ในทางคณิตศาสตร์กำลังของจำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มบวกที่เป็นกำลัง ของ จำนวนเฉพาะตัวเดียวตัวอย่างเช่น7 = 7¹ ^, 9 = 3² ^และ 64 = 2⁶ ^เป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ ในขณะที่ 6 = 2² × 3 , 12 = 2² ^× 3และ36 = 6² ⁼ 2² ^× 3²ไม่ใช่กำลัง ^{ของจำนวนเฉพาะ}

ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นดังนี้:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, ...

(ลำดับA246655ในOEIS )

จำนวนเฉพาะ คือจำนวนเต็มบวกที่หารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เลข 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะเรียกอีกอย่างว่าจำนวนปฐม ภูมิ ดังเช่นในหลักการแยกตัวประกอบปฐมภูมิ

กำลังของจำนวนเฉพาะคือ กำลังของจำนวนเฉพาะ กำลังของจำนวนเฉพาะทุกตัวยกเว้นกำลังของ 2ที่มากกว่า 4 มีรากปฐมภูมิดังนั้นกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล p ⁿ (นั่นคือกลุ่มของหน่วยของวงแหวนZ / p ⁿ Z ) จึงเป็นกลุ่มวัฏจักร^{[ 1 ]}

จำนวนองค์ประกอบของฟิลด์จำกัดจะเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะเสมอ และในทางกลับกัน กำลังของจำนวนเฉพาะทุกตัวจะปรากฏเป็นจำนวนองค์ประกอบในฟิลด์จำกัดบางฟิลด์ (ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ) ^{[ 2 ]}

คุณสมบัติของกำลังของจำนวนเฉพาะที่ใช้บ่อยในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์คือเซตของกำลังของจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเป็นเซตเล็กในแง่ที่ว่าผลรวมอนันต์ของส่วนกลับของพวกมันลู่เข้าแม้ว่าจำนวนเฉพาะจะเป็นเซตใหญ่ก็ตาม^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันโทเทียนต์ ( φ ) และฟังก์ชันซิกมา₍ σ₀ )และ ( σ₁ ) ของกำลังของจำนวน _{เฉพาะ}คำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

กำลังของจำนวนเฉพาะทั้งหมดเป็นจำนวนที่ขาดหายไปกำลังของจำนวนเฉพาะp ⁿคือจำนวนเกือบเฉพาะ n ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ากำลังของจำนวนเฉพาะp ⁿสามารถเป็นสมาชิกของคู่ที่เป็นมิตรได้ หรือ ไม่ หากมีจำนวนดังกล่าวp ⁿจะต้องมากกว่า 10 ¹⁵⁰⁰และnจะต้องมากกว่า 1400

• เกือบจะเป็นสินค้าชั้นดี
• เฟอร์มิ-ดิแรก ไพรม์
• พลังที่สมบูรณ์แบบ
• เซมิไพรม์

• Jones, Gareth A. และ Jones, J. Mary (1998) ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น Springer-Verlag London doi : 10.1007/978-1-4471-0613-5