ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตฮอปฟ์ (Hopf algebra ) ซึ่งตั้งชื่อตามไฮนซ์ ฮอปฟ์ (Heinz Hopf ) คือโครงสร้างที่เป็นทั้งพีชคณิต (แบบเชื่อมโยง ที่มีเอกลักษณ์ ) และโคอัลจีบรา (แบบเชื่อมโยงร่วมที่มีเอกลักษณ์) ในเวลาเดียวกัน โดยความเข้ากันได้ของโครงสร้างเหล่านี้ทำให้มันเป็นไบอัล จีบรา (bialgebra ) และยิ่งไปกว่านั้น มันยังมีแอนติโฮโมมอร์ฟิ ซึม ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติบางอย่างทฤษฎีการแทนของพีชคณิตฮอปฟ์นั้นดีเป็นพิเศษ เนื่องจากความมีอยู่ของการคูณร่วมที่เข้ากันได้ หน่วยร่วม และแอนติโพด ทำให้สามารถสร้างผลคูณเทนเซอร์ของการแทน การแทนแบบไม่สำคัญ และการแทนแบบคู่ได้

พีชคณิตฮอปฟ์เกิดขึ้นตามธรรมชาติในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นที่มาและเกี่ยวข้องกับ แนวคิด H-spaceใน ทฤษฎี โครงร่างกลุ่มในทฤษฎีกลุ่ม (ผ่านแนวคิดของวงแหวนกลุ่ม ) และในที่อื่นๆ อีกมากมาย ทำให้พวกมันอาจเป็นพีชคณิต คู่ประเภทที่คุ้นเคยมากที่สุด พีชคณิตฮอปฟ์ยังได้รับการศึกษาในตัวของมันเอง โดยมีงานมากมายเกี่ยวกับตัวอย่างเฉพาะกลุ่มในด้านหนึ่งและปัญหาการจำแนกประเภทในอีกด้านหนึ่ง พวกมันมีการประยุกต์ใช้ที่หลากหลายตั้งแต่ฟิสิกส์สสารควบแน่นและทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 1 ]}ไปจนถึงทฤษฎีสตริง^{[ 2 ]}และ ปรากฏการณ์ วิทยาLHC ^{[ 3 ]}

ให้ เป็น ไบอัลเจบรา (แบบสมาคมและแบบร่วมสมาคม) เหนือฟิลด์เราสามารถพิจารณาอัลเจบราการสังเคราะห์ของ แผนที่ เชิงเส้นKที่มีผลคูณกำหนดโดย: เอกลักษณ์ของอัลเจบราการสังเคราะห์คือ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}$${\displaystyle (f\star g)(h)=\nabla \circ (f\otimes g)\circ \Delta (h)}$${\displaystyle \eta \circ \varepsilon .}$

กล่าวได้ว่าไบอัลเจบรา เป็นฮอปฟ์อัลเจบรา ถ้าเอกลักษณ์ของ มีตัวผกผันแบบคอนโว ลูทีฟ (เรียกว่าแอนติโพด ) ข้อความที่ว่าเป็นตัวผกผันของ นั้นเทียบเท่ากับสมบัติการสลับที่ของแผนภาพต่อไปนี้: ${\displaystyle H}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle \operatorname {id} _{H}\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}$${\displaystyle S\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {id} _{H}}$

ในสัญลักษณ์ Sweedler ที่ไม่มีผลรวม คุณสมบัตินี้สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ สำหรับทุก }}c\in H.}$

สำหรับพีชคณิตเราสามารถแทนที่ฟิลด์พื้นฐานKด้วยวงแหวนสลับที่Rในคำจำกัดความข้างต้นได้^{[ 4 ]}

นิยามของพีชคณิตฮอปฟ์เป็นแบบคู่ตัวเอง (ดังที่สะท้อนให้เห็นในความสมมาตรของแผนภาพข้างต้น) ดังนั้นหากสามารถกำหนดคู่ของH ได้ (ซึ่งเป็นไปได้เสมอหากHมีมิติจำกัด) ก็จะเป็นพีชคณิตฮอปฟ์โดยอัตโนมัติ^{[ 5 ]}

เมื่อกำหนดฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานแล้ว เราสามารถกำหนดพีชคณิตในแง่ของค่าคงที่โครงสร้างสำหรับการคูณได้: ${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

สำหรับการคูณร่วม:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

และจุดตรงข้าม:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

ดังนั้น คุณสมบัติการสลับที่จึงกำหนดให้ต้องเป็นเช่นนั้น

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

ในขณะที่ความสัมพันธ์ร่วมกันนั้นกำหนดให้

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

สัจพจน์การเชื่อมโยงกำหนดว่า

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}}$

บางครั้งจำเป็นต้องมีแอนติโพดS ที่มีอินเวอร์สเชิงเส้น Kซึ่งเป็นไปโดยอัตโนมัติในกรณีมิติจำกัด^{[ 6 ]}หรือถ้าHเป็นแบบสลับที่ได้หรือสลับที่ได้ (หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นแบบกึ่งสามเหลี่ยม )

โดยทั่วไปSเป็นแอนติโฮโมมอร์ฟิซึม [ ^{7 ] ดังนั้น} S 2 ^จึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมซึ่งจึงเป็นออโตมอร์ฟิซึมหากSสามารถผกผันได้ (ตามที่อาจจำเป็น)

ถ้าS ² = id _Hแล้ว พีชคณิตฮอปฟ์จะเรียกว่าเป็นแบบอินโวลูทีฟ (และพีชคณิตพื้นฐานที่มีอินโวลูทีฟคือพีชคณิต *- ) ถ้าHเป็นเซมิซิมเพิลมิติจำกัดเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ สลับที่ได้ หรือสลับที่ได้ร่วมกัน แล้ว H ก็จะเป็นแบบอินโวลูทีฟ

ถ้าไบอัลเจบราBยอมรับแอนติโพดSแล้วSจะมีเอกลักษณ์ (“ไบอัลเจบรายอมรับโครงสร้างอัลเจบราฮอปฟ์ได้มากที่สุด 1 โครงสร้าง”) ^{[ 8 ]}ดังนั้น แอนติโพดจึงไม่มีโครงสร้างพิเศษใดๆ ที่เราสามารถเลือกได้ การเป็นอัลเจบราฮอปฟ์เป็นคุณสมบัติของไบอัลเจบรา

แอนติโพดเป็นอนาล็อกของแผนที่ผกผันบนกลุ่มที่ส่งgไปยังg ^{−1 [ 9 ]}

พีชคณิตย่อยAของพีชคณิตฮอปฟ์Hเป็นพีชคณิตย่อยฮอปฟ์ก็ต่อเมื่อเป็นโคพีชคณิตย่อยของHและแอนติโพดSแมปAไปยังAกล่าวอีกนัยหนึ่ง พีชคณิตย่อยฮอปฟ์ A เป็นพีชคณิตฮอปฟ์ในตัวของมันเองเมื่อการคูณ การคูณร่วม หน่วยร่วม และแอนติโพดของHถูกจำกัดไว้ที่A (และนอกจากนี้ เอกลักษณ์ 1 ของHจะต้องอยู่ใน A ด้วย) ทฤษฎีบทความเป็นอิสระของนิโคลส์-โซเอลเลอร์ของวอร์เรน นิโคลส์และเบ็ตตินา โซเอลเลอร์ (1989) ได้พิสูจน์ว่าโมดูลA ธรรมชาติ Hเป็นอิสระของอันดับจำกัดหากHมีมิติจำกัด: การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของลากรองจ์สำหรับกลุ่มย่อย [ ^{10 ] เป็น}ผลลัพธ์จากสิ่งนี้และทฤษฎีอินทิกรัล พีชคณิตย่อยฮอปฟ์ของพีชคณิตฮอปฟ์มิติจำกัดกึ่งง่ายจะเป็นกึ่งง่ายโดยอัตโนมัติ

กล่าวได้ว่าสับอัลเจบราฮอปฟ์A เป็นปกติทางขวาในอัลเจบราฮอปฟ์ Hถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขของความเสถียรad _r ( h )( A ) ⊆ AสำหรับทุกhในHโดยที่การแมปผกผันทางขวาad _rถูกกำหนดโดยad _r ( h )( a ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎สำหรับทุกaในAและhในHในทำนองเดียวกัน สับอัลเจบราฮอปฟ์Aเป็นปกติทางซ้ายในHถ้ามันเสถียรภายใต้การแมปผกผันทางซ้ายที่กำหนดโดยad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h ₍₂₎ ) เงื่อนไขความเป็นปกติทั้งสองจะเทียบเท่ากันถ้าแอนติโพดSเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ในกรณีนี้Aจะเรียกว่าสับอัลเจบราฮอปฟ์ปกติ

พีชคณิตย่อย Hopf ปกติAในHสอดคล้องกับเงื่อนไข (ของความเท่าเทียมกันของเซตย่อยของ H): HA ⁺ = A ⁺ Hโดยที่A ⁺หมายถึงเคอร์เนลของหน่วยร่วมบนAเงื่อนไขความเป็นปกตินี้บ่งชี้ว่าHA ⁺เป็นอุดมคติ Hopf ของH (กล่าวคือ อุดมคติพีชคณิตในเคอร์เนลของหน่วยร่วม โคอัลจีบราโคอิดัลและเสถียรภายใต้แอนติโพด) ผลที่ตามมาคือมีพีชคณิต Hopf ผลหารH / HA ⁺และเอพิโมร์ฟิซึมH → H / A ⁺ Hซึ่งเป็นทฤษฎีที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีของกลุ่มย่อยปกติและกลุ่มผลหารในทฤษฎีกลุ่ม^{[ 11 ]}

ลำดับHopf Oเหนือโดเมนอินทิก รัล Rที่มี^{ฟิลด์}เศษส่วนKคือลำดับในพีชคณิต Hopf HเหนือKซึ่งปิดภายใต้การดำเนินการพีชคณิตและโคพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การคูณร่วม Δ แมปOไปยังO ⊗ O [ ^{12 ]}

องค์ประกอบคล้ายกลุ่มคือองค์ประกอบx ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่ง Δ( x ) = x ⊗ xองค์ประกอบคล้ายกลุ่มก่อตัวเป็นกลุ่มที่มีตัวผกผันที่กำหนดโดยแอนติโพด^{[ 13 ]}องค์ประกอบดั้งเดิม x สอดคล้อง กับΔ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x ^{[ 14 ] [ 15 ]}

โปรดทราบว่าฟังก์ชันบนกลุ่มจำกัดสามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนของกลุ่ม แม้ว่าโดยธรรมชาติแล้วเราจะคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็นคู่กันมากกว่า กล่าวคือ วงแหวนของกลุ่มประกอบด้วย ผลรวม จำกัดของสมาชิก และดังนั้นจึงจับคู่กับฟังก์ชันบนกลุ่มได้โดยการประเมินค่าฟังก์ชันบนสมาชิกที่รวมกัน

พีชคณิตโคฮอโมโลยี (เหนือฟิลด์) ของกลุ่มลีคือพีชคณิตฮอปฟ์: การคูณนั้นได้มาจากผลคูณคัพและการคูณร่วม ${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}$

โดยการคูณกลุ่มข้อสังเกตนี้เป็นที่มาของแนวคิดพีชคณิตของฮอปฟ์ โดยใช้โครงสร้างนี้ ฮอปฟ์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับพีชคณิตโคฮอโมโลยีของกลุ่มลี ${\displaystyle G\times G\to G}$

ทฤษฎีบท (ฮอปฟ์) ^{[ 19 ]}ให้ เป็นพีชคณิตฮอปฟ์ แบบสลับเปลี่ยนได้แบบมีระดับมิติจำกัดและแบบสลับเปลี่ยนร่วมได้แบบมีระดับเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 แล้ว(ในฐานะพีชคณิต) เป็นพีชคณิตภายนอกอิสระที่มีตัวสร้างดีกรีคี่ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ตัวอย่างส่วนใหญ่ข้างต้นเป็นแบบสลับที่ได้ (เช่น การคูณเป็นแบบสลับที่ได้ ) หรือแบบสลับที่ได้ร่วมกัน (เช่น^{[ 20 ]} Δ = T ∘ Δ โดยที่แผนที่บิด^{[ 21 ]} T : H ⊗ H → H ⊗ HถูกกำหนดโดยT ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ) พีชคณิตฮอปฟ์ที่น่าสนใจอื่นๆ คือ "การเปลี่ยนแปลง" หรือ " การหาปริมาณ " บางอย่างของพีชคณิตฮอปฟ์จากตัวอย่างที่ 3 ซึ่งไม่ใช่ทั้งแบบสลับที่ได้และแบบสลับที่ได้ร่วมกัน พีชคณิตฮอปฟ์เหล่านี้มักเรียกว่ากลุ่มควอนตัมซึ่งเป็นคำที่ยังไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจนนัก พวกมันมีความสำคัญในเรขาคณิตแบบไม่สลับที่ได้โดยมีแนวคิดดังต่อไปนี้: กลุ่มพีชคณิตมาตรฐานสามารถอธิบายได้ดีด้วยพีชคณิตฮอปฟ์มาตรฐานของฟังก์ชันปกติ เราอาจมองว่าพีชคณิตฮอปฟ์ในรูปแบบที่บิดเบี้ยวนี้เป็นการอธิบายกลุ่มพีชคณิต "ที่ไม่เป็นมาตรฐาน" หรือ "ควอนตัม" กลุ่มหนึ่ง (ซึ่งไม่ใช่กลุ่มพีชคณิตเลย) แม้ว่าจะดูเหมือนไม่มีวิธีโดยตรงในการกำหนดหรือจัดการกับวัตถุที่ไม่เป็นมาตรฐานเหล่านี้ แต่เราก็ยังสามารถทำงานกับพีชคณิตฮอปฟ์ของพวกมันได้ และในความเป็นจริง เราก็ระบุพวกมันด้วยพีชคณิตฮอปฟ์ของพวกมัน ดังนั้นจึงได้ชื่อว่า "กลุ่มควอนตัม"

ให้Aเป็นพีชคณิตฮอปฟ์ และให้MและNเป็น โมดูล Aแล้วM ⊗ Nก็เป็นโมดูล A เช่นกัน โดยที่

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}$

สำหรับm ∈ M , n ∈ Nและ Δ( a ) = ( a ₁ , a ₂ ) ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถกำหนดการแสดงแทนแบบไม่สำคัญเป็นฟิลด์ฐานKที่มี

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

สำหรับm ∈ K สุดท้ายนี้ สามารถกำหนดการแสดงแทนแบบคู่ของA ได้ดังนี้: ถ้า Mเป็นA-โมดูล และM*เป็นปริภูมิคู่ของมันแล้ว

${\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}$

โดยที่f ∈ M *และm ∈ M

ความสัมพันธ์ระหว่าง Δ, ε และSทำให้มั่นใจได้ว่าโฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติบางอย่างของปริภูมิเวกเตอร์นั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของ โมดูล Aด้วย ตัวอย่างเช่น ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติของปริภูมิเวกเตอร์M → M ⊗ KและM → K ⊗ Mก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของ โมดูล Aเช่นกัน นอกจากนี้ แผนที่ของปริภูมิเวกเตอร์M* ⊗ M → Kที่มีf ⊗ m → f ( m ) ก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของ โมดูล A ด้วย อย่างไรก็ตาม แผนที่M ⊗ M* → Kไม่จำเป็นต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล A เสมอไป

พีชคณิตฮอปฟ์ แบบแบ่งระดับมักถูกใช้ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตเนื่องจากเป็นโครงสร้างพีชคณิตตามธรรมชาติบนผลรวมโดยตรงของ กลุ่ม โฮโมโลยีหรือโคโฮโมโลยีทั้งหมด ของปริภูมิ H

กลุ่มควอนตัมแบบกระชับเฉพาะที่ (Locally compact quantum groups)เป็นการขยายแนวคิดของพีชคณิตฮอปฟ์ (Hopf algebras) และมีโทโพโลยีพีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด บนกลุ่มลี (Lie group)เป็นกลุ่มควอนตัมแบบกระชับเฉพาะที่

พีชคณิตควาซีฮอปฟ์เป็นการขยายความของพีชคณิตฮอปฟ์ โดยที่ความสัมพันธ์ร่วมจะคงอยู่ได้เพียงแค่การบิดเท่านั้น พีชคณิตเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในการศึกษา สม การKnizhnik–Zamolodchikov ^{[ 22 ]}

พีชคณิต Hopf ตัวคูณที่ Alfons Van Daele แนะนำในปี 1994 ^{[ 23 ]}เป็นการขยายทั่วไปของพีชคณิต Hopf โดยที่การคูณร่วมจากพีชคณิต (มีหรือไม่มีหน่วย) ไปยังพีชคณิตตัวคูณของพีชคณิตผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตกับตัวมันเอง

กลุ่ม (โค)พีชคณิตฮอปฟ์ที่ VG Turaev นำเสนอในปี 2000 ก็เป็นการขยายความของพีชคณิตฮอปฟ์เช่นกัน

พีชคณิตฮอปฟ์แบบอ่อนหรือควอนตัมกรุปอยด์ เป็นการขยายความของพีชคณิตฮอปฟ์ เช่นเดียวกับพีชคณิตฮอปฟ์ พีชคณิตฮอปฟ์แบบอ่อนก็ก่อตัวเป็นกลุ่มพีชคณิตแบบคู่ตัวเอง กล่าวคือ ถ้าHเป็นพีชคณิตฮอปฟ์ (แบบอ่อน) แล้วH * ซึ่งเป็นปริภูมิคู่ของรูปแบบเชิงเส้นบนH ก็เป็นพีชคณิตฮอปฟ์แบบอ่อนเช่นกัน (โดยสัมพันธ์กับโครงสร้างพีชคณิต-โคพีชคณิตที่ได้จากการจับคู่ตามธรรมชาติกับHและโครงสร้างโคพีชคณิต-พีชคณิตของมัน) โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตฮอปฟ์แบบอ่อนHจะถูกพิจารณาว่าเป็น

• พีชคณิตและโคอัลจีบรามิติจำกัดที่มีโคโปรดักต์ Δ: H → H ⊗ H และโคยูนิต ε: H → kที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งหมดของพีชคณิตฮอปฟ์ ยกเว้นอาจจะเป็น Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 หรือ ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b ) สำหรับบางa,bในHแต่จำเป็นต้องมีสิ่งต่อไปนี้แทน:

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}$

สำหรับค่าa , b และ c ทั้งหมดในH

• Hมีแอนติโพดที่อ่อนลงS : H → Hซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์:

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$สำหรับทุกค่าaในH (ด้านขวามือคือการฉายภาพที่น่าสนใจซึ่งมักจะแสดงด้วย Π ^R ( a ) หรือ ε _s ( a ) โดยมีภาพเป็นพีชคณิตย่อยที่แยกส่วนได้ซึ่งแสดงด้วยH ^RหรือH _s )
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$สำหรับทุกaในH (การฉายภาพที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งซึ่งมักจะแสดงด้วย Π ^R ( a ) หรือ ε _t ( a ) โดยมีภาพเป็นพีชคณิตที่แยกได้H ^LหรือH _tซึ่งเป็นแอนติไอโซมอร์ฟิกกับH ^Lผ่านS );
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$สำหรับทุกค่าaในH

โปรดทราบว่าหาก Δ(1) = 1 ⊗ 1 เงื่อนไขเหล่านี้จะลดลงเหลือเงื่อนไขปกติสองข้อบนแอนติโพดของพีชคณิตฮอปฟ์

สัจพจน์บางส่วนถูกเลือกเพื่อให้หมวดหมู่ของH-โมดูลเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบแข็งเกร็งH- โมดูล หน่วยคือพีชคณิตแยกส่วนH ^Lที่กล่าวถึงข้างต้น

ตัวอย่างเช่น พีชคณิต กรุปอยด์ จำกัด เป็นพีชคณิตฮอปฟ์แบบอ่อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตกรุปอยด์บน [n] ที่มีลูกศรผกผันได้คู่หนึ่งe _ijและe _ji ระหว่างiและjใน [ n ] นั้นสม isomorphic กับพีชคณิตHของ เมทริกซ์ n x nโครงสร้างพีชคณิตฮอปฟ์แบบอ่อนบนH เฉพาะนี้ กำหนดโดยผลคูณร่วม Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , หน่วยร่วม ε( e _ij ) = 1 และแอนติโพดS ( e _ij ) = e _jiพีชคณิตย่อยที่แยกได้H ^LและH ^Rตรงกันและเป็นพีชคณิตสลับที่ไม่เป็นศูนย์กลางในกรณีเฉพาะนี้ (พีชคณิตย่อยของเมทริกซ์แนวทแยง)

ผลงานทางทฤษฎีเบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิต Hopf แบบอ่อนสามารถพบได้ใน^{[ 24 ]}เช่นเดียวกับ^{[ 25 ]}

ดูHopf algebroid

กลุ่มต่างๆ สามารถกำหนดสัจพจน์ได้โดยใช้แผนภาพเดียวกัน (หรือเทียบเท่ากับการดำเนินการ) เช่นเดียวกับพีชคณิตฮอปฟ์ โดยที่Gถือเป็นเซตแทนที่จะเป็นโมดูล ในกรณีนี้:

• ฟิลด์Kถูกแทนที่ด้วยเซต 1 จุด
• มีหน่วยย่อยตามธรรมชาติ (แผนที่แสดงจุด 1 จุด)
• มีการคูณร่วมตามธรรมชาติ (แผนที่แนวทแยง)
• หน่วยนั้นเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม
• การคูณคือการคูณในกลุ่ม
• จุดตรงข้ามคือสิ่งที่ตรงกันข้าม

ในปรัชญานี้ กลุ่มสามารถคิดได้ว่าเป็นพีชคณิตฮอปฟ์เหนือ " ฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว " ^{[ 26 ]}

นิยามของพีชคณิตฮอปฟ์ได้รับการขยายโดยธรรมชาติไปยังหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบถัก เปียใด ๆ^{[ 27 ] [ 28 ]}พีชคณิตฮอปฟ์ในหมวดหมู่ดังกล่าวเป็นเซกซ์ทูเพิลโดยที่เป็นวัตถุในและ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$(การคูณ)

${\displaystyle \eta :I\to H}$(หน่วย),

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$(การคูณร่วม)

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$(หน่วยย่อย)

${\displaystyle S:H\to H}$(ขั้วตรงข้าม)

— เป็นมอร์ฟิซึมในลักษณะที่ ${\displaystyle C}$

1) สามสิ่งเป็นโมโนอิดในหมวดหมู่โมโนอิดัล กล่าวคือ แผนภาพต่อไปนี้เป็นแบบสลับที่ได้: ^{[ b ]}${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) สามสิ่งนี้เป็นโคโมนอยด์ในหมวดหมู่โมโนอิดัล กล่าวคือ แผนภาพต่อไปนี้เป็นแบบสลับที่ได้: ^{[ b ]}${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) โครงสร้างของโมโนอิดและโคโมโนอิดเข้ากันได้: การคูณและหน่วยเป็นมอร์ฟิซึมของโคโมโนอิด และ (ซึ่งเทียบเท่ากันในสถานการณ์นี้) ในขณะเดียวกัน การคูณร่วมและหน่วยร่วมเป็นมอร์ฟิซึมของโมโนอิด ซึ่งหมายความว่าแผนภาพต่อไปนี้ต้องสลับที่ได้:${\displaystyle H}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \varepsilon }$

โดยที่หน่วยมอร์ฟิซึมด้านซ้ายในและการแปลงธรรมชาติของฟังก์ชันเตอร์ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ในกลุ่มของการแปลงธรรมชาติของฟังก์ชันเตอร์ที่ประกอบขึ้นจากการแปลงโครงสร้าง (การเชื่อมโยง หน่วยซ้ายและขวา การสลับตำแหน่ง และตัวผกผันของการแปลงเหล่านี้) ในหมวดหมู่${\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}$${\displaystyle C}$

ควินทูเพิลที่มีคุณสมบัติ 1), 2), 3) เรียกว่าไบอัลจีบราในหมวดหมู่; ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) แผนภาพของจุดตรงข้ามมีคุณสมบัติการสลับที่ได้:

ตัวอย่างทั่วไปมีดังต่อไปนี้

• กลุ่มในหมวดหมู่โมโนอิดัลของเซต (โดยมีผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นผลคูณเทนเซอร์ และเซตเอกซ์โทนใดๆเช่น เป็นวัตถุหน่วย) สามสิ่งจะเป็นโมโนอิดในความหมายเชิงหมวดหมู่ก็ต่อเมื่อมันเป็นโมโนอิดในความหมายเชิงพีชคณิตทั่วไป กล่าวคือ ถ้าการดำเนินการและทำงานเหมือนการคูณและการคูณหน่วยทั่วไปใน(แต่เป็นไปได้ว่าไม่มีความสามารถในการผกผันขององค์ประกอบ) ในขณะเดียวกัน สามสิ่งจะเป็นโคโมนอยด์ในความหมายเชิงหมวดหมู่ก็ต่อเมื่อเป็นการดำเนินการแนวทแยง(และการดำเนินการก็ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันเช่นกัน: ) และโครงสร้างโคโมนอยด์ใดๆ ดังกล่าวเข้ากันได้กับโครงสร้างโมโนอิดใดๆในแง่ที่ว่าแผนภาพในส่วนที่ 3 ของคำนิยามจะสลับกันได้เสมอ ผลที่ตามมาคือ โมโนอิดแต่ละตัวในสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นไบอัลเจบราในและในทางกลับกัน การมีอยู่ของแอนติโพดสำหรับไบอัลเจบราดังกล่าวหมายความว่าองค์ประกอบทุกตัวมีองค์ประกอบผกผันโดยสัมพันธ์กับการคูณ ดังนั้น ในหมวดหมู่ของเซตพีชคณิตฮอปฟ์จึงเป็นกลุ่มในความหมายทางพีชคณิตทั่วไป อย่างแท้จริง${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$${\displaystyle \eta (1)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }$${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$${\displaystyle S:H\to H}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle x^{-1}\in H}$${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• พีชคณิตฮอปฟ์แบบคลาสสิกในกรณีพิเศษเมื่อเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่กำหนดพีชคณิตฮอปฟ์ใน ก็คือพีชคณิตฮอปฟ์แบบคลาสสิกที่อธิบายไว้ข้างต้นนั่นเอง${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$
• พีชคณิตเชิงฟังก์ชันบนกลุ่มพีชคณิตเชิงฟังก์ชัน มาตรฐาน, , , (ของฟังก์ชันต่อเนื่อง เรียบ โฮโลมอร์ฟิก และปกติ) บนกลุ่มคือพีชคณิตฮอปฟ์ในหมวดหมู่ ( Ste , ) ของปริภูมิสเตอริโอไทป์ , ^{[ 29 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$${\displaystyle \odot }$
• พีชคณิตกลุ่มพีชคณิตกลุ่มสเตอริโอไทป์ , , , (ของการวัด การกระจาย ฟังก์ชันวิเคราะห์ และกระแส) บนกลุ่มคือพีชคณิตฮอปฟ์ในหมวดหมู่ ( Ste , ) ของปริภูมิสเตอริโอไทป์ [ ^{29 ] พีชคณิต}ฮอปฟ์เหล่านี้ใช้ในทฤษฎีคู่สำหรับกลุ่มที่ไม่สลับที่^{[ 30 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$${\displaystyle \circledast }$

• พีชคณิตฮอปฟ์กึ่งสามเหลี่ยม
• การเปรียบเทียบพีชคณิต/เซต
• ทฤษฎีการแทนของพีชคณิตฮอปฟ์
• พีชคณิตริบบอนฮอปฟ์
• ซูเปอร์อัลเจบรา
• ซูเปอร์กรุ๊ป
• พีชคณิตลีแอนยอนิก
• พีชคณิตฮอปฟ์ของสวีดเลอร์
• พีชคณิตฮอปฟ์ของการเรียงสับเปลี่ยน
• ทฤษฎีบทมิลเนอร์-มัวร์

• Dăscălescu, โซริน; Năstăsescu, คอนสแตนติน; Raianu, เชอร์บัน (2001), พีชคณิต Hopf. บทนำคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่ม. 235 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1), Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-0481-0, Zbl  0962.16026.
• Cartier, Pierre (2007), "A Primer of Hopf Algebras", ใน Cartier, P.; Moussa, P.; Julia, B.; Vanhove, P. (บรรณาธิการ), Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometryเล่มที่ II, เบอร์ลิน: Springer, หน้า  537–615 , doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_12 , ISBN 978-3-540-30307-7
• Fuchs, Jürgen (1992), พีชคณิตลีเชิงอัฟฟินและกลุ่มควอนตัม บทนำพร้อมการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48412-1, Zbl  0925.17031
• Heinz Hopf , Uber เสียชีวิตจาก Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Mathematics 42 (1941), 22–52 พิมพ์ซ้ำใน Selecta Heinz Hopf, หน้า 119–151, Springer, Berlin (1964) นาย0004784 , Zbl 0025.09303  
• มอนต์โกเมอรี, ซูซาน (1993), พีชคณิตฮอปฟ์และการกระทำของพวกมันบนวงแหวน , ชุดการประชุมระดับภูมิภาคในคณิตศาสตร์, เล่มที่ 82, พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน , ISBN 978-0-8218-0738-5, Zbl  0793.16029
• Street, Ross (2007), กลุ่มควอนตัม: เส้นทางสู่พีชคณิตปัจจุบัน , ชุดบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์ออสเตรเลีย, เล่มที่ 19, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-69524-4, MR  2294803 , Zbl  1117.16031.
• Sweedler, Moss E. (1969), พีชคณิตฮอปฟ์ , ชุดบันทึกการบรรยายคณิตศาสตร์, WA Benjamin, Inc., นิวยอร์ก, ISBN 978-0-8053-9254-8, MR  0252485 , Zbl  0194.32901
• Underwood, Robert G. (2011), บทนำเกี่ยวกับพีชคณิตฮอปฟ์ , เบอร์ลิน: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl  1234.16022
• Turaev, Vladimir; Virelizier, Alexis (2017), หมวดหมู่โมโนอิดัลและทฤษฎีสนามเชิงทอพอโลยี , ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 322, Springer, doi : 10.1007/978-3-319-49834-8 , ISBN 978-3-319-49833-1.
• Akbarov, SS (2003). "ทฤษฎีคู่ของ Pontryagin ในทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและในพีชคณิตเชิงทอพอโลยี"วารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ 113 ( 2): 179– 349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067 .
• Akbarov, SS (2009). "ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกประเภทเลขชี้กำลังและความเป็นคู่สำหรับกลุ่ม Stein ที่มีส่วนประกอบเอกลักษณ์ที่เชื่อมต่อกันทางพีชคณิต" วารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ 162 ( 4): 459– 586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID  115153766 .