ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีกลุ่มเซนทัลไลเซอร์ (เรียกอีกอย่างว่าคอมมิวแทนต์^{[ 1 ] [ 2 ]} ) ของเซตย่อยSในกลุ่มGคือเซตของสมาชิกในGที่สลับตำแหน่งกับสมาชิกทุกตัวในSหรือเทียบเท่ากับเซตของสมาชิกที่การผันแปรโดยทำให้สมาชิกทุกตัวในSคงที่นอร์มัลไลเซอร์ของSในGคือเซตของสมาชิกในGที่ตรงตามเงื่อนไขที่อ่อนกว่า คือทำให้เซตคงที่ภายใต้การผันแปร เซนทัลไลเซอร์และนอร์มัลไลเซอร์ของSเป็นกลุ่มย่อยของGเทคนิคหลายอย่างในทฤษฎีกลุ่มนั้นอาศัยการศึกษาเซนทัลไลเซอร์และนอร์มัลไลเซอร์ของเซตย่อย  Sที่ เหมาะสม${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)}$${\displaystyle S\subseteq G}$

หากกำหนดนิยามอย่างเหมาะสม นิยามเหล่านี้ก็สามารถนำไปใช้กับเซมิกรุปได้ เช่นกัน

ในทฤษฎีริง ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของเซตย่อยของริงถูกนิยามโดยสัมพันธ์กับการคูณของริง (ซึ่งเป็นการดำเนินการของเซมิกรุป) ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของเซตย่อยของริงRคือซับริงของRบทความนี้ยังกล่าวถึงตัวทำให้เป็นศูนย์กลางและตัวทำให้เป็นปกติในพีชคณิตลีด้วย

ตัวสร้างอุดมคติในเซมิกรุปหรือริงเป็นโครงสร้างอีกแบบหนึ่งที่อยู่ในแนวทางเดียวกับตัวสร้างศูนย์กลางและตัวสร้างปกติ

ตัวกลางของกลุ่มย่อย(หรือเซมิกรุป) Gถูกกำหนดเป็น^{[ 3 ]}${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

โดยที่นิยามแรกเท่านั้นที่ใช้กับเซมิกรุป หากไม่มีความกำกวมเกี่ยวกับกลุ่มที่กล่าวถึงสามารถละเว้นG จากสัญลักษณ์ได้ เมื่อ เป็น เซต ที่มีสมาชิกเดียวเราจะเขียน C _G ( a ) แทน C _G ({ a }) สัญลักษณ์อีกแบบหนึ่งที่ใช้กันน้อยกว่าสำหรับตัวทำให้เป็นศูนย์กลางคือ Z( a ) ซึ่งขนานกับสัญลักษณ์สำหรับศูนย์กลางด้วยสัญลักษณ์แบบหลังนี้ ต้องระมัดระวังเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างศูนย์กลางของกลุ่มG , Z( G ) และตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของสมาชิกgในG , Z( g ) ${\displaystyle S=\{a\}}$

ตัวปรับมาตรฐานของSในกลุ่ม (หรือเซมิกรุป) Gถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

โดยที่นิยามแรกเท่านั้นที่ใช้กับเซมิกรุป หากเซตเป็นกลุ่มย่อยของแล้วนอร์มาไลเซอร์คือกลุ่มย่อยที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นกลุ่มย่อยปกติของ นิยามของเซนทริไลเซอร์และนอร์มาไลเซอร์คล้ายกันแต่ไม่เหมือนกัน หากgอยู่ในเซนทริไลเซอร์ของและsอยู่ในแล้วgs = sgแต่ถ้าgอยู่ในนอร์มาไลเซอร์ แล้วgs = tgสำหรับt บางตัว ในโดยที่tอาจแตกต่างจากsนั่นคือ สมาชิกของเซนทริไลเซอร์ของต้องสลับตำแหน่งได้แบบจุดต่อจุดกับแต่สมาชิกของนอร์มาไลเซอร์ของSจำเป็นต้องสลับตำแหน่งได้กับS ในฐานะเซต เท่านั้น ข้อ ตกลงเชิงสัญลักษณ์เดียวกันที่กล่าวถึงข้างต้นสำหรับเซนทริไลเซอร์ก็ใช้กับนอร์มาไลเซอร์ด้วย ไม่ควรสับสนนอร์มาไลเซอร์กับนอร์มัลโคลเชอร์ ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N_{G}(S)}$${\displaystyle G'\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

เห็นได้ชัดว่าทั้งสองเป็นกลุ่มย่อยของ ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$${\displaystyle G}$

ถ้าRเป็นริงหรือพีชคณิตเหนือฟิลด์และเป็นเซตย่อยของRแล้ว ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของจะเหมือนกับที่กำหนดไว้สำหรับกลุ่มทุกประการ โดยใช้ RแทนG${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ถ้าเป็นพีชคณิตลี (หรือวงแหวนลี ) ที่มีผลคูณลี [ x , y ] แล้วตัวกลางของเซตย่อยของจะถูกกำหนดให้เป็น^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

นิยามของตัวทำให้เป็นศูนย์กลางสำหรับวงแหวนลีนั้นเชื่อมโยงกับนิยามของวงแหวนในลักษณะต่อไปนี้ ถ้าRเป็นวงแหวนแบบสมาคมแล้วRสามารถกำหนดผลคูณวงเล็บ ได้เป็น [ x , y ] = xy − yxแน่นอนว่าxy = yxก็ต่อเมื่อ[ x , y ] = 0ถ้าเรากำหนดเซตRที่มีผลคูณวงเล็บเป็น L _Rแล้วเห็นได้ชัดว่าตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของ วงแหวน ในRเท่ากับตัว ทำให้เป็นศูนย์กลาง ของวงแหวนลีใน L _R${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

วงเล็บ Lie สามารถมองได้ว่าเป็นการดำเนินการของเซตบนตัวมันเองเช่นกัน เพราะวงเล็บ Lie สร้างกลุ่ม และตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของกลุ่มนั้นก็คือสมาชิกทั้งหมดอย่างไรก็ตาม เนื่องจากวงเล็บ Lie เป็นแบบสลับกัน เงื่อนไขนี้จึงเทียบเท่ากับดังนั้น ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางจึงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันสำหรับพีชคณิต Lie เช่นเดียวกับกลุ่ม ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle [*,*]:{\mathfrak {L}}\times {\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {L}},[*,*])}$${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=[s,x]{\text{ for all }}s\in S\}.}$${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

ตัวทำให้ปกติของเซตย่อยของพีชคณิตลี (หรือวงแหวนลี) จะได้รับจาก^{[ 4 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

แม้ว่านี่จะเป็นการใช้คำว่า "normalizer" ในพีชคณิต Lie ตามมาตรฐาน แต่การสร้างนี้แท้จริงแล้วคือidealizerของเซตในถ้าเป็นกลุ่มย่อยแบบบวกของ แล้ว จะเป็น ^{วงแหวน}ย่อย Lie ที่ใหญ่ที่สุด (หรือพีชคณิตย่อย Lie แล้วแต่กรณี) ซึ่ง เป็น อุดมคติ Lie [ ^{5 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$${\displaystyle S}$

พิจารณากลุ่มนี้

${\displaystyle G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}}$(กลุ่มสมมาตรของการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 3 ตัว)

เลือกกลุ่มย่อยจากกลุ่มนั้น: ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}$

โปรดทราบว่าคือการเรียงสับเปลี่ยนเอกลักษณ์ในและคงลำดับของแต่ละองค์ประกอบไว้ ในขณะที่คือการเรียงสับเปลี่ยนที่ตรึงองค์ประกอบแรกไว้ และสลับองค์ประกอบที่สองและสาม ${\displaystyle [1,2,3]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [1,3,2]}$

ตัวทำให้เป็นมาตรฐานของเมื่อเทียบกับกลุ่มคือ สมาชิกทั้งหมดของที่ให้ผลลัพธ์เป็นเซต(อาจมีการสลับตำแหน่ง) เมื่อสมาชิกนั้นทำการคอนจูเกตโดยการคำนวณตัวอย่างสำหรับแต่ละสมาชิกของ: ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle [1,2,3]}$เมื่อนำไปใช้กับ: ; ดังนั้นจึงอยู่ในตัวปรับมาตรฐาน${\displaystyle H}$${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$${\displaystyle [1,2,3]}$${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [1,3,2]}$เมื่อนำไปใช้กับ: ; ดังนั้นจึงอยู่ในตัวปรับมาตรฐาน${\displaystyle H}$${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$${\displaystyle [1,3,2]}$${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [2,1,3]}$เมื่อนำไปใช้กับ: ; ดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ในตัวปรับมาตรฐาน${\displaystyle H}$${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}\neq H}$${\displaystyle [2,1,3]}$${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [2,3,1]}$เมื่อนำไปใช้กับ: ; ดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ในตัวปรับมาตรฐาน${\displaystyle H}$${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}\neq H}$${\displaystyle [2,3,1]}$${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [3,1,2]}$เมื่อนำไปใช้กับ: ; ดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ในตัวปรับมาตรฐาน${\displaystyle H}$${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}\neq H}$${\displaystyle [3,1,2]}$${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [3,2,1]}$เมื่อนำไปใช้กับ: ; ดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ในตัวปรับมาตรฐาน${\displaystyle H}$${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}\neq H}$${\displaystyle [3,2,1]}$${\displaystyle N_{G}(H)}$

ดังนั้น ตัวทำให้เป็นมาตรฐานของin คือเนื่องจากองค์ประกอบกลุ่มทั้งสองนี้รักษาเซตภายใต้การผันแปร ${\displaystyle N_{G}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}$${\displaystyle H}$

ตัวกลางของกลุ่มคือเซตของสมาชิกที่ทำให้สมาชิกแต่ละตัวของไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อทำการผันแปร กล่าวคือ เซตของสมาชิกที่สลับที่ได้กับสมาชิกทุกตัวใน ในตัวอย่างนี้เห็นได้ชัดว่าสมาชิกเพียงตัวเดียวใน S ₃ ที่เป็นเช่นนั้น คือตัวมันเอง ([1, 2, 3], [1, 3, 2]) ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

ให้แทนตัวกลางของในเซมิกรุป; กล่าวคือจากนั้นจะก่อให้เกิดเซมิกรุปย่อยและ; กล่าวคือ คอมมิวแทนต์ คือไบคอมมิวแทนต์ของ ตัวเอง${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$

แหล่งที่มา: ^{[ 6 ]}

• ตัวรวมศูนย์และตัวปรับมาตรฐานของต่างก็เป็นกลุ่มย่อยของG${\displaystyle S}$
• เห็นได้ชัดว่าC _G ( S ) ⊆ N _G ( S )อันที่จริง C _G ( S ) เป็นกลุ่มย่อยปกติของ N _G ( S ) เสมอ โดยเป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมN _G ( S ) → Bij( S )และกลุ่ม N _G ( S )/C _G ( S ) ทำหน้าที่โดยการผันเป็นกลุ่มของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบนSเช่นกลุ่ม Weylของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัด Gที่มีทอรัสTถูกกำหนดเป็นW ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T )และโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าทอรัสเป็นทอรัสสูงสุด (เช่นC _G ( T ) = T )มันเป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีของกลุ่ม Lie
• C _G (C _G ( S )) ประกอบด้วยแต่ C _G ( S ) ไม่จำเป็นต้องประกอบด้วยการบรรจุเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มสลับที่${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว N _G ( H ) จะมีH อยู่ ด้วย
• ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว กลุ่มย่อยที่ใหญ่ที่สุดของGที่Hเป็นกลุ่มปกติคือกลุ่มย่อย N _G ( H )
• ถ้า S เป็นเซตย่อยของGโดยที่สมาชิกทั้งหมดของSสลับที่กันได้ แล้วกลุ่มย่อยที่ใหญ่ที่สุดของGที่มีศูนย์กลางประกอบด้วย S คือกลุ่มย่อย C _G ( S )${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• กลุ่มย่อยHของกลุ่มGเรียกว่าอะไรกลุ่มย่อยปรับมาตรฐานด้วยตนเองของGถ้าN _G ( H ) = H .
• ศูนย์กลางของGคือ C _G (G) และGเป็นกลุ่มอาเบเลียนก็ต่อเมื่อC _G (G) = Z( G ) = G
• สำหรับเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวC _G ( a ) = N _G ( a ) .
• โดยสมมาตร ถ้าและTเป็นเซตย่อยสองเซตของG แล้ว T ⊆ C _G ( S )ก็ต่อเมื่อS ⊆ C _G ( T )${\displaystyle S}$
• สำหรับกลุ่มย่อยHของกลุ่มGทฤษฎีบทN/Cกล่าวว่ากลุ่มแฟกเตอร์ N _G ( H )/C _G ( H ) สมสัณฐานกับกลุ่มย่อยของ Aut( H ) ซึ่งเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของHเนื่องจากN _G ( G ) = GและC _G ( G ) = Z( G )ทฤษฎีบท N/C จึงบ่งชี้ด้วยว่าG /Z( G ) สมสัณฐานกับ Inn( G ) ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของ Aut( G ) ที่ประกอบด้วยออโตมอ ร์ฟิซึมภายในทั้งหมดของG
• ถ้าเรากำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มT  : G → Inn( G )โดยT ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹แล้วเราสามารถอธิบาย N _G ( S ) และ C _G ( S ) ในแง่ของการกระทำของกลุ่ม Inn( G ) บนG ได้โดยที่ตัวรักษาเสถียรภาพของใน Inn( G ) คือT (N _G ( S )) และกลุ่มย่อยของ Inn( G ) ที่ตรึงจุดต่อจุดคือT (C _G ( S ))${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• กล่าวได้ว่ากลุ่มย่อยHของกลุ่มG เป็น กลุ่มปิด Cหรือกลุ่มสลับเปลี่ยนตัวเองสองทางถ้าH = C _G ( S )สำหรับเซตย่อยS ⊆ G บางเซต ถ้าเป็นเช่นนั้น ในความเป็นจริงH = C _G (C _G ( H ) )

แหล่งที่มา: ^{[ 4 ]}

• ตัวกลางในริงและในพีชคณิตเหนือฟิลด์คือซับริงและซับพีชคณิตเหนือฟิลด์ ตามลำดับ ตัวกลางในริงลีและในพีชคณิตลีคือซับริงลีและซับพีชคณิตลี ตามลำดับ
• ตัวปรับค่าปกติของในวงแหวน Lie ประกอบด้วยตัวจัดศูนย์กลางของ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• C _R (C _R ( S )) ประกอบด้วยแต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากันทฤษฎีบทตัวกลางคู่จะกล่าวถึงสถานการณ์ที่เกิดความเท่าเทียมกัน${\displaystyle S}$
• ถ้าเป็นกลุ่มย่อยแบบบวกของวงแหวนลีAแล้ว N _A ( S ) คือวงแหวนลีย่อยที่ใหญ่ที่สุดของAซึ่งเป็นอุดมคติลี${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• ถ้า เป็น วงแหวนย่อย Lie ของวงแหวน Lie Aแล้วS ⊆ N _A ( S )${\displaystyle S}$

• คอมมิวเทเตอร์
• ตัวคูณและตัวรวมศูนย์ (ปริภูมิบานาค)
• กลุ่มย่อยตัวกันสั่น