ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน ทฤษฎีหมวดหมู่หมวดหมู่ย่อยของหมวดหมู่ หนึ่ง คือหมวดหมู่ที่ มี วัตถุเป็นวัตถุใน หมวดหมู่ย่อย นั้น และมีมอร์ฟิซึมเป็นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ย่อยนั้น โดยมีเอกลักษณ์และการประกอบมอร์ฟิซึมเหมือนกัน โดยสัญชาตญาณแล้ว หมวดหมู่ย่อยของหมวดหมู่หนึ่งคือหมวดหมู่ที่ได้มาจากหมวดหมู่หนึ่งโดยการ "ลบ" วัตถุและลูกศรบางส่วนออกไป ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ให้เป็นหมวดหมู่ หมวดหมู่ย่อยของกำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• กลุ่มย่อยของวัตถุของ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$
• กลุ่มย่อยของมอร์ฟิซึมของซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$

โดยที่

• สำหรับทุกๆใน, รหัสการแปลงเอกลักษณ์อยู่ใน,${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$_{${\displaystyle X}$}${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$
• สำหรับมอร์ฟิซึมทุกตัวในทั้งแหล่งที่มาและเป้าหมาย ต่าง ก็อยู่ใน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$
• สำหรับทุกคู่ของมอร์ฟิซึมและในคอมโพสิตนั้นจะอยู่ในเมื่อใดก็ตามที่มีการกำหนด${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$

เงื่อนไขเหล่านี้รับประกันว่าเป็นหมวดหมู่ในตัวของมันเอง: กลุ่มของวัตถุคือ, กลุ่มของมอร์ฟิซึมคือ, และเอกลักษณ์และการประกอบของมันเป็นเช่นเดียวกับในมีฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์อย่างเห็นได้ชัดเรียกว่าฟังก์ชันการรวมซึ่งรับวัตถุและมอร์ฟิซึมไปยังตัวมันเอง ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$

ให้เป็นหมวดหมู่ย่อยของหมวดหมู่เรากล่าวว่าเป็นหมวดหมู่ย่อย${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$หมวดหมู่ย่อยเต็มของ if สำหรับแต่ละคู่ของวัตถุและของ, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$

หมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์คือหมวดหมู่ที่รวมมอร์ฟิซึมทั้งหมดระหว่างวัตถุของสำหรับกลุ่มของวัตถุใดๆใน จะ มีหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวของ ซึ่งวัตถุในหมวดหมู่ย่อยนั้นคือวัตถุใน ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$

• หมวดหมู่ของเซตจำกัดเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของเซต
• หมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นเซตและมีมอร์ฟิซึมเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงก่อให้เกิดหมวดหมู่ย่อยที่ไม่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของเซต
• หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของกลุ่ม
• หมวดหมู่ของวงแหวน (ซึ่งมอร์ฟิซึมเป็น โฮโมมอ ร์ฟิซึมของวงแหวนที่รักษาหน่วย ) ก่อให้เกิดหมวดหมู่ย่อยที่ไม่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของrngs
• สำหรับฟิลด์ หนึ่ง หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ - ก่อให้ เกิด หมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของ โมดูล (ซ้ายหรือขวา) -${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

เมื่อกำหนดหมวดหมู่ย่อยของ แล้ว ฟังก์ชันการรวม (inclusion functor) จะเป็นทั้งฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์ (faithful functor) และเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective)บนวัตถุ มันจะเป็นฟังก์ชันเต็ม (full functor) ก็ต่อเมื่อเป็นหมวดหมู่ย่อยเต็ม (full subcategory) เท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

นักเขียนบางคนนิยาม การฝังตัว ( embedding)ว่าเป็นฟังก์ชันที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์ (full and faithful functor ) ฟังก์ชันดังกล่าวจำเป็นต้องมีคุณสมบัติหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) บนวัตถุต่างๆ โดยพิจารณาจาก ความเหมือนกัน (isomorphism ) ตัวอย่างเช่นการฝังตัวแบบโยเนดะ (Yoneda embedding)เป็นการฝังตัวในความหมายนี้

ผู้เขียนบางคนกำหนดนิยามของการฝังตัวว่าเป็นฟังก์ชันที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นหนึ่งเดียวต่อวัตถุ^{[ 1 ]}

นักเขียนท่านอื่น ๆ นิยามฟังก์ชันว่า เป็นฟังก์ชันฝังตัว (embedding ) หากฟังก์ชันนั้นมีความซื่อสัตย์ (faithful) และเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) บนออบเจ็กต์ (objects) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นฟังก์ชันฝังตัวหากฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนมอร์ฟิซึม (morphisms) ดังนั้น ฟังก์ชันจะเรียกว่า เป็นฟังก์ชันฝังตัวแบบสมบูรณ์ (full embedding ) หากมันเป็นทั้งฟังก์ชันแบบสมบูรณ์และเป็นฟังก์ชันฝังตัว ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

จากนิยามในย่อหน้าก่อนหน้า สำหรับการฝังตัว (แบบเต็ม) ใดๆภาพของจะเป็นหมวดหมู่ย่อย (แบบเต็ม) ของและเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ระหว่างและถ้าเป็นฟังก์ชันแบบเต็มและซื่อสัตย์ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนวัตถุ ภาพของ จะเทียบเท่ากับ${\displaystyle F:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

ในบางหมวดหมู่ เราอาจกล่าวได้ว่ามอร์ฟิซึมของหมวดหมู่นั้นเป็นการฝังตัว (embeddings ) ได้เช่นกัน

กล่าวได้ว่าหมวดหมู่ย่อยของ นั้นปิดด้วยไอโซมอร์ฟิซึมหรือสมบูรณ์ถ้าไอโซมอร์ฟิซึมทุกตัวในซึ่งทำให้ อยู่ในก็เป็นของ ด้วยหมวดหมู่ย่อยที่ปิดด้วยไอโซมอร์ฟิซึมและสมบูรณ์เรียกว่าสมบูรณ์อย่างเคร่งครัด ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle k:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

หมวดหมู่ย่อยของจะกว้างหรือเต็ม (คำที่เสนอครั้งแรกโดยPeter Freyd ^{[ 2 ]} ) หากมีวัตถุทั้งหมดของ^{[ 3 ]} โดย ทั่วไปแล้ว หมวดหมู่ย่อยที่กว้างจะไม่เต็ม: หมวดหมู่ย่อยที่กว้างและเต็มเพียงอย่างเดียวของหมวดหมู่คือตัวหมวดหมู่เอง ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

หมวดหมู่ย่อย Serreคือหมวดหมู่ย่อยเต็มที่ไม่ว่างเปล่าของหมวดหมู่อาเบเลียนโดยที่สำหรับลำดับที่แน่นอนสั้น ทั้งหมด${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

ในนั้นจะเป็นของก็ต่อเมื่อทั้งและ เป็นไปตามเงื่อนไข แนวคิดนี้เกิดขึ้นจากทฤษฎี C ของ Serre ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle M''}$

ค้นหาคำว่า "subcategory"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• หมวดหมู่ย่อยสะท้อนแสง
• หมวดหมู่ที่แน่นอนหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ถูกปิดภายใต้ส่วนขยาย