ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาพีชคณิตเชิงกลุ่มกลุ่มเชิงเส้นโปรเจกที ฟ (หรือที่รู้จักกันในชื่อกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปโปรเจกทีฟ หรือ PGL) คือการกระทำ เหนี่ยวนำ ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์Vบนปริภูมิโปรเจกทีฟ P( V ) ที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ กลุ่มเชิงเส้นโปรเจกทีฟเป็นกลุ่มผลหาร

PGL( V ) = GL( V ) / Z( V )

โดยที่ GL( V ) คือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของVและ Z( V ) คือกลุ่มย่อยของการแปลงสเกลาร์ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ของVซึ่งถูกตัดออกเนื่องจากพวกมันกระทำอย่างไม่สำคัญบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟและพวกมันก่อตัวเป็นแกนกลางของการกระทำ และสัญลักษณ์ "Z" สะท้อนให้เห็นว่าการแปลงสเกลาร์ก่อตัวเป็นศูนย์กลางของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ (PSL) ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน โดยเป็นการกระทำที่เหนี่ยวนำของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ:

PSL( V ) = SL( V ) / SZ( V )

โดยที่ SL( V ) คือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือVและ SZ( V ) คือกลุ่มย่อยของการแปลงสเกลาร์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับหนึ่ง ในที่นี้ SZ คือศูนย์กลางของ SL และโดยธรรมชาติแล้วจะถูกระบุว่าเป็นกลุ่มของ ราก ที่n ของเอกภาพในF (โดยที่nคือมิติของVและFคือฟิลด์ ฐาน )

PGL และ PSL เป็นกลุ่มพื้นฐานกลุ่มหนึ่งที่ใช้ในการศึกษา ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มคลาสสิกและองค์ประกอบของ PGL เรียกว่า การแปลงเชิงเส้นเชิงโปร เจคที ฟการแปลงเชิงโปรเจคทีฟหรือโฮโมกราฟีถ้าVคือ ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติเหนือฟิลด์Fกล่าวคือV = F ⁿจะมีการใช้ สัญลักษณ์อื่นแทน คือ PGL( n , F )และPSL( n , F )

PGL( n , F )และPSL( n , F )จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันก็ต่อเมื่อทุกองค์ประกอบของFมี รากที่ nใน  Fตัวอย่างเช่นPGL(2, C ) = PSL(2, C )แต่PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; ^{[ 1 ]}ซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟจริงที่สามารถกำหนดทิศทางได้ และกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟเป็นเพียงการแปลงที่รักษาทิศทางเท่านั้น

PGL และ PSL สามารถนิยามได้บนริง เช่นกัน โดยตัวอย่างที่สำคัญคือกลุ่มมอดูลาร์ PSL ( 2, Z )

ชื่อนี้มาจากเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟโดยที่กลุ่มโปรเจคทีฟที่กระทำบนพิกัดเอกพันธุ์ ( x ₀  : x ₁  : ... : x _n ) เป็นกลุ่มพื้นฐานของเรขาคณิต^{[หมายเหตุ 1 ]} กล่าวอีกนัยหนึ่ง การกระทำตามธรรมชาติของ GL( V ) บนVจะลดลงเหลือการกระทำของ PGL( V ) บนปริภูมิโปรเจคทีฟP ( V )

ดังนั้น กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟจึงเป็นการขยายกรณีPGL(2, C )ของการแปลงโมเบียส (บางครั้งเรียกว่ากลุ่มโมเบียส ) ซึ่งกระทำบนเส้นเชิงโปรเจกทีฟ

แตกต่างจากกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วถูกนิยามโดยสัจพจน์ว่า "ฟังก์ชันผกผันที่รักษาโครงสร้างเชิงเส้น (ปริภูมิเวกเตอร์)" กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟถูกนิยามโดยการสร้าง โดยเป็นผลหารของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง แทนที่จะถูกนิยามโดยสัจพจน์ว่า "ฟังก์ชันผกผันที่รักษาโครงสร้างเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ" สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในสัญลักษณ์: PGL( n , F )คือกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับGL( n , F )และเป็นกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟของ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติ ( n − 1)ไม่ใช่ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติ n

กลุ่มที่เกี่ยวข้องคือกลุ่มการเรียงตัวเชิงเส้น (collineation group ) ซึ่งกำหนดโดยสัจพจน์ การเรียงตัวเชิงเส้นคือแผนที่ผกผันได้ (หรือโดยทั่วไปคือแบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ซึ่งส่งจุดที่เรียงตัวเชิงเส้นเดียวกันไปยังจุดที่เรียงตัวเชิงเส้นเดียวกัน เราสามารถกำหนดปริภูมิเชิงฉาย (projective space) โดยสัจพจน์ได้ในแง่ของโครงสร้างการเกิดร่วมกัน (incidence structure) (เซตของจุดPเส้นLและความสัมพันธ์การเกิดร่วมกันIที่ระบุว่าจุดใดอยู่บนเส้นใด) ที่สอดคล้องกับสัจพจน์บางประการ – ออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงฉายที่กำหนดไว้เช่นนี้จะเป็นออโตมอร์ฟิซึมfของเซตของจุดและออโตมอร์ฟิซึมgของเซตของเส้น โดยรักษาความสัมพันธ์การเกิดร่วมกันไว้^{[หมายเหตุ 2 ]}ซึ่งก็คือการเรียงตัวเชิงเส้นของปริภูมิกับตัวมันเองนั่นเอง การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟเป็นการจัดเรียงเส้นตรง (ระนาบในปริภูมิเวกเตอร์สอดคล้องกับเส้นตรงในปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟที่เกี่ยวข้อง และการแปลงเชิงเส้นจะแมประนาบไปยังระนาบ ดังนั้นการแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟจึงแมปเส้นตรงไปยังเส้นตรง) แต่โดยทั่วไปแล้ว การจัดเรียงเส้นตรงทั้งหมดไม่ใช่การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟ – PGL โดยทั่วไปเป็นกลุ่มย่อยที่แท้จริงของกลุ่มการจัดเรียงเส้นตรง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับn = 2 (เส้นตรงเชิงโปรเจคทีฟ) จุดทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นกลุ่มการเรียงตัวของจุดจึงเป็นกลุ่มสมมาตรของจุดบนเส้นตรงเชิงโปรเจคทีฟ และยกเว้นF ₂และF ₃ (ซึ่ง PGL เป็นกลุ่มสมมาตรเต็ม) PGL เป็นกลุ่มย่อยที่แท้จริงของกลุ่มสมมาตรเต็มบนจุดเหล่านี้

สำหรับn ≥ 3กลุ่มคอลลิเนชันคือกลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ PΓL – ซึ่งก็คือ PGL ที่บิดเบี้ยวด้วยออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์กล่าวคือPΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k )โดยที่kคือฟิลด์เฉพาะสำหรับKนี่คือทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงโปรเจกที ฟ ดังนั้นสำหรับKที่เป็นฟิลด์เฉพาะ ( F _pหรือQ ) PGL = PΓLแต่สำหรับKที่เป็นฟิลด์ที่มีออโตมอร์ฟิซึมของกาโลอิสที่ไม่ธรรมดา (เช่นF _{p ⁿ}สำหรับn ≥ 2หรือC ) กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟจะเป็นกลุ่มย่อยที่แท้จริงของกลุ่มคอลลิเนชัน ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็น "การแปลงที่รักษา โครงสร้าง กึ่งเชิงเส้น เชิงโปร เจกทีฟ" ในทำนองเดียวกัน กลุ่มผลหารPΓL / PGL = Gal( K / k )สอดคล้องกับ "ตัวเลือกของโครงสร้างเชิงเส้น" โดยมีเอกลักษณ์ (จุดฐาน) คือโครงสร้างเชิงเส้นที่มีอยู่

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดกลุ่มการเรียงตัวเชิงเส้นสำหรับปริภูมิเชิงฉายที่กำหนดโดยสัจพจน์ ซึ่งไม่มีแนวคิดตามธรรมชาติของ การแปลงเชิง เส้น เชิงฉาย อย่างไรก็ตาม ยกเว้นระนาบที่ไม่ใช่เดซาร์เกสปริภูมิเชิงฉายทั้งหมดเป็นการทำให้เป็นเชิงฉายของปริภูมิเชิงเส้นเหนือวงแหวนแบ่งแม้ว่าดังที่กล่าวไว้ข้างต้น จะมีโครงสร้างเชิงเส้นให้เลือกหลายแบบ กล่าวคือทอร์เซอร์เหนือ Gal( K / k ) (สำหรับn ≥ 3 )

องค์ประกอบของกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการ "เอียงระนาบ" ไปตามแกนใดแกนหนึ่ง แล้วฉายภาพไปยังระนาบเดิม และยังมีมิติnด้วย

วิธีทางเรขาคณิตที่คุ้นเคยกว่าในการทำความเข้าใจการแปลงเชิงโปรเจคทีฟคือผ่านการหมุนเชิงโปรเจคทีฟ(องค์ประกอบของPSO( n + 1) ) ซึ่งสอดคล้องกับการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของการหมุนของไฮเปอร์สเฟียร์หน่วย และมีมิติn${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +n={\binom {n+1}{2}}}}$ในเชิงภาพ สิ่งนี้สอดคล้องกับการยืนอยู่ที่จุดกำเนิด (หรือวางกล้องไว้ที่จุดกำเนิด) แล้วหมุนมุมมอง จากนั้นฉายภาพลงบนระนาบแบน การหมุนในแกนที่ตั้งฉากกับไฮเปอร์เพลนจะรักษาไฮเปอร์เพลนไว้และให้ผลลัพธ์เป็นการหมุนของไฮเปอร์เพลน (องค์ประกอบของ SO( n ) ซึ่งมีมิติn ) ในขณะที่การหมุนในแกนที่ขนานกับไฮเปอร์เพลนเป็นการแมปเชิงโปรเจคทีฟที่ แท้จริง${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +(n-1)={\binom {n}{2}}}}$และคิดเป็นมิติ n ที่เหลือ

• PGL ส่งจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันไปยังจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (มันรักษาเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟไว้) แต่ไม่ใช่กลุ่มการเรียงตัวตาม เส้นตรงแบบสมบูรณ์ ซึ่งจะเป็น PΓL (สำหรับn > 2 ) หรือกลุ่มสมมาตร แบบสมบูรณ์ สำหรับn = 2 (เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ) แทน
• ออโตมอร์ฟิซึมเชิงพีชคณิต ( แบบไบเรกูลาร์ ) ทุกตัวของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟล้วนเป็นเชิงเส้นเชิงโปร เจกทีฟ ออโตมอร์ฟิซึม แบบไบราชันนัลก่อตัวเป็นกลุ่มที่ใหญ่กว่า คือกลุ่มเครโมนา
• PGL กระทำการอย่างซื่อสัตย์ต่อปริภูมิเชิงฉาย: องค์ประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์จะกระทำการอย่างไม่ธรรมดากล่าวคือ แก่นของการกระทำของ GL บนปริภูมิเชิงฉายก็คือแผนที่สเกลาร์ ซึ่งถูกตัดออกใน PGL
• PGL กระทำการแบบทรานซิทีฟ 2 ครั้งบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเนื่องจากจุด 2 จุดที่แตกต่างกันในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสอดคล้องกับเวกเตอร์ 2 ตัวที่ไม่วางอยู่บนปริภูมิเชิงเส้นเดียวกัน ดังนั้นจึงเป็นอิสระเชิงเส้นและ GL กระทำการแบบทรานซิทีฟบน เซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่มี kสมาชิก
• PGL(2, K )กระทำการทรานซิทีฟแบบ 3 อย่างชัดเจนบนเส้นโปรเจกทีฟจุดสามจุดใดๆ จะถูกแมปไปยัง [0, 1], [1, 1], [1, 0] ตามธรรมเนียม หรือในสัญกรณ์อื่นคือ 0, 1, ∞ ในสัญกรณ์การแปลงเชิงเส้นเศษส่วน ฟังก์ชัน⁠x − a/x − c⁠ ⋅ ⁠บ − ค/บ − เอ⁠แมป a ↦ 0 , b ↦ 1 , c ↦ ∞และเป็นแมปเดียวที่ทำเช่นนั้นได้ นี่คืออัตราส่วนไขว้( x , b ; a , c ) – ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่อัตราส่วนไขว้ § แนวทางการแปลง
• สำหรับn ≥ 3นั้นPGL( n , K )จะไม่แสดงคุณสมบัติ 3-transitive เนื่องจากจะต้องส่งจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน 3 จุดไปยังจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันอีก 3 จุด ไม่ใช่เซตที่กำหนดขึ้นเอง สำหรับn = 2พื้นที่นั้นเป็นเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ ดังนั้นจุดทั้งหมดจึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และนี่ไม่ใช่ข้อจำกัด
• PGL(2, K )ไม่ได้กระทำการแบบ 4-transitive บนเส้นโปรเจกทีฟ (ยกเว้นPGL(2, 3)เนื่องจากP ¹ (3) มี3 + 1 = 4จุด ดังนั้น 3-transitive จึงหมายถึง 4-transitive) ตัวแปรคงที่ที่ถูกรักษาไว้คืออัตราส่วนไขว้และสิ่งนี้จะกำหนดว่าจุดอื่น ๆ จะถูกส่งไปที่ใด การระบุตำแหน่งที่จุด 3 จุดถูกแมปจะกำหนดแผนที่ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันจึงไม่ใช่กลุ่มการเรียงตัวแบบสมบูรณ์ของเส้นโปรเจกทีฟ (ยกเว้นF ₂และF ₃ )
• PSL(2, q )และPGL(2, q ) (สำหรับq > 2และqเป็นจำนวนคี่สำหรับ PSL) เป็นสองในสี่ตระกูลของกลุ่ม Zassenhaus
• PGL( n , K )คือกลุ่มพีชคณิตที่มีมิติn ² − 1และเป็นกลุ่มย่อยเปิดของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟP ^{n 2 −1}ตามที่นิยามไว้ ฟังก์ชันPSL( n , K )ไม่ได้นิยามกลุ่มพีชคณิต หรือแม้แต่ชีฟ fppf และการสร้างชีฟของมันในโทโพโลยี fppf ก็คือ PGL( n , K )นั่นเอง
• PSL และ PGL ไม่มีศูนย์กลาง – ทั้งนี้เนื่องจากเมทริกซ์แนวทแยงไม่เพียงแต่เป็นศูนย์กลางเท่านั้น แต่ยังเป็นไฮเปอร์เซ็นเตอร์ ด้วย (ผลหารของกลุ่มด้วยศูนย์กลางของกลุ่มนั้นไม่จำเป็นต้องไม่มีศูนย์กลางเสมอไป) ^{[หมายเหตุ 3 ]}

สำหรับการแปลงโมเบียสกลุ่มPGL(2, K )สามารถตีความได้ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนที่มีสัมประสิทธิ์ในKจุดในเส้นโปรเจกทีฟเหนือKสอดคล้องกับคู่จากK ²โดยสองคู่จะเทียบเท่ากันเมื่อเป็นสัดส่วนกัน เมื่อพิกัดที่สองไม่เป็นศูนย์ จุดสามารถแทนด้วย[ z , 1]จากนั้นเมื่อad − bc ≠ 0การกระทำของPGL(2, K )จะเป็นการแปลงเชิงเส้น:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

ด้วยวิธีนี้ การแปลงต่อเนื่องสามารถเขียนได้เป็นการคูณทางขวาด้วยเมทริกซ์ดังกล่าว และการคูณเมทริกซ์สามารถใช้สำหรับผลคูณกลุ่มในPGL(2, K )ได้

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL( n , F _q )สำหรับฟิลด์จำกัดF _qมักเขียนเป็นPSL( n , q )หรือL _n ( q ) พวกมันเป็นกลุ่มง่ายจำกัดเมื่อใดก็ตามที่nมีค่าอย่างน้อย 2 โดยมีข้อยกเว้นสองประการ: ^{[ 2 ]} L ₂ (2) ซึ่งสมมาตรกับ S ₃กลุ่มสมมาตรบนตัวอักษร 3 ตัว และแก้ได้และL ₂ (3) ซึ่งสมมาตรกับ A ₄กลุ่มสลับบนตัวอักษร 4 ตัว และแก้ได้เช่นกัน ความสมมาตรพิเศษเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ว่าเกิดขึ้นจากการกระทำบนเส้นโปรเจกทีฟ

ดังนั้น กลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL( n , q )จึงเป็นกลุ่มกึ่งง่าย : ส่วนขยายศูนย์กลางที่สมบูรณ์แบบของกลุ่มง่าย (เว้นแต่n = 2และq = 2หรือ 3)

กลุ่มPSL(2, p )สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใดๆ ถูกสร้างขึ้นโดยÉvariste Galoisในช่วงทศวรรษ 1830 และเป็นกลุ่มง่ายจำกัดตระกูล ที่สอง ต่อ จากกลุ่มสลับ^{[ 3 ]} Galois สร้างกลุ่มเหล่านี้ขึ้นมาเป็นการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน และสังเกตว่ากลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มง่าย ยกเว้นในกรณีที่pเป็น 2 หรือ 3 ซึ่งปรากฏอยู่ในจดหมายฉบับสุดท้ายของเขาถึง Chevalier ^{[ 4 ]}ในจดหมายฉบับเดียวกันและเอกสารที่แนบมา Galois ยังได้สร้างกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์เฉพาะ GL ( ν , p ) ใน การ ศึกษากลุ่ม Galois ของสมการทั่วไปที่มีดีกรีp ^ν

กลุ่มPSL( n , q ) ( nทั่วไป, ฟิลด์จำกัดทั่วไป) สำหรับกำลังเฉพาะq ใดๆ ถูกสร้างขึ้นในตำราคลาสสิกปี 1870 โดยCamille Jordanชื่อTraité des substitutions et des équations algébriques

ลำดับของPGL( n , q )คือ

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n 2 −1} − O( q ^{n 2 −3} ),

ซึ่งสอดคล้องกับลำดับของGL( n , q )หารด้วยq − 1สำหรับการสร้างโปรเจคทีฟ ดูq -analogสำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับสูตรดังกล่าว ระดับดีกรีคือn ² − 1ซึ่งสอดคล้องกับมิติในฐานะกลุ่มพีชคณิต "O" มาจากสัญกรณ์ O ใหญ่หมายถึง "เทอมที่เกี่ยวข้องกับลำดับที่ต่ำกว่า" ซึ่งเท่ากับลำดับของSL( n , q ) เช่นกัน การหารด้วยq − 1 นั้น เนื่องมาจากดีเทอร์มิแนนต์

ลำดับของPSL( n , q )คือลำดับของPGL( n , q )ดังข้างต้น หารด้วยgcd( n , q − 1)ซึ่งเท่ากับ| SZ( n , q ) |จำนวนเมทริกซ์สเกลาร์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1; | F ^× / ( F ^× ) ⁿ | จำนวนคลาสขององค์ประกอบที่ไม่มี รากที่ n ; และยังเป็นจำนวนรากที่n ของเอกภาพในF _qด้วย^{[หมายเหตุ 4 ]}

นอกเหนือจากไอโซมอร์ฟิซึมแล้ว

L ₂ (2) ≅ S ₃ , L ₂ (3) ≅ A ₄ , และ PGL(2, 3) ≅ S ₄ ,

นอกจากนี้ยังมีไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษ อื่นๆ ระหว่างกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟและกลุ่มสลับ (กลุ่มเหล่านี้ทั้งหมดเป็นกลุ่มเรียบง่าย เนื่องจากกลุ่มสลับที่มีตัวอักษร 5 ตัวขึ้นไปเป็นกลุ่มเรียบง่าย):

L ₂ (4) ≅ A ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ (ดู§ การกระทำบนจุด pสำหรับการพิสูจน์)

L ₂ (9) ≅ A ₆

L ₄ (2) ≅ A ₈ ^{[ 5 ]}

ไอโซมอร์ฟิซึมL ₂ (9) ≅ A ₆ช่วยให้มองเห็นออโตมอร์ฟิซึมภายนอกที่แปลกใหม่ของ A ₆ในแง่ของ ออ โต มอร์ฟิซึมของฟิลด์และการดำเนินการเมทริกซ์ ไอโซมอร์ฟิซึมL ₄ (2) ≅ A ₈เป็นสิ่งที่น่าสนใจในโครงสร้างของกลุ่ม Mathieu M ₂₄

ส่วนขยายที่เกี่ยวข้องSL( n , q ) → PSL( n , q )เป็นกลุ่มปกคลุมของกลุ่มสลับ ( ส่วนขยายกลางที่สมบูรณ์แบบสากล ) สำหรับ A ₄ , A ₅โดยความไม่ซ้ำกันของส่วนขยายกลางที่สมบูรณ์แบบสากล สำหรับL ₂ (9) ≅ A ₆ส่วนขยายที่เกี่ยวข้องเป็นส่วนขยายกลางที่สมบูรณ์แบบ แต่ไม่ใช่สากล: มีกลุ่มปกคลุม 3 เท่า

กลุ่มเหนือF ₅มีไอโซมอร์ฟิซึมที่โดดเด่นหลายประการ:

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ Iซึ่งเป็นกลุ่มสลับบนองค์ประกอบห้าตัว หรือเทียบเท่ากับกลุ่มไอโคซาเฮดรัล

PGL(2, 5) ≅ S ₅ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรบนองค์ประกอบห้าตัว

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 Iซึ่งเป็นการปกคลุมสองเท่าของกลุ่มสลับ A ₅หรือเทียบเท่ากับกลุ่มไอโคซาเฮดรอลไบนารี

นอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อสร้างแผนที่แปลกใหม่S ₅ → S ₆ได้ ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าGL(2, 5)ไม่ใช่การครอบคลุมสองเท่าของ S ₅แต่เป็นการครอบคลุมสี่เท่า

ไอโซมอร์ฟิซึมอีกประการหนึ่งคือ:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2)เป็นกลุ่มง่ายที่มีอันดับ 168 ซึ่งเป็นกลุ่มง่ายที่ไม่สลับที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสอง และไม่ใช่กลุ่มสลับ ดูPSL (2, 7)

ไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษข้างต้นที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟเกือบทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษระหว่างตระกูลของกลุ่มง่ายจำกัด ไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษอื่น ๆ เพียงอย่างเดียวคือ PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3) ระหว่างกลุ่มเอกภาพพิเศษเชิงโปรเจก ทีฟ และกลุ่มซิมเพล็กติกเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​3 ]}

แผนที่บางส่วนข้างต้นสามารถมองเห็นได้โดยตรงในแง่ของการกระทำของ PSL และ PGL บนเส้นโปรเจกทีฟที่เกี่ยวข้อง: PGL( n , q )กระทำบนปริภูมิโปรเจกทีฟP ^{n −1} ( q ) ซึ่งมี จุด ( q ⁿ − 1)/( q − 1)จุด และสิ่งนี้ให้ผลลัพธ์เป็นแผนที่จากกลุ่มเชิงเส้นโปรเจกทีฟไปยังกลุ่มสมมาตรบนจุด( q ⁿ − 1)/( q − 1)จุด สำหรับn = 2นี่คือเส้นโปรเจกทีฟP ¹ ( q ) ซึ่งมีจุด( q 2 ⁻ 1)/( q − 1) = q + 1จุด ดังนั้นจึงมีแผนที่PGL(2, q ) → S _{q +1}

เพื่อให้เข้าใจแผนที่เหล่านี้ได้ดียิ่งขึ้น จำเป็นต้องระลึกถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้:

• ลำดับของPGL(2, q )คือ

  ( q ² − 1)( q ² − q )/( q − 1) = q ³ − q = ( q − 1) q ( q + 1);

ลำดับของPSL(2, q )จะเท่ากับค่านี้ (ถ้าคุณลักษณะคือ 2) หรือเป็นครึ่งหนึ่งของค่านี้ (ถ้าคุณลักษณะไม่ใช่ 2)

• การกระทำของกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟบนเส้นเชิงโปรเจคทีฟนั้นเป็นแบบ 3-ทรานซิทีฟอย่างเฉียบคม ( ซื่อสัตย์และ 3- ทรานซิทีฟ ) ดังนั้นแผนที่จึงเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและมีภาพเป็นกลุ่มย่อยแบบ 3-ทรานซิทีฟ

ดังนั้น ภาพนี้จึงเป็นกลุ่มย่อยแบบทรานซิทีฟ 3 ที่มีลำดับที่ทราบ ซึ่งทำให้สามารถระบุได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือแผนที่ดังต่อไปนี้:

• PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S ₃ที่มีอันดับ 6 ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึม
  • แผนที่ผกผัน ( การแสดงเชิงโปรเจคทีฟของ S ₃ ) สามารถสร้างได้โดยกลุ่มแอนฮาร์มอนิกและโดยทั่วไปจะให้ผลลัพธ์เป็นการฝังS ₃ → PGL(2, q )สำหรับทุกฟิลด์
• PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S ₄ซึ่งมีอันดับ 12 และ 24 โดยที่อันดับ 24 เป็นไอโซมอร์ฟิซึม โดยที่PSL(2, 3)เป็นกลุ่มสลับ
  • กลุ่มแอนฮาร์มอนิกให้แผนที่บางส่วนในทิศทางตรงกันข้าม โดยแมปS ₃ → PGL(2, 3)เป็นตัวรักษาเสถียรภาพของจุด −1
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S ₅ที่มีอันดับ 60 ซึ่งให้กลุ่มสลับA ₅
• PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S ₆ซึ่งมีลำดับ 60 และ 120 ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นการฝังตัวของ S ₅ (ตามลำดับ A ₅ ) เป็น กลุ่มย่อย แบบทรานซิทีฟของ S ₆ (ตามลำดับ A ₆ ) นี่เป็นตัวอย่างของแผนที่แปลกใหม่S ₅ → S ₆และสามารถใช้ในการสร้างออโตมอร์ฟิซึมภายนอกพิเศษของ S ₆ได้^{[ 6 ]}ไอโซมอร์ฟิซึมPGL(2, 5) ≅ S ₅ไม่ชัดเจนจากการนำเสนอนี้: ไม่มีเซตขององค์ประกอบ 5 ตัวที่เป็นธรรมชาติเป็นพิเศษซึ่งPGL(2, 5)กระทำ

ในขณะที่PSL( n , q )กระทำโดยธรรมชาติบนจุด( q ⁿ − 1)/( q − 1) = 1 + q + ... + q ^{n −1}จุด การกระทำที่ไม่ธรรมดาบนจุดที่น้อยกว่านั้นเกิดขึ้นได้ยากกว่า อันที่จริง สำหรับPSL(2, p )จะกระทำอย่างไม่ธรรมดาบน จุด pจุดก็ต่อเมื่อp = 2 , 3, 5, 7 หรือ 11 เท่านั้น สำหรับ 2 และ 3 กลุ่มจะไม่เป็นกลุ่มง่าย ในขณะที่สำหรับ 5, 7 และ 11 กลุ่มจะเป็นกลุ่มง่าย ยิ่งไปกว่านั้น มันจะไม่กระทำอย่างไม่ธรรมดาบน จุด ที่น้อยกว่าpจุด^{[หมายเหตุ 5 ]}สิ่งนี้ได้รับการสังเกตครั้งแรกโดยÉvariste Galoisในจดหมายฉบับสุดท้ายของเขาถึง Chevalier ในปี 1832 ^{[ 7 ]}

สามารถวิเคราะห์ได้ดังนี้ สำหรับ 2 และ 3 การกระทำไม่ซื่อสัตย์ (เป็นผลหารที่ไม่ธรรมดา และกลุ่ม PSL ไม่ใช่กลุ่มง่าย) ในขณะที่สำหรับ 5, 7 และ 11 การกระทำซื่อสัตย์ (เนื่องจากกลุ่มเป็นกลุ่มง่ายและการกระทำไม่ธรรมดา) และให้ผลลัพธ์เป็นการฝังตัวลงใน S _pในทุกกรณี ยกเว้นกรณีสุดท้ายPSL(2, 11)มันสอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษ ซึ่งกลุ่มขวาสุดมีการกระทำที่ชัดเจนบน จุด pจุด:

• L ₂ (2) ≅ S ₃ S ₂ผ่านแผนที่เครื่องหมาย${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• L ₂ (3) ≅ A ₄ A ₃ ≅ C ₃ผ่านผลหารโดยกลุ่ม Klein 4${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• L ₂ (5) ≅ A ₅ในการสร้างไอโซมอร์ฟิซึมดังกล่าว จำเป็นต้องพิจารณากลุ่มL ₂ (5) เป็นกลุ่มกาโลอิสของการปกคลุมกาโลอิสa ₅ : X (5) → X (1) = P ¹โดยที่X ( N ) เป็นเส้นโค้งมอดูลาร์ระดับNการปกคลุมนี้แตกแขนงที่ 12 จุด เส้นโค้งมอดูลาร์ X(5) มีจีนัส 0 และไอโซมอร์ฟิกกับทรงกลมเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นการกระทำของL ₂ (5) บน 12 จุดเหล่านี้จะกลายเป็นกลุ่มสมมาตรของไอโคซาเฮดร อน จากนั้นจำเป็นต้องพิจารณาการกระทำของกลุ่มสมมาตรของไอโคซาเฮดรอนบน เตตระเฮด ราที่เกี่ยวข้องทั้งห้า
• L ₂ (7) ≅ L ₃ (2)ซึ่งกระทำบนจุด 1 + 2 + 4 = 7จุดของระนาบ Fano (ระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือ F _{2 ); สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการกระทำบน} ระนาบคู่ลำดับ 2ซึ่งเป็นระนาบ Fanoเสริม
• L ₂ (11) ละเอียดอ่อนกว่าและอธิบายเพิ่มเติมด้านล่าง โดยจะกระทำบนระนาบคู่ลำดับที่ 3 ^{[ 8 ]}

นอกจากนี้L ₂ (7) และL ₂ (11) มี การกระทำที่ ไม่เท่ากัน สองอย่าง บนจุดp จุด ในทางเรขาคณิตสิ่งนี้เกิดขึ้นจากการกระทำบนระนาบคู่ ซึ่งมีจุด pจุดและ บล็อก pบล็อก – การกระทำบนจุดและการกระทำบนบล็อกต่างก็เป็นการกระทำบน จุด pจุด แต่ไม่ใช่คู่กัน (มีตัวรักษาเสถียรภาพจุดที่แตกต่างกัน) แต่กลับมีความสัมพันธ์กันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่ม^{[ 9 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ การกระทำพิเศษสามประการสุดท้ายนี้ได้รับการตีความว่าเป็นตัวอย่างของการจัดประเภท ADE : ^{[ 10 ]}การกระทำเหล่านี้สอดคล้องกับผลิตภัณฑ์ (เป็นเซต ไม่ใช่เป็นกลุ่ม) ของกลุ่มเป็นA ₄ × Z / 5 Z , S ₄ × Z / 7 ZและA ₅ × Z / 11 Zโดยที่กลุ่ม A ₄ , S ₄และ A ₅เป็นกลุ่มไอโซเมตรีของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตนิกและสอดคล้องกับE ₆ , E ₇และE ₈ภายใต้ การจับคู่ ของMcKayกรณีพิเศษทั้งสามนี้ยังปรากฏให้เห็นเป็นรูปทรงเรขาคณิตของทรงหลายเหลี่ยม (เทียบเท่ากับการปูพื้นของพื้นผิวรีมันน์ ) ตามลำดับ ได้แก่ส่วนประกอบของทรงสี่เหลี่ยมห้าอันภายในทรงยี่สิบหน้า (ทรงกลม จีนัส 0) ระนาบคู่ลำดับที่ 2 ( ระนาบฟาโน เสริม ) ภายในควอติกไคลน์ (จีนัส 3) และระนาบคู่ลำดับที่ 3 (ระนาบคู่พาเลย์ ) ภายในพื้นผิวบัคกี้บอล (จีนัส 70) ^{[ 11 ] [ 12 ]}

การกระทำของL ₂ (11) สามารถมองเห็นได้ทางพีชคณิตว่าเป็นผลมาจากการรวมพิเศษL ₂ (5) L ₂ (11)${\displaystyle \hookrightarrow }$ – มีคลาสการสมมูลสองคลาสของกลุ่มย่อยของL ₂ (11) ที่สมมาตรกับL ₂ (5) แต่ละคลาสมี 11 องค์ประกอบ: การกระทำของL ₂ (11) โดยการสมมูลบนสิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำบน 11 จุด และยิ่งไปกว่านั้น คลาสการสมมูลทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของL ₂ (11) (เช่นเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับกลุ่มย่อยของL ₂ (7) ที่สมมาตรกับ S ₄และสิ่งนี้ก็มีเรขาคณิตแบบระนาบคู่ด้วย)

ในทางเรขาคณิต การกระทำนี้สามารถเข้าใจได้ผ่านเรขาคณิตระนาบคู่ (biplane geometry ) ซึ่งนิยามไว้ดังนี้ เรขาคณิตระนาบคู่คือการออกแบบสมมาตร (เซตของจุดและ "เส้น" หรือบล็อกจำนวนเท่ากัน) โดยที่เซตของจุดสองจุดใดๆ จะอยู่ในเส้นสองเส้น ในขณะที่เส้นสองเส้นใดๆ จะตัดกันที่สองจุด ซึ่งคล้ายกับระนาบเชิงฉายจำกัด (finite projective plane) ยกเว้นว่าแทนที่จะเป็นจุดสองจุดกำหนดเส้นหนึ่งเส้น (และเส้นสองเส้นกำหนดจุดหนึ่งจุด) พวกมันจะกำหนดเส้นสองเส้น (หรือจุด) ตามลำดับ ในกรณีนี้ ( ระนาบคู่ของ Paleyซึ่งได้มาจากกราฟระบุของ Paleyอันดับ 11) จุดต่างๆ คือเส้นเชิงเส้นตรง (ฟิลด์จำกัด) F ₁₁โดยที่เส้นแรกถูกกำหนดให้เป็นเศษเหลือกำลัง สองที่ไม่เป็นศูนย์ห้าตัว (จุดที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส: 1, 3, 4, 5, 9) และเส้นอื่นๆ คือการเลื่อนเชิงเส้นตรงของเส้นนี้ (เพิ่มค่าคงที่ให้กับทุกจุด) L ₂ (11) จึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มย่อยของ S ₁₁ที่รักษาเรขาคณิตนี้ไว้ (ส่งเส้นไปยังเส้น) ทำให้ได้เซตของจุด 11 จุดที่มันกระทำ – ในความเป็นจริงมีสองจุด: จุดหรือเส้น ซึ่งสอดคล้องกับออโตมอร์ฟิซึมภายนอก – ในขณะที่L ₂ (5) เป็นตัวรักษาเสถียรภาพของเส้นที่กำหนด หรือในทางกลับกันของจุดที่กำหนด

ที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นคือ พื้นที่โคเซตL ₂ (11) / ( Z / 11 Z ) ซึ่งมีลำดับ660/11 = 60 (และกลุ่มไอโคซาเฮดรัลกระทำบนนั้น) มีโครงสร้างตามธรรมชาติของบัคกี้บอลซึ่งใช้ในการสร้างพื้นผิวบัคกี้บอล

กลุ่มPSL(3, 4)สามารถใช้สร้างกลุ่ม Mathieu M ₂₄ซึ่งเป็นหนึ่งในกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกได้ในบริบทนี้ เราจะเรียกPSL(3, 4)ว่า M ₂₁แม้ว่ามันจะไม่ใช่กลุ่ม Mathieu อย่างแท้จริงก็ตาม เราเริ่มต้นด้วยระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ที่มีสี่องค์ประกอบ ซึ่งเป็นระบบ SteinerประเภทS(2, 5, 21) – หมายความว่ามี 21 จุด แต่ละเส้น ("บล็อก" ในศัพท์ของ Steiner) มี 5 จุด และจุด 2 จุดใดๆ กำหนดเส้นหนึ่งเส้น – และPSL(3, 4)กระทำ บนระนาบนี้ เราเรียกระบบ Steiner นี้ว่า W ₂₁ ("W" ย่อมาจากWitt ) จากนั้นขยายระบบนี้ไปยังระบบ Steiner ที่ใหญ่กว่า W ₂₄โดยขยายกลุ่มสมมาตรไปพร้อมกัน: ไปยังกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปร เจคทีฟ PGL(3, 4)จากนั้นไปยังกลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟ PΓL(3, 4)และสุดท้ายไปยังกลุ่ม Mathieu M ₂₄

M ₂₄ยังมีสำเนาของPSL(2, 11)ซึ่งเป็นค่าสูงสุดใน M ₂₂และPSL(2, 23)ซึ่งเป็นค่าสูงสุดใน M ₂₄และสามารถใช้ในการสร้าง M 24 _ได้^{[ 13 ]}

กลุ่ม PSL เกิดขึ้นเป็นกลุ่ม Hurwitz (กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของพื้นผิว Hurwitz – เส้นโค้งพีชคณิตของกลุ่มสมมาตรสูงสุดที่เป็นไปได้) พื้นผิว Hurwitz ที่มีจีนัสต่ำที่สุด คือKlein quartic (จีนัส 3) มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่สมมูลกับPSL(2, 7) (เทียบเท่ากับGL(3, 2) ) ในขณะที่พื้นผิว Hurwitz ที่มีจีนัสต่ำเป็นอันดับสอง คือพื้นผิว Macbeath (จีนัส 7) มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่สมมูลกับPSL(2, 8 )

อันที่จริง กลุ่มอย่างง่ายหลายกลุ่ม แต่ไม่ใช่ทั้งหมด เกิดขึ้นเป็นกลุ่มฮูร์วิตซ์ (รวมถึงกลุ่มมอนสเตอร์ ด้วย แม้ว่ากลุ่มสลับหรือกลุ่มประปรายบางกลุ่มจะไม่ใช่ทั้งหมด) แต่ PSL นั้นโดดเด่นตรงที่รวมกลุ่มที่เล็กที่สุดดังกล่าวไว้ด้วย

กลุ่มPSL(2, Z / n Z )เกิดขึ้นในการศึกษากลุ่มมอดูลาร์ PSL (2, Z )ในฐานะผลหารโดยการลดสมาชิกทั้งหมด mod nโดยที่เคอร์เนลเรียกว่ากลุ่ม ย่อยความสอดคล้องหลัก

กลุ่มย่อยที่น่าสนใจของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป เชิงโปรเจกที ฟ PGL(2, Z ) (และของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL(2, Z [ i ]) ) คือสมมาตรของเซต{0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) ^{[หมายเหตุ 6 ]}ซึ่งรู้จักกันในชื่อกลุ่มแอนฮาร์มอนิกและเกิดขึ้นจากสมมาตรของอัตราส่วนไขว้ทั้งหกกลุ่มย่อยนี้สามารถแสดงได้ในรูปของการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนหรือแสดง (ไม่ซ้ำกัน) ด้วยเมทริกซ์ ดังนี้:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1/(1-x)}$	${\displaystyle (x-1)/x}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle 1/x}$	${\displaystyle 1-x}$	${\displaystyle x/(x-1)}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&i\\0&i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\i&-i\end{pmatrix}}}$

แถวบนสุดคือเอกลักษณ์และวัฏจักร 3 สองชุด ซึ่งรักษาการวางแนวและก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยในPSL(2, Z )ในขณะที่แถวล่างสุดคือวัฏจักร 2 สามชุด ซึ่งอยู่ในPGL(2, Z )และPSL(2, Z [ i ])แต่ไม่อยู่ในPSL(2, Z )ดังนั้นจึงปรากฏเป็นเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ −1 และสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หรือเป็นเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 และสัมประสิทธิ์ จำนวนเต็มแบบเกาส์เซียน

สิ่งนี้จะแมปกับสมมาตรของ{0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n )ภายใต้การลดรูป mod nที่น่าสังเกตคือ สำหรับn = 2กลุ่มย่อยนี้จะแมปแบบไอโซมอร์ฟิกไปยังPGL(2, Z / 2 Z ) = PSL(2, Z / 2 Z ) ≅ S ₃ , ^{[หมายเหตุ 7 ]}และด้วยเหตุนี้จึงให้การแยกPGL(2, Z / 2 Z ) PGL(2, Z )${\displaystyle \hookrightarrow }$สำหรับแผนที่ผลหารPGL (2, Z ) PGL(2, Z / 2 Z )${\displaystyle \twoheadrightarrow }$

จุดตรึงของวัฏจักร 3 ทั้งสองคืออัตราส่วนไขว้ที่ "สมมาตรที่สุด" ซึ่งก็ ^คือคำตอบของx² − x + 1 ( ราก ที่หกดั้งเดิมของเอกภาพ ) วัฏจักร 2 จะสลับจุดเหล่านี้ เช่นเดียวกับจุดอื่นๆ ที่ไม่ใช่จุดตรึง ซึ่งทำให้เกิดแผนที่ผลหาร_S³ → S² _โดยการกระทำของกลุ่มบนจุดทั้งสองนี้ กล่าวคือ กลุ่มย่อย_C³ < S³ _ที่ประกอบด้วยเอกลักษณ์และวัฏจักร 3 {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}จะตรึงจุดทั้งสองนี้ไว้ ในขณะที่สมาชิกอื่นๆ จะสลับจุดเหล่านี้ ${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$

จุดคงที่ของวัฏจักร 2 แต่ละตัวคือ −1, 1/2, 2 ตามลำดับ และเซตนี้ยังคงรักษาไว้และสลับตำแหน่งโดยวัฏจักร 3 ด้วย ซึ่งสอดคล้องกับการกระทำของ S ₃บนวัฏจักร 2 ( กลุ่มย่อย Sylow 2 ของมัน ) โดยการผันแปร และทำให้เกิดความสมมาตรกับกลุ่มของ_ออโตมอร์ฟิซึมภายใน S 3~→Inn(S ₃ ) ≅ S ₃ .

ในทางเรขาคณิต สามารถมองเห็นภาพนี้ได้ว่าเป็นกลุ่มการหมุนของพีระมิดคู่สามเหลี่ยมซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่มไดเฮดรัลของสามเหลี่ยมD ₃ ≅ S ₃ดูที่กลุ่มแอนฮาร์มอนิก

บนจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน โครงสร้างทางโทโพโลยีของ PGL และ PSL สามารถกำหนดได้จากกลุ่มเส้นใยที่กำหนดโครงสร้างเหล่านั้น:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Z} &\cong &K^{\times }&\to &\mathrm {GL} &\to &\mathrm {PGL} \\\mathrm {SZ} &\cong &\mu _{n}&\to &\mathrm {SL} &\to &\mathrm {PSL} \end{matrix}}}$

โดยผ่านลำดับที่แน่นอนและยาวของการเกิดไฟเบรชัน

สำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน SL เป็นปริภูมิคลุมของ PSL โดยมีจำนวนแผ่นเท่ากับจำนวน รากที่ nในKดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มโฮโมโทปี ระดับสูงทั้งหมด จึงสอดคล้องกัน สำหรับจำนวนจริง SL เป็นการคลุม 2 เท่าของ PSL สำหรับnคู่ และเป็นการคลุม 1 เท่าสำหรับnคี่ กล่าวคือ เป็นไอโซมอร์ฟิซึม:

{±1} → SL(2 n , R ) → PSL(2 n , R )

SL(2 n + 1, R )~→PSL(2 n + 1, R )

สำหรับสารประกอบเชิงซ้อน SL คือการปกคลุม PSL แบบ n เท่า

สำหรับ PGL สำหรับจำนวนจริง ไฟเบอร์คือR ^× ≅ {±1}ดังนั้นเมื่อพิจารณาตามหลักโฮโมโทปีGL → PGLจึงเป็นปริภูมิการปกคลุม 2 เท่า และกลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงทั้งหมดก็สอดคล้องกัน

สำหรับ PGL บนคอมเพล็กซ์ ไฟเบอร์คือC ^× ≅ S ¹ดังนั้นGL → PGLจึงเป็นบันเดิลวงกลม โดยพิจารณาจากโฮโมโทปี กลุ่มโฮโมโทปีที่สูงกว่าของวงกลมเป็นศูนย์ ดังนั้นกลุ่มโฮโมโทปีของGL( n , C )และPGL( n , C )จึงตรงกันสำหรับn ≥ 3ในความเป็นจริงπ ₂เป็นศูนย์เสมอสำหรับกลุ่มลี ดังนั้นกลุ่มโฮโมโทปีจึงตรงกันสำหรับn ≥ 2สำหรับn = 1 , π ₁ (GL( n , C )) = π ₁ ( S ¹ ) = Zกลุ่มพื้นฐานของPGL(2, C )คือกลุ่มวัฏจักรจำกัดอันดับ 2

บนจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟเป็นกลุ่มลีขั้นต่ำ ( ไร้ศูนย์กลาง ) สำหรับพีชคณิตลีเชิงเส้นพิเศษกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันทุกกลุ่มที่มีพีชคณิตลีเป็น PSL(n, F) เป็นกลุ่มปกคลุมของPSL( n , F )ในทางกลับกันกลุ่มปกคลุมสากล ของกลุ่มลีนี้ เป็น องค์ประกอบ สูงสุด ( เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ) และกลุ่มลีระดับกลางจะก่อตัวเป็นโครงข่ายของกลุ่มปกคลุม ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\colon }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$

ตัวอย่างเช่นSL(2, R )มีศูนย์กลาง {±1} และกลุ่มพื้นฐานZดังนั้นจึงมีการปกคลุมแบบสากลSL(2, R )และครอบคลุม PSL ( 2, R ) ที่ไม่มีศูนย์กลาง

โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม G → PGL( V )จากกลุ่มGไปยังกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ เรียกว่าการแทนเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่มGโดยเปรียบเทียบกับการแทนเชิงเส้น (โฮโมมอร์ฟิซึมG → GL( V ) ) อิสไซ ชูร์ได้ศึกษาเรื่องนี้และแสดงให้เห็นว่า การแทน เชิงโปรเจกทีฟของGสามารถจำแนกได้ตามการ แทน เชิงเส้นของส่วนขยายศูนย์กลางของGซึ่งนำไปสู่ตัวคูณของชูร์ (Schur multiplier ) ที่ใช้ในการแก้ปัญหานี้

กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจคทีฟส่วนใหญ่มักศึกษาสำหรับn ≥ 2แม้ว่าจะสามารถกำหนดได้สำหรับมิติที่ต่ำกว่าก็ตาม

สำหรับn = 0 (หรือในความเป็นจริงn < 0 ) ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของ^K₀ นั้นว่างเปล่า เนื่องจากไม่มีปริภูมิย่อย 1 มิติของปริภูมิ 0 มิติ ดังนั้นPGL(0, K )จึงเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ ซึ่งประกอบด้วยแผนที่ว่างเปล่าเพียงหนึ่งเดียวจากเซตว่างไปยังตัวมันเอง ยิ่งไปกว่านั้น การกระทำของสเกลาร์บนปริภูมิ 0 มิติเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญ ดังนั้นแผนที่K ^× → GL(0, K )จึงเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญ ไม่ใช่การรวมเหมือนในมิติที่สูงกว่า

สำหรับn = 1ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของK ¹คือจุดเดียว เนื่องจากมีปริภูมิย่อย 1 มิติเพียงปริภูมิเดียว ดังนั้นPGL(1, K )จึงเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ ซึ่งประกอบด้วยแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันจากเซตที่มีสมาชิกเดียวไปยังตัวมันเอง ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิ 1 มิติคือสเกลาร์ ดังนั้นแผนที่K ^×~→GL(1, K )เป็นไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกับPGL(1, K ) := GL(1, K ) / K ^× ≅ {1}ที่เป็นแบบไม่มีความสำคัญ

สำหรับn = 2นั้นPGL(2, K )ไม่ใช่สิ่งที่ไม่สำคัญ แต่มีความพิเศษตรงที่เป็น 3-transitive ซึ่งต่างจากมิติที่สูงกว่าที่มันเป็นเพียง 2-transitive เท่านั้น

• PSL(2, 7)
• กลุ่มโมดูลาร์ PSL (2, Z )
• PSL(2, R )
• กลุ่มโมเบียส , PGL(2, C ) = PSL(2, C )

• กลุ่มเชิงตั้งฉากแบบโปรเจคทีฟ (PO) – กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของ PGL
• กลุ่มเอกภาพเชิงฉาย (Projective unitary group , PU)
• กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ (PSO) – กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของ PSL
• กลุ่มเอกภาพเชิงฉายภาพ (Projective special unitary group , PSU)

กลุ่มเชิงเส้นเชิงฉาย (Projective linear group) อยู่ภายในกลุ่มที่ใหญ่กว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• กลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ PΓL ซึ่งอนุญาตให้ มีการ แปลงอัตโนมัติของฟิลด์
• กลุ่ม Cremona , Cr ( P ⁿ ( k )) ของออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัล ; ออโตมอร์ฟิซึม แบบไบเรกูลาร์ ใดๆ ก็ เป็นเชิงเส้น ดังนั้น PGL จึงตรงกับกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมแบบไบเรกูลาร์

• การแปลงเชิงฉาย
• หน่วย