ใน ทฤษฎี พื้นผิวรีมันน์และเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกพื้นผิวฮูร์วิตซ์ซึ่งตั้งชื่อตามอดอล์ฟ ฮูร์วิต ซ์ คือพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดที่มีออโตมอร์ฟิซึม 84( g − 1) ตัว โดยที่gคือจีนัสของพื้นผิว จำนวนนี้มีค่าสูงสุดตามทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์เกี่ยวกับออโตมอร์ฟิซึม ( ฮูร์วิตซ์ 1893 ) พื้นผิวเหล่านี้ยังถูกเรียกว่าเส้นโค้งฮูร์วิตซ์โดยตีความว่าเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเชิงซ้อน (มิติเชิงซ้อน 1 = มิติเชิงจริง 2)

กลุ่มฟุคเซียนของพื้นผิวฮูร์วิตซ์เป็น กลุ่มย่อยปกติแบบไม่มีแรง บิดที่มีดัชนีจำกัด ของกลุ่มสามเหลี่ยม (2,3,7) ทั่วไป กลุ่มผลหารจำกัดก็คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมนั่นเอง

ออโตมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งพีชคณิตเชิงซ้อนคือออโตมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางของพื้นผิวจริงพื้นฐาน หากอนุญาตให้มีการกลับทิศทางของไอโซเมตรี จะได้กลุ่มที่มีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า มีลำดับ 168( g − 1) ซึ่งบางครั้งก็น่าสนใจ

หมายเหตุเกี่ยวกับคำศัพท์ – ในบริบทนี้และบริบทอื่นๆ “กลุ่มสามเหลี่ยม (2,3,7)” มักไม่ได้หมายถึง กลุ่มสามเหลี่ยม เต็ม Δ(2,3,7) ( กลุ่ม Coxeterที่มีสามเหลี่ยม Schwarz (2,3,7) หรือการทำให้เป็นจริงในฐานะกลุ่มสะท้อน ไฮเปอร์โบลิก ) แต่หมายถึงกลุ่มสามเหลี่ยมธรรมดา ( กลุ่ม von Dyck ) D (2,3,7) ของแผนที่รักษาทิศทาง (กลุ่มการหมุน) ซึ่งมีดัชนี 2 กลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมเชิงซ้อนเป็นผลหารของกลุ่ม สามเหลี่ยม ธรรมดา (รักษาทิศทาง) ในขณะที่กลุ่มของไอโซเมตรี (อาจกลับทิศทาง) เป็นผลหารของกลุ่มสามเหลี่ยม เต็ม

มีพื้นผิวฮูร์วิตซ์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เกิดขึ้นกับแต่ละจีนัส ฟังก์ชันที่แมปจีนัสไปยังจำนวนพื้นผิวฮูร์วิตซ์ที่มีจีนัสนั้นไม่มีขอบเขต แม้ว่าค่าส่วนใหญ่จะเป็นศูนย์ก็ตาม ผลรวม ${\displaystyle h(g)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {h(g)}{g^{s}}}}$

ลู่เข้าสำหรับ ซึ่งบ่งชี้ในความหมายโดยประมาณว่าจีนัสของพื้นผิว Hurwitz ที่ th เติบโตอย่างน้อยเป็นฟังก์ชันกำลังสามของ( Larsen 2001 ) ${\displaystyle s>1/3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

พื้นผิว Hurwitz ที่มีจีนัสน้อยที่สุดคือKlein quarticที่มีจีนัส 3 โดยมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมคือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL(2,7)ซึ่งมีอันดับ 84(3 − 1) = 168 = 2 ³ ·3·7 ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเดี่ยว (หรืออันดับ 336 หากอนุญาตให้มีไอโซเมตรีแบบกลับทิศทาง) จีนัสถัดไปที่เป็นไปได้คือ 7 ซึ่งเป็นของพื้นผิว Macbeathโดยมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม PSL(2,8) ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเดี่ยวที่มีอันดับ 84(7 − 1) = 504 = 2 ³ ·3 ² ·7 หากรวมไอโซเมตรีแบบกลับทิศทาง กลุ่มจะมีอันดับ 1,008

ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเกิดขึ้นในจีนัสถัดไปที่เป็นไปได้ นั่นคือ 14 ที่นี่มีพื้นผิวรีมันน์ที่แตกต่างกันสามชุดซึ่งมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่เหมือนกัน (อันดับ 84(14 − 1) = 1092 = 2 ² ·3·7·13) คำอธิบายสำหรับปรากฏการณ์นี้คือเลขคณิต กล่าวคือ ในวงแหวนของจำนวนเต็ม ของ ฟิลด์จำนวนที่เหมาะสมจำนวนเฉพาะตรรกยะ 13 แยกออกเป็นผลคูณของอุดมคติเฉพาะ ที่แตกต่างกันสามตัว กลุ่มย่อยความสอดคล้องหลักที่กำหนดโดยสามตัวของจำนวนเฉพาะจะสร้างกลุ่มฟุคเซียนที่สอดคล้องกับสามตัวฮูร์วิตซ์แรก

ลำดับของค่าที่อนุญาตสำหรับจีนัสของพื้นผิวฮูร์วิตซ์เริ่มต้นขึ้น

3, 7, 14, 17, 118, 129, 146, 385, 411, 474, 687, 769, 1009, 1025, 1459, 1537, 2091, ... (ลำดับA179982ในOEIS )

• ลำดับควอเทอร์เนียนของฮูร์วิตซ์