ในทางคณิตศาสตร์มอร์ฟิซึมเป็นแนวคิดในทฤษฎีหมวดหมู่ที่ขยายความของแผนที่รักษาโครงสร้างเช่นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างพีชคณิตฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง และฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีแม้ว่าตัวอย่างของมอร์ฟิซึมจำนวนมากจะเป็นแผนที่รักษาโครงสร้าง แต่มอร์ฟิซึมไม่จำเป็นต้องเป็นแผนที่เสมอไป แต่สามารถประกอบกันได้ในลักษณะที่คล้ายกับ การ ประกอบ ฟังก์ชัน

มอร์ฟิซึมและวัตถุเป็นส่วนประกอบของหมวดหมู่มอร์ฟิซึม หรือที่เรียกว่าแผนที่หรือลูกศรเชื่อมโยงวัตถุสองชิ้นที่เรียกว่าแหล่งที่มาและเป้าหมายของมอร์ฟิซึม มีการดำเนินการบางส่วนที่เรียกว่าการประกอบบนมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ ซึ่งกำหนดขึ้นเมื่อเป้าหมายของมอร์ฟิซึมแรกเท่ากับแหล่งที่มาของมอร์ฟิซึมที่สอง การประกอบมอร์ฟิซึมมีพฤติกรรมคล้ายกับการประกอบฟังก์ชัน ( การสลับที่ของการประกอบเมื่อมีการกำหนด และการมีอยู่ของมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์สำหรับทุกวัตถุ) และผลลัพธ์ของการประกอบคือมอร์ฟิซึม

มอร์ฟิซึมและหมวดหมู่ปรากฏให้เห็นบ่อยครั้งในคณิตศาสตร์ร่วมสมัย เดิมทีนั้น พวกมันถูกนำมาใช้ในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตพวกมันเป็นเครื่องมือพื้นฐานของทฤษฎีโครงร่างของโกรเทนดีคซึ่งเป็นการขยายความของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่ใช้ได้กับทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตด้วย

หมวดหมู่ ประกอบด้วยสองคลาส คลาสหนึ่งเป็นวัตถุและอีกคลาสหนึ่งเป็นมอร์ฟิซึมมีวัตถุสองชิ้นที่เชื่อมโยงกับมอร์ฟิซึมทุกตัว คือต้นทาง และปลายทางมอร์ฟิซึมจากไปเป็นมอร์ฟิซึมที่มีต้นทางและปลายทางโดยทั่วไปจะเขียนเป็นหรือซึ่งรูปแบบหลังเหมาะสมกว่าสำหรับแผนภาพการสลับที่ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\xrightarrow {f} Y}$

สำหรับหมวดหมู่ทั่วไปหลายๆ หมวดหมู่ วัตถุคือเซต (มักมีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง) และมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันจากวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่ง ดังนั้น ต้นทางและปลายทางของมอร์ฟิซึมจึงมักเรียกว่า วัตถุโดเมนและโดเมนร่วมตามลำดับ

มอร์ฟิซึมมีโอเปอเรชันทวิภาคแบบบางส่วนที่เรียกว่าการประกอบ ( บางส่วนเพราะการประกอบไม่จำเป็นต้องกำหนดไว้สำหรับมอร์ฟิซึมทุกคู่ในหมวดหมู่) การประกอบของมอร์ฟิซึมสองตัวคือและจะถูกกำหนดอย่างแม่นยำเมื่อเป้าหมายของคือแหล่งที่มาของและใช้สัญลักษณ์(หรือบางครั้งอาจใช้เพียง) ผลลัพธ์ของการประกอบคือมอร์ฟิซึม ที่แหล่งที่มาของคือแหล่งที่มาของและเป้าหมายของคือเป้าหมายของการประกอบนี้เป็นไปตามสัจพจน์สองข้อ : ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g}$

ตัวตน

สำหรับวัตถุทุกตัวจะมีมอร์ฟิซึมที่เรียกว่ามอร์ฟิซึมเอกลักษณ์บน อยู่ซึ่งสำหรับมอร์ฟิซึมทุกตัวเราจะได้ว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {id} _{X}:X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \mathrm {id} _{B}\circ f=f=f\circ \mathrm {id} _{A}}$

ความสัมพันธ์

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ เมื่อใดก็ตามที่องค์ประกอบทั้งหมดได้รับการกำหนดแล้ว กล่าวคือ เมื่อเป้าหมายของเป็นแหล่งที่มาของและเป้าหมายของเป็นแหล่งที่มาของ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

สำหรับหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรม (หมวดหมู่ที่วัตถุเป็นเซต อาจมีโครงสร้างเพิ่มเติม และมอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้าง) มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ก็คือฟังก์ชันเอกลักษณ์และการประกอบก็คือการประกอบฟังก์ชันธรรมดา

การประกอบกันของมอร์ฟิซึมมักแสดงด้วยแผนภาพการสลับที่ตัวอย่างเช่น

กลุ่มของมอร์ฟิซึมทั้งหมดจากไปยัง จะถูกแทนด้วยหรือเรียก ง่ายๆ ว่า hom-setระหว่างและบางผู้เขียนเขียนว่าหรือคำว่า hom-set นั้นอาจไม่ถูกต้องนัก เพราะกลุ่มของมอร์ฟิซึมไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเสมอไป หมวดหมู่ที่เป็นเซตสำหรับวัตถุทั้งหมดและเรียกว่าเล็กในระดับท้องถิ่น (locally small ) เนื่องจาก hom-set อาจไม่ใช่เซต บางคนจึงนิยมใช้คำว่า "hom-class" แทน ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathrm {มอร์} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$${\displaystyle \mathrm {หมอ} (X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

โดเมนและโคโดเมนเป็นส่วนหนึ่งของข้อมูลที่กำหนดมอร์ฟิซึม ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่ของเซตซึ่งมอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันสองฟังก์ชันอาจเหมือนกันในฐานะเซตของคู่ลำดับ แต่มีโคโดเมนที่แตกต่างกัน ฟังก์ชันทั้งสองนั้นแตกต่างกันในมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่ ผู้เขียนหลายคนกำหนดให้คลาส hom ต้องไม่ทับซ้อนกันในทางปฏิบัติ นี่ไม่ใช่ปัญหา เพราะหากการไม่ทับซ้อนกันนี้ไม่เป็นจริง ก็สามารถรับประกันได้โดยการเพิ่มโดเมนและโคโดเมนเข้าไปในมอร์ฟิซึม (เช่น เป็นส่วนประกอบที่สองและสามของสามสิ่งเรียงลำดับ) ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$

มอร์ฟิซึมเรียกว่าโมโนมอร์ฟิซึมถ้าบ่งชี้สำหรับมอร์ฟิซึมทั้งหมดโมโนมอร์ฟิซึมสามารถเรียก สั้น ๆ ว่า โมโนและเราสามารถใช้คำว่าโมนิกเป็นคำคุณศัพท์ได้^{[ 1 ]}มอร์ฟิซึมมีตัวผกผันซ้ายหรือเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนถ้ามีมอร์ฟิซึมเช่นนั้นดังนั้น จึงเป็นไอเดมโพเทนต์นั่นคือตัวผกผันซ้ายยังเรียกว่าการหดตัวของ^{[ 1 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$${\displaystyle g_{1},g_{2}:Z\to X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g:Y\to Y}$${\displaystyle (f\circ g)^{2}=f\circ (g\circ f)\circ g=f\circ g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

มอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สซ้ายจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึมเสมอ ( หมายความว่า โดยที่คืออินเวอร์สซ้ายของ) แต่ ใน ทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงเสมอไป โมโนมอร์ฟิซึมอาจไม่มีอินเวอร์สซ้ายก็ได้ ในหมวดหมู่รูปธรรมที่มอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชัน มอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สซ้ายจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และมอร์ฟิซึมที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึม ในหมวดหมู่รูปธรรม โมโนมอร์ฟิซึมมักจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่เสมอไป ดังนั้นเงื่อนไขของการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจึงแข็งแกร่งกว่าเงื่อนไขของการเป็นโมโนมอร์ฟิซึม แต่อ่อนแอกว่าเงื่อนไขของการเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วน ${\displaystyle f_{l}^{-1}\circ f\circ g_{1}=f_{l}^{-1}\circ f\circ g_{2}}$${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$${\displaystyle f_{l}^{-1}}$${\displaystyle f}$

ในทำนองเดียวกันกับโมโนมอร์ฟิซึม มอร์ฟิซึมเรียกว่าเอพิโมร์ฟิซึมถ้าหมายความว่าสำหรับมอร์ฟิซึมทั้งหมดเอพิโมร์ฟิซึมสามารถเรียก สั้น ๆ ว่า เอพิ และเราสามารถใช้เอพิเป็นคำคุณศัพท์ได้[ ^{1 ] มอ}ร์ฟิซึมมีอินเวอร์สขวาหรือเป็นสปลิตเอพิโมร์ฟิซึมถ้ามีมอร์ฟิซึมเช่นนั้นอินเวอร์สขวายังเรียกว่าส่วนของ^{[ 1 ]}มอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สขวาเป็นเอพิโมร์ฟิซึมเสมอ ( หมายความว่าโดยที่คืออินเวอร์สขวาของ) แต่ในทางกลับกันไม่เป็นจริงโดยทั่วไป เนื่องจากเอพิโมร์ฟิซึมอาจไม่มีอินเวอร์สขวา ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$${\displaystyle g_{1},g_{2}:Y\ถึง Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{Y}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g_{1}\circ f\circ f_{r}^{-1}=g_{2}\circ f\circ f_{r}^{-1}}$${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$${\displaystyle f_{r}^{-1}}$${\displaystyle f}$

ถ้าโมโนมอร์ฟิซึมแยกออกโดยมีตัวผกผันซ้ายแล้วจะเป็นเอพิมอร์ฟิซึมแบบแยกออกโดยมีตัวผกผันขวาในหมวดหมู่รูปธรรม ฟังก์ชันที่มีตัวผกผันขวาเป็นฟังก์ชันทั่วถึง [ ^{2 ] ดังนั้น}ในหมวดหมู่รูปธรรม เอพิมอร์ฟิซึมมักจะเป็นฟังก์ชันทั่วถึง แต่ไม่เสมอไป เงื่อนไขของการเป็นฟังก์ชันทั่วถึงนั้นแข็งแกร่งกว่าเงื่อนไขของการเป็นเอพิมอร์ฟิซึม แต่อ่อนแอกว่าเงื่อนไขของการเป็นเอพิมอร์ฟิซึมแบบแยกออก ในหมวดหมู่ของเซตข้อความที่ว่าทุกฟังก์ชันทั่วถึงมีส่วนนั้นเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการเลือก ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

มอร์ฟิซึมที่เป็นทั้งเอพิโมร์ฟิซึมและโมโนโมร์ฟิซึม เรียกว่าไบมอร์ฟิซึม

ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์คงที่ มอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง โมโนมอร์ฟิซึม และโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนนั้นเหมือนกัน เช่นเดียวกับมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง เอพิมอร์ฟิซึม และเอพิมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วน

ในหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่โมโนมอร์ฟิซึมและอินเจกทีฟมอร์ฟิซึมนั้นเหมือนกัน ในขณะที่การอินเจกชันจาก⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$เป็นเอพิมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่แบบทั่วถึง กล่าวคือไม่ใช่ทั้งสปลิตเอพิมอร์ฟิซึมหรือสปลิตโมโนมอร์ฟิซึม (ดูHomomorphism#Special homomorphismsสำหรับรายละเอียดและบทพิสูจน์เพิ่มเติม)

มอร์ฟิซึมเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมถ้ามีมอร์ฟิซึมที่ทำให้และ เป็นจริง ถ้ามอร์ฟิซึมมีทั้งอินเวอร์สซ้ายและอินเวอร์สขวา อินเวอร์สทั้งสองจะเท่ากัน ดังนั้น จึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม และเรียกว่าอินเวอร์สของ อินเวอร์ส ของมอร์ฟิซึม ถ้ามีอยู่ จะมีเพียงหนึ่งเดียว อินเวอร์สก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมเช่นกัน โดยมี อินเวอร์ส เป็นวัตถุสองชิ้นที่มีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกัน เรียกว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกหรือสมมูลกัน ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{Y}}$${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{X}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

ถึงแม้ว่าไอโซมอร์ฟิซึมทุกตัวจะเป็นไบมอร์ฟิซึม แต่ไบมอร์ฟิซึมก็ไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่การรวมเป็นไบมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึม อย่างไรก็ตาม มอร์ฟิซึมใดๆ ที่เป็นทั้งเอพิมอร์ฟิซึมและ โมโนมอร์ฟิซึม แบบแยกหรือทั้งโมโนมอร์ฟิซึมและ เอพิมอร์ฟิซึม แบบแยกจะต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึม หมวดหมู่ เช่นเซต ซึ่งไบมอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิ ซึม เรียกว่าหมวดหมู่สมดุล${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$

มอร์ฟิซึม(นั่นคือ มอร์ฟิซึมที่มีแหล่งที่มาและเป้าหมายเหมือนกัน) เป็นเอนโดม อร์ฟิซึม ของเอนโดมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมแบบเอกลักษณ์ถ้ายอมรับการแยกส่วนด้วยโดยเฉพาะอย่างยิ่งซองคารูบีของหมวดหมู่จะแยกมอร์ฟิซึมแบบเอกลักษณ์ทุกตัว ${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=h\circ g}$${\displaystyle g\circ h=\mathrm {id} }$

ออโตมอร์ฟิซึมคือ มอร์ฟิซึมที่เป็นทั้งเอนโดมอร์ฟิซึมและไอโซมอร์ฟิซึม ในทุกหมวดหมู่ ออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุจะรวมตัวกันเป็นกลุ่ม เสมอ เรียกว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุนั้น

• สำหรับโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่พิจารณากันโดยทั่วไปในพีชคณิตเช่นกลุ่มวงแหวนโมดูลเป็นต้นมอร์ฟิซึมมักจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมและแนวคิดของไอโซมอร์ฟิซึม ออโตมอร์ฟิซึม เอนโดมอร์ฟิซึม เอพิโมมอร์ฟิซึม และโมโนมอร์ฟิซึม ก็เหมือนกับที่ได้นิยามไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ในกรณีของวงแหวน "เอพิโมมอร์ฟิซึม" มักถูกพิจารณาว่าเป็นคำพ้องความหมายของ " การส่งทั่วถึง " แม้ว่าจะมีเอพิโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ไม่ใช่การส่งทั่วถึง (เช่น เมื่อฝังจำนวนเต็มในจำนวนตรรกยะ )
• ในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ นั้นมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันต่อเนื่องและไอโซมอร์ฟิซึมเรียกว่าโฮมีโอมอร์ฟิซึมนอกจากนี้ยังมีฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงต่อเนื่อง (นั่นคือ ไอโซมอร์ฟิซึมของเซต) ที่ไม่ใช่โฮมีโอมอร์ฟิซึม${\displaystyle \mathbf {Top} }$
• ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เรียบ มอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันเรียบและไอโซมอร์ฟิซึมเรียกว่าดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม
• ในหมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็ก มอร์ฟิ ซึมคือฟังก์ชัน
• ในหมวดหมู่ฟังก์ชัน (functor category ) มอร์ฟิซึม (morphism) คือการแปลงแบบธรรมชาติ (natural transformation )

สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม โปรดดูที่ทฤษฎีหมวดหมู่ (Category theory )

• สัณฐานวิทยาปกติ
• ศูนย์มอร์ฟิซึม

• "มอร์ฟิซึม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]