ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันExtคือฟังก์ชันอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Homเช่นเดียวกับฟังก์ชัน Tor Ext เป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีซึ่งใช้ แนวคิดจาก โทโพโลยีเชิงพีชคณิต เพื่อกำหนดตัวแปรคงที่ของโครงสร้างเชิงพีชคณิต โค โฮโมโลยีของกลุ่มพีชคณิตลีและพีชคณิตแบบเชื่อมโยงสามารถนิยามได้ทั้งหมดโดยใช้ Ext ชื่อนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่ม Ext แรก Ext ¹จัดประเภทส่วนขยายของโมดูล หนึ่ง โดยโมดูลอื่น

ในกรณีพิเศษของกลุ่มอาเบเลียน Ext ได้รับการแนะนำโดยReinhold Baerในปี 1934 ^{[ 1 ]}ได้รับการตั้งชื่อโดยSamuel EilenbergและSaunders MacLaneในปี 1942 ^{[ 2 ]}และนำไปใช้กับโทโพโลยี (ทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากลสำหรับโคฮอโมโลยี ) สำหรับโมดูลเหนือวงแหวน ใดๆ Ext ได้รับการกำหนดโดยHenri Cartanและ Eilenberg ในปี 1956 ^{[ 3 ]}

ให้เป็นริง และให้เป็นหมวดหมู่ของโมดูลเหนือ(เราอาจตีความได้ว่าหมายถึงโมดูลซ้าย หรือโมดูลขวา) สำหรับโมดูล ที่กำหนด ไว้ ให้สำหรับใน(ในที่นี้คือกลุ่มอาเบเลียนของแผนที่เชิงเส้น จากไปยัง; นี่คือโมดูล ถ้าเป็นแบบสลับที่ได้ ) นี่คือฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้ายจากไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนดังนั้นจึงมีฟังก์ชันอนุพันธ์ ทางขวา กลุ่ม Ext คือกลุ่มอาเบเลียนที่กำหนดโดย ${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(B)={\text{Hom}}_{R}(A,B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$${\displaystyle R^{i}T}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

สำหรับจำนวนเต็มiตามนิยามแล้ว หมายความว่า: พิจารณาการแก้ปัญหาแบบหนึ่งต่อ หนึ่งใดๆ ก็ได้

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

ลบคำว่าB ออก แล้วสร้างคอมเพล็กซ์โคเชน :

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

สำหรับจำนวนเต็มแต่ละจำนวนคือโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้ที่ตำแหน่ง โดยจะมี ค่าเป็นศูนย์สำหรับจำนวนลบ ตัวอย่างเช่นคือเคอร์เนลของแผนที่ซึ่งสมisomorphicกับ${\displaystyle i}$${\displaystyle {\text{Ext}}_{R}^{i}(A,B)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\text{Ext}}_{R}^{0}(A,B)}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,I^{0})\rightarrow {\text{Hom}}_{R}(A,I^{1})}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$

นิยามทางเลือกใช้ฟังก์ชันสำหรับโมดูล คง ที่ นี่คือ ฟังก์ชัน แบบคอนทราแวเรียนต์ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันแบบซ้ายที่แม่นยำจากหมวดหมู่ตรงข้ามกับกลุ่ม Ext ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวา: ${\displaystyle G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (R{\text{-Mod}})^{\text{op}}}$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$${\displaystyle R^{i}G}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

นั่นคือ เลือกความละเอียดเชิงฉายภาพ ใดๆ ก็ได้

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

ลบคำว่า, และสร้างคอมเพล็กซ์โคเชน: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

จากนั้นจะเป็นโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้ที่ตำแหน่ง. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$${\displaystyle i}$

อาจมีคนสงสัยว่าเหตุใดการเลือกการแก้ปัญหาจึงยังคงคลุมเครืออยู่จนถึงตอนนี้ ในความเป็นจริง Cartan และ Eilenberg ได้แสดงให้เห็นว่าโครงสร้างเหล่านี้เป็นอิสระจากการเลือกการแก้ปัญหาแบบโปรเจคทีฟหรือแบบอินเจกทีฟ และโครงสร้างทั้งสองแบบให้กลุ่ม Ext เดียวกัน^{[ 4 ]}ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับวงแหวนR ที่กำหนดไว้ Ext เป็นฟังก์ชันในแต่ละตัวแปร (คอนทราแวเรียนต์ในAโคแวเรียนต์ในB )

สำหรับวงแหวนสลับที่RและโมดูลR AและB , Ext^ไอ_อาร์( A , B ) เป็นR-โมดูล (โดยใช้ว่า Hom _R ( A , B ) เป็นR-โมดูลในกรณีนี้) สำหรับริงR ที่ไม่สลับที่กัน Ext^ไอ_อาร์( A , B ) เป็นเพียงกลุ่มอาเบเลียนโดยทั่วไปเท่านั้น ถ้าRเป็นพีชคณิตเหนือริงS (ซึ่งหมายความว่า S เป็นริงสลับที่ โดยเฉพาะ) แล้ว Ext^ไอ_อาร์( A , B ) อย่างน้อยก็เป็นS-โมดูล

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติพื้นฐานและการคำนวณของกลุ่ม บางส่วน ^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {Ext} }$

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{0}(A,B)\cong \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$สำหรับโมดูลและ. ใดๆ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$สำหรับโมดูลทั้งหมดหากโมดูล นั้น เป็นแบบโปรเจคทีฟ (เช่นอิสระ ) หรือหาก โมดูล นั้นเป็นแบบอินเจกทีฟ${\displaystyle i>0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ในทางกลับกัน ข้อความข้างต้นก็เป็นจริงเช่นกัน:
  • ถ้าภายนอก¹ _อาร์ถ้า ( A , B ) = 0 สำหรับทุกBแล้วAเป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ (และด้วยเหตุนี้ Ext)^ไอ_อาร์( A , B ) = 0 สำหรับทุกi > 0)
  • ถ้าภายนอก¹ _อาร์ถ้า ( A , B ) = 0 สำหรับทุกAแล้วBเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (และด้วยเหตุนี้ Ext)^ไอ_อาร์( A , B ) = 0 สำหรับทุกi > 0)
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$สำหรับกลุ่มอาเบเลียน^{ทั้งหมด}และ^{[ 6} ]${\displaystyle i\geq 2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• โดยสรุปจากตัวอย่างก่อนหน้านี้สำหรับทุก ๆกรณีที่ เป็นโดเมนอุดมคติหลัก${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$${\displaystyle i\geq 2}$${\displaystyle R}$
• ถ้าเป็นวงแหวนสลับที่ และในไม่ใช่ตัวหารศูนย์แล้ว${\displaystyle R}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

สำหรับโมดูล ใดๆ โดยที่หมายถึงกลุ่มย่อยทอร์ชั่นของเมื่อกำหนดให้เป็นวงแหวนของจำนวนเต็ม การคำนวณนี้สามารถใช้ในการคำนวณสำหรับกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดใด ๆ ได้${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B[u]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \{x\in B:ux=0\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$${\displaystyle A}$

• เมื่อขยายตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสามารถคำนวณกลุ่มได้เมื่อโมดูลแรกเป็นผลหารของวงแหวนสลับที่โดยลำดับปกติ ใดๆ โดยใช้คอมเพล็กซ์Koszul ^{[ 7 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์แล้วเป็นพีชคณิตภายนอกเหนือบนตัวสร้างในยิ่งไปกว่านั้นเป็นวงแหวนพหุนามนี่เป็นตัวอย่างของ ความเป็นคู่ ของKoszul${\displaystyle \operatorname {Ext} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{S}^{*}(k,k)}$${\displaystyle R}$
• จากคุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชันอนุพันธ์ มีลำดับที่แน่นอน พื้นฐานสองลำดับ สำหรับ^{[ 8 ]}ประการแรกลำดับที่แน่นอนสั้น ๆของ โมดูล เหนี่ยวนำให้เกิดลำดับที่แน่นอนยาวในรูปแบบ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

สำหรับโมดูล ใดๆ นอกจากนี้ ลำดับที่แน่นอนสั้นๆยังเหนี่ยวนำให้เกิดลำดับที่แน่นอนยาวๆ ในรูปแบบ ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

สำหรับโมดูล ใด ๆ${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$

• Ext ใช้ผลรวมโดยตรง (อาจเป็นอนันต์) ในตัวแปรแรกและผลคูณในตัวแปรที่สองเพื่อนำไปคูณ^{[ 9 ]}นั่นคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• ให้Aเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียน^สลับ ที่ Rแล้ว Ext สลับที่กับโลคัลไลเซชันในแง่ที่ว่าสำหรับทุกเซตปิดแบบทวีคูณSในRทุกโมดูลR Bและทุกจำนวนเต็มi [ ^{10 ]}

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

กลุ่ม เหล่านี้ได้ชื่อมาจากความสัมพันธ์กับส่วนขยายของโมดูล เมื่อกำหนดโมดูล A และ B แล้ว ส่วนขยายของAโดยBคือลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ของโมดูล A และ B ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

ส่วนขยายสองส่วน

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

กล่าวกันว่ามีความสมมูลกัน (ในฐานะส่วนขยายของโดย) หากมีแผนภาพการสลับที่ : ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทห้าประการบ่งชี้ว่าลูกศรตรงกลางเป็นไอโซมอร์ฟิซึม การขยายของโดยเรียกว่าแยกส่วนหากเทียบเท่ากับการขยายที่ไม่สำคัญ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างคลาสสมมูลของส่วนขยายของโดยและองค์ประกอบของ[ ^{11 ] สามารถ}ทำให้แม่นยำได้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)}$

ส่วนขยายที่ไม่สำคัญนั้นสอดคล้องกับองค์ประกอบศูนย์ของ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)}$

ผลรวมของแบร์เป็นการอธิบายโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียนบนอย่างชัดเจนโดยมองว่าเป็นเซตของชั้นสมมูลของการขยายของโดย[ ^{12 ] กล่าว}คือ เมื่อกำหนดการขยายสองแบบ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle 0\to B\xrightarrow {f} E\xrightarrow {g} A\to 0}$$

และ

$${\displaystyle 0\to B\xrightarrow {f'} E'\xrightarrow {g'} A\to 0,}$$

เริ่มจากการดึงกลับครั้งแรก ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$$

จากนั้นสร้างโมดูลผลหาร

$${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$$

ผลรวมแบร์ของและคือส่วนขยาย ${\displaystyle E}$${\displaystyle E'}$

$${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$$

โดยที่แผนที่แรกคือและแผนที่ที่สองคือ ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

เมื่อพิจารณาถึงความเท่าเทียมกันของส่วนขยาย ผลรวมของแบร์จะเป็นแบบสลับที่ได้ และมีส่วนขยายที่ไม่สำคัญเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ ส่วนลบของส่วนขยายคือส่วนขยายที่เกี่ยวข้องกับโมดูลเดียวกันแต่มีการแทนที่โฮโมมอร์ฟิซึมด้วยค่าลบของมัน ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B\rightarrow E}$

โนบุโอ โยเนดะได้นิยามกลุ่มอาเบเลียนไว้ดังนี้^เอ็น_ซี( A , B ) สำหรับวัตถุAและBในหมวดหมู่อาเบเลียนC ใดๆ ; สิ่งนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความในแง่ของการแก้ปัญหาหากCมีโปรเจคทีฟเพียงพอหรือมีอินเจกทีฟเพียงพอก่อนอื่น Ext⁰ _{องศาเซลเซียส}( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Next, Ext¹ _ซี( A , B ) คือเซตของชั้นสมมูลของส่วนขยายของAโดยBซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้ผลรวมของแบร์ ​​สุดท้าย กลุ่ม Ext ที่สูงกว่า Ext^เอ็น_ซี( A , B ) ถูกกำหนดให้เป็นชั้นสมมูลของส่วนขยาย nซึ่งเป็นลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลที่สร้างขึ้นโดยความสัมพันธ์ที่ระบุส่วนขยายสองส่วน

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

ถ้ามีแผนที่สำหรับทุกmใน {1, 2, ..., n } ที่ทำให้ทุกกำลังสองที่ได้สลับกันได้นั่น คือ ถ้ามีแผนที่ลูกโซ่ซึ่งเป็นเอกลักษณ์บนAและB${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$$${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$

ผลรวมแบร์ของ ส่วนขยาย n สองส่วน ดังข้างต้นเกิดขึ้นจากการให้เป็นการดึงกลับของและเหนือAและเป็นการผลักออกของและใต้B ^{[ 13} ] จาก ^นั้นผลรวมแบร์ของส่วนขยายคือ ${\displaystyle X''_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X'_{1}}$${\displaystyle X''_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

ประเด็นสำคัญคือกลุ่ม Ext ในหมวดหมู่อาเบเลียนCสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องกับCซึ่งก็คือหมวดหมู่ที่ได้มาD ( C ) ^{[ 14 ]}วัตถุของหมวดหมู่ที่ได้มาคือคอมเพล็กซ์ของวัตถุในCโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มี

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

โดยที่วัตถุของCถูกมองว่าเป็นคอมเพล็กซ์ที่มีความเข้มข้นในระดับศูนย์ และ [ i ] หมายถึงการเลื่อนคอมเพล็กซ์ ไปทางซ้าย iขั้น จากการตีความนี้ มีแผนที่เชิงเส้นคู่ซึ่งบางครั้งเรียกว่าผลคูณโยเนดะ :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

ซึ่งก็คือการประกอบกันของมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ที่ได้มานั่นเอง

ผลิตภัณฑ์โยเนดะสามารถอธิบายได้ในแง่พื้นฐานยิ่งกว่านั้น สำหรับi = j = 0 ผลิตภัณฑ์นี้คือการประกอบกันของแผนที่ในหมวดหมู่Cโดยทั่วไป ผลิตภัณฑ์นี้สามารถกำหนดได้โดยการเชื่อมต่อส่วนขยายโยเนดะสองส่วนขยายเข้าด้วยกัน

อีกทางเลือกหนึ่ง ผลิตภัณฑ์โยเนดะสามารถนิยามได้ในแง่ของการแก้ปัญหา (ซึ่งใกล้เคียงกับนิยามของหมวดหมู่ที่ได้มา) ตัวอย่างเช่น ให้Rเป็นริงที่มีโมดูลR คือ A , B , Cและให้P , QและTเป็นการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟของA , B , Cจากนั้น Ext^ไอ_อาร์( A , B ) สามารถระบุได้กับกลุ่มของ คลาส โฮโมโทปีของโซ่ของแผนที่โซ่P → Q [ i ] ผลคูณโยเนดะกำหนดโดยการประกอบแผนที่โซ่:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

ไม่ว่าจะตีความอย่างไรก็ตาม ผลคูณโยเนดะก็มีคุณสมบัติการสลับที่ได้ ดังนั้น จึงเป็นวงแหวนแบบมีระดับสำหรับโมดูลR ใดๆ Aตัวอย่างเช่น สิ่งนี้ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวนบนโคฮอโมโลยีของกลุ่มเนื่องจากสามารถมองได้ว่าเป็นนอกจากนี้ ด้วยคุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณโยเนดะ: สำหรับโมดูลR ใดๆ AและBจึงเป็นโมดูลเหนือ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

• โคฮอโมโลยีของกลุ่มถูกกำหนดโดย

  ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$,

โดยที่เป็นกลุ่มเป็นการแทนของบนจำนวนเต็ม และเป็นวงแหวนกลุ่มของ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle G}$

• สำหรับพีชคณิต เหนือฟิลด์และไบโมดูล โคฮอโมโล ยีของฮอคชิลด์ถูกนิยามโดย ${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

  ${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• โคฮอโมโลยีของพีชคณิตลีถูกกำหนดโดย โดยที่เป็นพีชคณิตลีเหนือวงแหวนสลับที่เป็นโมดูล และเป็นพีชคณิตห่อหุ้มสากล${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• สำหรับปริภูมิเชิงทอ พอโล ยีโคฮอโมโลยีของชีฟสามารถนิยามได้ดังนี้ โดยที่ Ext อยู่ในหมวดหมู่อาเบเลียนของชีฟของกลุ่มอาเบเลียนบนและคือชีฟของฟังก์ชันค่าคงที่เฉพาะที่ แทนที่จะ ใช้ เราอาจพิจารณาชีฟของวงแหวน ใด ๆบนและใช้ Ext ในหมวดหมู่ของชีฟของโมดูล${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• สำหรับชีฟของโมดูลบนปริภูมิวงแหวนการใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านขวาของชีฟ Homซึ่งเป็นHom ภายในในหมวดหมู่ของโมดูล จะให้ชีฟ Ext [ ^{15 ] ชีฟ}เหล่านี้เกี่ยวข้องกับกลุ่ม Ext ทั่วโลกผ่าน ลำดับสเปกตรัม Ext จากท้องถิ่นสู่ทั่วโลก${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{X}({\mathcal {F}},-)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{X}^{*}({\mathcal {F}},-)}$

• สำหรับ วงแหวนเฉพาะที่ แบบ Noetherian ที่สลับ ตำแหน่งได้ซึ่งมีฟิลด์ตกค้างคือพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิต Lie แบบแบ่งระดับเหนือซึ่งเรียกว่าพีชคณิต Lie แบบโฮโมโทปีของ(เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อมีลักษณะเฉพาะ 2 จะต้องถูกมองว่าเป็น "พีชคณิต Lie ที่ปรับแล้ว" ^{[ 16 ]} ) มีโฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติของพีชคณิต Lie แบบแบ่งระดับจากโคโฮโมโลยี André–Quillenไปยังซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมถ้ามีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์^{[ 17 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$${\displaystyle D^{*}(k/R,k)}$${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$${\displaystyle k}$

• มิติระดับโลก
• ความละเอียดของแท่ง
• กลุ่มโกรเทนดีค
• ความเป็นคู่เฉพาะที่ของโกรเทนดิค