ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีกลุ่มกลุ่มผลหารหรือกลุ่มตัวประกอบคือกลุ่มที่ได้จากการรวมสมาชิกที่คล้ายคลึงกันของกลุ่มที่ใหญ่กว่า โดยใช้ความสัมพันธ์สมมูลที่รักษาโครงสร้างบางส่วนของกลุ่มไว้ (ส่วนที่เหลือของโครงสร้างจะถูก "แยกตัวประกอบออก")

ตัวอย่างเช่นกลุ่มวัฏจักรของการบวกมอดูลnสามารถได้มาจากกลุ่มจำนวนเต็มภายใต้การบวก โดยการระบุองค์ประกอบที่แตกต่างกันด้วยผลคูณของ n และกำหนดโครงสร้างกลุ่มที่ดำเนินการกับแต่ละคลาสดังกล่าว (เรียกว่าคลาสความสอดคล้อง ) เป็นหน่วยเดียว ${\displaystyle n}$

สำหรับความสัมพันธ์สมมูลบนกลุ่มชั้นสมมูลของสมาชิกเอกลักษณ์ จะเป็น กลุ่มย่อยปกติของกลุ่มเดิมเสมอ และชั้นสมมูลอื่นๆ ก็คือ โคเซตของกลุ่มย่อยปกตินั้นพอดี ผลหารที่ได้จะเขียนเป็น⁠ ⁠${\displaystyle G\,/\,N}$โดยที่คือกลุ่มเดิม และคือกลุ่มย่อยปกติ อ่านว่า ' ⁠ ⁠ ' โดยที่ย่อมาจากmodulo (ควรตีความสัญลักษณ์⁠ ⁠ด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากผู้เขียนบางคน (เช่น Vinberg ^{[ 1 ]} ) ใช้เพื่อแสดงโคเซตซ้ายของในสำหรับกลุ่มย่อยใดๆแม้ว่าโคเซตเหล่านี้จะไม่ก่อให้เกิดกลุ่มหากไม่ใช่กลุ่มย่อยปกติใน⁠ ⁠ผู้เขียนคนอื่นๆ (เช่น Dummit และ Foote ^{[ 2 ]} ) ใช้สัญลักษณ์นี้เพื่ออ้างถึงกลุ่มผลหารเท่านั้น โดยการปรากฏของสัญลักษณ์นี้หมายความว่าเป็นกลุ่มย่อยปกติใน⁠ ⁠ ) ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G{\bmod {N}}}$${\displaystyle {\text{mod}}}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

ความสำคัญส่วนใหญ่ของกลุ่มผลหารนั้นมาจากความสัมพันธ์กับโฮโมมอร์ฟิซึมทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกกล่าวว่าภาพของกลุ่มใดๆ ภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมจะ สมมูลกับผลหารของกลุ่มนั้นเสมอโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภาพของภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึม จะสมมูลกับโดย ที่แทนเคอร์เนลของกลุ่มนั้น${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$${\displaystyle \ker(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$

แนวคิดคู่ขนานของกลุ่มผลหารคือกลุ่มย่อยซึ่งเป็นสองวิธีหลักในการสร้างกลุ่มที่เล็กกว่าจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า กลุ่มย่อยปกติใด ๆ จะมีกลุ่มผลหารที่สอดคล้องกัน ซึ่งเกิดจากกลุ่มที่ใหญ่กว่าโดยการขจัดความแตกต่างระหว่างสมาชิกของกลุ่มย่อย ในทฤษฎีหมวดหมู่กลุ่มผลหารเป็นตัวอย่างของวัตถุผลหารซึ่งเป็นคู่ขนานกับวัตถุย่อย

เมื่อกำหนดกลุ่ม และกลุ่มย่อย⁠ ⁠และสมาชิกคงที่เราสามารถพิจารณาโคเซต ซ้ายที่สอดคล้องกันได้ดังนี้ : ⁠ ⁠โคเซตเป็นกลุ่มของเซตย่อยตามธรรมชาติของกลุ่ม ตัวอย่างเช่น พิจารณากลุ่มอาเบเลียนของจำนวนเต็มซึ่งมีการดำเนินการที่กำหนดโดยการบวกตามปกติ และกลุ่มย่อยของจำนวนเต็มคู่ ดังนั้นจะมีโคเซตอยู่สองโคเซตพอดี คือ ⁠ ⁠ซึ่งเป็นจำนวนเต็มคู่ และ⁠ ⁠ซึ่งเป็นจำนวนเต็มคี่ (ในที่นี้เราใช้สัญกรณ์การบวกสำหรับการดำเนินการทวิภาคแทนที่จะใช้สัญกรณ์การคูณ) ดังนั้นกลุ่มผลหารคือ ซึ่งเป็นกลุ่มสองสมาชิกที่สม isomorphic กับ ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 0+H}$${\displaystyle 1+H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \{0+H,1+H\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

สำหรับกลุ่มย่อยทั่วไป⁠ ⁠${\displaystyle H}$เป็นที่พึงปรารถนาที่จะกำหนดการดำเนินการกลุ่มที่เข้ากันได้บนเซตของโคเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มย่อยปกติ ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง กลุ่มย่อยของกลุ่มเป็นกลุ่มย่อยปกติก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกันของโคเซตเป็นจริงสำหรับทุก⁠ ⁠กลุ่ม ย่อยปกติของจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ แทน${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aN=Na}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

ให้เป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่ม⁠ ⁠กลุ่มผลหารถูกกำหนดให้เป็นเซตของโคเซตซ้ายทั้งหมดของใน⁠ ⁠ กล่าว คือ⁠ ⁠ [ ^{3 ] โดยมีการดำเนิน การ}ของกลุ่มที่กำหนดไว้เป็น⁠ ⁠สามารถแสดงได้ว่าการดำเนินการนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของกลุ่ม ทั้งหมด${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N\ \forall \ a,b\in G}$

เนื่องจากเป็นกลุ่มย่อยปกติของดังนั้นโคเซตซ้ายและขวาของในจึงเหมือนกัน และด้วยเหตุนี้ จึงสามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่าว่า คือเซตของโคเซตขวาทั้งหมดของในเนื่องจาก สมาชิกเอกลักษณ์คือดังนั้น${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\in N}$${\displaystyle a\in aN}$

เพื่อ หลีกเลี่ยงความขัดแย้ง นิยามนี้กำหนดให้มีค่าเท่ากันเมื่อ หรือถูกสร้างขึ้นโดยใช้องค์ประกอบที่แตกต่างกันของกล่าวคือถ้าและแล้วสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงเสมอเมื่อเป็นกลุ่มย่อยปกติ ดังนี้: โดยที่การ พิสูจน์ นี้ ใช้ได้เฉพาะกับกลุ่มย่อยปกติเท่านั้น เนื่องจากใช้คุณสมบัติ${\displaystyle (ab)N}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aN=xN}$${\displaystyle bN=yN}$${\displaystyle (ab)N=(xy)N}$${\displaystyle N}$${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N.}$${\displaystyle a,b,x,y\in G}$${\displaystyle yN=Ny}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการดำเนินการนั้นมีความชัดเจนเมื่อเป็นกลุ่มย่อยปกติ อย่างไรก็ตาม นิยามนั้นกำหนดให้ต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ เนื่องจากว่าการดำเนินการของกลุ่มนั้นมีความชัดเจน เฉพาะ สำหรับกลุ่มย่อยปกติเท่านั้น${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

เพื่อแสดงให้เห็นสิ่งนี้ ก่อนอื่นให้สมมติว่าการดำเนินการของกลุ่มนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี กล่าวคือ ถ้าและสำหรับ⁠ ⁠ ใดๆ แล้ว⁠ ⁠ . ${\displaystyle xN=aN}$${\displaystyle yN=bN}$${\displaystyle x,y,a,b\in G}$${\displaystyle (ab)N=(xy)N}$

ทีนี้ลองพิจารณาและ ใด ๆก็ได้โดยใช้คุณสมบัติของโคเซตที่ว่าเราจะได้ว่า: ⁠ ⁠${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle nN=N=eN}$${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

เมื่อใช้เราจะได้และดังนั้นหมายความว่าจะต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติของ ดังนั้น การดำเนินการ ของกลุ่มจึงมีความหมายที่ชัดเจนก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มย่อยปกติ เท่านั้น${\displaystyle gN=(ng)N}$${\displaystyle N=(g^{-1}ng)N}$${\displaystyle g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N,g\in G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณากลุ่มที่มีการบวกแบบโมดูลัส 6: ⁠ ⁠${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$พิจารณาสับกรุ๊ป⁠ ⁠${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$ซึ่งเป็นสับกรุ๊ปปกติเพราะเป็นกลุ่มสลับที่ดังนั้นเซตของโคเซต (ด้านซ้าย) จึงมีขนาดสาม: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}.}$

การดำเนินการทวิภาคที่นิยามไว้ข้างต้นทำให้เซตนี้กลายเป็นกลุ่ม ซึ่งเรียกว่ากลุ่มผลหาร ซึ่งในกรณีนี้เป็นกลุ่มสมมาตรกับกลุ่มวัฏจักรอันดับ 3

กลุ่มผลหารสามารถเปรียบเทียบได้กับการหารจำนวนเต็มเมื่อหาร 12 ด้วย 3 จะได้ผลลัพธ์ 4 เพราะเราสามารถจัดกลุ่มวัตถุ 12 ชิ้นใหม่เป็น 4 กลุ่มย่อย กลุ่มละ 3 ชิ้น กลุ่มผลหารก็ใช้หลักการเดียวกัน แม้ว่าสุดท้ายจะได้กลุ่มเป็นคำตอบแทนที่จะเป็นตัวเลข โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มจะมีโครงสร้างมากกว่าการจัดเรียงวัตถุแบบสุ่ม ดังนั้น ในกลุ่มผลหารโครงสร้างของกลุ่มจึงถูกนำมาใช้เพื่อสร้าง "การจัดกลุ่มใหม่" ที่เป็นธรรมชาติ ซึ่งก็คือโคเซตของกลุ่มเหล่านั้นเนื่องจาก เราเริ่มต้นด้วยกลุ่มและกลุ่มย่อยปกติ กลุ่มผลหารสุดท้ายจึงมีข้อมูลมากกว่าแค่จำนวนโคเซต ( ซึ่งเป็นผลลัพธ์จากการหารปกติ) แต่ยังมีโครงสร้างของกลุ่มอยู่ ด้วย${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

พิจารณากลุ่มของจำนวนเต็ม (ภายใต้การบวก) และกลุ่มย่อยที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด กลุ่มนี้เป็นกลุ่มย่อยปกติ เพราะเป็นกลุ่มอาเบเลียนมีเพียงสองโคเซต คือ เซตของจำนวนเต็มคู่และเซตของจำนวนเต็มคี่ ดังนั้นกลุ่มผลหารจึงเป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีสองสมาชิก กลุ่มผลหารนี้สมสัณฐานกับเซตที่มีการบวกแบบมอดูล 2 โดยทั่วไปแล้ว บางครั้งอาจกล่าวได้ว่าเท่ากับเซตที่มีการบวกแบบมอดูล 2 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

ตัวอย่างอธิบายเพิ่มเติม...

ให้เป็นเศษเหลือจากการหารด้วยแล้วเมื่อเป็นจำนวนคู่ และเมื่อเป็นจำนวนคี่${\displaystyle \gamma (m)}$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \gamma (m)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma (m)=1}$${\displaystyle m}$

ตามนิยามของ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ , เคอร์เนลของ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ , ,${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$คือเซตของจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด

ให้⁠ ⁠${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$ . แล้วเป็นกลุ่มย่อย เพราะเอกลักษณ์ใน⁠ ⁠ซึ่งก็คือ⁠ ⁠อยู่ใน⁠ ⁠ผลรวมของจำนวนคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นถ้าและอยู่ใน⁠ ⁠ กลุ่มย่อยก็จะอยู่ใน(การปิด) และถ้าเป็นจำนวนคู่ กลุ่ม ย่อย ก็จะเป็นจำนวนคู่เช่นกัน และดังนั้นจึงมีตัวผกผันของกลุ่มย่อยนั้นด้วย${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -m}$${\displaystyle H}$

กำหนดให้เป็นสำหรับและเป็นกลุ่มผลหารของโคเซตซ้าย; ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

โปรดทราบว่าเราได้กำหนด⁠ ⁠${\displaystyle \mu }$ ไว้ แล้วว่า ถ้าเป็นจำนวนคี่ และถ้าเป็นจำนวนคู่${\displaystyle \mu (aH)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$

ดังนั้น จึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจากไปยัง⁠ ⁠ .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

เป็นการสรุปโดยทั่วไปเล็กน้อยจากตัวอย่างที่แล้ว พิจารณากลุ่มของจำนวนเต็มภายใต้การบวกอีกครั้ง ให้⁠ ⁠เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ เราจะพิจารณากลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยพหุคูณทั้งหมดของ⁠ ⁠อีกครั้งหนึ่งเป็นกลุ่มปกติในเพราะเป็นกลุ่มสลับที่ โคเซตคือชุด⁠ ⁠จำนวนเต็มเป็นสมาชิกของโคเซต⁠ ⁠โดยที่คือเศษเหลือเมื่อหารด้วย⁠ ⁠ผลหารสามารถคิดได้ว่าเป็นกลุ่มของ "เศษเหลือ" มอดูล⁠ ⁠นี่คือกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ราก ที่สิบสองของเอกภาพซึ่งเป็นจุดบนวงกลมหน่วยเชิงซ้อน ก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียนแบบคูณ⁠ ⁠ดังแสดงในภาพด้านขวาเป็นลูกบอลสี โดยตัวเลขที่แต่ละจุดแสดงถึงอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน พิจารณากลุ่มย่อยที่ประกอบด้วยรากที่สี่ของเอกภาพ ซึ่งแสดงเป็นลูกบอลสีแดง กลุ่มย่อยปกติจะแบ่งกลุ่มออกเป็นสามโคเซต ซึ่งแสดงด้วยสีแดง สีเขียว และสีน้ำเงิน เราสามารถตรวจสอบได้ว่าโคเซตเหล่านี้ก่อให้เกิดกลุ่มที่มีสามสมาชิก (ผลคูณของสมาชิกสีแดงกับสมาชิกสีน้ำเงินคือสีน้ำเงิน ตัวผกผันของสมาชิกสีน้ำเงินคือสีเขียว เป็นต้น) ดังนั้น กลุ่มผลหารจึงเป็นกลุ่มของสามสี ซึ่งก็คือกลุ่มวัฏจักรที่มีสามสมาชิก ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$

พิจารณากลุ่มของจำนวนจริง ภายใต้การบวก และกลุ่มย่อยของจำนวนเต็ม แต่ละโคเซตของในคือเซตในรูปแบบโดยที่เป็นจำนวนจริง เนื่องจากและเป็นเซตที่เหมือนกันเมื่อส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของและเท่ากัน เราจึงสามารถกำหนดข้อจำกัด ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงความหมาย การบวกโคเซตดังกล่าวทำได้โดยการบวกจำนวนจริงที่สอดคล้องกัน และลบ 1 ถ้าผลลัพธ์มากกว่าหรือเท่ากับ 1 กลุ่มผลหาร เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มวงกลมซึ่งเป็นกลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์ 1 ภายใต้การคูณ หรือในทำนองเดียวกัน กลุ่มของการหมุน ใน 2 มิติรอบจุดกำเนิด นั่นคือ กลุ่มออร์โธโกน อลพิเศษไอโซม อร์ ฟิซึมกำหนดโดย(ดูเอกลักษณ์ของออยเลอร์ ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle 0\leq a<1}$${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

ถ้าเป็นกลุ่มของเมทริกซ์จริง ที่ผกผันได้ และเป็นกลุ่มย่อยของเมทริกซ์จริงที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1 แล้วเป็นกลุ่มย่อยปกติใน(เนื่องจากเป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมของดีเทอร์มิแนนต์ ) โคเซตของคือเซตของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่กำหนดให้ และดังนั้น จึงสม isomorphic กับกลุ่มการคูณของจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ กลุ่มเรียกว่ากลุ่ม เชิงเส้นพิเศษ${\displaystyle G}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

พิจารณากลุ่มอาเบเลียน(นั่นคือเซตที่มีการบวกแบบมอดูล 4) และกลุ่มย่อย ⁠ ⁠ ของมันกลุ่มผลหารคือ⁠ ⁠นี่คือกลุ่มที่มีเอกลักษณ์⁠ ⁠ และการ ดำเนิน การของกลุ่ม เช่น⁠ ⁠ทั้งกลุ่มย่อยและกลุ่มผลหารสมสัณฐานกับ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

พิจารณากลุ่มการคูณ⁠ ⁠${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$เซตของเศษเหลือ ลำดับที่ ⁠ ⁠ เป็นกลุ่มย่อยการคูณที่สมมาตรกับ ⁠ ⁠ดังนั้น จึง เป็น กลุ่ม ปกติในและกลุ่มตัวประกอบมีโคเซต⁠ ⁠ระบบการเข้ารหัส Paillierตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า เป็นเรื่องยากที่จะหาโคเซตขององค์ประกอบสุ่มของโดยไม่ทราบการแยกตัวประกอบของ⁠ ⁠${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$

กลุ่มผลหารเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มตรีเวียล (กลุ่มที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว) และเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G\,/\,G}$${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$${\displaystyle G}$

อันดับของ⁠ ⁠ซึ่งตามนิยามคือจำนวนสมาชิก จะเท่ากับ⁠ ⁠ซึ่งเป็นดัชนีของใน⁠ ⁠ ถ้าเป็นเซตจำกัด ดัชนีก็จะเท่ากับอันดับของหารด้วยอันดับของ⁠ ⁠ เช่น กัน เซตอาจเป็นเซตจำกัด แม้ว่าทั้งและจะเป็นอนันต์ (ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠ ) ${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \vert G:N\vert }$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

มีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มแบบทั่วถึง "ตามธรรมชาติ" ⁠ ⁠ซึ่งส่งแต่ละองค์ประกอบของไปยังโคเซตของที่เป็นสมาชิกอยู่ นั่นคือ: ⁠ ⁠การแมปนี้บางครั้งเรียกว่า การฉายภาพแบบแคนอ นิ กของไปยัง⁠ ⁠เคอร์เนลของมันคือ⁠ ⁠${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi (g)=gN}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$

มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยและกลุ่มย่อยของ; ถ้าเป็นกลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยแล้วกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันของคือการจับคู่นี้ใช้ได้กับกลุ่มย่อยปกติของและเช่นกัน และถูกกำหนดเป็นทางการในทฤษฎีบทแลตทิซ ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \pi (H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$

คุณสมบัติสำคัญหลายประการของกลุ่มผลหารได้รับการบันทึกไว้ในทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับโฮโมมอร์ฟิซึมและทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม

ถ้า เซต นั้นเป็นเซตอาเบเลียน เซตนิลโพเทนต์ เซตที่แก้ได้เซตวัฏจักร หรือเซตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด แล้วเซตนั้นก็จะเป็นเซตอาเบ เลียน เซต นิล โพ เท นต์ เซตที่แก้ได้ เซตวัฏจักร หรือ เซต ที่ สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดเช่นกัน${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$

ถ้า เป็นกลุ่ม ย่อยในกลุ่มจำกัดและอันดับของเป็นครึ่งหนึ่งของอันดับของแล้วรับประกันได้ว่า เป็นกลุ่มย่อยปกติ ดังนั้น จึงมีอยู่และสมสัณฐานกับผลลัพธ์นี้สามารถกล่าวได้ว่า "กลุ่มย่อยใดๆ ที่มีดัชนี 2 เป็นกลุ่มย่อยปกติ" และในรูปแบบนี้ใช้ได้กับกลุ่มอนันต์ด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเป็นจำนวน^{เฉพาะ}ที่เล็กที่สุด ที่หาร ^{อันดับ}ของกลุ่มจำกัดแล้ว ถ้ามีอันดับจะต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติของ[ 4 ^]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

กำหนดให้และ เป็นกลุ่มย่อยปกติแล้วจะเป็นการขยายกลุ่มของโดยเราอาจตั้งคำถามว่าการขยายนี้เป็นการขยายแบบไม่สำคัญหรือแบบแยกส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราอาจตั้งคำถามว่าเป็นผลคูณโดยตรงหรือผลคูณกึ่งโดยตรงของ และ นี่เป็นกรณีพิเศษของปัญหาการขยาย ตัวอย่างที่การขยายไม่ใช่แบบแยกส่วนมีดังนี้ ให้ และ ซึ่งสม isomorphic กับ แล้ว ก็สม isomorphic กับ เช่นกันแต่มีเพียง automorphism แบบไม่สำคัญดังนั้นผลคูณกึ่งโดยตรงเพียงอย่างเดียวของและคือผลคูณโดยตรงเนื่องจากแตกต่างจากเราจึงสรุปได้ว่าไม่ใช่ ผล คูณ กึ่งโดยตรงของและ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$

ถ้าเป็นกลุ่ม Lieและ เป็น กลุ่มย่อย Lieปกติและปิด (ทางโทโพโลยี) ของ⁠ ⁠ผลหารก็จะเป็นกลุ่ม Lie เช่นกัน ในกรณีนี้ กลุ่มดั้งเดิมจะมีโครงสร้างของมัดไฟเบอร์ (โดยเฉพาะมัดหลัก⁠ ⁠ ) ที่มีปริภูมิฐานและไฟเบอร์⁠ ⁠มิติของเท่ากับ⁠ ⁠ ^{[ 5 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \dim G-\dim N}$

โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขที่ว่าเซตปิดนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น เพราะถ้าหากเซตไม่ปิด ปริภูมิผลหารจะไม่ใช่ปริภูมิ T1 (เนื่องจากมีโคเซตในปริภูมิผลหารที่ไม่สามารถแยกออกจากเอกลักษณ์ได้ด้วยเซตเปิด ) และดังนั้นจึงไม่ใช่ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

สำหรับกลุ่มย่อย Lie ที่ไม่ปกติ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ปริภูมิของโคเซตซ้ายไม่ใช่กลุ่ม แต่เป็นเพียงแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีการกระทำอยู่ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าปริภูมิ เอกพันธุ์${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$

• การขยายกลุ่ม
• หมวดหมู่ผลหาร
• ลำดับที่สั้นและแม่นยำ