ในทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตนามธรรมกลุ่มเอ็กซ์ตร้าสเปเชียลเป็น กลุ่มที่คล้ายคลึงกับกลุ่มไฮเซนเบิร์กบนฟิลด์จำกัดที่มีขนาดเป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับจำนวนเฉพาะp แต่ละตัว และจำนวนเต็มบวกn แต่ละตัว จะมีกลุ่มเอ็กซ์ตร้าสเปเชียลที่มี อันดับp ^{1+2 n}อยู่สองกลุ่มพอดี (โดยไม่คำนึงถึงไอโซมอร์ฟิซึม) กลุ่มเอ็กซ์ตร้าสเปเชียลมักปรากฏในเซ็นทรัลไลเซอร์ของอินโวลูชัน ทฤษฎีอักขระปกติของกลุ่มเอ็กซ์ตร้าสเปเชียลเป็นที่เข้าใจกันดี

โปรดจำไว้ว่ากลุ่มจำกัดเรียกว่ากลุ่มp ถ้าอันดับของ กลุ่ม นั้นเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะp

กลุ่มp -group Gเรียกว่ากลุ่มพิเศษยิ่งยวด (extraspecial)ถ้าศูนย์กลางZ ของกลุ่ม เป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับpและผลหารG / Zเป็น กลุ่ม อาเบเลียนp-group พื้นฐานที่ไม่เป็นกลุ่มศูนย์ (non-trivial elementary abelian p -group)

กลุ่มพิเศษที่มีอันดับp ^{1+2 n}มักใช้สัญลักษณ์p ^{1+2 n} แทน ตัวอย่างเช่น 2 ¹⁺²⁴หมายถึงกลุ่มพิเศษที่มีอันดับ2 ²⁵

กลุ่ม pพิเศษทุกกลุ่มมีอันดับp ^{1+2 n} สำหรับจำนวนเต็มบวก nบางจำนวนและในทางกลับกัน สำหรับแต่ละจำนวนดังกล่าว จะมีกลุ่มพิเศษสองกลุ่มพอดีจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ผลคูณแบบศูนย์กลางของ กลุ่ม p พิเศษสอง กลุ่มก็เป็นกลุ่มพิเศษเช่นกัน และกลุ่มพิเศษทุกกลุ่มสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณแบบศูนย์กลางของกลุ่มพิเศษที่มีอันดับp ³ซึ่งจะลดการจัดประเภทของกลุ่มพิเศษให้เหลือเพียงการจัดประเภทของกลุ่มพิเศษที่มีอันดับp ³การจัดประเภทนี้มักจะนำเสนอแตกต่างกันในสองกรณี คือpเป็นจำนวนคี่และp = 2 แต่ก็สามารถนำเสนอในรูปแบบเดียวกันได้เช่นกัน

มีกลุ่มพิเศษสองกลุ่มที่มีอันดับp ³ซึ่งสำหรับpที่เป็นเลขคี่ จะได้ดังนี้

• กลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมขนาด 3x3 บนฟิลด์ที่มี สมาชิก pตัว โดยมีเลข 1 อยู่บนแนวทแยงมุม กลุ่มนี้มีเลขชี้กำลังpสำหรับpที่เป็นจำนวนคี่ (แต่มีเลขชี้กำลัง 4 ถ้าp  = 2)
• ผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มวัฏจักรอันดับp ²โดยกลุ่มวัฏจักรอันดับpที่กระทำแบบไม่ธรรมดาต่อกลุ่มวัฏจักรนี้ กลุ่มนี้มี  เลขชี้กำลังp ²

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวก จะมีกลุ่มพิเศษสองกลุ่มที่มีอันดับp ^{1+2 n}ซึ่งสำหรับpที่เป็นจำนวนคี่ จะได้ดังนี้

• ผลคูณกลางของกลุ่มพิเศษn กลุ่มที่มีอันดับ p ³โดยที่เลขชี้กำลังทั้งหมดคือpกลุ่มพิเศษนี้ก็มีเลขชี้กำลังคือ  p เช่น กัน
• ผลคูณกลางของกลุ่มพิเศษn กลุ่มที่มีอันดับ p ³อย่างน้อยหนึ่งกลุ่มมีเลขชี้กำลังp ²กลุ่มพิเศษนี้มีเลขชี้กำลังp ²

กลุ่มพิเศษสองกลุ่มที่มีอันดับp ^{1+2 n} สามารถแยกแยะได้ง่ายที่สุดโดย พิจารณา จากข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมดที่มีอันดับไม่เกินpและอีกกลุ่มหนึ่งมีสมาชิกที่มีอันดับ  p ²

มีกลุ่มพิเศษสองกลุ่มที่มีอันดับ 8 = 2 ³ซึ่งกำหนดโดย

• กลุ่มไดเฮดรัลD ₈อันดับ 8 ซึ่งสามารถกำหนดได้จากโครงสร้างทั้งสองแบบในส่วนด้านบนสำหรับp = 2 (สำหรับpที่เป็นเลขคี่จะได้กลุ่มที่แตกต่างกัน แต่สำหรับp = 2 จะได้กลุ่มเดียวกัน) กลุ่มนี้มีสมาชิก 2 ตัวที่มีอันดับ 4
• กลุ่มควอเทอร์เนียนQ ₈อันดับ 8 ซึ่งมีสมาชิก 6 ตัว อันดับ 4

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวก จะมีกลุ่มพิเศษสองกลุ่มที่มีอันดับ2 ^{1+2 n}ซึ่งกำหนดโดย

• ผลคูณศูนย์กลางของ กลุ่มพิเศษ nกลุ่มที่มีอันดับ 8 โดยมีจำนวนคี่เป็นกลุ่มควอเทอร์เนียน รูปแบบกำลังสองที่สอดคล้องกัน (ดูด้านล่าง) มีค่าคงที่ Arf เท่ากับ 1
• ผลคูณศูนย์กลางของ กลุ่มพิเศษ nกลุ่มที่มีอันดับ 8 โดยมีจำนวนคู่ของกลุ่มควอเทอร์เนียน รูปแบบกำลังสองที่สอดคล้องกัน (ดูด้านล่าง) มีค่าคงที่ Arf เป็น 0

กลุ่มพิเศษสองกลุ่มGที่มีอันดับ2 ^{1+2 n}สามารถแยกแยะได้ง่ายที่สุดดังนี้ ถ้าZเป็นศูนย์กลางG / Zจะเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีสมาชิก 2 ตัว มันมีรูปแบบกำลังสองqโดยที่qมีค่าเป็น 1 ถ้าการยกสมาชิกมีอันดับ 4 ในGและมีค่าเป็น 0 ถ้าไม่ใช่ จากนั้นค่าคงที่ Arfของรูปแบบกำลังสองนี้สามารถใช้แยกแยะกลุ่มพิเศษสองกลุ่มได้ หรืออีกนัยหนึ่ง เราสามารถแยกแยะกลุ่มได้โดยการนับจำนวนสมาชิกที่มีอันดับ 4

สามารถนำ เสนอกลุ่มพิเศษอันดับp ^{1+2 n} ในรูปแบบเดียวกัน ได้ดังนี้ กำหนดกลุ่มทั้งสองกลุ่ม:

• ${\displaystyle M(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=1,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle }$
• ${\displaystyle N(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=c,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle }$

M ( p ) และN ( p ) เป็นกลุ่มพิเศษที่ไม่สมมาตรกันที่มีอันดับ^p³ โดยมีศูนย์กลางอันดับpที่สร้างขึ้นโดยcกลุ่มพิเศษที่ไม่สมมาตรกันสองกลุ่มที่มีอันดับ^p¹⁺²n เป็นผลคูณศูนย์กลางของM ( ^p )จำนวนn ชุด หรือM ( p ) จำนวน n⁻¹ ชุดและ N(p) จำนวน 1 ชุดนี่เป็นกรณีพิเศษของการจำแนก กลุ่ม pที่มีศูนย์กลางแบบวัฏจักรและกลุ่มย่อยอนุพันธ์แบบง่ายที่ระบุไว้ใน ( Newman 1960 )

ถ้าGเป็นกลุ่มพิเศษที่มีอันดับp ^{1+2 n}แล้ว ตัวแทนเชิงซ้อนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มนี้จะมีดังต่อไปนี้:

• มีตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้จำนวน p 2 n ตัวที่มี^{มิติ1}ศูนย์กลางZทำหน้าที่แบบไม่แทรกแซง และตัวแทนเหล่านี้สอดคล้องกับตัวแทนของกลุ่มอาเบเลียนG / Z
• มี ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ จำนวน p − 1 ตัวที่มีมิติ p ⁿ โดยจะมีตัวแทนเหล่านี้หนึ่งตัวสำหรับแต่ละอักขระที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ χ ของศูนย์กลาง ซึ่งศูนย์กลางทำหน้าที่เสมือนการคูณด้วย χ ค่าของอักขระจะกำหนดโดย p ⁿ χ บนZและ 0 สำหรับองค์ประกอบที่ไม่อยู่ในZ
• ถ้ากลุ่มp ที่ไม่สลับที่ Gมีอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบไม่เชิงเส้นที่มีดีกรีต่ำสุดน้อยกว่าp ²  −  pตัว มันจะเป็นกลุ่มพิเศษยิ่งยวด

เป็นเรื่องปกติที่ตัวรวมศูนย์ของอินโวลูชันในกลุ่มง่ายจำกัดจะมีกลุ่มย่อยพิเศษปกติอยู่ภายใน ตัวอย่างเช่น ตัวรวมศูนย์ของอินโวลูชันประเภท 2B ในกลุ่มมอนสเตอร์มีโครงสร้าง 2 ¹⁺²⁴ .Co ₁ซึ่งหมายความว่ามันมีกลุ่มย่อยพิเศษปกติที่มีอันดับ 2 ¹⁺²⁴และผลหารเป็นหนึ่งในกลุ่มคอนเวย์

กลุ่มที่มีศูนย์กลางกลุ่มย่อยที่ได้มาและกลุ่มย่อยฟรัตตินีเท่ากันทั้งหมด เรียกว่ากลุ่มพิเศษกลุ่มพิเศษอนันต์ที่มีกลุ่มย่อยที่ได้มามีอันดับpเรียกว่า กลุ่มพิเศษยิ่งยวด การจำแนกกลุ่มพิเศษยิ่งยวดอนันต์นับได้นั้นคล้ายคลึงกับกรณีจำกัด ( Newman 1960 ) แต่สำหรับจำนวนสมาชิกที่มากขึ้น แม้แต่คุณสมบัติพื้นฐานของกลุ่มก็ขึ้นอยู่กับประเด็นที่ละเอียดอ่อนของทฤษฎีเซต ซึ่งบางส่วนได้ถูกเปิดเผยใน ( Shelah & Steprāns 1987 ) กลุ่มนิลโพเทนต์ที่มีศูนย์กลางเป็นวัฏจักรและกลุ่มย่อยที่ได้มามีอันดับpและมีชั้นสมมูลกันอย่างมากที่สุดเป็นอนันต์นับได้ ถูกจำแนกไว้ใน ( Newman 1960 ) กลุ่มจำกัดที่มีกลุ่มย่อยที่ได้มามีอันดับpถูกจำแนกไว้ใน ( Blackburn 1999 )