ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีหมวดหมู่ฟังก์ชันบางตัวสามารถอนุมานได้เพื่อให้ได้ฟังก์ชันอื่น ๆ ที่มีความสัมพันธ์ใกล้เคียงกับฟังก์ชันดั้งเดิม การดำเนินการนี้แม้จะค่อนข้างเป็นนามธรรม แต่ก็เป็นการรวมเอาโครงสร้างหลายอย่างเข้าไว้ด้วยกันในคณิตศาสตร์

เป็นที่สังเกตได้ในบริบทที่แตกต่างกันหลายแห่งว่าลำดับที่แน่นอนสั้นๆมักก่อให้เกิด "ลำดับที่แน่นอนยาวๆ" ฟังก์ชันอนุพันธ์ช่วยชี้แจงและสรุปข้อสังเกตเหล่านี้ให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

สมมติว่าเราได้รับ ฟังก์ชัน โคแวเรียนต์ซ้ายที่แม่นยำ ระหว่างสองหมวดหมู่อาเบเลียนและถ้า ${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

เป็นลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ในแล้วการใช้จะให้ลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$,

และอาจมีคนถามว่า จะต่อลำดับนี้ไปทางขวาอย่างไรเพื่อให้ได้ลำดับที่ยาวและแน่นอน

พูดอย่างเคร่งครัดแล้ว คำถามนี้ตั้งไม่ถูกต้อง เพราะมีวิธีมากมายหลายวิธีที่จะต่อลำดับที่แน่นอนที่กำหนดไปทางขวาเสมอ อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่าถ้า"ดีพอ" ก็จะมี วิธี มาตรฐาน วิธีหนึ่ง ในการทำเช่นนั้น ซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของสำหรับทุก ๆจะมีฟังก์ชันและลำดับข้างต้นจะดำเนินต่อไปดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle R^{i}F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to R^{2}F(B)\to \cdots }$

จากสิ่งนี้เราจะเห็นว่าเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำก็ต่อเมื่อ; ดังนั้นในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของการวัด "ระยะทาง" จึงไม่ใช่ฟังก์ชันที่แม่นยำ ${\displaystyle F}$${\displaystyle R^{1}F=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

ถ้าวัตถุในลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ข้างต้นเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ( injective ) ลำดับนั้นจะแยกออกการใช้ฟังก์ชันบวกใดๆ กับลำดับที่แยกออกจะทำให้เกิดลำดับที่แยกออกเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวา (สำหรับ) จะเป็นศูนย์บนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง: นี่คือแรงจูงใจสำหรับการสร้างที่กล่าวถึงด้านล่าง ${\displaystyle A}$${\displaystyle R^{1}F(A)=0}$${\displaystyle i>0}$

ข้อสมมติฐานที่สำคัญที่เราต้องมีเกี่ยวกับหมวดหมู่อาเบเลียนA ของเรา คือ มันมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเพียงพอซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกวัตถุAในAจะมีโมโนมอร์ฟิซึมA → Iโดยที่Iเป็น วัตถุ ที่ มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในA

จากนั้น ฟังก์ชันอนุพันธ์ขวาของฟังก์ชันสัมบูรณ์ซ้ายแบบโคแวเรียนต์F  : A → Bจะถูกกำหนดดังต่อไปนี้ เริ่มต้นด้วยวัตถุXของAเนื่องจากมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเพียงพอ เราจึงสามารถสร้างลำดับสัมบูรณ์ยาวในรูปแบบ

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

โดยที่I ⁱทั้งหมดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ซึ่งเรียกว่าการแก้ปัญหาแบบหนึ่งต่อหนึ่งของX ) เมื่อใช้ฟังก์ชันFกับลำดับนี้ และตัดพจน์แรกออก เราจะได้คอมเพล็กซ์โคเชน 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

หมายเหตุ: โดยทั่วไปแล้วลำดับนี้ไม่ใช่ลำดับที่แน่นอนอีกต่อไป แต่เราสามารถคำนวณโคฮอโมโลยี ของมัน ได้ที่ จุดที่ i (เคอร์เนลของแผนที่จากF ( I ⁱ ) มอดูลภาพของแผนที่ไปยังF ( I ⁱ )) เราเรียกผลลัพธ์นี้ว่าR ⁱ F ( X ) แน่นอนว่าต้องตรวจสอบหลายสิ่งหลายอย่าง: ผลลัพธ์ไม่ขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาแบบฉีดของX ที่กำหนด และมอร์ฟิซึมใดๆX → Yจะให้มอร์ฟิซึมR ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y ) โดยธรรมชาติ ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันจริง ๆ โปรดทราบว่าความแม่นยำทางซ้ายหมายความว่า 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) นั้นแม่นยำ ดังนั้นR ⁰ F ( X ) = F ( X ) ดังนั้นเราจึงได้สิ่งที่น่าสนใจเฉพาะเมื่อi > 0 เท่านั้น

(ในทางเทคนิคแล้ว เพื่อให้ได้อนุพันธ์ที่ชัดเจนของFเราจะต้องกำหนดการแก้ปัญหาแบบฉีดสำหรับทุกวัตถุของAการเลือกการแก้ปัญหาแบบฉีดนี้จะให้ฟังก์ชันR ⁱ Fการเลือกการแก้ปัญหาที่แตกต่างกันจะให้ ฟังก์ชัน ที่สมมาตรกันตามธรรมชาติดังนั้นในท้ายที่สุดแล้ว การเลือกจึงไม่สำคัญนัก)

คุณสมบัติที่กล่าวถึงข้างต้นเกี่ยวกับการเปลี่ยนลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ให้เป็นลำดับที่แน่นอนยาวๆ นั้นเป็นผลมาจากทฤษฎีบทงู (snake lemma ) ซึ่งบอกเราว่ากลุ่มของฟังก์ชันอนุพันธ์ (derived functors) นั้นเป็นฟังก์ชันเดลต้า (δ-functor )

ถ้าXเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เราสามารถเลือกการแก้ปัญหาแบบหนึ่งต่อหนึ่ง 0 → X → X → 0 ได้ และเราจะได้ว่าR ⁱ F ( X ) = 0 สำหรับทุกi ≥ 1 ในทางปฏิบัติ ข้อเท็จจริงนี้ ร่วมกับคุณสมบัติของลำดับที่แน่นอนยาว มักถูกใช้ในการคำนวณค่าของฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวา (right derived functors)

วิธีที่เทียบเท่ากันในการคำนวณR ⁱ F ( X ) คือ: ใช้การแก้ปัญหาแบบหนึ่งต่อหนึ่งของXดังข้างต้น และให้K ⁱเป็นภาพของแผนที่I ^{i -1} → I ⁱ (สำหรับi =0 ให้กำหนดI ^{i -1} =0) ซึ่งเหมือนกับเคอร์เนลของI ⁱ → I ^{i +1}ให้ φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱเป็นแผนที่แบบทั่วถึงที่สอดคล้องกัน จากนั้นR ⁱ F ( X ) คือโคเคอร์เนลของF (φ _i )

ถ้าเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันขวาที่แม่นยำแบบ โคแวเรียนต์ และหมวดหมู่Aมีโปรเจกทีฟเพียงพอ (กล่าวคือ สำหรับทุกวัตถุของAจะมีเอพิโมฟิซึมที่เป็นวัตถุโปรเจกทีฟ ) แล้วเราสามารถกำหนดฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายได้ในทำนองเดียวกันสำหรับวัตถุของAเราจะสร้างการแก้ปัญหาโปรเจกทีฟในรูปแบบก่อน ${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\rightarrow A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L_{i}G}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันเชิงโปรเจกทีฟ เรานำไปใช้กับลำดับนี้ ตัดพจน์สุดท้ายออก และคำนวณโฮโมโลยีเพื่อให้ได้เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L_{i}G(X)}$${\displaystyle L_{0}G(X)=G(X)}$

ในกรณีนี้ ลำดับที่แน่นอนยาวๆ จะเติบโต "ไปทางซ้าย" แทนที่จะเป็นทางขวา:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

ถูกเปลี่ยนเป็น

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

ฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านซ้ายมีค่าเป็นศูนย์บนวัตถุเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด

นอกจากนี้ยังสามารถเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันเชิงสัมบูรณ์ซ้ายแบบคอนทราแวเรียนต์ได้ ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ขวาที่ได้ก็จะเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์เช่นกัน ลำดับเชิงสัมบูรณ์แบบสั้น ${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

ถูกแปลงเป็นลำดับที่ยาวและแม่นยำ

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

ฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาเหล่านี้มีค่าเป็นศูนย์บนโปรเจคทีฟ ดังนั้นจึงคำนวณผ่านการแก้ปัญหาโปรเจคทีฟ

• ถ้าเป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียน หมวดหมู่ของมอร์ฟิซึมของมันก็จะเป็นแบบอาเบเลียนเช่นกัน ฟังก์ชันที่แมปมอร์ฟิซึมแต่ละตัวไปยังเคอร์เนลของมันเป็นฟังก์ชันแม่นยำทางซ้าย ฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของมันคือ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเชิงสัมบูรณ์ทางขวา และฟังก์ชันอนุพันธ์ทางซ้ายของมันคือ ${\displaystyle \operatorname {coker} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

นี่คือการแสดงออกของ เล มมางู

ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี แล้ว หมวดหมู่ ของ ชีฟทั้งหมดของกลุ่มอาเบเลียนบนจะเป็นหมวดหมู่อาเบเลียนที่มีตัวฉีดเพียงพอ ฟังก์ชัน ที่กำหนด กลุ่ม ของส่วนตัดทั่วโลก ให้กับแต่ละชีฟดังกล่าวเป็นฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้าย และฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาเป็น ฟังก์ชัน โคฮอโมโลยีของชีฟซึ่งมักเขียนเป็น โดยทั่วไปมากขึ้นเล็กน้อย: ถ้าเป็นปริภูมิวงแหวนแล้ว หมวดหมู่ของชีฟทั้งหมดของโมดูล - จะเป็นหมวดหมู่อาเบเลียนที่มีตัวฉีดเพียงพอ และเราสามารถสร้างโคฮอโมโลยีของชีฟได้อีกครั้งในฐานะฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของฟังก์ชันส่วนตัดทั่วโลก ${\displaystyle X}$${\displaystyle Sh(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

มีแนวคิดเรื่องโคฮอโมโลยีหลายอย่างที่เป็นกรณีพิเศษของสิ่งนี้:

• โคฮอโมโลยีเดอแรมคือ โคฮอโมโลยีชีฟของชีฟของฟังก์ชันที่มีค่าคงที่เฉพาะที่ บน แมนิโฟลด์คอมเพล็กซ์เดอแรม คือ การแก้ชีฟนี้ ไม่ใช่โดยชีฟแบบฉีด แต่โดยชีฟละเอียด${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Étale cohomologyเป็นทฤษฎีโคฮอโมโลยีอีกทฤษฎีหนึ่งสำหรับชีฟบนสกีม มันคือฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านขวาของส่วนตัดทั่วโลกของชีฟอาเบเลียนบนไซต์ étale

ถ้าเป็นริงแล้วหมวดหมู่ของโมดูล ซ้ายทั้งหมด จะเป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียนที่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเพียงพอ ถ้าเป็นโมดูลซ้ายที่กำหนดไว้แล้ว ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันแม่นยำซ้าย และฟังก์ชันอนุพันธ์ขวาของมันคือฟังก์ชัน Extหรืออีกทางหนึ่งก็สามารถหาได้จากฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายของฟังก์ชันแม่นยำขวาเช่นกัน ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

แนวคิดต่างๆ ของโคฮอโมโลยีเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชัน Ext และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ด้วยเช่นกัน

• กลุ่มโคฮอโมโลยีคือฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านขวาของฟังก์ชันอินวาเรียนต์ซึ่งเหมือนกับ(โดยที่คือโมดูลที่ไม่สำคัญ) และดังนั้น${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$
• โคฮอโมโลยีของพีชคณิตลี เหนือวงแหวนสลับที่บางวงคือฟังก์ชันอนุพันธ์ขวาของฟังก์ชันตัวแปรคงที่ ซึ่งเหมือนกับ(โดยที่คือโมดูลที่ไม่สำคัญ และคือพีชคณิตห่อหุ้มสากลของ)ดังนั้น${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$
• โคฮอคชิลด์โคฮอโมโลยีของพีชคณิต บางตัว คือฟังก์ชันอนุพันธ์ขวาของอินวาที่แมปไบโมดูลไปยังศูนย์กลาง ของมัน หรือเรียกอีกอย่างว่าเซตของอินวาเรียนต์ซึ่งเหมือนกับ(โดยที่คือพีชคณิตห่อหุ้มของและถือว่าเป็นไบโมดูลผ่านการคูณซ้ายและขวาตามปกติ) ดังนั้น:${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,A)}$${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

หมวดหมู่ของโมดูลซ้ายก็มีโปรเจคทีฟเพียงพอเช่นกัน ถ้า เป็น โมดูลขวาที่กำหนดไว้ผลคูณเทนเซอร์กับจะให้ฟังก์ชันโคแวเรียนต์ที่แม่นยำทางขวาหมวดหมู่ของโมดูลมีโปรเจคทีฟเพียงพอเพื่อให้มีฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายอยู่เสมอ ฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายของฟังก์ชันเทนเซอร์คือฟังก์ชันทอร์ หรือสามารถนิยาม ได้อย่างสมมาตรว่าเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายของในความเป็นจริง เราสามารถรวมนิยามทั้งสองเข้าด้วยกันและกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ซ้ายของได้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$${\displaystyle -\otimes B}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

ซึ่งรวมถึงแนวคิดเรื่องโฮโมโลจีในฐานะกรณีพิเศษหลายประการ สถานการณ์นี้มักคล้ายคลึงกับสถานการณ์ของฟังก์ชัน Ext และโคโฮโมโลจี

• โฮโมโลจีของกลุ่มคือฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านซ้ายของการหาค่าคงที่ร่วมซึ่งเหมือนกับ${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$
• โฮโมโลยีของพีชคณิตลีคือฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านซ้ายของการหาค่าคงที่ร่วมซึ่งเหมือนกับ${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$
• Hochschild homologyคือฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านซ้ายของการหาค่าคงที่ร่วมซึ่งเหมือนกับ${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

แทนที่จะใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ซ้ายแต่ละตัว เรายังสามารถใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันเทนเซอร์ได้อีกด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผล คูณเท น เซอร์อนุพันธ์ โดยที่คือหมวดหมู่อนุพันธ์${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$${\displaystyle D}$

ฟังก์ชันอนุพันธ์และลำดับที่แน่นอนยาวๆ นั้น "เป็นธรรมชาติ" ในแง่มุมทางเทคนิคหลายประการ

ขั้นแรก กำหนดให้แผนภาพการสลับที่ในรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(ในกรณีที่แถวเป็นจำนวนที่แน่นอน) ลำดับที่แน่นอนยาวสองลำดับที่ได้นั้นมีความสัมพันธ์กันโดยกำลังสองที่สลับกันได้:

ประการที่สอง สมมติว่า η : F → Gเป็นการแปลงธรรมชาติจากฟังก์ชันเชิงสัมบูรณ์ซ้ายFไปยังฟังก์ชันเชิงสัมบูรณ์ซ้ายGแล้วการแปลงธรรมชาติR ⁱ η : R ⁱ F → R ⁱ Gจะเกิดขึ้น และR ⁱจะกลายเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ฟังก์ชันของฟังก์ชันเชิงสัมบูรณ์ซ้ายทั้งหมดจากAไปBไปยังหมวดหมู่ฟังก์ชันเต็มของฟังก์ชันทั้งหมดจากAไปBยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันนี้เข้ากันได้กับลำดับเชิงสัมบูรณ์ยาวในความหมายต่อไปนี้: ถ้า

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

เป็นลำดับที่แน่นอนสั้นๆ จากนั้นเป็นแผนภาพการสลับที่

ถูกเหนี่ยวนำ

ความเป็นธรรมชาติทั้งสองประการนี้เป็นผลมาจากความเป็นธรรมชาติของลำดับที่กำหนดโดย เล ม มางู

ในทางกลับกัน ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันอนุพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริง: กำหนดให้ตระกูลของฟังก์ชันR ⁱ : A → Bที่สอดคล้องกับข้างต้น กล่าวคือ แมปซีเควนซ์ที่แน่นอนสั้น ๆ ไปยังซีเควนซ์ที่แน่นอนยาว ๆ โดยที่สำหรับทุกออบเจกต์แบบหนึ่งต่อหนึ่งI ของ A , R i ⁽ I ) =0 สำหรับทุกi ที่เป็นบวก แล้วฟังก์ชันเหล่านี้คือฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของR ⁰

แนวทางที่ทันสมัยกว่า (และทั่วไปกว่า) ในการใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ นั้น ใช้ภาษาของหมวดหมู่อนุพันธ์

ในปี 1968 ควิลเลนได้พัฒนาทฤษฎี หมวดหมู่แบบจำลอง ( model categories ) ซึ่งให้ระบบทฤษฎีหมวดหมู่เชิงนามธรรมของไฟเบรชัน โคไฟเบรชัน และความสมมูลแบบอ่อน โดยทั่วไปแล้ว เราสนใจหมวดหมู่โฮโมโทปี พื้นฐาน ที่ได้จากการหาตำแหน่งเฉพาะที่เทียบกับความสมมูลแบบอ่อน การเชื่อมโยงแบบควิลเลน (Quillen adjunction)คือการเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่แบบจำลองที่ลดทอนลงเป็นการเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่โฮโมโทปี ตัวอย่างเช่น หมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและหมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลต่างก็ยอมรับโครงสร้างแบบจำลองของควิลเลน ซึ่ง การเชื่อมโยงของ เส้นประสาทและการทำให้เป็นจริงจะให้การเชื่อมโยงแบบควิลเลนที่แท้จริงแล้วคือความสมมูลของหมวดหมู่โฮโมโทปี วัตถุเฉพาะในโครงสร้างแบบจำลองมี “คุณสมบัติที่ดี” (เกี่ยวกับการมีอยู่ของการยกขึ้นเทียบกับมอร์ฟิซึมเฉพาะ) วัตถุ “ไฟแบรนต์” และ “โคไฟแบรนต์” และวัตถุทุกชิ้นมีความสมมูลแบบอ่อนกับ “การแก้ปัญหา” แบบไฟแบรนต์-โคไฟแบรนต์

แม้ว่าโครงสร้างแบบจำลองของ Quillen จะถูกพัฒนาขึ้นมาเพื่อจัดการกับหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นหลัก แต่ก็ปรากฏให้เห็นในหลายที่ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่จากหมวดหมู่ Abelian ใดๆ (โมดูล ชีฟของโมดูลบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีหรือสกีมฯลฯ) ยอมรับโครงสร้างแบบจำลองที่มีความสมมูลแบบอ่อนเป็นมอร์ฟิซึมระหว่างคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่รักษาโฮโมโลยีไว้ บ่อยครั้งที่เรามีฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่แบบจำลองสองหมวดหมู่ดังกล่าว (เช่น ฟังก์ชันส่วนตัดทั่วโลกที่ส่งคอมเพล็กซ์ของชีฟ Abelian ไปยังคอมเพล็กซ์ที่ชัดเจนของกลุ่ม Abelian) ที่รักษาความสมมูลแบบอ่อนไว้ภายในหมวดหมู่ย่อยของวัตถุ "ที่ดี" (fibrant หรือ cofibrant)โดยการหาความละเอียดแบบ fibrant หรือ cofibrant ของวัตถุก่อน แล้วจึงใช้ฟังก์ชันนั้น เราได้ขยายมันไปยังหมวดหมู่ทั้งหมดได้สำเร็จในลักษณะที่ความสมมูลแบบอ่อนจะถูกรักษาไว้เสมอ (และด้วยเหตุนี้จึงลดระดับลงมาเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่โฮโมโทปี) นี่คือ "ฟังก์ชันที่ได้มา" ตัวอย่างเช่น “ฟังก์ชันอนุพันธ์” ของโคฮอโมโลยีชีฟ คือ โฮโมโลยีของผลลัพธ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์นี้ การนำฟังก์ชันเหล่านี้ไปใช้กับชีฟของกลุ่มอาเบเลียนที่ตีความในลักษณะที่ชัดเจนว่าเป็นคอมเพล็กซ์ที่รวมศูนย์อยู่ในโฮโมโลยี จะช่วยวัดความล้มเหลวของฟังก์ชันส่วนตัดทั่วโลกในการรักษาสมดุลแบบอ่อนของสิ่งดังกล่าว ความล้มเหลวของ “ความแม่นยำ” ทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างแบบจำลองแสดงให้เห็นถึงความเป็นเอกลักษณ์ของการสร้างนี้ (ว่ามันไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกการแก้ปัญหาแบบไฟแบรนต์หรือโคไฟแบรนต์ เป็นต้น)