ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวเป็นชื่อที่ชวนให้นึกถึงวัตถุที่ควรมีพฤติกรรมคล้ายกับฟิลด์จำกัดที่มีองค์ประกอบเดียว หากฟิลด์ดังกล่าวสามารถมีอยู่ได้ วัตถุนี้ใช้สัญลักษณ์F ₁หรือในภาษาฝรั่งเศส-อังกฤษเล่นคำว่าF un _[ ^{1 ] ชื่อ} "ฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว" และสัญลักษณ์F ₁เป็นเพียงการชวนให้นึกถึงเท่านั้น เนื่องจากไม่มีฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวในพีชคณิตนามธรรม แบบคลาสสิก แต่F ₁หมายถึงแนวคิดที่ว่าควรจะมีวิธีแทนที่เซตและการดำเนินการซึ่งเป็นส่วนประกอบพื้นฐานดั้งเดิมของพีชคณิตนามธรรม ด้วยวัตถุอื่นที่มีความยืดหยุ่นมากกว่า ทฤษฎีของF ₁ หลายทฤษฎี ได้รับการเสนอ แต่ยังไม่ชัดเจนว่าทฤษฎีใดบ้างที่ให้ คุณสมบัติที่ต้องการทั้งหมดของ F ₁ในขณะที่ยังไม่มีฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวในทฤษฎีเหล่านี้ แต่ก็มีวัตถุที่คล้ายฟิลด์ซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือหนึ่ง

ทฤษฎีF1 ส่วนใหญ่ที่เสนอมา _นั้นแทนที่พีชคณิตนามธรรมโดยสิ้นเชิง วัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่นปริภูมิเวกเตอร์และวงแหวนพหุนามสามารถนำมาใช้ในทฤษฎีใหม่เหล่านี้ได้โดยการเลียนแบบคุณสมบัติเชิงนามธรรมของพวกมัน ซึ่งช่วยให้สามารถพัฒนา_{พีชคณิต}เชิงสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบนรากฐานใหม่ได้ คุณลักษณะเด่นประการหนึ่งของทฤษฎีF1คือ รากฐานใหม่เหล่านี้อนุญาตให้มีวัตถุมากกว่าพีชคณิตนามธรรมแบบคลาสสิก ซึ่งหนึ่งในนั้นมีพฤติกรรมคล้ายกับฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะหนึ่ง

แนวคิดเรื่องความเป็นไปได้ในการศึกษาคณิตศาสตร์ของF ₁นั้นได้รับการเสนอครั้งแรกในปี 1956 โดยJacques Titsซึ่งตีพิมพ์ในTits 1957โดยอาศัยความคล้ายคลึงกันระหว่างสมมาตรในเรขาคณิตเชิงโปรเจค ทีฟ และคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลF ₁ได้ถูกเชื่อมโยงกับเรขาคณิตแบบไม่สลับที่และหลักฐานที่เป็นไปได้ของสมมติฐานของรีมันน์

ในปี ค.ศ. 1957 Jacques Tits ได้นำเสนอทฤษฎีอาคารซึ่งเชื่อมโยงกลุ่มพีชคณิตกับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมหนึ่งในข้อสมมติฐานคือเงื่อนไขที่ไม่เป็นศูนย์: ถ้าอาคารเป็นคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมn มิติ และถ้า k < nแล้ว ซิมเพล็กซ์ kมิติทุกตัวของอาคารจะต้องบรรจุอยู่ใน ซิมเพล็กซ์ n มิติอย่างน้อยสามตัว นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับเงื่อนไขในเรขาคณิตเชิงโปรเจก ทีฟแบบคลาสสิก ที่ว่าเส้นตรงจะต้องมีจุดอย่างน้อยสามจุด อย่างไรก็ตาม มี เรขาคณิต แบบเสื่อมสภาพที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่จะเป็นเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ยกเว้นว่าเส้นตรงนั้นยอมรับได้เพียงสองจุดเท่านั้น วัตถุที่คล้ายคลึงกันในทฤษฎีอาคารเรียกว่าอพาร์ตเมนต์ อพาร์ตเมนต์มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีอาคารจน Tits ตั้งข้อสันนิษฐานถึงการมีอยู่ของทฤษฎีเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟซึ่งเรขาคณิตแบบเสื่อมสภาพจะมีสถานะเท่าเทียมกับเรขาคณิตแบบคลาสสิก เรขาคณิตนี้จะเกิดขึ้นบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะหนึ่งเขา กล่าว ^{[ 2 ]}การใช้การเปรียบเทียบนี้ทำให้สามารถอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างของF ₁ ได้ แต่ไม่สามารถสร้างมันขึ้นมาได้

หลังจากข้อสังเกตเบื้องต้นของ Tits ความคืบหน้าก็เกิดขึ้นเพียงเล็กน้อยจนกระทั่งช่วงต้นทศวรรษ 1990 ในช่วงปลายทศวรรษ 1980 Alexander Smirnovได้บรรยายหลายครั้งโดยตั้งข้อสันนิษฐานว่าสมมติฐานของ Riemann สามารถพิสูจน์ได้โดยการพิจารณาจำนวนเต็มเป็นเส้นโค้งเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว ภายในปี 1991 Smirnov ได้ก้าวไปสู่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหนือF ₁ [ ^{3 ]}โดยแนะนำส่วนขยายของF ₁และใช้ส่วนขยายเหล่านั้นในการจัดการเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟP ¹เหนือF ₁ ^{[ 3 ]}จำนวนเชิงพีชคณิตได้รับการปฏิบัติเป็นแผนที่ไปยังP ¹ นี้ และมีการเสนอการประมาณเชิงสมมติฐานของสูตร Riemann–Hurwitz สำหรับแผนที่เหล่านี้ การประมาณเหล่า นี้ บ่ง ^บอกถึงวิธีแก้ปัญหาที่สำคัญ เช่นข้อสันนิษฐาน abcส่วนขยายของF ₁ในภายหลังถูกกำหนดให้เป็นF _qโดยที่q = 1 ⁿ Smirnov ร่วมกับMikhail Kapranovได้สำรวจว่าโครงสร้างพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนในลักษณะเฉพาะของจำนวนเฉพาะอาจมีลักษณะอย่างไรใน "ลักษณะเฉพาะหนึ่ง" ซึ่งจบลงด้วยงานที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ซึ่งเผยแพร่ในปี 1995 ^{[ 4 ]}ในปี 1993 Yuri Maninได้บรรยายชุดหนึ่งเกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาโดยเขาเสนอให้พัฒนาทฤษฎีเรขาคณิตพีชคณิตเหนือF ₁ [ ^{5 ]}เขาแนะนำว่าฟังก์ชันซีตาของวาไรตี้เหนือF _{1 จะมีคำอธิบายที่ง่าย} ^มากและเขาเสนอความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎี KของF ₁และกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลมสิ่งนี้เป็นแรงบันดาลใจให้หลายคนพยายามสร้างทฤษฎีเรขาคณิต F _{1 ที่ชัดเจน}

นิยามแรกของวาไรตี้เหนือF ₁ ที่ตีพิมพ์เผยแพร่ มาจากChristophe Souléในปี 1999 ^{[ 6 ]}ซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้พีชคณิตเหนือจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของวงแหวนบางประเภท^{[ 6 ]}ในปี 2000 Zhu เสนอว่าF ₁เหมือนกับF ₂ยกเว้นว่าผลรวมของหนึ่งกับหนึ่งคือหนึ่ง ไม่ใช่ศูนย์^{[ 7 ]} Deitmar แนะนำว่า ควรค้นหา F ₁โดยการลืมโครงสร้างการบวกของวงแหวนและมุ่งเน้นไปที่การคูณ^{[ 8 ]} Toën และ Vaquié สร้างทฤษฎีของ Hakim เกี่ยวกับโครงร่างสัมพัทธ์และกำหนดF ₁โดยใช้หมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตร [ ^{9 ] ต่อ}มา Vezzani แสดงให้เห็นว่าการสร้างของพวกเขาเทียบเท่ากับของ Deitmar ^{[ 10 ]} Nikolai Durovสร้างF _{1 เป็น} โมนาดพีชคณิตแบบสลับที่ได้^{[ 11 ]} Borger ใช้การสืบเนื่องเพื่อสร้างมันจากฟิลด์จำกัดและจำนวนเต็ม^{[ 12 ]}

Alain ConnesและCaterina Consaniได้พัฒนาแนวคิดของ Soulé และ Deitmar โดยการ "เชื่อม" หมวดหมู่ของโมโนอิดแบบคูณและหมวดหมู่ของวงแหวนเพื่อสร้างหมวดหมู่ใหม่จากนั้นจึงกำหนดF ₁ ‑schemes ให้เป็นฟังก์ชันตัวแทนชนิดพิเศษบน^{[ 13 ]}โดยใช้สิ่งนี้ พวกเขาสามารถให้แนวคิดของการสร้างเชิงจำนวนหลายอย่างเหนือF ₁เช่น โมทีฟและส่วนขยายฟิลด์ ตลอดจนการสร้างกลุ่ม ChevalleyเหนือF _{1 ²}ร่วมกับMatilde Marcolli Connes และ Consani ยังได้เชื่อมโยงF ₁กับเรขาคณิตแบบไม่สลับที่อีก ด้วย ^{[ 14 ]}นอกจากนี้ยังมีการเสนอแนะว่ามีความเชื่อมโยงกับสมมติฐานเกมที่ไม่ซ้ำกันในทฤษฎีความซับซ้อนของการคำนวณ^{[ 15 ]}${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}},}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}.}$

Oliver Lorscheid พร้อมด้วยคนอื่นๆ เพิ่งบรรลุเป้าหมายดั้งเดิมของ Tits ในการอธิบายกลุ่ม Chevalley เหนือF ₁โดยการแนะนำวัตถุที่เรียกว่าพิมพ์เขียว ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปพร้อมกันของทั้งเซมิริง^และโมโนอิด^{[ 16 ] [ 17 ]}สิ่งเหล่านี้ใช้เพื่อกำหนดสิ่งที่เรียกว่า "แผนผังสีน้ำเงิน" ซึ่งหนึ่งในนั้นคือ Spec F ₁ ^[ 18 ^]แนวคิดของ Lorscheid แตกต่างจากแนวคิดอื่นๆ ของกลุ่มเหนือF ₁ อยู่บ้าง ตรงที่ แผนผัง F ₁ไม่ใช่กลุ่ม Weyl ของส่วนขยายฐานไปยังแผนผังปกติ Lorscheid กำหนดหมวดหมู่ Tits ก่อน ซึ่งเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่แผนผังสีน้ำเงิน และกำหนด "ส่วนขยาย Weyl" ซึ่งเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ Tits ไปยังSetแบบจำลอง Tits–Weyl ของกลุ่มพีชคณิตคือแผนผังสีน้ำเงินGที่มีการดำเนินการของกลุ่มซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ Tits ซึ่งส่วนขยายฐานคือและส่วนขยาย Weyl ของมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่ม Weyl ของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}.}$

เรขาคณิต F ₁ได้รับการเชื่อมโยงกับเรขาคณิตเขตร้อนผ่านข้อเท็จจริงที่ว่าเซมิริง (โดยเฉพาะเซมิริงเขตร้อน) เกิดขึ้นเป็นผลหารของเซมิริงโมโนอิดN [ A ] บางตัวของผลรวมเชิงรูปธรรมจำกัดขององค์ประกอบของโมโนอิดAซึ่งตัวมันเองเป็น พีชคณิต F ₁การเชื่อมโยงนี้ได้รับการทำให้ชัดเจนโดยการใช้พิมพ์เขียวของ Lorscheid ^{[ 19 ]}พี่น้อง Giansiracusa ได้สร้างทฤษฎีโครงร่างเขตร้อน ซึ่งหมวดหมู่โครงร่างเขตร้อนของพวกเขาเทียบเท่ากับหมวดหมู่โครงร่างF _{1 ของ Toën–Vaquié} ^{[ 20 ]}หมวดหมู่นี้ฝังตัวอย่างซื่อสัตย์แต่ไม่สมบูรณ์ ลงในหมวดหมู่โครงร่างสีน้ำเงิน และเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่โครงร่าง Durov

แรงจูงใจประการหนึ่งสำหรับF ₁มาจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตการพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์สำหรับเส้นโค้งบนฟิลด์จำกัด ของ อังเดร ไวล์เริ่มต้นด้วยเส้นโค้งCบนฟิลด์จำกัดkซึ่งมาพร้อมกับฟิลด์ฟังก์ชันFซึ่งเป็นส่วนขยายฟิลด์ของkฟิลด์ฟังก์ชันแต่ละฟิลด์ดังกล่าวทำให้เกิดฟังก์ชันซีตาของฮัสเซ-ไวล์ζ _Fและสมมติฐานรีมันน์สำหรับฟิลด์จำกัดจะกำหนดศูนย์ของζ _Fการพิสูจน์ของไวล์ใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่างๆ ของCเพื่อ ศึกษาζ _F

ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะQมีความเชื่อมโยงในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์แต่Qไม่ใช่ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้ แต่Qเป็นฟิลด์ฟังก์ชันของสกีมSpec Zซึ่งเป็นสกีมหนึ่งมิติ (หรือที่รู้จักกันในชื่อเส้นโค้งพีชคณิต ) ดังนั้นจึงควรมี "ฟิลด์ฐาน" บางอย่างที่เส้นโค้งนี้ทับอยู่ โดยที่Qจะเป็นส่วนขยายของฟิลด์ฐาน นั้น (ในทำนองเดียวกับที่Cเป็นเส้นโค้งเหนือkและFเป็นส่วนขยายของk ) ความหวังของ เรขาคณิต F1คือวัตถุที่เหมาะสมF1 สามารถ ทำหน้าที่เป็นฟิลด์ฐานนี้ _ได้ซึ่งจะช่วยให้สามารถพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์_ได้โดยการเลียนแบบการพิสูจน์ของไวล์โดยใช้ F1แทน_k

เรขาคณิตเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวได้รับแรงบันดาลใจจากเรขาคณิตของอาราเคโลฟ เช่นกัน โดยที่สม การ ไดโอแฟนไทน์ได้รับการศึกษาโดยใช้เครื่องมือจากเรขาคณิตเชิงซ้อนทฤษฎีนี้เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบที่ซับซ้อนระหว่างฟิลด์จำกัดและจำนวนเชิงซ้อน ในที่นี้ การมีอยู่ของF ₁มีประโยชน์ด้วยเหตุผลทางเทคนิค

F ₁ไม่สามารถเป็นฟิลด์ได้ เพราะตามนิยามแล้ว ฟิลด์ทุกฟิลด์ต้องมีสมาชิกที่แตกต่างกันสองตัว คือเอกลักษณ์การบวกศูนย์และเอกลักษณ์การคูณหนึ่ง แม้ว่าจะยกเลิกข้อจำกัดนี้ (เช่น โดยการอนุญาตให้เอกลักษณ์การบวกและการคูณเป็นสมาชิกเดียวกัน) วงแหวนที่มีสมาชิกหนึ่งตัวก็ต้องเป็นวงแหวนศูนย์ซึ่งไม่ทำงานเหมือนฟิลด์จำกัด ตัวอย่างเช่นโมดูล ทั้งหมด เหนือวงแหวนศูนย์เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน (เนื่องจากสมาชิกเพียงตัวเดียวของโมดูลดังกล่าวคือสมาชิกศูนย์) อย่างไรก็ตาม หนึ่งในแรงจูงใจหลักของF ₁คือการอธิบายเซตว่าเป็น " ปริภูมิเวกเตอร์ F ₁ " – ถ้าเซตจำกัดเป็นโมดูลเหนือวงแหวนศูนย์ เซตจำกัดทุกเซตจะมีขนาดเท่ากัน ซึ่งไม่ใช่กรณีนี้ ยิ่งไปกว่านั้นสเปกตรัมของวงแหวนที่ไม่สำคัญนั้นว่างเปล่า แต่สเปกตรัมของฟิลด์มีจุดเดียว

• เซตจำกัดเป็นทั้งปริภูมิเชิงเส้นตรงและปริภูมิเชิงฉายเหนือF ₁
• เซตจุดคือ^{ปริภูมิ}เวกเตอร์เหนือF ₁ [ ^{21 ]}
• ฟิลด์จำกัดF _qคือการเปลี่ยนแปลงเชิงควอนตัมของF ₁โดยที่qคือการเปลี่ยนแปลงนั้น
• กลุ่ม Weylเป็นกลุ่มพีชคณิตแบบง่ายเหนือF ₁ :

  เมื่อกำหนดแผนภาพ Dynkinสำหรับกลุ่มพีชคณิตกึ่งง่าย กลุ่ม Weyl ของมันคือ[ 22 ^{]กลุ่มพีชคณิต}กึ่งง่ายเหนือF ₁

• โครง ร่าง เชิงเส้นตรง Spec Zเป็นเส้นโค้งเหนือF ₁
• กลุ่มต่างๆ คือพีชคณิตฮอปฟ์เหนือF ₁โดยทั่วไปแล้ว สิ่งใดก็ตามที่นิยามขึ้นโดยใช้แผนภาพของวัตถุพีชคณิตล้วนๆ ควรจะมีสิ่ง ที่เทียบเคียงได้ใน F ₁ในหมวดหมู่ของเซต
• การกระทำของกลุ่มบนเซตเป็นการแทนเชิงโปรเจกทีฟของGเหนือF ₁และด้วยวิธีนี้Gจึงเป็นพีชคณิตฮอปฟ์ของกลุ่มF ₁ [ G ]
• วาไรตี้ทอริกกำหนด วาไรตี้ F ₁ในคำอธิบายบางส่วนของ เรขาคณิต F ₁ความจริงในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน ในแง่ที่ว่าการขยายสเกลาร์ของ วาไรตี้ F ₁ไปยังZนั้นเป็นทอริก^{[ 23 ]}ในขณะที่แนวทางอื่นๆ ของ เรขาคณิต F ₁ยอมรับตัวอย่างที่หลากหลายกว่า วาไรตี้ทอริกดูเหมือนจะเป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีนี้
• ฟังก์ชันซีตาของP ^N ( F ₁ ) ควรจะเป็นζ ( s ) = s ( s − 1)⋯( s − N ) . ^{[ 6 ]}
• กลุ่มKที่mของF ₁ควรเป็น กลุ่มโฮโมโท ปีเสถียรที่mของสเปกตรัมทรงกลม^{[ 6 ]}

โครงสร้างต่างๆ บนเซตนั้นคล้ายคลึงกับโครงสร้างบนปริภูมิเชิงฉาย และสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีเดียวกัน:

จำนวนองค์ประกอบของP ( Fⁿ _q) = P ^{n −1} ( F _q ) , ปริภูมิเชิงฉายภาพมิติ( n − 1)เหนือฟิลด์จำกัดF _q , คือจำนวนเต็มq ^{[ 24 ]} การเลือกq = 1จะได้[ n ] _q = n . $${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}.}$$

การขยายจำนวนเต็มqออกเป็นผลรวมของกำลังของqสอดคล้องกับ การแบ่งส่วน เซลล์ชูเบิร์ตของปริภูมิเชิงฉาย

มีn ! การเรียงสับเปลี่ยนของเซตที่มี สมาชิก nตัว และมีแฟล็กสูงสุด [ n ]! _qในFⁿ _qโดยที่ q-แฟกทอเรียล อยู่ที่ไหน อัน ที่จริง การเรียงสับเปลี่ยนของเซตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเซตแบบกรองเช่นเดียวกับที่แฟล็กเป็นปริภูมิเวกเตอร์แบบกรอง ตัวอย่างเช่น ลำดับ(0, 1, 2)ของเซต{0, 1, 2}สอดคล้องกับการกรอง{0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2 } $${\displaystyle [n]!_{q}:=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n]_{q}}$$

สัมประสิทธิ์ทวินาม ให้จำนวน เซตย่อยที่มีสมาชิก mตัวของ เซตที่มีสมาชิก nตัว และสัมประสิทธิ์ทวินามq ให้จำนวนปริภูมิ ย่อยมิติm ตัวของปริภูมิเวกเตอร์มิติ nตัวเหนือF _q$${\displaystyle {\frac {n!}{m!(nm)!}}}$$$${\displaystyle {\frac {[n]!_{q}}{[m]!_{q}[nm]!_{q}}}}$$

การขยาย สัมประสิทธิ์ q -binomial ออกเป็นผลรวมของกำลังของqสอดคล้องกับ การแยกส่วน เซลล์ชูเบิร์ตของกราสส์มันน์

การสร้างแผนผังโมโนอิดของ Deitmar ^{[ 25 ]}ได้รับการขนานนามว่า "แก่นแท้ของ เรขาคณิต F ₁ " ^{[ 16 ]} เนื่องจากทฤษฎีเรขาคณิต F ₁ส่วนใหญ่มีคำอธิบายของแผนผังโมโนอิด ในทางศีลธรรม มันเลียนแบบทฤษฎีแผนผังที่พัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษ 1950 และ 1960 โดยการแทนที่วงแหวนสลับที่ด้วยโมโนอิดผลของสิ่งนี้คือการ "ลืม" โครงสร้างการบวกของวงแหวน เหลือไว้เพียงโครงสร้างการคูณ ด้วยเหตุนี้ บางครั้งจึงเรียกว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่การบวก"

โมโนอิดแบบทวีคูณคือโมโนอิดAที่มีสมาชิกดูดซับ 0 (ซึ่งแตกต่างจากเอกลักษณ์ 1 ของโมโนอิด) โดยที่0 a = 0สำหรับทุกaในโมโนอิดAฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัวจะถูกกำหนดให้เป็นF ₁ = {0, 1}ซึ่งเป็นโมโนอิดแบบทวีคูณของฟิลด์ที่มีสมาชิกสองตัว ซึ่งเป็น ฟิลด์ เริ่มต้นในหมวดหมู่ของโมโนอิดแบบทวีคูณ ไอเดียลโมโนอิดในโมโนอิดAคือเซตย่อยIที่ปิดแบบทวีคูณ มี 0 และมีIA = { ra  : r ∈ I , a ∈ A } = Iไอเดียลดังกล่าวเป็นไอเดียลเฉพาะถ้าA ∖ Iปิดแบบทวีคูณและมี 1

สำหรับโมโนอิดAและBโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดคือฟังก์ชันf  : A → Bที่มีคุณสมบัติว่า

• ${\displaystyle f(0)=0;}$
• ${\displaystyle f(1)=1,}$และ
• ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$สำหรับทุกคนและใน${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A.}$

สเปกตรัมของโมโนอิดAซึ่งเขียนแทนด้วยSpec AคือเซตของไอเดียลเฉพาะของAสเปกตรัมของโมโนอิดสามารถกำหนดโทโพโลยีแบบซาริสกี้ได้โดยการกำหนดเซตเปิดพื้นฐาน สำหรับแต่ละhในA ปริภูมิ โมโนอิดัลคือปริภูมิโทโพโลยีพร้อมกับชีฟของโมโนอิดแบบทวีคูณที่เรียกว่าชีฟโครงสร้าง แผนผังโมโนอิดเชิงเส้นคือปริภูมิโมโนอิดัลที่สม isomorphic กับสเปกตรัมของโมโนอิด และแผนผังโมโนอิดคือชีฟของโมโนอิดที่มีการคลุมแบบเปิดโดยแผนผังโมโนอิดเชิงเส้น $${\displaystyle U_{h}=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}A:h\notin {\mathfrak {p}}\},}$$

แผนผังโมโนอิดสามารถแปลงเป็นแผนผังเชิงทฤษฎีริงได้โดยใช้ฟังก์ชันขยายฐาน– ⊗ _{F 1} Zที่ส่งโมโนอิดAไปยัง โมดูล Z (เช่น ริง) Z [ A ] / ⟨0 _A ⟩และฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมโมโนอิดf  : A → Bขยายไปเป็นฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมริงf _Z  : A ⊗ _{F 1} Z → B ⊗ _{F 1} Zที่เป็นเชิงเส้นในฐานะ ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมโมดูล Zการขยายฐานของแผนผังโมโนอิดแบบแอฟฟินถูกกำหนดโดยสูตร ซึ่งในทางกลับกันจะกำหนดการขยายฐานของแผนผังโมโนอิดทั่วไป $${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\times _{\operatorname {Spec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},}$$

โครงสร้างนี้บรรลุคุณสมบัติที่ต้องการหลายประการของเรขาคณิตF _{1 :} Spec F ₁ประกอบด้วยจุดเดียว ดังนั้นจึงมีพฤติกรรมคล้ายกับสเปกตรัมของฟิลด์ในเรขาคณิตทั่วไป และหมวดหมู่ของโครงร่างโมโนอิดเชิงเส้นตรงเป็นคู่ตรงข้ามกับหมวดหมู่ของโมโนอิดเชิงคูณ ซึ่งสะท้อนถึงความเป็นคู่ตรงข้ามของโครงร่างเชิงเส้นตรงและวงแหวนสลับที่ นอกจากนี้ ทฤษฎีนี้ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติเชิงการจัดเรียงที่คาดหวังของF ₁ที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเชิงฉายภาพเหนือF ₁ที่มีมิติnในฐานะโครงร่างโมโนอิดนั้นเหมือนกับอพาร์ตเมนต์ของปริภูมิเชิงฉายภาพเหนือF _qที่มีมิติnเมื่ออธิบายในฐานะอาคาร

อย่างไรก็ตาม แผนผังโมโนอิดไม่ได้ตอบสนองคุณสมบัติที่คาดหวังทั้งหมดของทฤษฎี เรขาคณิต F ₁เนื่องจากวาไรตี้เดียวที่มีแผนผังโมโนอิดที่คล้ายคลึงกันคือวาไรตี้ทอริก [ ^{26 ] กล่าว}ให้แม่นยำยิ่งขึ้น หากXเป็นแผนผังโมโนอิดที่มีส่วนขยายฐานเป็น แผนผังแบบ แบนแยกและเชื่อมต่อกันของประเภทจำกัดส่วนขยายฐานของXจะเป็นวาไรตี้ทอริก แนวคิดอื่นๆ ของ เรขาคณิต F ₁เช่นของ Connes–Consani ^{[ 27 ]}สร้างขึ้นบนแบบจำลองนี้เพื่ออธิบายวาไร ตี้ F ₁ที่ไม่ใช่ทอริก

อาจนิยามส่วนขยายฟิลด์ของฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวเป็นกลุ่มของรากแห่งเอกภาพหรือละเอียดกว่านั้น (ด้วยโครงสร้างทางเรขาคณิต) เป็นกลุ่มโครงร่างของรากแห่งเอกภาพซึ่งไม่เป็นไปตามธรรมชาติกับกลุ่มวัฏจักรอันดับnโดยความเป็นเอกภาพขึ้นอยู่กับการเลือกรากแห่งเอกภาพดั้งเดิม : ^{[ 28 ]} ดังนั้นปริภูมิเวกเตอร์มิติdเหนือF _{1 ⁿ}คือเซตจำกัดอันดับdnซึ่งรากแห่งเอกภาพกระทำอย่างอิสระ พร้อมกับจุดฐาน $${\displaystyle \mathbf {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.}$$

จากมุมมองนี้ฟิลด์จำกัดF _qคือพีชคณิตเหนือF _{1 ⁿ}ซึ่งมีมิติd = ( q − 1)/ nสำหรับn ใดๆ ที่เป็นตัวประกอบของq − 1 (ตัวอย่างเช่นn = q − 1หรือn = 1 ) สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มของหน่วยของฟิลด์จำกัดF _q (ซึ่งเป็น องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ จำนวน q − 1 ตัว ) เป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับq − 1ซึ่งกลุ่มวัฏจักรใดๆ ที่มีอันดับหารq − 1ลงตัวสามารถกระทำได้อย่างอิสระ (โดยการยกกำลัง) และองค์ประกอบศูนย์ของฟิลด์เป็นจุดฐาน

ในทำนองเดียวกันจำนวนจริงRเป็นพีชคณิตเหนือF _{1 ²}ซึ่งมีมิติอนันต์ เนื่องจากจำนวนจริงประกอบด้วย ±1 แต่ไม่มีรากของเอกภาพอื่น ๆ และจำนวนเชิงซ้อนCเป็นพีชคณิตเหนือF _{1 ⁿ}สำหรับทุกnซึ่งมีมิติอนันต์เช่นกัน เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนมีรากของเอกภาพทั้งหมด

จากมุมมองนี้ ปรากฏการณ์ใดๆ ที่ขึ้นอยู่กับฟิลด์ที่มีรากของเอกภาพเท่านั้น สามารถมองได้ว่ามาจากF ₁ – ตัวอย่างเช่นการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (ค่าเชิงซ้อน) และการแปลงเชิงทฤษฎีจำนวน ที่เกี่ยวข้อง ( ค่า Z / n Z )

• อนุพันธ์เลขคณิต
• เซมิกรุปที่มีองค์ประกอบหนึ่งตัว

• Borger, James (2009), Λ-rings และฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว , arXiv : 0906.3146
• Consani, Caterina; Connes, Alain , บรรณาธิการ (2011), เรขาคณิตไม่สลับที่, เลขคณิต และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง รายงานการประชุมครั้งที่ 21 ของสถาบันคณิตศาสตร์ญี่ปุ่น-สหรัฐอเมริกา (JAMI) ณ มหาวิทยาลัยจอห์นส์ ฮอปกินส์ บัลติมอร์ รัฐแมริแลนด์ สหรัฐอเมริกา 23-26 มีนาคม 2009บัลติมอร์ รัฐแมริแลนด์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยจอห์นส์ ฮอปกินส์ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl  1245.00040
• Connes, Alain ; Consani, Caterina; Marcolli, Matilde (2009), "Fun with ", Journal of Number Theory , 129 (6): 1532– 1561, arXiv : 0806.2401 , doi : 10.1016/j.jnt.2008.08.007 , MR 2521492 , S2CID 5327852 , Zbl 1228.11143${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$   
• คอนเนส, อแลง ; Consani, Caterina (2010), "Schemes over F ₁และ zeta function", Compositio Mathematica , 146 (6), London Mathematical Society: 1383– 1415, arXiv : 0903.2024 , doi : 10.1112/S0010437X09004692 , S2CID  14448430
• Deitmar, Anton (2005), "Schemes over F ₁ ", ใน van der Geer, G.; Moonen, B.; Schoof, R. (eds.), Number Fields and Function Fields: Two Parallel Worlds , Progress in Mathematics, vol. 239
• เดทมาร์, แอนตัน (2006)F ₁ ‑schemes และ toric varieties , arXiv : math/0608179 , Bibcode : 2006math......8179D
• Durov, Nikolai (2008), "แนวทางใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิต Arakelov", arXiv : 0704.2030 [ math.AG ]
• Giansiracusa, Jeffrey; Giansiracusa, Noah (2016), "สมการของวาไรตี้เขตร้อน", Duke Mathematical Journal , 165 (18): 3379– 3433, arXiv : 1308.0042 , doi : 10.1215/00127094-3645544 , S2CID  16276528
• Kapranov, Mikhail; Smirnov, Alexander (1995), ตัวกำหนดโคฮอโมโลยีและกฎการแลกเปลี่ยน: กรณีฟิลด์จำนวน (PDF)
• Le Bruyn, Lieven (2009), "เรขาคณิต f‑un สับเปลี่ยน (ไม่)", arXiv : 0909.2522 [ math.RA ]
• Lescot, Paul (2009), Algebre absolue (PDF) , เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 27 กรกฎาคม 2011 , เรียกดูเมื่อวันที่ 21 พฤศจิกายน 2009
• López Peña, Javier; Lorscheid, Oliver (2011), "การทำแผนที่F ₁ ‑land: ภาพรวมของเรขาคณิตเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว", เรขาคณิตไม่สลับที่, เลขคณิต และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง : 241– 265, arXiv : 0909.0069
• Lorscheid, Oliver (2009), "กลุ่มพีชคณิตเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว", arXiv : 0907.3824 [ math.AG ]
• Lorscheid, Oliver (2016), "มุมมองแบบพิมพ์เขียวเกี่ยวกับ เรขาคณิต F ₁ ", ใน Koen, Thas (บรรณาธิการ), เลขคณิตสัมบูรณ์และเรขาคณิตF ₁ , สำนักพิมพ์ European Mathematical Society, arXiv : 1301.0083
• Lorscheid, Oliver (2018a), " F ₁สำหรับทุกคน", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 120 (2), Springer: 83– 116, arXiv : 1801.05337 , doi : 10.1365/s13291-018-0177-x , S2CID  119664210
• Lorscheid, Oliver (2018b), "เรขาคณิตของพิมพ์เขียว ตอนที่ 2: แบบจำลอง Tits–Weyl ของกลุ่มพีชคณิต", Forum of Mathematics, Sigma , 6 e20, arXiv : 1201.1324 , doi : 10.1017/fms.2018.17 , S2CID  117587513
• Lorscheid, Oliver (2015), การทำให้เป็นเขตร้อนตามทฤษฎีโครงร่าง , arXiv : 1508.07949
• Manin, Yuri (1995), "การบรรยายเกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาและโมทีฟ (ตาม Deninger และ Kurokawa)" (PDF) , Astérisque , 228 (4): 121– 163
• โชลเซ่, ปีเตอร์ (2017)เรขาคณิต p -adic , หน้า 13, arXiv : 1712.03708
• Smirnov, Alexander (1992), "อสมการ Hurwitz สำหรับฟิลด์จำนวน" (PDF) , Algebra i Analiz (ในภาษารัสเซีย), 4 (2): 186– 209
• Soulé, Christophe (1999), บนสนามที่มีองค์ประกอบเดียว (exposé à l'Arbeitstagung, Bonn, มิถุนายน 1999) (PDF)พิมพ์ล่วงหน้า IHES
• Soulé, Christophe (2003), Les variétés sur le corps à un élément (in French), arXiv : math/0304444 , Bibcode : 2003math......4444S
• หัวนม, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 หรือ 22 ธันวาคม 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain , ปารีส: Librairie โก ติเยร์-วิลลาร์ หน้า  261–289
• Toën, เบอร์ทรานด์ ; Vaquié, Michel (2005), Au dessous de Spec ZarXiv : math /0509684
• Vezzani, Alberto (2010), "แผนการของ Deitmar กับ Toën-Vaquié เหนือF ₁ " , Mathematische Zeitschrift , 271 : 1– 16, arXiv : 1005.0287 , doi : 10.1007/s00209-011-0896-5 , hdl : 2434/771406 , S2CID  119145251

• สิ่งน่าสนใจประจำสัปดาห์นี้ในสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ โดยจอห์น เบ ซ: สัปดาห์ที่ 259
• สนามที่มีองค์ประกอบเดียวที่คาเฟ่ประเภทn
• หัวข้อ "สนามที่มีองค์ประกอบเดียว"ในงานสัมมนาการเขียนบล็อกลับ
• กำลังมองหา Fun _และตำนาน_FunในLieven le Bruyn
• การทำแผนที่F ₁ ‑land: ภาพรวมของรูปทรงเรขาคณิตบนสนามที่มีองค์ประกอบเดียว , Javier López Peña, Oliver Lorscheid
• คณิตศาสตร์, Lieven le Bruyn, Koen Thas _.
• การประชุม Vanderbilt เรื่องเรขาคณิตไม่สลับที่และเรขาคณิตบนฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 12 ธันวาคม 2013 ที่Wayback Machine ( กำหนดการถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 กุมภาพันธ์ 2012 ที่Wayback Machine )
• NCG และ F_unโดยAlain Connesและ K. Consani: สรุปเนื้อหาการบรรยายและสไลด์