ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีกลุ่มกลุ่มหนึ่งจะเรียกว่า กลุ่ม สมบูรณ์ (perfect group) ถ้ากลุ่มนั้นเท่ากับ กลุ่มย่อยสลับเปลี่ยน (commutator subgroup)ของตัวเองหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้ากลุ่มนั้นไม่มี ผลหาร อาเบเลียน (abelian quotients ) ที่ไม่ใช่กลุ่มย่อย ศูนย์ (non-trivial )

_{กลุ่มสมบูรณ์ที่เล็กที่สุด (ที่ไม่ใช่ กลุ่ม}สามัญ) คือกลุ่มสลับA₅โดยทั่วไปแล้วกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอาเบเลียน ใดๆ ก็ เป็นกลุ่มสมบูรณ์ เนื่องจากกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์เป็นกลุ่มย่อยปกติที่มีผลหารเป็นอาเบเลียน อย่างไรก็ตาม กลุ่มสมบูรณ์ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มง่าย ตัวอย่างเช่นกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือฟิลด์ที่มี 5 สมาชิก SL(2,5) (หรือกลุ่มไอโคซาเฮดรัลไบนารีซึ่งสมมาตร กับกลุ่มนี้) เป็นกลุ่มสมบูรณ์แต่ไม่ใช่กลุ่มง่าย (มี ศูนย์กลางที่ไม่ใช่กลุ่มสามัญที่มี) ${\displaystyle -\!\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)}$

ผลคูณโดยตรงของกลุ่มที่ไม่สลับที่แบบง่ายสองกลุ่มใดๆ นั้นสมบูรณ์แต่ไม่เรียบง่าย ตัวสลับของสองสมาชิกคือ [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]) เนื่องจากตัวสลับในแต่ละกลุ่มแบบเรียบง่ายก่อให้เกิดเซตตัวสร้าง ดังนั้นคู่ของตัวสลับจึงก่อให้เกิดเซตตัวสร้างของผลคูณโดยตรง

กลุ่มพื้นฐานของคือกลุ่มสมบูรณ์ที่มีอันดับ 120 ^{[ 1 ]}${\displaystyle SO(3)/I_{60}}$

โดยทั่วไปแล้วกลุ่มกึ่งง่าย ( ส่วนขยายศูนย์กลาง ที่สมบูรณ์แบบ ของกลุ่มง่าย) ที่เป็นส่วนขยายที่ไม่เป็นศูนย์ (และดังนั้นจึงไม่ใช่กลุ่มง่าย) นั้นสมบูรณ์แบบแต่ไม่ใช่กลุ่มง่าย ซึ่งรวมถึงกลุ่มเชิงเส้นพิเศษจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ ทั้งหมด SL( n , q ) ที่เป็นส่วนขยายของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL( n , q ) (SL(2,5) เป็นส่วนขยายของ PSL(2,5) ซึ่งสมมาตรกับA5 ) ในทำนองเดียวกัน กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือ จำนวน จริงและจำนวนเชิงซ้อน_นั้นสมบูรณ์แบบ แต่กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL ไม่เคยสมบูรณ์แบบ (ยกเว้นเมื่อเป็นศูนย์หรือเหนือซึ่งเท่ากับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ) เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ให้การทำให้เป็นอาเบเลียนที่ไม่เป็นศูนย์ และกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ก็คือ SL ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

อย่างไรก็ตาม กลุ่มสมบูรณ์ที่ไม่ใช่กลุ่มธรรมดาจำเป็นต้องไม่สามารถแก้ได้และ 4 หารอันดับ ของกลุ่ม นั้น ได้ (ถ้าเป็นกลุ่มจำกัด) ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า 8 หารอันดับของกลุ่มนั้นไม่ได้ 3 ก็จะหารได้^{[ 2 ]}

ทุกกลุ่มอะไซคลิกเป็นกลุ่มสมบูรณ์ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง: A ₅เป็นกลุ่มสมบูรณ์แต่ไม่ใช่อะไซคลิก (อันที่จริง ไม่ใช่แม้แต่ กลุ่มสมบูรณ์ แบบยิ่งยวด ) ดู ( Berrick & Hillman 2003 ) อันที่จริง สำหรับกลุ่มสลับนั้นเป็นกลุ่มสมบูรณ์แต่ไม่ใช่กลุ่มสมบูรณ์แบบยิ่งยวด โดยที่ สำหรับ${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle n\geq 8}$

ผลหารใดๆ ของกลุ่มสมบูรณ์ก็เป็นกลุ่มสมบูรณ์เช่นกัน กลุ่มสมบูรณ์จำกัดที่ไม่ใช่กลุ่มสามัญและไม่ใช่กลุ่มง่าย จะต้องเป็นส่วนขยายของกลุ่มง่ายที่ไม่สลับที่เล็กกว่าอย่างน้อยหนึ่งกลุ่ม แต่สามารถเป็นส่วนขยายของกลุ่มง่ายมากกว่าหนึ่งกลุ่มได้ อันที่จริง ผลคูณโดยตรงของกลุ่มสมบูรณ์ก็เป็นกลุ่มสมบูรณ์ด้วย

ทุกกลุ่มสมบูรณ์Gกำหนดกลุ่มสมบูรณ์อีกกลุ่มหนึ่งE ( ส่วนขยายศูนย์กลางสากล ของมัน ) พร้อมกับการส่งทั่วถึงf : E → Gซึ่งเคอร์เนลอยู่ในศูนย์กลางของE โดยที่fเป็นการส่งทั่วถึงที่มีคุณสมบัตินี้ เคอร์เนลของfเรียกว่าตัวคูณของ SchurของG เพราะ Issai Schurเป็นผู้ศึกษาเป็นครั้งแรกในปี 1904 และมันสม isomorphic กับกลุ่ม homology${\displaystyle H_{2}(G)}$

ในการสร้างบวกของทฤษฎี K ทางพีชคณิตหากเราพิจารณากลุ่มสำหรับวงแหวนสลับที่กลุ่มย่อยของเมทริกซ์พื้นฐานจะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่สมบูรณ์ ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E(R)}$

เนื่องจากกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ถูกสร้างขึ้นโดยคอมมิวเทเตอร์ กลุ่มสมบูรณ์อาจมีองค์ประกอบที่เป็นผลคูณของคอมมิวเทเตอร์แต่ไม่ใช่คอมมิวเทเตอร์เองØystein Oreแสดงให้เห็นในปี 1951 ว่ากลุ่มสลับบนองค์ประกอบห้าตัวขึ้นไปมีเพียงคอมมิวเทเตอร์เท่านั้น และคาดการณ์ว่าเป็นเช่นนั้นสำหรับกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอาเบเลียนจำกัดทั้งหมด การคาดการณ์ของ Ore ได้รับการพิสูจน์ ในที่สุด ในปี 2008 การพิสูจน์อาศัยทฤษฎีบทการจำแนกประเภท^{[ 3 ]}

ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับกลุ่มสมบูรณ์คือทฤษฎีบทของกรุน ( Grün 1935 , Satz 4, ^{[หมายเหตุ 1 ]}หน้า 3) ซึ่งคิดค้นโดยออตโต กรุน : ผลหารของกลุ่มสมบูรณ์ด้วยศูนย์กลาง ของกลุ่มนั้น ไม่มีศูนย์กลาง (มีศูนย์กลางที่ไม่สำคัญ)

บทพิสูจน์:ถ้าGเป็นกลุ่มสมบูรณ์ ให้Z ₁และZ ₂แทนพจน์สองพจน์แรกของอนุกรมกลางบนของG (กล่าวคือZ ₁คือศูนย์กลางของGและZ ₂ / Z ₁คือศูนย์กลางของG / Z ₁ ) ถ้าHและKเป็นกลุ่มย่อยของGให้แทนตัวสลับของHและKด้วย [ H , K ] และสังเกตว่า [ Z ₁ , G ] = 1 และ [ Z ₂ , G ] ⊆ Z ₁และด้วยเหตุนี้ (ใช้ข้อตกลงว่า [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ]):

${\displaystyle [Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}$

${\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.}$

โดยทฤษฎีบทของกลุ่มย่อยสามกลุ่ม (หรือเทียบเท่าโดยเอกลักษณ์ของฮอลล์-วิตต์ ) จะได้ว่า [ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1} ดังนั้นZ ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G ) และศูนย์กลางของกลุ่มผลหารG / Z ( G ) คือกลุ่มที่ไม่สำคัญ

ด้วยเหตุนี้ศูนย์กลางระดับสูง ทั้งหมด (กล่าวคือ พจน์ระดับสูงในอนุกรมศูนย์กลางบน ) ของกลุ่มสมบูรณ์จึงเท่ากับศูนย์กลาง

ในแง่ของกลุ่มโฮโมโลยีกลุ่มสมบูรณ์คือกลุ่มที่มีกลุ่มโฮโมโลยีแรกเป็นศูนย์: H ₁ ( G , Z ) = 0 เนื่องจากกลุ่มโฮโมโลยีแรกของกลุ่มคือการทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนของกลุ่ม และคำว่าสมบูรณ์หมายถึงการทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่ไม่สำคัญ ข้อดีของคำจำกัดความนี้คือสามารถเสริมความแข็งแกร่งได้:

• กลุ่มซูเปอร์เพอร์เฟคคือกลุ่มที่กลุ่มโฮโมโลจีสองกลุ่มแรกเป็นศูนย์: .${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0}$
• กลุ่มอะไซคลิกคือกลุ่มที่กลุ่มโฮโมโลจี (แบบลดรูป) ทั้งหมด มีค่าเป็นศูนย์ (ซึ่งเทียบเท่ากับการที่กลุ่มโฮโมโลจีอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเป็นศูนย์)${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.}$${\displaystyle H_{0}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาทฤษฎี K พีชคณิตกลุ่มหนึ่งจะเรียกว่ากึ่งสมบูรณ์หากกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มนั้นสมบูรณ์ ในเชิงสัญลักษณ์ กลุ่มกึ่งสมบูรณ์คือกลุ่มที่G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (คอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์คือกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์) ในขณะที่กลุ่มสมบูรณ์คือกลุ่มที่G ⁽¹⁾ = G (กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์คือกลุ่มทั้งหมด) ดู ( Karoubi 1973 , หน้า 301–411) และ ( Inassaridze 1995 , หน้า 76)

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มสมบูรณ์" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "บทแทรกของกรุน" . แมทเวิลด์ .