )และτ  : B → End( W )เป็นการแสดงแทนสองตัวแล้ว จะมีการแสดงแทน (แบบแคนอนิก) A ⊗ B → End( V ⊗ W )ของพีชคณิตผลคูณเทนเซอร์A ⊗ Bบนปริภูมิเวกเตอร์V ⊗ Wอย่างไรก็ตาม ไม่มีวิธีใดที่เป็นธรรมชาติในการกำหนดผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทนสองตัวของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงตัวเดียวในลักษณะที่ผลลัพธ์ยังคงเป็นการแสดงแทนของพีชคณิตตัวเดียวกันนั้น (ไม่ใช่ผลคูณเทนเซอร์กับตัวมันเอง) โดยไม่ต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมใดๆ ในที่นี้ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทน หมายถึงความหมายปกติ: ผลลัพธ์ควรเป็นการแสดงแทนเชิงเส้นของพีชคณิตตัวเดียวกันบนปริภูมิเวกเตอร์ผลคูณ การกำหนดโครงสร้างเพิ่มเติมดังกล่าวโดยทั่วไปนำไปสู่แนวคิดของพีชคณิตฮอปฟ์หรือพีชคณิตลีดังที่แสดงไว้ด้านล่าง

ยกตัวอย่างเช่น การแสดงผลสองแบบσ  : A → End( V )และτ  : A → End( W )เราอาจลองสร้างการแสดงผลแบบผลคูณเทนเซอร์ρ  : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x )ตามวิธีการที่มันกระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์ผลคูณ เพื่อให้

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}$

อย่างไรก็ตาม แผนที่ดังกล่าวจะไม่เป็นเส้นตรง เนื่องจากจะต้องมี

${\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}$

สำหรับk ∈ Kเราสามารถกู้คืนความพยายามนี้และฟื้นฟูความเป็นเชิงเส้นได้โดยการกำหนดโครงสร้างเพิ่มเติม โดยการกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตΔ : A → A ⊗ Aและกำหนดการแสดงแทนผลคูณเทนเซอร์เป็น

${\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}$

โฮโมมอร์ฟิซึม Δ ดังกล่าวเรียกว่าการคูณร่วม (comultiplication)ถ้ามันสอดคล้องกับสัจพจน์บางประการ โครงสร้างที่ได้เรียกว่าไบอัลจีบรา (bialgebra ) เพื่อให้สอดคล้องกับนิยามของพีชคณิตแบบสมาคม (associative algebra) โคอัลจีบรา (coalgebra) ต้องเป็นโค-สมาคม (co-associative) และถ้าพีชคณิตมีเอกลักษณ์ โคอัลจีบราก็ต้องเป็นโค-เอกลักษณ์เช่นกัน พีชคณิตฮอปฟ์ ( Hopf algebra ) คือ ไบอัลจีบราที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม (ที่เรียกว่า แอนติโพด) ซึ่งไม่เพียงแต่ช่วยให้สามารถกำหนดผลคูณเทนเซอร์ของสองตัวแทนได้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงโมดูล Hom ของสองตัวแทนด้วย (ในลักษณะเดียวกับที่ทำในทฤษฎีตัวแทนของกลุ่ม)

เราสามารถลองใช้วิธีที่ชาญฉลาดกว่าในการกำหนดนิยามของผลคูณเทนเซอร์ได้ ลองพิจารณาตัวอย่างเช่น

${\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

ดังนั้นการกระทำบนปริภูมิผลคูณเทนเซอร์จึงกำหนดโดย

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}$.

แผนที่นี้เป็นเชิงเส้นในตัวแปรx อย่างชัดเจน ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาตามคำนิยามก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม แผนที่นี้ไม่สามารถรักษาคุณสมบัติการคูณไว้ได้:

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

แต่โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ไม่เท่ากับ

${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่านิยามของผลคูณเทนเซอร์นี้เรียบง่ายเกินไป วิธีแก้ไขที่ชัดเจนคือการกำหนดให้มันเป็นแบบปฏิสมมาตร เพื่อให้พจน์สองพจน์ตรงกลางหักล้างกัน ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของพีชคณิตลี (Lie algebra )

นักเขียนบางคนใช้คำว่า "พีชคณิตเชิงสมาคม" เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์การคูณ และด้วยเหตุนี้จึงพิจารณาโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์

ตัวอย่างหนึ่งของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่ไม่มีเอกลักษณ์ คือ เซตของฟังก์ชันทั้งหมดf  : R → Rซึ่งลิมิตเมื่อxเข้าใกล้อินฟินิตี้จะมีค่าเป็นศูนย์

อีกตัวอย่างหนึ่งคือปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันคาบต่อเนื่อง พร้อมด้วยผลคูณการสังเคราะห์ (convolution product )

• พีชคณิตนามธรรม
• โครงสร้างพีชคณิต
• พีชคณิตเหนือฟิลด์
• ชีฟของพีชคณิตคือพีชคณิตชนิดหนึ่งบนปริภูมิวงแหวน
• ข้อสันนิษฐานของเดลิญเกี่ยวกับโคฮอโมโลยีของฮอคชิลด์