กลุ่มสลับ

Q: คุณสมบัติพื้นฐาน

สำหรับ n > 1 กลุ่ม A n เป็น กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ ของ กลุ่มสมมาตร S n ที่มี ดัชนี 2 และดังนั้นจึงมี สมาชิก n ! /2 ตัว กลุ่มนี้เป็น เคอร์เนล ของ โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม ลายเซ็น sgn : S n → {1, −1} ซึ่งอธิบายไว้ภายใต้กลุ่ม สมมาตร

ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มสลับ (alternating group)คือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่ของเซตจำกัดกลุ่มสลับบนเซตที่ มีสมาชิก $n$ ตัว เรียกว่ากลุ่มสลับดีกรี $n$ หรือกลุ่มสลับบนตัวอักษร $n$ ตัว และเขียนแทนด้วย $A n$ หรือ $Alt(n)$

คุณสมบัติพื้นฐาน

สำหรับn > 1กลุ่ม A _nเป็นกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มสมมาตร S _nที่มีดัชนี 2 และดังนั้นจึงมี สมาชิก n ! /2 ตัว กลุ่มนี้เป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม ลายเซ็น sgn : S _n → {1, −1}ซึ่งอธิบายไว้ภายใต้กลุ่ม สมมาตร

กลุ่ม A _nเป็น กลุ่ม อาเบเลียน ก็ต่อเมื่อn ≤ 3และเป็นกลุ่มเรียบง่ายก็ต่อเมื่อn = 3หรือn ≥ 5 A ₅เป็นกลุ่มเรียบง่าย ที่ไม่ใช่อาเบเลียนที่เล็กที่สุด มีอันดับ 60 และดังนั้นจึงเป็นกลุ่มที่ไม่สามารถ แก้ได้ ที่เล็กที่สุด

กลุ่ม A ₄มีกลุ่ม Klein สี่ V เป็นกลุ่มย่อยปกติ ที่เหมาะสม กล่าวคือ เอกลักษณ์และการสลับตำแหน่งคู่{ (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }นั่นคือเคอร์เนลของการส่งทั่วถึงของ A ₄ไปยังA ₃ ≅ Z ₃เรามีลำดับที่แน่นอนV → A ₄ → A ₃ = Z ₃ในทฤษฎีกาโลอิสแผนที่นี้ หรือแผนที่ที่สอดคล้องกันS ₄ → S ₃สอดคล้องกับการเชื่อมโยงตัวแก้ไขลากรางจ์กำลังสามกับกำลังสี่ ซึ่งทำให้พหุนามกำลังสี่ สามารถแก้ได้ด้วยรากที่สอง ตามที่ Lodovico Ferrariได้ พิสูจน์ไว้

คลาสการผันคำกริยา

เช่นเดียวกับในกลุ่มสมมาตรสมาชิกสองตัวใดๆ ของ A _nที่เป็นคู่สมกันโดยสมาชิกของ A _n จะต้องมี รูปร่างวัฏจักรเดียวกันอย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป หากรูปร่างวัฏจักรประกอบด้วยวัฏจักรที่มีความยาวเป็นเลขคี่เท่านั้น โดยไม่มีวัฏจักรสองวัฏจักรใดที่มีความยาวเท่ากัน โดยที่วัฏจักรที่มีความยาวหนึ่งรวมอยู่ในประเภทของวัฏจักรแล้ว จะมีชั้นคู่สมกันเพียงสองชั้นสำหรับรูปร่างวัฏจักรนี้ ( Scott 1987 , §11.1, p299)

ตัวอย่าง:

การเรียงสับเปลี่ยนสองแบบ(123) และ (132) ไม่ใช่คู่ควบใน A ₃แม้ว่าจะมีรูปร่างวงจรเดียวกันก็ตาม และดังนั้นจึงเป็นคู่ควบในS ₃
การเรียงสับเปลี่ยน (123)(45678) ไม่เป็นคู่สมกับผกผัน (132)(48765) ใน A ₈แม้ว่าการเรียงสับเปลี่ยนทั้งสองจะมีรูปร่างวงจรเดียวกัน ดังนั้นจึงเป็นคู่สมในS ₈

ความสัมพันธ์กับกลุ่มสมมาตร

ดูกลุ่มสมมาตร

เนื่องจากกลุ่มสมมาตรจำกัดคือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของเซตที่มีสมาชิกจำกัด และกลุ่มสลับคือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนคู่ ดังนั้นกลุ่มสลับจึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรจำกัด สำหรับ n>4 นอกจากตัวกลุ่มเองและกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญแล้ว กลุ่มสลับยังเป็นกลุ่มย่อยปกติ เพียงกลุ่มเดียว ที่กลุ่มสมมาตรมี

ตัวสร้างและความสัมพันธ์

สำหรับn ≥ 3, A _nถูกสร้างขึ้นโดยวัฏจักร 3 เนื่องจากวัฏจักร 3 สามารถได้มาจากการรวมคู่ของการสลับตำแหน่ง เซตตัวสร้างนี้มักใช้เพื่อพิสูจน์ว่า A _nเป็นเซตแบบง่ายสำหรับn ≥ 5

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึม

n	ออท(แอ_น )	ออก(A _n )
n ≥ 4, n ≠ 6	ส_น	Z ₂
n = 1, 2	Z ₁	Z ₁
n = 3	Z ₂	Z ₂
n = 6	S ₆ ⋊ Z ₂	V = Z ₂ × Z ₂

สำหรับn > 3ยกเว้นn = 6 กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ A _nคือกลุ่มสมมาตร S _nโดยมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายใน A _nและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก Z ₂ออโตมอร์ฟิซึมภายนอกได้มาจากการผันแปรโดยการเรียงสับเปลี่ยนคี่

สำหรับn = 1และ 2 กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจะเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น สำหรับn = 3กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมคือ Z ₂ โดยมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายในที่ไม่มีสมาชิกอื่น และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก คือ Z ₂

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของ A ₆คือกลุ่มสี่ไคลน์V = Z ₂ × Z ₂และเกี่ยวข้องกับออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของ S ₆ออโตมอร์ฟิซึมภายนอกพิเศษใน A ₆สลับวงจร 3 (เช่น (123)) กับองค์ประกอบที่มีรูปร่าง 3 ² (เช่น (123)(456) )

ไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษ

มีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิซึมที่พิเศษ บางอย่าง ระหว่างกลุ่มสลับขนาดเล็กบางกลุ่มกับกลุ่มประเภทลีขนาด เล็ก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ ความสัมพันธ์เหล่านั้นได้แก่:

A ₄เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ PSL ₂ (3) ^{[ 1 ]}และกลุ่มสมมาตรของสมมาตรเตตระเฮดรัลไค รั ล
A ₅เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ PSL ₂ (4), PSL ₂ (5) และกลุ่มสมมาตรของสมมาตรไอโคซาเฮดรัลไค รัล (ดู^{[ 1 ]} สำหรับไอโซมอร์ฟิซึมทางอ้อมของPSL ₂ (F ₅ ) → A ₅โดยใช้การจำแนกกลุ่มง่ายที่มีอันดับ 60 และที่นี่สำหรับหลักฐานโดยตรง)
A ₆มีโครงสร้างเหมือนกับ PSL ₂ (9) และ PSp ₄ (2)'
A ₈มีลักษณะเหมือนกับ PSL ₄ (2)

เห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่า A ₃มีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มวัฏจักร Z ₃และ A ₀ , A ₁และ A ₂มีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มย่อย (ซึ่งก็คือSL ₁ ( q ) = PSL ₁ ( q )สำหรับq ใดๆ )

ตัวอย่าง

S ₄และ A ₄

กราฟวัฏจักร
A ₃ = Z ₃ (ลำดับที่ 3)	A ₄ (ลำดับที่ 12)	A ₄ × Z ₂ (ลำดับที่ 24)
S ₃ = Dih ₃ (ลำดับที่ 6)	S ₄ (ลำดับที่ 24)	A ₄ใน S ₄ทางด้านซ้าย

5 เป็นกลุ่มย่อยของการหมุน _ในปริภูมิ 3

A ₅ คือกลุ่มของไอโซเมตรีของทรงสิบสองเหลี่ยมใน ปริภูมิ 3 มิติ ดังนั้นจึงมีการแสดงแทนA ₅ → SO ₃ ( R )

ในภาพนี้ จุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมแทนสมาชิกของกลุ่ม โดยจุดศูนย์กลางของทรงกลมแทนสมาชิกเอกลักษณ์ จุดยอดแต่ละจุดแสดงถึงการหมุนรอบแกนที่ชี้จากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอดนั้น ด้วยมุมที่เท่ากับระยะห่างจากจุดกำเนิดในหน่วยเรเดียน จุดยอดในทรงหลายเหลี่ยมเดียวกันจะอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกัน เนื่องจากสมการชั้นสมมูลสำหรับ A₅ _คือ 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60เราจึงได้ทรงหลายเหลี่ยมที่แตกต่างกันสี่ทรง (ไม่ใช่ทรงหลายเหลี่ยมธรรมดา)

จุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมแต่ละรูปมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสมาชิกในกลุ่มการสมมูลของมัน ยกเว้นกลุ่มการสมมูลของวัฏจักร (2,2) ซึ่งแสดงด้วยทรงสิบสองเหลี่ยมยี่สิบหน้าบนพื้นผิวด้านนอก โดยที่จุดยอดตรงข้ามกันจะถูกระบุเหมือนกัน เหตุผลของความซ้ำซ้อนนี้คือการหมุนที่สอดคล้องกันเป็นมุม $π$ เรเดียน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ที่มีความยาว $π$ ในทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสองทิศทาง ดังนั้นกลุ่มของวัฏจักร (2,2) จึงมีสมาชิก 15 ตัว ในขณะที่ทรงสิบสองเหลี่ยมยี่สิบหน้ามีจุดยอด 30 จุด

ชั้นสมมูลสองชั้นของวัฏจักร 5 จำนวนสิบสองวงใน A ₅ถูกแทนด้วยทรงยี่สิบหน้าสองอัน ซึ่งมีรัศมี 2 $π$ /5 และ 4 $π$ /5 ตามลำดับออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ที่ไม่ธรรมดา ในOut(A ₅ ) ≃ Z ₂จะสลับชั้นทั้งสองนี้และทรงยี่สิบหน้าที่สอดคล้องกัน

ปริศนา 15 ข้อ

สามารถพิสูจน์ได้ว่าปริศนา 15ซึ่งเป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของปริศนาเลื่อน สามารถแสดง ^ได้ด้วยกลุ่มสลับ A ₁₅ [ ²^]เนื่องจากการรวมกันของปริศนา 15 สามารถสร้างได้ด้วยวงจร 3ในความเป็นจริง ปริศนาเลื่อน 2 k − 1 ใดๆ ที่มีกระเบื้องสี่เหลี่ยมขนาดเท่ากันสามารถแสดงได้ด้วยA ₂_k₋₁

กลุ่มย่อย

_{กลุ่ม A₄}เป็นกลุ่มที่เล็กที่สุดที่แสดงให้เห็นว่าบทกลับของทฤษฎีบทของลากรองจ์ไม่เป็นจริงโดยทั่วไป: เมื่อกำหนดกลุ่มจำกัดGและตัวหารdของ | G | แล้ว ไม่จำเป็นต้องมีกลุ่มย่อยของG ที่มีอันดับ dเสมอไป: กลุ่มG = A₄ _ซึ่งมีอันดับ 12 ไม่มีกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 6 กลุ่มย่อยที่มีสามสมาชิก (ที่สร้างขึ้นโดยการหมุนแบบวัฏจักรของวัตถุสามชิ้น) ที่มีสมาชิกที่ไม่ซ้ำกันและไม่เป็นศูนย์จะสร้างกลุ่มทั้งหมดขึ้นมา

สำหรับทุกn > 4กลุ่ม A _nไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยธรรมดา (กล่าวคือ กลุ่มย่อยปกติที่แท้จริง) ดังนั้น A _n จึง เป็นกลุ่มง่ายสำหรับทุกn > 4 A ₅เป็นกลุ่มที่ไม่สามารถแก้ได้ ที่ เล็ก ที่สุด

ความเหมือนกันของกลุ่ม

กลุ่มโฮโมโลยีของกลุ่มสลับแสดงให้เห็นถึงเสถียรภาพ เช่นเดียวกับในทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียร กล่าวคือ สำหรับn ที่มีค่ามากพอ มันจะคงที่ อย่างไรก็ตาม มีโฮโมโลยีพิเศษในมิติที่ต่ำกว่าอยู่บ้าง โปรดทราบว่าโฮโมโลยีของกลุ่มสมมาตรแสดงให้เห็นถึงเสถียรภาพที่คล้ายกัน แต่ไม่มีข้อยกเว้นในมิติที่ต่ำกว่า (องค์ประกอบโฮโมโลยีเพิ่มเติม)

H ₁ : การทำให้เป็นอาเบเลียน

กลุ่มโฮโมโลยีแรกสอดคล้องกับการทำให้เป็นอาเบเลียนและ (เนื่องจาก A _nสมบูรณ์แบบยกเว้นข้อยกเว้นที่กล่าวถึง) จึงเป็นดังนี้:

H ₁ (A _n , Z) = Z ₁สำหรับn = 0, 1, 2;

H ₁ (A ₃ , Z) = A^ab₃= A ₃ = Z ₃ ;

H ₁ (A ₄ , Z) = A^ab₄= Z ₃ ;

H ₁ (A _n , Z) = Z ₁สำหรับn ≥ 5

สิ่งนี้เห็นได้ง่ายโดยตรง ดังต่อไปนี้ A _nถูกสร้างขึ้นโดยวัฏจักร 3 – ดังนั้นแผนที่การทำให้เป็นกลุ่มอาเบลที่ไม่ธรรมดาเพียงอย่างเดียวคือA n _→ Z ₃เนื่องจากองค์ประกอบอันดับ 3 ต้องแมปไปยังองค์ประกอบอันดับ 3 – และสำหรับn ≥ 5วัฏจักร 3 ทั้งหมดเป็นคู่สม ดังนั้นพวกมันต้องแมปไปยังองค์ประกอบเดียวกันในการทำให้เป็นกลุ่มอาเบล เนื่องจากคู่สมเป็นองค์ประกอบธรรมดาในกลุ่มอาเบล ดังนั้นวัฏจักร 3 เช่น (123) ต้องแมปไปยังองค์ประกอบเดียวกันกับส่วนกลับของมัน (321) แต่ดังนั้นจึงต้องแมปไปยังเอกลักษณ์ เนื่องจากจะต้องมีอันดับหาร 2 และ 3 ลงตัว ดังนั้นการทำให้เป็นกลุ่มอาเบลจึงเป็นองค์ประกอบธรรมดา

สำหรับn < 3นั้น A _nเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ ดังนั้นจึงมีการแบ่งกลุ่มแบบอาเบลที่ไม่สำคัญ สำหรับ A ₃และ A ₄เราสามารถคำนวณการแบ่งกลุ่มแบบอาเบลได้โดยตรง โดยสังเกตว่าวัฏจักร 3 ก่อให้เกิดชั้นสมมูล 2 ชั้น (แทนที่จะเป็นชั้นสมมูลทั้งหมด) และมีแผนที่ที่ไม่ใช่กลุ่มที่ไม่สำคัญA ₃ ↠ Z ₃ (อัน ที่ จริงคือไอโซมอร์ฟิซึม) และA ₄ ↠ Z ₃

H ₂ : ตัวคูณชูร์

ตัวคูณ Schurของกลุ่มสลับ A _n (ในกรณีที่nมีค่าอย่างน้อย 5) คือกลุ่มวัฏจักรอันดับ 2 ยกเว้นในกรณีที่nมีค่า 6 หรือ 7 ซึ่งในกรณีนี้จะมีกลุ่มคลุมสามเท่าด้วย ในกรณีเหล่านี้ ตัวคูณ Schur จะเป็น (กลุ่มวัฏจักร) อันดับ 6 ^{[ 3 ]}สิ่งเหล่านี้ได้รับการคำนวณครั้งแรกใน ( Schur 1911 )

H ₂ (A _n , Z) = Z ₁สำหรับn = 1, 2, 3;

H ₂ (A _n , Z) = Z ₂สำหรับn = 4, 5;

H ₂ (A _n , Z) = Z ₆สำหรับn = 6, 7;

H ₂ (A _n , Z) = Z ₂สำหรับn ≥ 8

หมายเหตุ

^ ^a ^b Robinson (1996), หน้า 78
^บีเลอร์, โรเบิร์ต. "ปริศนาสิบห้าข้อ: ตัวอย่างที่สร้างแรงบันดาลใจสำหรับกลุ่มสลับ" (PDF) . faculty.etsu.edu/ . มหาวิทยาลัยรัฐอีสต์เทนเนสซี. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2021-01-07 . สืบค้นเมื่อ2020-12-26 .
^ วิลสัน, โรเบิร์ต (31 ตุลาคม 2549), "บทที่ 2.7: กลุ่มปกคลุม" , กลุ่มง่ายจำกัด, ฉบับปี 2549 , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 22 พฤษภาคม 2554

ลิงก์ภายนอก

ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มสลับ" . MathWorld .
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กราฟกลุ่มสลับ" . MathWorld .

[Robinson-p78-1] Robinson (1996), หน้า 78

[2] บีเลอร์, โรเบิร์ต. "ปริศนาสิบห้าข้อ: ตัวอย่างที่สร้างแรงบันดาลใจสำหรับกลุ่มสลับ" (PDF) . faculty.etsu.edu/ . มหาวิทยาลัยรัฐอีสต์เทนเนสซี. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2021-01-07 . สืบค้นเมื่อ2020-12-26 .

[raw-3] วิลสัน, โรเบิร์ต (31 ตุลาคม 2549), "บทที่ 2.7: กลุ่มปกคลุม" , กลุ่มง่ายจำกัด, ฉบับปี 2549 , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 22 พฤษภาคม 2554

[ 1 ]

ได้

[ 3 ]