ในทฤษฎีวงแหวนและพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี มิติโดยรวม (หรือมิติเชิงโฮโมโลยีโดยรวม บางครั้งเรียกว่ามิติเชิงโฮโมโลยี เฉยๆ ) ของวงแหวนAซึ่งเขียนแทนด้วย gl dim A คือ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ หรืออนันต์ ซึ่งเป็นค่าคงที่เชิง โฮโมโลยีของวงแหวน มันถูกนิยามให้เป็นค่าสูงสุดของเซตของมิติเชิงโปร เจกทีฟของ โมดูลAทั้งหมด มิติ โดยรวมเป็นแนวคิดทางเทคนิคที่สำคัญในทฤษฎีมิติของวงแหวนโนเธอร์เรียนตามทฤษฎีบทของฌอง-ปิแอร์ แซร์มิติโดยรวมสามารถใช้เพื่อจำแนกวงแหวนปกติภายในกลุ่มของวงแหวนโนเธอร์ เรียนเฉพาะที่แบบ สลับที่ได้ มิติ โดยรวมของ วงแหวนเหล่านี้ตรงกับมิติครูล ซึ่งนิยามของมันเป็น ไปตามทฤษฎีโมดูล

เมื่อวงแหวนAเป็น วงแหวน ไม่สลับที่กันในขั้นต้นจะต้องพิจารณาสองเวอร์ชันของแนวคิดนี้ มิติโลกทางขวาที่เกิดขึ้นจากการพิจารณาโมดูลA ทางขวา และมิติโลกทางซ้ายที่เกิดขึ้นจากการพิจารณาโมดูลAทางซ้าย สำหรับวงแหวนA ใดๆ มิติโลกทางขวาและทางซ้ายอาจแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม หากAเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน มิติทั้งสองนี้จะเท่ากับมิติโลกแบบอ่อนซึ่งนิยามมีความสมมาตรซ้าย-ขวา ดังนั้น สำหรับวงแหวนโนเธอร์เรียนที่ไม่สลับที่กัน เวอร์ชันทั้งสองนี้จะตรงกัน และเราสามารถพูดถึงมิติโลกได้อย่างถูกต้อง^{[ 1 ]}

• ให้A  =  K [ x ₁ ,..., x _n ] เป็นวงแหวนของพหุนามใน ตัวแปร nตัวเหนือฟิลด์Kแล้วมิติโดยรวมของAจะเท่ากับnข้อความนี้ย้อนกลับไปถึงงานพื้นฐานของเดวิด ฮิลเบิร์ต เกี่ยวกับคุณสมบัติเชิงโฮโมโลยีของวงแหวนพหุนาม ดู ทฤษฎีบทซิซีจีของฮิลเบิร์ตโดยทั่วไปแล้ว ถ้าRเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนที่มีมิติโดยรวมจำกัดkและA  =  R [x] เป็นวงแหวนของพหุนามในตัวแปรเดียวเหนือRแล้วมิติโดยรวมของAจะเท่ากับk  + 1

• วงแหวนจะมีมิติโดยรวมเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมันเป็นวงแหวนกึ่งเรียบง่ายเท่านั้น

• มิติโดยรวมของริงAจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่งก็ต่อเมื่อAเป็นริงสืบทอด เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดเมนไอเดียลหลักแบบ สลับที่ได้ ซึ่งไม่ใช่ฟิลด์จะมีมิติโดยรวมเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น มีมิติโดยรวมเท่ากับหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• พีชคณิตเวล์ แรกA ₁เป็นโดเมน โนเธอร์เรียนแบบไม่สลับที่ ซึ่งมีมิติทั่วโลกเท่ากับหนึ่ง

• ถ้าวงแหวนเป็นโนเธอร์เรียนขวา มิติโลกด้านขวาจะเหมือนกับมิติโลกแบบอ่อน และอย่างมากที่สุดก็คือมิติโลกด้านซ้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าวงแหวนเป็นโนเธอร์เรียนขวาและซ้าย มิติโลกด้านซ้าย ด้านขวา และมิติโลกแบบอ่อน จะเหมือนกันทั้งหมด
• วงแหวนเมทริกซ์สามเหลี่ยม มีมิติสากลด้านขวาเท่ากับ 1 มิติสากลแบบอ่อนเท่ากับ 1 แต่มีมิติสากลด้านซ้ายเท่ากับ 2 มันเป็นโนเธอร์เรียนด้านขวา แต่ไม่ใช่โนเธอร์เรียนด้านซ้าย${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$

มิติโดยรวมด้านขวาของวงแหวนAสามารถกำหนดได้อีกแบบหนึ่งดังนี้:

• ค่าสูงสุดของเซตของมิติเชิงโปรเจกทีฟของโมดูลAขวาแบบวัฏจักร ทั้งหมด
• ค่าสูงสุดของเซตของมิติเชิงโปรเจกทีฟของโมดูลAขวาจำกัด ทั้งหมด
• ค่าสูงสุดของมิติเชิงฉีด ของ โมดูลAขวาทั้งหมด
• เมื่อAเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบ Noetherian ที่สลับที่ได้ ซึ่งมีอุดมคติสูงสุดmมิติเชิงโปรเจกทีฟของฟิลด์ตกค้างA / m

มิติโดยรวมด้านซ้ายของAมีลักษณะที่คล้ายคลึงกันซึ่งได้มาจากการแทนที่คำว่า "ขวา" ด้วย "ซ้าย" ในรายการข้างต้น

Serre พิสูจน์ว่าวงแหวนเฉพาะที่แบบสลับที่ได้ของ Noetherian A นั้นเป็นวงแหวนปกติก็ต่อเมื่อมีมิติโดยรวมจำกัด ซึ่งในกรณีนี้มิติโดยรวมจะตรงกับมิติ KrullของAทฤษฎีบทนี้เปิดประตูสู่การประยุกต์ใช้วิธีการทางโฮโมโลยีกับพีชคณิตแบบสลับที่ได้