ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีวงแหวน วงแหวน เฉพาะที่ ( local rings)คือวงแหวน บางประเภท ที่มีความเรียบง่ายกว่าวงแหวนอื่นๆ และใช้เพื่ออธิบายสิ่งที่เรียกว่า "พฤติกรรมเฉพาะที่" (local behaviour) ในแง่ของฟังก์ชันที่กำหนดบนวาไรตี้เชิงพีชคณิตหรือแมนิโฟลด์หรือฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตที่ตรวจสอบ ณตำแหน่งหรือจำนวนเฉพาะ ใดเฉพาะหนึ่ง พีชคณิตเฉพาะที่ (local algebra)คือสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงสลับที่ศึกษาเกี่ยวกับ วงแหวนเฉพาะที่ เชิงสลับที่และโมดูลของ วงแหวนเหล่านั้น

ในทางปฏิบัติ วงแหวนเฉพาะที่แบบสลับที่ได้มักเกิดขึ้นจากการกำหนดตำแหน่งของวงแหวนที่อุดมคติเฉพาะที่

แนวคิดเรื่องวงแหวนท้องถิ่นได้รับการแนะนำโดยWolfgang Krull ในปี 1938 ภาย ใต้ชื่อStellenringe ^{[ 1 ]} คำ ว่าวงแหวนท้องถิ่น ในภาษาอังกฤษมาจากZariski ^{[ 2 ]}

วงแหวนRเรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่ (local ring) ถ้า มีคุณสมบัติเทียบเท่าอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

• Rมีไอเดียลซ้ายสูงสุดเพียง หนึ่งเดียว
• Rมีอุดมคติขวาสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว
• 1 ≠ 0 และผลรวมของจำนวนที่ไม่ใช่หน่วย สองจำนวนใดๆ ในRก็คือจำนวนที่ไม่ใช่หน่วยเช่นกัน
• 1 ≠ 0 และถ้าxเป็นสมาชิกใดๆ ของRแล้วxหรือ1 − xจะเป็นหน่วย
• ถ้าผลรวมจำกัดเป็นหน่วย ผลรวมนั้นก็จะมีพจน์ที่เป็นหน่วยด้วย (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมว่างเปล่าไม่สามารถเป็นหน่วยได้ ดังนั้นจึงหมายความว่า 1 ≠ 0)

ถ้าคุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริง ไอเดียลซ้ายสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันจะตรงกับไอเดียลขวาสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันและกับรากจาคอบสัน ของ วงแหวน คุณสมบัติข้อที่สามที่ระบุไว้ข้างต้นกล่าวว่าเซตของหน่วยที่ไม่ใช่หน่วยในวงแหวนท้องถิ่นก่อตัวเป็นไอเดียล (ที่เหมาะสม) ^{[ 3 ]}ซึ่งจำเป็นต้องมีอยู่ในรากจาคอบสัน คุณสมบัติข้อที่สี่สามารถถอดความได้ดังนี้: วงแหวนRเป็นวงแหวนท้องถิ่นก็ต่อเมื่อไม่มีไอเดียล (หลัก) (ซ้าย) ที่เหมาะสมสองตัวที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันโดย ที่ไอเดียลI ₁ , I ₂เรียกว่าจำนวนเฉพาะร่วมกันถ้าR = I ₁ + I ₂

ในกรณีของวงแหวนสลับที่เราไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างอุดมคติซ้าย อุดมคติขวา และอุดมคติสองด้าน: วงแหวนสลับที่ถือว่าเป็นวงแหวนเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมีอุดมคติสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว ก่อนปี 1960 ผู้เขียนหลายคนกำหนดเงื่อนไขว่าวงแหวนเฉพาะที่ต้องเป็นโนเธอร์ เรียน (ซ้ายและขวา) และวงแหวนเฉพาะที่ (อาจไม่ใช่โนเธอร์เรียน) ถูกเรียกว่าวงแหวนกึ่งเฉพาะที่ในบทความนี้ไม่มีข้อกำหนดดังกล่าว

วงแหวนเฉพาะที่ซึ่งเป็นโดเมนเชิงปริพันธ์เรียกว่าโดเมน เฉพาะที่

• ฟิลด์ทั้งหมด(และฟิลด์เฉียง ) เป็นวงแหวนเฉพาะที่ เนื่องจาก {0} เป็นอุดมคติสูงสุดเพียงหนึ่งเดียวในวงแหวนเหล่านี้
• วงแหวนนี้เป็นวงแหวนเฉพาะที่ ( pเป็นจำนวนเฉพาะ, n ≥ 1 ) ไอเดียลสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันประกอบด้วยพหุคูณทั้งหมดของp${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งทุกองค์ประกอบเป็นได้ทั้งหน่วยหรือนิลโพเทนต์เรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่
• วงแหวนเฉพาะที่สำคัญประเภทหนึ่งคือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นโดเมนอุดมคติหลัก เฉพาะ ที่ที่ไม่ใช่ฟิลด์
• วงแหวนที่มีสมาชิกเป็นอนุกรมอนันต์ซึ่งการคูณกำหนดโดยที่ทำให้ เป็นวงแหวน เฉพาะ ที่ไอเดียลสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันของวงแหวนนี้ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่ไม่สามารถหาตัวผกผันได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่มีพจน์คงที่เท่ากับศูนย์${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
• โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม ทุกวง เหนือวงแหวนเฉพาะที่นั้นเป็นวงแหวนเฉพาะที่ กล่าวคือ อุดมคติสูงสุดประกอบด้วยอนุกรมกำลังเหล่านั้นที่มีพจน์คงที่ในอุดมคติสูงสุดของวงแหวนฐาน
• ในทำนองเดียวกันพีชคณิตของจำนวนคู่บนฟิลด์ใดๆ ก็เป็นพีชคณิตเฉพาะที่ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าFเป็นวงแหวนเฉพาะที่ และnเป็นจำนวนเต็มบวกวงแหวนผลหารF [ X ]/( X ⁿ ) จะเป็นวงแหวนเฉพาะที่ที่มีอุดมคติสูงสุดซึ่งประกอบด้วยกลุ่มของพหุนามที่มีพจน์คงที่อยู่ในอุดมคติสูงสุดของFเนื่องจากเราสามารถใช้อนุกรมเรขาคณิตเพื่อผกผันพหุนามอื่นๆ ทั้งหมดมอดูล X ⁿได้ ถ้าFเป็นฟิลด์ สมาชิกของF [ X ]/( X ⁿ ) จะเป็นนิลโพเทนต์หรืออินเวอร์สได้ (จำนวนคู่บนFสอดคล้องกับกรณีn = 2 )
• วงแหวนผลหารที่ไม่เป็นศูนย์ของวงแหวนท้องถิ่นถือเป็นวงแหวนท้องถิ่น
• วงแหวนของจำนวนตรรกยะ ที่ มี ตัวส่วนเป็น เลขคี่เป็นวงแหวนเฉพาะที่ อุดมคติสูงสุดของวงแหวนนี้ประกอบด้วยเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นเลขคู่และตัวส่วนเป็นเลขคี่ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มที่อยู่เฉพาะที่ ณ จุดที่ 2${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$
• โดยทั่วไปแล้ว สำหรับวงแหวนสลับที่ ใดๆ RและอุดมคติเฉพาะP ใดๆ ของRการหาตำแหน่ง เฉพาะที่ ของRที่P นั้นเป็นการ หาตำแหน่งเฉพาะที่ อุดมคติสูงสุดคืออุดมคติที่สร้างขึ้นโดยPในการหาตำแหน่งเฉพาะที่นี้ กล่าวคือ อุดมคติสูงสุดประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดa / sโดยที่a ∈ Pและs ∈ R - P

• วงแหวนของพหุนาม เหนือฟิลด์ไม่ใช่วงแหวนเฉพาะที่ เนื่องจากและไม่ใช่หน่วย แต่ผลรวมของพวกมันเป็นหน่วย${\displaystyle K[x]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1-x}$
• วงแหวนของจำนวนเต็มไม่ใช่วงแหวนเฉพาะที่ เนื่องจากมีอุดมคติสูงสุดสำหรับจำนวนเฉพาะทุกตัว${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$/( pq ) โดยที่pและqเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน ทั้ง ( p ) และ ( q ) ต่างก็เป็นอุดมคติสูงสุดในที่นี้${\displaystyle \mathbb {Z} }$

เพื่ออธิบายที่มาของชื่อ "โลคัล" (local) สำหรับวงแหวนเหล่านี้ เราจะพิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่อง ค่าจริงที่กำหนดบน ช่วงเปิดบาง ช่วง รอบ ๆ เส้น จำนวนจริงเราสนใจเฉพาะพฤติกรรมของฟังก์ชันเหล่านี้ใกล้ ๆ(พฤติกรรม "โลคัล") เท่านั้น ดังนั้นเราจะระบุฟังก์ชันสองฟังก์ชันหากฟังก์ชันทั้งสองมีค่าตรงกันบนช่วงเปิดบางช่วง (ซึ่งอาจเล็กมาก) รอบ ๆการระบุนี้กำหนดความสัมพันธ์สมมูลและชั้นสมมูลเหล่านี้เรียกว่า " เจิร์มของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงที่" เจิร์มเหล่านี้สามารถบวกและคูณกันได้และก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ได้ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

เพื่อให้เห็นว่าวงแหวนของเชื้อนี้เป็นแบบเฉพาะที่ เราจำเป็นต้องกำหนดลักษณะขององค์ประกอบที่ผกผันได้ เชื้อจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อเหตุผลคือ ถ้าแล้วโดยความต่อเนื่องจะมีช่วงเปิดรอบ ที่ซึ่งไม่เป็นศูนย์ และเราสามารถสร้างฟังก์ชันบนช่วงนี้ได้ ฟังก์ชันก่อให้เกิดเชื้อ และผลคูณของเท่ากับ(ในทางกลับกัน ถ้าผกผันได้ แสดงว่า บางตัวที่ทำให้ดังนั้น) ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{f(x)}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(0)g(0)=1}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$

ด้วยลักษณะเฉพาะนี้ จึงเห็นได้ชัดว่าผลรวมของเจิร์มที่ไม่สามารถผกผันได้สองตัวใดๆ ก็ยังคงไม่สามารถผกผันได้เช่นกัน และเราก็จะได้วงแหวนเฉพาะที่แบบสลับที่ได้ อุดมคติสูงสุดของวงแหวนนี้ประกอบด้วยเจิร์มเหล่านั้นที่ มี${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=0}$

เหตุผลเดียวกันนี้ใช้ได้กับวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ ณ จุดที่กำหนด หรือวงแหวนของ ฟังก์ชัน เชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ ใดๆ ณ จุดที่กำหนด หรือวงแหวนของฟังก์ชันตรรก ยะบน วาไรตีเชิงพีชคณิตใดๆณ จุดที่กำหนด วงแหวนเหล่านี้ทั้งหมดจึงเป็นวงแหวนเฉพาะที่ ตัวอย่างเหล่านี้ช่วยอธิบายว่าทำไมสกีม ซึ่ง เป็นการวางนัยทั่วไปของวาไรตี จึงถูกนิยามว่าเป็นปริภูมิ ที่ มีวงแหวนเฉพาะที่แบบพิเศษ

วงแหวนท้องถิ่นมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการประเมินค่า ตามคำนิยามวงแหวนประเมินค่าของฟิลด์Kคือวงแหวนย่อยRซึ่งสำหรับทุกองค์ประกอบx ที่ไม่เป็นศูนย์ ของKอย่างน้อยหนึ่งในxและx ⁻¹จะอยู่ในRวงแหวนย่อยดังกล่าวจะเป็นวงแหวนท้องถิ่น ตัวอย่างเช่น วงแหวนของจำนวนตรรกยะที่มี ตัวส่วนเป็น เลขคี่ (ที่กล่าวถึงข้างต้น) เป็นวงแหวนประเมินค่า ใน ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เมื่อกำหนดฟิลด์Kซึ่งอาจเป็นหรือไม่เป็น ฟิลด์ฟังก์ชันก็ได้ เราอาจมองหาวงแหวนเฉพาะที่ในฟิลด์นั้น หากKเป็นฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตV จริงๆ แล้ว สำหรับแต่ละจุดPของVเราสามารถลองกำหนดวงแหวนการประเมินค่าRของฟังก์ชันที่ "กำหนดที่" P ได้ ในกรณีที่Vมีมิติ 2 หรือมากกว่านั้น จะมีปัญหาที่เห็นได้ดังนี้: ถ้าFและGเป็นฟังก์ชันตรรกยะบนVที่ มี

F ( P ) = G ( P ) = 0,

ฟังก์ชัน

เอฟ / จี

เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอนที่Pลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ เช่น

ย / ซ​

เข้าใกล้ตามแนวเส้น

Y = tX ,

จะเห็นได้ว่าค่าที่จุดPเป็นแนวคิดที่ไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน จึงต้องใช้การประเมินค่าแทน

วงแหวนเฉพาะที่แบบไม่สลับที่กันเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในฐานะวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมในการศึกษาการแยกส่วนผลรวมโดยตรง ของ โมดูลเหนือวงแหวนอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของโมดูลMเป็น วงแหวนเฉพาะที่ แสดงว่า Mไม่สามารถแยกส่วนได้ในทางกลับกัน ถ้าโมดูลMมีความยาว จำกัด และไม่สามารถแยกส่วนได้ วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของมันจะเป็นวงแหวนเฉพาะที่

ถ้าkเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะp > 0และG เป็น กลุ่มpจำกัดแล้วพีชคณิตกลุ่มkGเป็นกลุ่มเฉพาะที่ (local)

เรายังเขียน( R , m )สำหรับวงแหวนเฉพาะที่สลับที่ได้Rที่มีอุดมคติสูงสุดmวงแหวนดังกล่าวทุกวงจะกลายเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีโดยธรรมชาติ หากเราใช้กำลังของmเป็นฐานใกล้เคียงของ 0 นี่คือ ทอพอโลยี m -adicบนRถ้า( R , m )เป็น วงแหวนเฉพาะที่แบบ Noetherian ที่สลับที่ได้ แล้ว

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}}$

( ทฤษฎีบทจุดตัดของ Krull ) และเป็นผลให้Rที่มี โทโพโลยี m -adic เป็นปริภูมิ Hausdorffทฤษฎีบทนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากเลมมาของ Artin–Reesร่วมกับเลมมาของ Nakayamaและด้วยเหตุนี้ สมมติฐาน "Noetherian" จึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง แท้จริงแล้ว ให้Rเป็นวงแหวนของเจิร์มของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งที่ 0 บนเส้นจำนวนจริง และmเป็นอุดมคติสูงสุดแล้วฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์จะอยู่ในสำหรับn ใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันนั้นหารด้วยยังคงเรียบอยู่ ${\displaystyle (x)}$${\displaystyle e^{-{1 \over x^{2}}}}$${\displaystyle m^{n}}$${\displaystyle x^{n}}$

สำหรับวงแหวนเชิงทอพอโลยีใดๆ เราสามารถถามได้ว่า( R , m )สมบูรณ์ หรือ ไม่ (ในฐานะปริภูมิเอกรูป ) หากไม่สมบูรณ์ เราจะพิจารณาการทำให้สมบูรณ์ซึ่งก็คือวงแหวนเฉพาะที่อีกเช่นกัน วงแหวนเฉพาะที่แบบ Noetherian ที่สมบูรณ์จะถูกจำแนกโดยทฤษฎีบท โครงสร้างของ Cohen

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อR เป็น วงแหวน เฉพาะที่ของสกีม ณ จุดP ใด ๆR / mเรียกว่าฟิลด์ส่วนเหลือของวงแหวนเฉพาะที่ หรือฟิลด์ส่วนเหลือของจุดP

ถ้า( R , m )และ( S , n )เป็นวงแหวนเฉพาะที่โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนเฉพาะที่จากRไปยังSก็คือ โฮโม มอร์ฟิซึมวงแหวนf  : R → Sที่มีคุณสมบัติf ( m ) ⊆ n ^{[ 4 ]}โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนเหล่านี้มีความต่อเนื่องกับโทโพโลยีที่กำหนดบนRและSตัวอย่างเช่น พิจารณาการส่ง โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวน ภาพผกผันของคืออีกตัวอย่างหนึ่งของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนเฉพาะที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}$${\displaystyle x\mapsto x}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

รากJacobson mของวงแหวนเฉพาะที่R (ซึ่งเท่ากับอุดมคติซ้ายสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันและอุดมคติขวาสูงสุดที่ไม่ซ้ำกัน) ประกอบด้วยหน่วยที่ไม่ใช่หน่วยของวงแหวนอย่างแม่นยำ ยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นอุดมคติสองด้านสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันของRอย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ไม่สลับที่ การมีอุดมคติสองด้านสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันไม่ได้เทียบเท่ากับการเป็นวงแหวนเฉพาะที่^{[ 5 ]}

สำหรับสมาชิกxของวงแหวนเฉพาะที่R ข้อความต่อ ไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

• xมีตัวผกผันทางซ้าย
• xมีตัวผกผันทางขวา
• xสามารถผกผันได้
• xไม่อยู่ในm

ถ้า( R , m )เป็นโลคัล แล้ววงแหวนแฟกเตอร์R / mจะเป็นฟิลด์สกิวถ้าJ ≠ R เป็นไอ เดีย ลสองด้านใดๆ ในRแล้ววงแหวนแฟกเตอร์R / Jจะเป็นโลคัลอีกครั้ง โดยมีไอเดียลสูงสุดm / J

ทฤษฎีบทที่ลึกซึ้งของIrving Kaplanskyกล่าวว่าโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ใดๆ บนวงแหวนเฉพาะที่นั้นเป็นโมดูลอิสระแม้ว่ากรณีที่โมดูลนั้นถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดจะเป็นผลลัพธ์ที่ง่ายๆ จากเลมมาของ Nakayamaก็ตาม สิ่งนี้มีผลลัพธ์ที่น่าสนใจในแง่ของความสมมูลแบบโมริตะกล่าวคือ ถ้าPเป็นโมดูลเชิงโปร เจกทีฟ R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด แล้ว PจะสมมูลกับโมดูลอิสระR ⁿและด้วยเหตุนี้วงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมจึงสมมูลกับวงแหวนเมทริกซ์ทั้งหมดเนื่องจากทุกวงแหวนที่สมมูลแบบโมริตะกับวงแหวนเฉพาะที่RมีรูปแบบสำหรับP ดังกล่าว ข้อสรุปก็คือ วงแหวนเดียวที่สมมูลแบบโมริตะกับวงแหวนเฉพาะที่R คือ ( สมมูลกับ) วงแหวนเมทริกซ์บนR${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$

• วงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง
• สนามเฮย์ติง
• วงแหวนกึ่งท้องถิ่น
• วงแหวนท้องถิ่นโกเรนสไตน์
• แหวนประจำท้องถิ่น

• ปรัชญาเบื้องหลังแหวนประจำท้องถิ่น