ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีกลุ่มกำหนดให้จำนวนเฉพาะ p กลุ่ม p คือกลุ่มที่อันดับของสมาชิกทุกตัวเป็นกำลังของpกล่าวคือ สำหรับสมาชิกg แต่ละตัว ในกลุ่มp Gจะมีจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn อยู่ ซึ่งผลคูณของgจำนวนp ⁿ ตัว (ไม่น้อยกว่านั้น) จะเท่ากับสมาชิกเอกลักษณ์ อันดับของสมาชิกต่างๆ อาจเป็นกำลังของ pที่แตกต่างกันก็ได้

กลุ่ม อาเบเลียนp -group เรียกอีกอย่างว่าp -primaryหรือเรียกสั้น ๆว่า primary

กลุ่มจำกัดจะเป็นp -group ก็ต่อเมื่ออันดับ ของกลุ่ม (จำนวนสมาชิก) เป็นกำลังของp เท่านั้น ทฤษฎีบทของไซโลว์รับประกันการมีอยู่ของกลุ่มย่อยของGที่มีอันดับp ⁿสำหรับทุกกำลังของ จำนวน เฉพาะp ⁿที่หารอันดับของGลงตัว

ทุก กลุ่ม p -group จำกัด เป็นกลุ่มนิลโพเทนต์

ส่วนที่เหลือของบทความนี้จะกล่าวถึง กลุ่ม p จำกัด สำหรับตัวอย่างของ กลุ่ม p อาเบเลียนอนันต์ โปรดดูที่กลุ่ม Prüferและสำหรับตัวอย่างของ กลุ่ม p ง่าย อนันต์ โปรด ดูที่กลุ่มมอนสเตอร์ Tarski

ทุกกลุ่มp เป็น กลุ่มคาบเนื่องจากตามนิยามแล้ว สมาชิกทุกตัวมีอันดับจำกัด

ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ และGเป็นกลุ่มที่มีอันดับp ^kแล้วGจะมีกลุ่มย่อยปกติที่มีอันดับp ^mสำหรับทุก 1 ≤ m ≤ kซึ่งได้มาจากการอุปมาน โดยใช้ทฤษฎีบทของโคชีและทฤษฎีบทความสอดคล้องสำหรับกลุ่ม โครงร่างการพิสูจน์มีดังนี้: เนื่องจากศูนย์กลางZของGไม่ใช่ศูนย์กลางที่ไม่สำคัญ (ดูด้านล่าง) ตามทฤษฎีบทของโคชีZจึงมีกลุ่มย่อยHที่มีอันดับp เนื่องจาก H เป็นศูนย์กลางในGดังนั้นHจึงเป็นกลุ่มย่อยปกติในG อย่างแน่นอน ตอนนี้เราสามารถใช้สมมติฐานอุปมานกับG/Hได้ และผลลัพธ์ก็มาจากทฤษฎีบทความสอดคล้อง

หนึ่งในผลลัพธ์มาตรฐานแรกที่ใช้สมการคลาสคือศูนย์กลาง ของกลุ่ม pจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ไม่สามารถเป็นกลุ่มย่อยที่เป็นศูนย์ได้^{[ 1 ]}

นี่เป็นพื้นฐานสำหรับวิธีการอุปนัยหลายวิธีในกลุ่ม p

ตัวอย่างเช่นตัวทำให้ปกติNของกลุ่มย่อยแท้Hของกลุ่มp จำกัด G นั้นบรรจุH ไว้โดยแท้จริง เพราะสำหรับตัวอย่างค้าน ใดๆ ที่H = Nศูนย์กลางZจะบรรจุอยู่ในNและดังนั้นจึงบรรจุอยู่ในH ด้วย แต่จะมีตัวอย่างที่เล็กกว่าH / Zซึ่งตัวทำให้ปกติในG / ZคือN / Z = H / Zทำให้เกิดการสืบเนื่องแบบอนันต์ ผลที่ตามมาคือ กลุ่ม p จำกัดทุก กลุ่มเป็นกลุ่มนิลโพเท น ต์

ในอีกทิศทางหนึ่งกลุ่มย่อยปกติN ทุกกลุ่ม ของ กลุ่ม p จำกัด จะตัดกับศูนย์กลางอย่างไม่เป็นศูนย์ ดังที่สามารถพิสูจน์ได้โดยการพิจารณาสมาชิกของNซึ่งคงที่เมื่อGกระทำกับNโดยการผันแปร เนื่องจากกลุ่มย่อยศูนย์กลางทุกกลุ่มเป็นกลุ่มย่อยปกติ จึงสรุปได้ว่ากลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุดทุกกลุ่มของ กลุ่ม p จำกัด เป็นกลุ่มย่อยศูนย์กลางและมีอันดับpแท้จริงแล้วฐาน ของกลุ่ม pจำกัดคือกลุ่มย่อยของศูนย์กลางที่ประกอบด้วยสมาชิกศูนย์กลางที่มีอันดับ p

ถ้าGเป็น กลุ่ม pแล้วG / Z ก็เป็นกลุ่ม p เช่น กัน และ G/Z ก็มีศูนย์กลางที่ไม่เป็นศูนย์ด้วย ภาพผกผันในGของศูนย์กลางของG / Zเรียกว่าศูนย์กลางที่สองและกลุ่มเหล่านี้เป็นจุดเริ่มต้นของอนุกรมศูนย์กลางบนเมื่อขยายความจากความคิดเห็นก่อนหน้านี้เกี่ยวกับฐาน กลุ่ม p จำกัด ที่มีอันดับp ⁿจะมีกลุ่มย่อยปกติที่มีอันดับp ⁱโดยที่ 0 ≤ i ≤ nและกลุ่มย่อยปกติใดๆ ที่มีอันดับp ⁱจะอยู่ในศูนย์กลางที่i คือ Z _iถ้ากลุ่มย่อยปกติไม่อยู่ในZ _iแล้ว การตัดกันของกลุ่มย่อยนั้นกับZ _{i +1}จะ มีขนาดอย่างน้อยp ^{i +1}

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ กลุ่ม p ได้รับการศึกษามาเป็นอย่างดี เช่นเดียวกับที่กลุ่ม pจำกัดทุกกลุ่มมีศูนย์กลางที่ไม่เป็นศูนย์เพื่อให้กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายในเป็นผลหารแท้ของกลุ่ม กลุ่มp จำกัดทุกกลุ่มก็มี กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกที่ไม่เป็นศูนย์เช่นกัน ออโตมอร์ฟิ ซึมทุกตัวของGเหนี่ยวนำให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมบนG /Φ( G ) โดยที่ Φ( G ) คือ กลุ่ม ย่อย FrattiniของGผลหาร G/Φ( G ) เป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ของมัน เป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปดังนั้นจึงเข้าใจได้เป็นอย่างดี แผนที่จากกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของGไปยังกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปนี้ได้รับการศึกษาโดยBurnsideซึ่งแสดงให้เห็นว่าเคอร์เนลของแผนที่นี้คือกลุ่ม p

กลุ่ม pที่มีอันดับเดียวกันไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิกกันเสมอไป ตัวอย่างเช่นกลุ่มวัฏจักรC ₄และกลุ่มไคลน์สี่V ₄ต่างก็เป็นกลุ่ม 2 ที่มีอันดับ 4 แต่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกกัน

กลุ่ม pไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มสลับเปลี่ยนเสมอไปกลุ่มไดเฮดรัล Dih ₄ที่มีอันดับ 8 เป็นกลุ่ม 2 ที่ไม่สลับเปลี่ยน อย่างไรก็ตาม ทุกกลุ่มที่มีอันดับp ²เป็นกลุ่มสลับเปลี่ยน^{[หมายเหตุ 1 ]}

กลุ่มไดเฮดรัลมีความคล้ายคลึงและแตกต่างจากกลุ่มควอเทอร์เนียนและกลุ่มเซมิไดเฮดรัล อย่างมาก โดยรวมแล้ว กลุ่มไดเฮดรัล เซมิไดเฮดรัล และควอเทอร์เนียน ก่อให้เกิดกลุ่ม 2 กลุ่มที่มีระดับสูงสุดนั่นคือกลุ่มที่มีอันดับ 2n ^{+ 1} และ ระดับ นิลโพเทนซีn

ผลคูณแบบวงแหวนซ้ำๆของกลุ่มวัฏจักรอันดับpเป็นตัวอย่างที่สำคัญมากของ กลุ่ม pให้กลุ่มวัฏจักรอันดับpเป็นW (1) และผลคูณแบบวงแหวนของW ( n ) กับW (1) เป็นW ( n  +1) ดังนั้นW ( n ) คือกลุ่มย่อย Sylow pของกลุ่มสมมาตร Sym( p ⁿ ) กลุ่มย่อย p สูงสุด ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( n , Q ) คือผลคูณโดยตรงของW ( n ) ต่างๆ มีอันดับp ^kโดยที่k  = ( p ⁿ  − 1)/( p  − 1) มีชั้นนิลโพเทนซีp ^{n −1}และอนุกรมกลางล่าง อนุกรมกลางบน อนุกรมกลางเลขชี้กำลังล่างpและอนุกรมกลางเลขชี้กำลังบนpเท่ากัน ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบอันดับpแต่เลขชี้กำลังคือp ⁿกลุ่มที่สองดังกล่าวW (2) เป็น กลุ่ม pที่มีชั้นสูงสุดเช่นกัน เนื่องจากมีอันดับp ^{p +1}และชั้นนิลโพเทนซีpแต่ไม่ใช่กลุ่มpปกติเนื่องจากกลุ่มที่มีอันดับp ^pเป็นกลุ่มปกติเสมอ จึงเป็นตัวอย่างขั้นต่ำดังกล่าวด้วย

เมื่อp  = 2 และn  = 2, W ( n ) คือกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ 8 ดังนั้นในแง่หนึ่งW ( n ) จึงเป็นตัวอย่างที่คล้ายคลึงกับกลุ่มไดเฮดรัลสำหรับจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด เมื่อn  = 2 อย่างไรก็ตาม สำหรับn ที่สูงกว่า นั้น ความคล้ายคลึงกันจะเริ่มลดลง มีตัวอย่างอีกกลุ่มหนึ่งที่เลียนแบบกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ 2n ได้ใกล้เคียงกว่า^แต่ต้องมีการเตรียมการเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย ให้ ζ แทน รากที่ pของเอกภาพในจำนวนเชิงซ้อน ให้Z [ζ] เป็นวงแหวนของจำนวนเต็มไซโคลโทมิกที่สร้างขึ้นโดย ζ และให้Pเป็นอุดมคติเฉพาะที่สร้างขึ้นโดย 1−ζ ให้Gเป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับpที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกzสร้างผลคูณกึ่งตรงE ( p ) ของZ [ζ] และGโดยที่zทำหน้าที่เหมือนการคูณด้วย ζ กลุ่มกำลังP n ^เป็นกลุ่มย่อยปกติของE ( p ) และกลุ่มตัวอย่างคือE ( p , n ) =  E ( p )/ P ⁿ E ( p , n ) มีอันดับp ^{n +1}และชั้นนิลโพเทนซี nดังนั้นจึงเป็น กลุ่ม pที่มีชั้นสูงสุด เมื่อp  = 2, E (2, n ) เป็นกลุ่มไดเฮดรัลที่มีอันดับ 2 ⁿเมื่อpเป็นจำนวนคี่ ทั้งW (2) และE ( p , p ) เป็นกลุ่มไม่ปกติที่มีชั้นสูงสุดและอันดับp ^{p +1}แต่ไม่สม isomorphic กัน

กลุ่มย่อยไซโลว์ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเป็นอีกตระกูลตัวอย่างพื้นฐานหนึ่ง ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติnที่มีฐาน { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } และกำหนดV _iเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นโดย { e _i , e _{i +1} , ..., e _n } สำหรับ 1 ≤ i ≤ nและกำหนดV _i = 0 เมื่อi > nสำหรับแต่ละ 1 ≤ m ≤ nเซตของการแปลงเชิงเส้นผกผันของVซึ่งแปลงV _i แต่ละตัว ไปเป็นV _{i + m}จะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยของ Aut( V ) ซึ่งเขียนแทนด้วยU _mถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือZ / p Zแล้วU ₁เป็นกลุ่มย่อยไซโลว์pของ Aut( V ) = GL( n , p ) และพจน์ของอนุกรมกลางล่าง ของมัน ก็คือU _mนั่นเอง ในแง่ของเมทริกซ์U _mคือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มี 1 อยู่บนแนวทแยงมุมและ 0 อยู่บน ซูเปอร์ไดอะโกนัล m −1 ตัวแรก กลุ่มU ₁มีอันดับp ^{n ·( n −1)/2}ชั้นนิลโพเทนซีnและเลขชี้กำลังp ^kโดยที่k คือจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มี ค่า อย่างน้อยเท่ากับลอการิทึม ฐาน p ของn

กลุ่มที่มีอันดับp ⁿสำหรับ 0 ≤ n ≤ 4 ได้รับการจำแนกประเภทในช่วงต้นของประวัติศาสตร์ทฤษฎีกลุ่ม^{[ 2 ]}และงานสมัยใหม่ได้ขยายการจำแนกประเภทเหล่านี้ไปยังกลุ่มที่มีอันดับหารp ⁷ลงตัว แม้ว่าจำนวนตระกูลของกลุ่มดังกล่าวจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจนการจำแนกประเภทเพิ่มเติมตามแนวทางเหล่านี้ถือว่ายากเกินกว่าที่จิตใจมนุษย์จะเข้าใจได้^{[ 3 ]}ตัวอย่างเช่นMarshall Hall Jr.และ James K. Senior ได้จำแนกกลุ่มที่มีอันดับ 2 ⁿสำหรับn ≤ 6 ในปี 1964 ^{[ 4 ]}

แทนที่จะจัดกลุ่มตามลำดับฟิลิป ฮอลล์เสนอให้ใช้แนวคิดเรื่องไอโซคลินิสม์ของกลุ่ม ซึ่งรวบรวมกลุ่ม pจำกัดเข้าเป็นตระกูลตามผลหารขนาดใหญ่และกลุ่มย่อย^{[ 5 ]}

วิธีการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจำแนก กลุ่ม p จำกัด ตามโคคลาสนั่นคือ ความแตกต่างระหว่างความยาวการประกอบและคลาสนิลโพเทนซี กลุ่มสมมติโคคลาสที่เรียกว่าอธิบายเซตของ กลุ่ม p จำกัดทั้งหมดที่มีโคคลาสคงที่ว่าเป็นการรบกวนของ กลุ่มโปร-pจำนวนจำกัด กลุ่ม สมมติโคคลาสได้รับการพิสูจน์ในช่วงทศวรรษ 1980 โดยใช้เทคนิคที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตลีและกลุ่ม p ที่ทรงพลัง^{[ 6 ]}การพิสูจน์ขั้นสุดท้ายของทฤษฎีบทโคคลาสเป็นผลงานของ A. Shalev และ CR Leedham-Green อย่างอิสระ ทั้งคู่ในปี 1994 พวกเขายอมรับการจำแนก กลุ่ม p จำกัด ในกราฟโคคลาสแบบมีทิศทางซึ่งประกอบด้วยต้นไม้โคคลาสจำนวนจำกัดเท่านั้น ซึ่งสมาชิก (จำนวนอนันต์) มีลักษณะเฉพาะโดยการนำเสนอแบบพารามิเตอร์จำนวนจำกัด

ทุกกลุ่มที่มีอันดับp ⁵เป็น กลุ่ม เมตาเบเลียน^{[ 7 ]}

กลุ่มที่ไม่สำคัญเป็นกลุ่มเดียวที่มีอันดับหนึ่ง และกลุ่มวัฏจักร C _pเป็นกลุ่มเดียวที่มีอันดับp มีกลุ่มที่มีอันดับ p ²เพียงสองกลุ่มเท่านั้น ซึ่งทั้งสองกลุ่มเป็นกลุ่มสลับที่ คือ C _{p ²}และ C _p  × C _pตัวอย่างเช่น กลุ่มวัฏจักร C ₄และกลุ่มไคลน์สี่V ₄ซึ่งคือ C ₂  × C ₂ต่างก็เป็นกลุ่ม 2 ที่มีอันดับ 4

มีกลุ่มอาเบเลียนสามกลุ่มที่มีอันดับp ³ได้แก่ C _{p ³} , C _{p ²}  × C _pและ C _p  × C _p  × C _pนอกจากนี้ยังมีกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนอีกสองกลุ่ม

สำหรับp  ≠ 2 นั้น ตัวหนึ่งเป็นผลคูณกึ่งตรงของ C _p  × C _pกับ C _pและอีกตัวหนึ่งเป็นผลคูณกึ่งตรงของ C _{p ²}กับ C _p โดย ตัวแรกสามารถอธิบายได้ในอีกแง่หนึ่งว่าเป็นกลุ่ม UT(3, p ) ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาคเหนือฟิลด์จำกัดที่มีสมาชิกp ตัว หรือเรียกอีกอย่างว่ากลุ่มไฮเซน เบิร์ก mod p

สำหรับp  = 2 ผลคูณกึ่งตรงทั้งสองที่กล่าวถึงข้างต้นจะสมมาตรกับกลุ่มไดเฮดรัล Dih ₄ที่มีอันดับ 8 กลุ่มที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนอีกกลุ่มหนึ่งที่มีอันดับ 8 คือ กลุ่มควอเท อ ร์เนียน Q ₈

สูตรเชิงอะซิมโทติกของ Higman –Simsระบุว่าจำนวนคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่มีอันดับp ⁿเพิ่มขึ้นตามและคลาสเหล่านี้ถูกครอบงำโดยคลาสที่เป็นนิลโพเทนต์สองขั้นตอน^{[ 8 ]}เนื่องจากการเติบโตอย่างรวดเร็วนี้ จึงมี ข้อสันนิษฐานที่เป็นที่ นิยมว่ากลุ่มจำกัด เกือบทั้งหมด เป็นกลุ่ม 2: สัดส่วนของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่ม 2 ในบรรดาคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่มีอันดับไม่เกินnเชื่อว่ามีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 เมื่อnมีแนวโน้มเข้าสู่อินฟินิตี้ ตัวอย่างเช่น จากกลุ่มที่แตกต่างกัน 49,910,529,484 กลุ่มที่มีอันดับไม่เกิน 2000 มี 49,487,367,289 กลุ่ม หรือมากกว่า 99 % เล็กน้อย เป็นกลุ่ม 2 ที่ มีอันดับ 1024 ^{[ 9 ]}${\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}}$

ทุกกลุ่มจำกัดที่มีอันดับหารด้วย pลงตัว จะมีกลุ่มย่อยที่เป็นกลุ่ม pที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยศูนย์กล่าวคือ กลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับpที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกที่มีอันดับpซึ่งได้มาจากทฤษฎีบทของโคชีที่จริงแล้ว มันจะมี กลุ่ม pที่มีอันดับสูงสุดที่เป็นไปได้: ถ้าโดยที่pไม่หารm ลงตัว แล้วGจะมีกลุ่มย่อยPที่มีอันดับ เรียกว่ากลุ่มย่อย pของไซโลว์กลุ่มย่อยนี้ไม่จำเป็นต้องมีเพียงกลุ่มเดียว แต่กลุ่มย่อยใดๆ ที่มีอันดับนี้จะเป็นกลุ่มย่อยคู่ควบ และ กลุ่มย่อย p ใดๆ ของGจะมีอยู่ใน กลุ่มย่อย p ของไซโลว์ คุณสมบัตินี้และคุณสมบัติอื่นๆ ได้รับการพิสูจน์แล้วในทฤษฎีบทของไซโลว์ ${\displaystyle |G|=n=p^{k}m}$${\displaystyle p^{k},}$

กลุ่ม pเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการทำความเข้าใจโครงสร้างของกลุ่มและการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดกลุ่มpเกิดขึ้นได้ทั้งในรูปของกลุ่มย่อยและกลุ่มผลหาร ในฐานะกลุ่มย่อย สำหรับจำนวนเฉพาะp ที่กำหนดให้ จะมี กลุ่มย่อยp ของ Sylow คือP ( กลุ่มย่อย p ที่ใหญ่ที่สุด ไม่ซ้ำกันแต่ทั้งหมดเป็นคู่สม) และแกนp ( กลุ่มย่อย p ปกติ ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ซ้ำกัน ) และกลุ่มย่อยอื่นๆ อีกมากมาย ในฐานะ กลุ่มผลหาร กลุ่มผลหาร p ที่ใหญ่ที่สุด คือกลุ่มผลหารของGโดยกลุ่มย่อยp ที่เหลือ กลุ่มเหล่านี้มีความสัมพันธ์กัน (สำหรับจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน) มีคุณสมบัติที่สำคัญ เช่นทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสและช่วยให้สามารถกำหนดลักษณะต่างๆ ของโครงสร้างของกลุ่มได้ ${\displaystyle O_{p}(G)}$${\displaystyle O^{p}(G).}$

โครงสร้างส่วนใหญ่ของกลุ่มจำกัดนั้นอยู่ในโครงสร้างของกลุ่มย่อยเฉพาะ ที่เรียกว่ากลุ่ม ย่อยปกติ ของ กลุ่มย่อยpที่ไม่ใช่เอกลักษณ์^{[ 10 ]}

กลุ่มย่อยอาเบเลียนพื้นฐานขนาดใหญ่ของกลุ่มจำกัดจะควบคุมกลุ่มนั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเฟต-ทอมป์สันส่วนขยายส่วนกลางบางส่วนของกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานที่เรียกว่ากลุ่มเอ็กซ์ตร้าสเปเชียลช่วยอธิบายโครงสร้างของกลุ่มที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติก

ริชาร์ด บราวเออร์จำแนกกลุ่มทั้งหมดที่มีกลุ่มย่อยไซโลว์ 2 เป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรสองกลุ่มที่มีอันดับ 4 และจอห์น วอลเตอร์ , แดเนียล โกเรนสไตน์, เฮลมุต เบนเดอร์, มิชิโอ ซูซูกิ, จอร์จเกลาเบอร์แมนและคนอื่นๆ จำแนกกลุ่มอย่างง่ายเหล่านั้นที่มีกลุ่มย่อยไซโลว์ 2 เป็นกลุ่มอาเบเลียน กลุ่มไดเฮดรัล กลุ่มเซมิไดเฮดรัล หรือกลุ่มควอเทอร์เนียน

• กลุ่มพื้นฐาน  – ผลคูณโดยตรงของกลุ่ม p และกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
• ตำแหน่งผู้ตรวจสอบ
• กลุ่ม p ปกติ

• โรว์แลนด์, ท็อดด์ แอนด์ ไว ส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "พี-กรุ๊ป" . แมทเวิลด์ .