พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโฮโมโลยีในบริบทพีชคณิตทั่วไป เป็นสาขาวิชาที่ค่อนข้างใหม่ โดยมีต้นกำเนิดมาจากการศึกษาค้นคว้าในโทโพโลยีเชิงการจัด เรียง (ซึ่งเป็นพื้นฐานของโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ) และพีชคณิตนามธรรม (ทฤษฎีของโมดูลและไซซีจี ) ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยอองรี ปวงกาเรและเดวิด ฮิลเบิร์ต

พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีคือการศึกษาฟังก์ชัน เชิงโฮโมโลยี และโครงสร้างพีชคณิตที่ซับซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเหล่านั้น การพัฒนาของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีมีความเกี่ยวพันอย่างใกล้ชิดกับการเกิดขึ้นของทฤษฎีหมวดหมู่แนวคิดหลักคือแนวคิดของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ซึ่งสามารถศึกษาได้ผ่านทางโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยี ของคอมเพล็กซ์เหล่า นั้น

พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีช่วยให้สามารถดึงข้อมูลที่มีอยู่ในคอมเพล็กซ์เหล่านี้ออกมา และนำเสนอในรูปแบบของค่าคงที่เชิงโฮโมโลยีของวงแหวนโมดูลปริภูมิเชิงทอพอโล ยี และวัตถุทางคณิตศาสตร์ "ที่จับต้องได้" อื่นๆลำดับสเปกตรัมเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับสิ่งนี้

ทฤษฎี K มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต อิทธิพลของมันได้ขยายตัวอย่างค่อยเป็นค่อยไปและในปัจจุบันครอบคลุมถึงพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตทฤษฎี การแทน ค่า ฟิสิกส์ เชิงคณิตศาสตร์พีชคณิต ตัวดำเนิน การการวิเคราะห์เชิงซ้อนและทฤษฎี สมการ เชิง อนุพันธ์ย่อยทฤษฎีKเป็นสาขาวิชาอิสระที่ดึงเอาวิธีการของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีมาใช้ เช่นเดียวกับเรขาคณิตเชิงไม่สลับเปลี่ยนของAlain Connes

พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีเริ่มมีการศึกษาในรูปแบบพื้นฐานที่สุดในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ในฐานะสาขาหนึ่งของโทโพโลยี และในช่วงทศวรรษที่ 1940 ก็กลายเป็นวิชาอิสระที่มีการศึกษาวัตถุต่างๆ เช่นฟังก์ชัน extและฟังก์ชัน torเป็นต้น^{[ 1 ]}

แนวคิดเรื่องคอมเพล็กซ์ลูกโซ่เป็นหัวใจสำคัญในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ แบบนามธรรม คือลำดับของกลุ่มอาเบเลียนและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มโดยมีคุณสมบัติว่าการประกอบกันของแผนที่สองแผนที่ ที่อยู่ติดกันใดๆ มีค่า เป็นศูนย์: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

องค์ประกอบของC _nเรียกว่าn - chainและ homomorphism d _nเรียกว่าแผนที่ขอบเขตหรือdifferential กลุ่ม chain C n _อาจมีโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น อาจเป็นปริมาณเวกเตอร์หรือโมดูลเหนือวงแหวนR ที่กำหนดไว้ Differential ต้องรักษาโครงสร้างเพิ่มเติมนั้นไว้หากมีอยู่ เช่น ต้องเป็นแผนที่เชิงเส้นหรือ homomorphism ของR-โมดูล เพื่อความสะดวกในการเขียน ให้จำกัดความสนใจไว้ที่กลุ่มอาเบเลียน (หรือที่ถูกต้องกว่าคือหมวดหมู่Abของกลุ่มอาเบเลียน) ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของ Barry Mitchell บ่งชี้ว่าผลลัพธ์จะสามารถขยายไปยังหมวดหมู่อาเบเลียน ใดๆ ได้ คอมเพล็กซ์ chain ทุกตัวกำหนดลำดับของกลุ่มอาเบเลียนอีกสองลำดับ คือวัฏจักรZ _n  = Ker d _nและขอบเขตB _n  = Im d _{n +1}โดยที่ Ker  dและ Im  dแทนเคอร์เนลและภาพของdเนื่องจากการประกอบของแผนที่ขอบเขตสองแผนที่ที่ต่อเนื่องกันเป็นศูนย์ กลุ่มเหล่านี้จึงฝังตัวอยู่ในกันและกันเป็น

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

กลุ่มย่อยของกลุ่มอาเบเลียนจะเป็นกลุ่มปกติ โดยอัตโนมัติ ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดกลุ่มโฮโมโลยีที่ n H n ₍ C )เป็นกลุ่มแฟกเตอร์ของ วัฏจักร nโดยขอบเขต n ได้

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

คอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่เรียกว่า แบบ ไม่มีวงจรหรือลำดับที่แน่นอนหากกลุ่มโฮโมโลจีทั้งหมดของมันเป็นศูนย์

คอมเพล็กซ์ลูกโซ่เกิดขึ้นมากมายในพีชคณิตและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นปริภูมิโทโพโลยีแล้วโซ่เอกฐานC _n ( X ) คือการรวมเชิงเส้นอย่าง เป็นทางการ ของแผนที่ต่อ เนื่องจาก ซิมเพล็กซ์ n มาตรฐานไปยังXถ้าKเป็นคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลแล้ว โซ่ซิมพลิเชียลC _n ( K ) คือการรวมเชิงเส้นอย่างเป็นทางการของซิ มเพล็กซ์ nของKถ้าA  =  F / Rเป็นการนำเสนอของกลุ่มอาเบเลียนAโดยตัวสร้างและความสัมพันธ์โดยที่Fเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่เกิดจากตัวสร้าง และRเป็นกลุ่มย่อยของความสัมพันธ์ แล้วการกำหนดให้C ₁ ( A ) =  R , C ₀ ( A ) =  FและC _n ( A ) = 0 สำหรับ nอื่นๆ ทั้งหมดจะกำหนดลำดับของกลุ่มอาเบเลียน ในทุกกรณีเหล่านี้ มีอนุพันธ์ธรรมชาติd _nที่ทำให้ C _nกลายเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ ซึ่งโฮโมโลยีสะท้อนโครงสร้างของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลKหรือกลุ่มอาเบเลียนAในกรณีของปริภูมิเชิงทอพอโลยี เราจะได้แนวคิดของโฮโมโลยีเอกฐานซึ่งมีบทบาทพื้นฐานในการตรวจสอบคุณสมบัติของปริภูมิเหล่านั้น เช่นแมนิโฟลด์

ในระดับปรัชญา พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีสอนเราว่า คอมเพล็กซ์ลูกโซ่บางอย่างที่เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตหรือเรขาคณิต (ปริภูมิเชิงทอพอโลยี คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล โมดูล R ) มีข้อมูลทางพีชคณิตที่มีค่ามากมายเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้น โดยที่โฮโมโลยีเป็นเพียงส่วนที่เข้าถึงได้ง่ายที่สุด ในระดับเทคนิค พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีมีเครื่องมือสำหรับการจัดการคอมเพล็กซ์และดึงข้อมูลนี้ออกมา ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างทั่วไปสองตัวอย่าง

• วัตถุสองชิ้นXและYเชื่อมต่อกันด้วยแผนที่f ระหว่างกัน พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีศึกษาความสัมพันธ์ที่เกิดจากแผนที่fระหว่างกลุ่มโซ่ที่เชื่อมโยงกับXและYและโฮโมโลยีของกลุ่มโซ่เหล่านั้น ซึ่งขยายไปสู่กรณีที่มีวัตถุและแผนที่หลายตัวเชื่อมต่อกัน หากใช้ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีจะศึกษาคุณสมบัติเชิงฟังก์ชันของโครงสร้างต่างๆ ของกลุ่มโซ่และโฮโมโลยีของกลุ่มโซ่เหล่านั้น
• วัตถุXสามารถอธิบายได้หลายแบบ (เช่น ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยีและในฐานะคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล) หรือคอมเพล็กซ์นั้นถูกสร้างขึ้นโดยใช้ 'การนำเสนอ' บางอย่างของXซึ่งเกี่ยวข้องกับการเลือกที่ไม่เป็นไปตามแบบแผน สิ่งสำคัญคือต้องทราบผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงในการอธิบายของXต่อคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่เกี่ยวข้องกับXโดยทั่วไปแล้ว คอมเพล็กซ์และโฮโมโลยีของมัน จะเป็นฟังก์ชันนัลเมื่อเทียบกับการนำเสนอ และโฮโมโลยี (แม้ว่าตัวคอมเพล็กซ์เองจะไม่ใช่) นั้นเป็นอิสระจากการนำเสนอที่เลือก ดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่ของX${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

ทฤษฎีโคฮอโมโลยีได้รับการนิยามขึ้นสำหรับวัตถุต่างๆ มากมาย เช่นปริภูมิเชิงทอพอโลยี ชีฟกลุ่มวงแหวนพีชคณิตลีและพีชคณิตซี*การศึกษาเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยหากปราศจาก โคฮอ โม โลยีของชีฟ

หัวใจสำคัญของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีคือแนวคิดของลำดับที่แน่นอน ซึ่งสามารถนำ มา ใช้ในการคำนวณจริงได้ เครื่องมือคลาสสิกของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีคือฟังก์ชันอนุพันธ์ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดคือฟังก์ชันExtและTor

ด้วยความที่คำนึงถึงการใช้งานที่หลากหลาย จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพยายามวางรากฐานให้หัวข้อทั้งหมดเป็นไปในทิศทางเดียวกัน มีความพยายามหลายครั้งก่อนที่หัวข้อนี้จะลงตัว ประวัติโดยคร่าว ๆ สามารถกล่าวได้ดังนี้:

• Cartan – Eilenberg : ในหนังสือ "Homological Algebra" ปี 1956 ผู้เขียนทั้งสองได้ใช้การแก้ปัญหาโมดูล แบบโปรเจคทีฟและแบบอินเจกที ฟ
• 'โทโฮคุ': แนวทางที่ปรากฏในบทความอันโด่งดังของอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิคซึ่งตีพิมพ์ในวารสารคณิตศาสตร์โทโฮคุ ฉบับที่สอง ในปี 1957 โดยใช้ แนวคิดของหมวด หมู่แบบอาเบเลียน (รวมถึงชีฟของกลุ่มอาเบเลียน)
• หมวดหมู่อนุพันธ์ของGrothendieckและVerdierหมวดหมู่อนุพันธ์มีมาตั้งแต่วิทยานิพนธ์ของ Verdier ในปี 1967 และเป็นตัวอย่างของหมวดหมู่สามเหลี่ยมที่ใช้ในทฤษฎีสมัยใหม่หลายทฤษฎี

สิ่งเหล่านี้เปลี่ยนจากความสามารถในการคำนวณไปสู่ความทั่วไป

เครื่องมือคำนวณที่ทรงพลังที่สุดคือลำดับสเปกตรัมซึ่งจำเป็นอย่างยิ่งในแนวทางของ Cartan-Eilenberg และ Tohoku ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณฟังก์ชันอนุพันธ์ของการประกอบฟังก์ชันสองตัว ลำดับสเปกตรัมมีความสำคัญน้อยกว่าในแนวทางหมวดหมู่อนุพันธ์ แต่ก็ยังคงมีบทบาทเมื่อใดก็ตามที่จำเป็นต้องมีการคำนวณที่เป็นรูปธรรม

มีความพยายามที่จะสร้างทฤษฎี 'ไม่สลับที่' ซึ่งขยายโคฮอโมโลยีแรกไปเป็นทอร์เซอร์ (ซึ่งมีความสำคัญในโคฮอโมโลยีของกาลัว )

ในบริบทของทฤษฎีกลุ่มลำดับ

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

ความสัมพันธ์ระหว่าง กลุ่มและ โฮโมมอร์ฟิซึม ของกลุ่มเรียกว่าความสัมพันธ์แบบแม่นยำถ้าภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมแต่ละตัวเท่ากับเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมถัดไป

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}$

โปรดทราบว่าลำดับของกลุ่มและโฮโมมอร์ฟิซึมอาจเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรือแบบอนันต์

สามารถกำหนดนิยามที่คล้ายกันนี้ได้สำหรับโครงสร้างพีชคณิต อื่นๆ บางอย่าง ตัวอย่างเช่น เราอาจมีลำดับที่แน่นอนของปริภูมิเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นหรือของโมดูลและโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลโดยทั่วไปแล้ว แนวคิดของลำดับที่แน่นอนนั้นมีความหมายในหมวดหมู่ ใดๆ ที่มีเคอร์เนลและโคเคอร์เนล

ลำดับที่แน่นอนที่พบได้บ่อยที่สุดคือลำดับที่แน่นอนแบบสั้นซึ่งเป็นลำดับที่แน่นอนในรูปแบบ

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

โดยที่ ƒ เป็นโมโนมอร์ฟิซึมและgเป็นเอพิโมร์ฟิซึมในกรณีนี้Aเป็นซับออบเจกต์ของBและผลหาร ที่สอดคล้องกัน จะสมสัณฐานกับC :

${\displaystyle C\cong B/f(A).}$

(โดยที่ f(A) = im( f ))

ลำดับที่แน่นอนของกลุ่มอาเบเลียนแบบสั้น อาจเขียนได้เป็นลำดับที่แน่นอนที่มีห้าพจน์:

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

โดยที่ 0 แทนวัตถุศูนย์เช่นกลุ่มที่ไม่สำคัญหรือปริภูมิเวกเตอร์มิติศูนย์ การวางตำแหน่งของ 0 บังคับให้ ƒ เป็นโมโนมอร์ฟิซึม และgเป็นเอพิโมร์ฟิซึม (ดูด้านล่าง)

ลำดับที่แน่นอนยาว คือ ลำดับที่แน่นอนซึ่งกำหนดดัชนีโดยจำนวน ธรรมชาติ

พิจารณาแผนภาพการสลับ ที่ต่อไปนี้ ในหมวดหมู่อาเบเลียน ใดๆ (เช่น หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนหรือหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ ที่กำหนด ) หรือในหมวดหมู่ของกลุ่ม

บทพิสูจน์ย่อยทั้งห้ากล่าวว่า ถ้าแถวเป็น จำนวน ที่แน่นอนmและpเป็นไอโซมอร์ฟิซึม l เป็นเอพิโมร์ฟิซึมและqเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแล้วnก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมด้วย

ในหมวดหมู่อาเบเลียน (เช่น หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนหรือหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ ที่กำหนด ) ให้พิจารณาแผนภาพการสลับที่ดังต่อไปนี้ :

โดยที่แถวต่างๆ เป็นลำดับที่แน่นอนและ 0 คือวัตถุศูนย์จากนั้นจะมีลำดับที่แน่นอนที่เชื่อมโยงเคอร์เนลและโคเคอร์เนลของa , bและc :

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

นอกจากนี้ ถ้ามอร์ฟิซึมfเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแล้ว มอร์ฟิซึม ker  a → ker  b ก็เป็นโมโนมอร์ฟิซึมเช่นกัน และถ้าg'เป็นเอพิโมร์ฟิซึม แล้ว มอร์ฟิซึม coker b → coker  cก็ เป็นเอพิโมร์ฟิซึมเช่นกัน 

ในทางคณิตศาสตร์หมวดหมู่แบบอาเบเลียน (Abelian category)คือหมวดหมู่ที่สามารถบวกมอร์ฟิซึม และออบเจกต์ได้ และมี เคอร์เนลและโคเคอร์เนลที่มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์ ตัวอย่างต้นแบบที่กระตุ้นให้เกิดหมวดหมู่แบบอาเบเลียนคือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ( Ab ) ทฤษฎีนี้มีต้นกำเนิดมาจากความพยายามเบื้องต้นในการรวมทฤษฎีโคฮอโมโลยี หลายทฤษฎีเข้าด้วยกัน โดยอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีค (Alexander Grothendieck ) หมวดหมู่แบบอาเบเลียนเป็น หมวดหมู่ ที่มีเสถียรภาพ สูง ตัวอย่างเช่น เป็นหมวด หมู่ ปกติ (Regular category ) และเป็นไปตาม ทฤษฎีบท งู (Snake lemma ) ชั้นของหมวดหมู่แบบอาเบเลียนปิดภายใต้การสร้างเชิงหมวดหมู่หลายอย่าง ตัวอย่างเช่น หมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของหมวดหมู่แบบอาเบเลียน หรือหมวดหมู่ของฟังก์ชันจาก หมวด หมู่ขนาดเล็กไปยังหมวดหมู่แบบอาเบเลียนก็เป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียนเช่นกัน คุณสมบัติความเสถียรเหล่านี้ทำให้พวกมันเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและอื่นๆ ทฤษฎีนี้มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโคฮอโมโลยีและทฤษฎีหมวดหมู่ บริสุทธิ์ หมวดหมู่แบบ อาเบเลียนตั้งชื่อตามนีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel )

กล่าวโดยละเอียดแล้ว หมวดหมู่หนึ่งจะเป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียนได้ก็ต่อเมื่อ...

• มันมีวัตถุเป็นศูนย์
• ประกอบด้วยผลคูณ ไบนารี และผลคูณ ร่วมไบนารีทั้งหมด และ
• ประกอบด้วยเคอร์เนลและโคเคอร์เนลทั้งหมด
• โมโนมอร์ฟิซึมและเอพิโมร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นแบบปกติ

สมมติว่าเรามีฟังก์ชันเอกซ์เกรทซ้าย แบบโคแวเรียนต์ F  : A → Bระหว่างสองหมวดหมู่แบบอาเบเลียนAและBถ้า 0 → A → B → C → 0 เป็นลำดับเอกซ์เกรทสั้นในAแล้ว การใช้F จะได้ ลำดับเอกซ์เกรท 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) และเราอาจถามว่าจะต่อลำดับนี้ไปทางขวาเพื่อสร้างลำดับเอกซ์เกรทที่ยาวได้อย่างไร พูดอย่างเคร่งครัดแล้ว คำถามนี้ไม่ถูกต้อง เพราะมีวิธีมากมายในการต่อลำดับเอกซ์เกรทที่กำหนดให้ไปทางขวาเสมอ แต่ปรากฏว่า (ถ้าAดีพอ) มี วิธี มาตรฐาน วิธีหนึ่ง ในการทำเช่นนั้น ซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันอนุพันธ์ขวาของFสำหรับทุกi ≥ 1 จะมีฟังก์ชันR ⁱ F : A → Bและลำดับข้างต้นจะดำเนินต่อไปดังนี้: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... จากนี้เราจะเห็นว่าFเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำก็ต่อเมื่อR ¹ F = 0 ดังนั้นในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านขวาของFจะวัดว่าFอยู่ห่างจากความแม่นยำ มากแค่ไหน

ให้Rเป็นริงและให้ Mod _Rเป็นหมวดหมู่ของโมดูลเหนือRให้Bอยู่ใน Mod _RและกำหนดT ( B ) = Hom _R ( A,B ) สำหรับA ที่กำหนดไว้ ใน Mod _Rนี่คือฟังก์ชันแบบซ้ายแม่นยำดังนั้นจึงมีฟังก์ชันอนุพันธ์ ทางขวา R ⁿ Tฟังก์ชัน Ext ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

สามารถคำนวณได้โดยใช้การแก้ปัญหาแบบฉีด ใดๆ ก็ได้

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

และการคำนวณ

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

ดังนั้น ( R ⁿ T )( B ) คือโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้ โปรดทราบว่า Hom _R ( A,B ) ถูกแยกออกจากคอมเพล็กซ์

นิยามทางเลือกอีกแบบหนึ่งนั้นได้มาจากการใช้ฟังก์ชันG ( A )=Hom _R ( A,B ) สำหรับโมดูลB ที่กำหนดไว้ ฟังก์ชัน นี้เป็นฟังก์ชันบวกซ้ายแบบคอนทราแว เรียน ต์ ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชันบวกขวาแบบอนุพันธ์R ⁿ G ด้วย และสามารถกำหนดได้

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

สามารถคำนวณได้โดยการเลือกความละเอียดเชิงฉายภาพ ใดๆ

${\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

และดำเนินการควบคู่กันไปโดยการคำนวณ

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

ดังนั้น ( R ⁿ G )( A ) คือโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้ โปรดสังเกตอีกครั้งว่า Hom _R ( A,B ) ถูกยกเว้น

โครงสร้างทั้งสองนี้ให้ ผลลัพธ์ ที่เหมือนกันดังนั้นจึงสามารถใช้ทั้งสองแบบในการคำนวณฟังก์ชัน Ext ได้

สมมติว่าRเป็นริงและR - Mod แทน หมวดหมู่ของโมดูลซ้ายของRและMod - R แทน หมวดหมู่ของโมดูล ขวา ของ R (ถ้า Rเป็นริงสลับที่ได้หมวดหมู่ทั้งสองจะตรงกัน) กำหนดโมดูลBในR - ModสำหรับAในMod - Rให้กำหนดT ( A ) = A ⊗ _R Bจากนั้นTเป็นฟังก์ชันแบบแม่นยำขวาจากMod - Rไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนAb (ในกรณีที่Rเป็นริงสลับที่ได้ มันจะเป็นฟังก์ชันแบบแม่นยำขวาจากMod - RไปยังMod - R ) และฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายL _n T ของมัน ถูกกำหนดขึ้น เรากำหนด

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

กล่าวคือ เราใช้การแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟ

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

จากนั้นลบ เทอม A ออก แล้วทำการเทนเซอร์การแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟด้วยBเพื่อให้ได้จำนวนเชิงซ้อน

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$

(โปรดทราบว่าA ⊗ _R Bไม่ปรากฏ และลูกศรสุดท้ายเป็นเพียงแผนที่ศูนย์) และหาโฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้

กำหนดหมวดหมู่แบบอาเบเลียนเช่น หมวดหมู่ของโมดูลเหนือริง ลำดับสเปกตรัมคือตัวเลือกของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบr ₀และชุดของลำดับสามลำดับ:

1. สำหรับจำนวนเต็มr ≥ r ₀ ทุก ตัว วัตถุE _rเรียกว่าแผ่น (เช่นเดียวกับแผ่นกระดาษ)หรือบางครั้งเรียกว่าหน้าหรือเทอม
2. เอนโดมอร์ฟิซึมd _r  : E _r → E _rที่สอดคล้องกับd _r o d _r = 0 เรียกว่าแผนที่ขอบเขตหรือดิฟเฟอเรนเชียล
3. ไอโซมอร์ฟิซึมของE _r+1กับH ( E _r ) ซึ่งเป็นโฮโมโลยีของE r _{เทียบ}กับd _r

ลำดับสเปกตรัมแบบไล่ระดับสองชั้นมีข้อมูลจำนวนมหาศาลที่ต้องติดตาม แต่มีเทคนิคการแสดงภาพทั่วไปที่ทำให้โครงสร้างของลำดับสเปกตรัมชัดเจนขึ้น เรามีดัชนีสามตัว คือr , pและqสำหรับแต่ละrลองนึกภาพว่าเรามีกระดาษกราฟแผ่นหนึ่ง บนกระดาษแผ่นนี้ เราจะกำหนดให้pเป็นทิศทางแนวนอน และqเป็นทิศทางแนวตั้ง ที่จุดแต่ละจุดบนตาราง เราจะมีวัตถุอยู่ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

เป็นเรื่องปกติมากที่n = p + qจะเป็นดัชนีธรรมชาติอีกตัวหนึ่งในลำดับสเปกตรัมnวิ่งในแนวทแยงจากทิศตะวันตกเฉียงเหนือไปยังทิศตะวันออกเฉียงใต้ข้ามแต่ละแผ่น ในกรณีโฮโมโลจี ดิฟเฟอเรนเชียลมีดีกรีสอง (− r ,  r  − 1) ดังนั้นจึงลดnลงหนึ่ง ในกรณีโคโฮโมโลจีnจะเพิ่มขึ้นหนึ่ง เมื่อrเป็นศูนย์ ดิฟเฟอเรนเชียลจะเคลื่อนวัตถุลงหรือขึ้นหนึ่งช่อง ซึ่งคล้ายกับดิฟเฟอเรนเชียลบนคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ เมื่อrเป็นหนึ่ง ดิฟเฟอเรนเชียลจะเคลื่อนวัตถุไปทางซ้ายหรือขวาหนึ่งช่อง เมื่อrเป็นสอง ดิฟเฟอเรนเชียลจะเคลื่อนวัตถุเหมือนกับ การเดินของ อัศวินในหมากรุกสำหรับr ที่สูงกว่า ดิฟเฟอเรนเชียลจะทำหน้าที่เหมือนการเดินของอัศวินแบบทั่วไป

แผนที่ต่อเนื่องของปริภูมิเชิงทอพอโลยีทำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มโฮโมโลยีลำดับที่n ของปริภูมิเหล่านั้น สำหรับทุกnข้อเท็จจริงพื้นฐานนี้ของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตพบคำอธิบายตามธรรมชาติผ่านคุณสมบัติบางประการของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ เนื่องจากเป็นเรื่องปกติมากที่จะศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยีหลายแห่งพร้อมกัน ในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีจึงนำไปสู่การพิจารณาคอมเพล็กซ์ลูกโซ่หลายตัวพร้อมกัน

มอร์ฟิซึมระหว่างคอมเพล็กซ์ลูกโซ่สองตัวคือตระกูลของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนที่สลับตำแหน่งกับอนุพันธ์ ในแง่ที่ว่าสำหรับทุกnมอร์ฟิซึมของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่เหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึมของกลุ่มโฮโมโลจีของพวกมัน ซึ่งประกอบด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับทุกnมอร์ฟิซึมFเรียกว่าควาซีไอโซมอร์ฟิซึมถ้ามันเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบน โฮโมโลจีที่ nสำหรับ ทุกn${\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}$${\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}$${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}$${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}$

โครงสร้างหลายอย่างของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่เกิดขึ้นในพีชคณิตและเรขาคณิต รวมถึงโฮโมโลยีเอกฐานมี คุณสมบัติ ความเป็นฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้ : ถ้าวัตถุสองชิ้นXและYเชื่อมต่อกันด้วยแผนที่fแล้ว คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่เกี่ยวข้องจะเชื่อมต่อกันด้วยมอร์ฟิซึมและยิ่งไปกว่านั้น การประกอบกันของแผนที่f :  X  →  Yและ g :  Y  →  Zจะเหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกับการประกอบกันนั้นดังนั้น กลุ่มโฮโมโลยีจึงเป็นฟังก์ชันเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ มอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุทางพีชคณิตหรือทางทอพอโลยีจึงก่อให้เกิดแผนที่ที่เข้ากันได้ระหว่างโฮโมโลยีของพวกมัน ${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}$${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

นิยามต่อไปนี้มาจากสถานการณ์ทั่วไปในพีชคณิตและโทโพโลยี สามสิ่งประกอบด้วยคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่สามตัวและมอร์ฟิซึมสองตัวระหว่างคอมเพล็กซ์เหล่านั้นเรียกว่าสามสิ่งแน่นอนหรือลำดับที่แน่นอนสั้น ๆ ของคอมเพล็กซ์และเขียนแทนด้วย ${\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}$${\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}$

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

ถ้าสำหรับn ใดๆ ลำดับ

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

เป็นลำดับที่แน่นอนสั้นๆของกลุ่มอาเบเลียน ตามนิยามแล้ว หมายความว่าf _nเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection ) g _nเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjection)และ Im f _n  = Ker g _nหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานที่สุดของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเลมมาซิกแซก (zig-zag lemma ) กล่าวว่า ในกรณีนี้ มีลำดับที่แน่นอนยาวในโฮโมโลยี

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

โดยที่กลุ่มโฮโมโลยีของL , MและNเรียงต่อกันเป็นวัฏจักร และδnคือโฮโมมอร์ฟิซึมบางอย่างที่กำหนดโดยfและgซึ่งเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมเชื่อมโยงการแสดงออกทางโทโพโลยีของทฤษฎีบทนี้รวมถึงลำดับ Mayer–Vietorisและลำดับที่แน่นอนยาวสำหรับ โฮโมโล _ยีเชิงสัมพัทธ์

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตเชิงโฮโมโลจี

• เรื่องไร้สาระเชิงนามธรรมซึ่งเป็นคำที่ใช้เรียกพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและทฤษฎีหมวดหมู่
• คณิตศาสตร์แบบย่อ
• อนุพันธ์
• พีชคณิตโฮโมโทปิก
• รายชื่อหัวข้อพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี