ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงซ้อนพื้นผิวรีมันน์ (Riemann surface)คือแมนิโฟลด์เชิงซ้อนหนึ่งมิติที่เชื่อมต่อกันพื้นผิวเหล่านี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยและตั้งชื่อตามแบร์นฮาร์ด รีมันน์พื้นผิวรีมันน์สามารถคิดได้ว่าเป็นระนาบเชิงซ้อน ที่ถูกบิดเบี้ยว กล่าว คือ ในระดับท้องถิ่นใกล้กับทุกจุด พื้นผิวจะมีลักษณะคล้ายกับแผ่นของระนาบเชิงซ้อน แต่โทโพโลยี โดย รวมอาจแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น อาจมีลักษณะคล้ายทรงกลมหรือทรงโดนัทหรือแผ่นหลายแผ่นที่ติดกัน

ตัวอย่างของพื้นผิวรีมันน์ ได้แก่กราฟของฟังก์ชันหลายค่าเช่นหรือเช่น เซตย่อยของคู่ที่ มี${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \log(z)}$${\displaystyle (z,w)\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle w=\log(z)}$

พื้นผิวรีมันน์ทุกพื้นผิวเป็นพื้นผิว : เป็น แมนิโฟลด์จริงสองมิติแต่มีโครงสร้างมากกว่านั้น (โดยเฉพาะโครงสร้างเชิงซ้อน ) ในทางกลับกัน แมนิโฟลด์จริงสองมิติสามารถเปลี่ยนเป็นพื้นผิวรีมันน์ได้ (โดยปกติในหลายวิธีที่ไม่เท่ากัน) ก็ต่อเมื่อสามารถกำหนดทิศทางและกำหนดเมตริกได้ เท่านั้น ด้วยเหตุนี้ ทรงกลมและทอรัสจึงมีโครงสร้างเชิงซ้อน แต่แถบโมเบียสขวดไคลน์และระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงไม่มี พื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดทุกพื้นผิวเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเชิงซ้อนตามทฤษฎีบทของโชว์และทฤษฎีบท รีมันน์-รอช

มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับพื้นผิวรีมันน์

1. พื้นผิวรีมันน์เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีมิติเชิงซ้อนหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ ฟที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งมีแผนที่ของแผนภูมิไปยังดิสก์หน่วยเปิดของระนาบเชิงซ้อน : สำหรับทุกจุดจะมีบริเวณใกล้เคียงของที่โฮโมมอร์ฟิกกับดิสก์หน่วยเปิดของระนาบเชิงซ้อน และแผนที่การเปลี่ยนผ่านระหว่างแผนภูมิที่ทับซ้อนกันสองแผนภูมิจะต้องเป็นโฮโลมอร์ฟิก^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$
2. พื้นผิวรีมันน์ (Riemann surface) คือแมนิโฟลด์แบบมี ทิศทาง (เชื่อมต่อกัน) ที่มี มิติ (จริง) สอง – พื้นผิว สองด้าน – พร้อมด้วยโครงสร้างคอนฟอร์มอล (conformal structure ) อีกครั้ง แมนิโฟลด์หมายความว่าในระดับท้องถิ่น ณ จุดใดๆบน แมนิโฟ ลด์ พื้นที่นั้นจะมีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับเซตย่อยของระนาบจริง ส่วนคำว่า "รีมันน์" (Riemann) หมายความว่า แมนิโฟลด์นี้ มีโครงสร้างเพิ่มเติมที่ช่วยให้สามารถ วัด มุมบนแมนิโฟลด์ได้ นั่นคือชั้นสมมูล ของ เมตริกแบบ รีมันน์ (Riemannian metrics ) เมตริกสองตัวจะถือว่าสมมูลกันหากมุมที่วัดได้เหมือนกัน การเลือกชั้นสมมูลของเมตริกบนแมนิโฟลด์นี้คือข้อมูลเพิ่มเติมของโครงสร้างคอนฟอร์มอล${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

โครงสร้างที่ซับซ้อนก่อให้เกิดโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มัลโดยการเลือกเมตริกยุคลิด มาตรฐาน ที่กำหนดบนระนาบเชิงซ้อนและถ่ายโอนโดยใช้แผนภูมิ การแสดงให้เห็นว่าโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มัลกำหนดโครงสร้างเชิงซ้อนนั้นยากกว่า^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$

• 
  ${\displaystyle f(z)=\อาร์คซิน z}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=\log z}$
• 
  ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}}$
• 
  ${\displaystyle f(z)={\sqrt[{3}]{z}}}$
• 
  ${\displaystyle f(z)={\sqrt[{4}]{z}}}$

เช่นเดียวกับแผนที่ใดๆ ระหว่างแมนิโฟลด์เชิงซ้อนฟังก์ชัน ระหว่างพื้นผิวรีมันน์สองพื้นผิวและเรียกว่า ฟังก์ชัน โฮโลมอร์ฟิกถ้าสำหรับทุกแผนภูมิในแอตลาสของและทุกแผนภูมิในแอตลาสของแผนที่นั้นเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (ในฐานะฟังก์ชันจากไปยัง) ไม่ว่าจะกำหนดไว้ที่ใดก็ตาม การประกอบกันของแผนที่โฮโลมอร์ฟิกสองแผนที่ก็เป็นโฮโลมอร์ฟิกเช่นกัน พื้นผิวรีมันน์สองพื้นผิวและเรียกว่าไบโฮโลมอร์ฟิก (หรือสมมูลเชิงคอนฟอร์มัล เพื่อเน้นมุมมองเชิงคอนฟอร์มัล) ถ้ามีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกแบบหนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึงจาก ไปยัง ซึ่งฟังก์ชันผกผันของมันก็โฮโลมอร์ฟิกด้วย (ปรากฏว่าเงื่อนไขหลังนี้เป็นไปโดยอัตโนมัติและสามารถละเว้นได้) พื้นผิวรีมันน์สองพื้นผิวที่สมมูลเชิงคอนฟอร์มัลนั้นเหมือนกันในทางปฏิบัติทุกประการ ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\displaystyle h}$${\displaystyle N}$${\displaystyle h\circ f\circ g^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

พื้นผิวรี มันน์แต่ละพื้นผิว ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน สามารถกำหนดทิศทางได้เช่นเดียวกับแมนิโฟลด์จริง สำหรับแผนภูมิเชิงซ้อนและที่มีฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแผนที่จากเซตเปิดของไปยัง ซึ่ง เมทริก ซ์จาโคเบียนณจุดคือแผนที่เชิงเส้นจริงที่ได้จากการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม ดี เทอร์มิแนนต์จริงของการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนเท่ากับดังนั้นเมทริกซ์จาโคเบียนของ จึงมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก ด้วยเหตุนี้ แผนที่เชิงซ้อนจึงเป็นแผนที่ที่กำหนดทิศทางได้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h=f(g^{-1}(z))}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle h'(z)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |^{2}}$${\displaystyle h}$

พื้นผิวรีมันน์ที่ไม่กระชับทุกพื้นผิวจะยอมรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ (โดยมีค่าอยู่ใน) ในความเป็นจริง พื้นผิวรีมันน์ที่ไม่กระชับทุกพื้นผิวเป็นแมนิโฟลด์สไตน์ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ในทางตรงกันข้าม บนพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันที่มีค่าอยู่ในจะเป็นค่าคงที่เนื่องจากหลักการสูงสุด อย่างไรก็ตาม จะมี ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่คงที่อยู่เสมอ(ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีค่าอยู่ในทรงกลมรีมันน์ ) กล่าว คือ ฟิลด์ฟังก์ชันของเป็นส่วนขยายจำกัดของฟิลด์ฟังก์ชันในตัวแปรเดียว กล่าวคือ ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกสองฟังก์ชันใดๆ จะขึ้นอยู่กับกันทางพีชคณิต ข้อความนี้สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าได้ ดูSiegel (1955)ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกสามารถระบุได้อย่างชัดเจนพอสมควร ในรูปของฟังก์ชันเธตาของ รีมันน์ และแผนที่อาเบล-จาโคบีของพื้นผิว ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} (t)}$

พื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัดทั้งหมดเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเนื่องจากสามารถฝังลงในบางส่วนได้ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทการฝัง Kodairaและข้อเท็จจริงที่ว่ามีมัดเส้นบวกบนเส้นโค้งเชิงซ้อนใดๆ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

การมีอยู่ของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่คงที่สามารถใช้แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดใดๆ ก็เป็นวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟได้ กล่าวคือ สามารถกำหนดได้ด้วย สม การพหุ นาม ภายในปริภูมิ เชิงโปรเจกที ฟ อันที่จริง สามารถแสดงได้ว่าพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดทุกพื้นผิวสามารถฝังลงใน ปริภูมิ เชิงโปรเจกทีฟ 3 มิติเชิงซ้อนได้นี่เป็นทฤษฎีบทที่น่าประหลาดใจ: พื้นผิวรีมันน์กำหนดโดยแผนภูมิที่ต่อกันในระดับท้องถิ่น หากเพิ่มเงื่อนไขโดยรวมหนึ่งข้อ นั่นคือ ความกะทัดรัด พื้นผิวนั้นจะเป็นพีชคณิตอย่างแน่นอน คุณสมบัติของพื้นผิวรีมันน์นี้ทำให้สามารถศึกษาพื้นผิวเหล่านั้นได้ด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์หรือเชิงพีชคณิตข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับวัตถุที่มีมิติสูงกว่านั้นเป็นเท็จ กล่าวคือ มีแมนิโฟลด์เชิงซ้อน 2 มิติแบบกะทัดรัดที่ไม่ใช่พีชคณิต ในทางกลับกัน แมนิโฟลด์เชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟทุกอันเป็นพีชคณิตอย่างแน่นอน ดูทฤษฎีบทของโชว์

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาทอรัสฟังก์ชันไวเออร์สตรัสที่อยู่ในแลตทิซเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของมันสร้างฟิลด์ฟังก์ชันของมีสมการ ${\displaystyle T:=\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \wp _{\tau }(z)}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \wp '_{\tau }(z)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

โดยที่สัมประสิทธิ์และขึ้นอยู่กับจึงทำให้ได้เส้นโค้งวงรีในแง่ของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การกลับด้านนี้ทำได้โดยใช้ค่าคงที่ซึ่งสามารถใช้กำหนดและด้วยเหตุนี้จึงได้ทอรัส ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle E_{\tau }}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(E)}$${\displaystyle \tau }$

เซตของพื้นผิวรีมันน์ทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามเซตย่อย ได้แก่ พื้นผิวรีมันน์แบบไฮเปอร์โบลิก แบบพาราโบลิก และแบบวงรี ในทางเรขาคณิต พื้นผิวเหล่านี้สอดคล้องกับพื้นผิวที่มีความโค้งภาคตัดขวาง คงที่เป็นลบ เป็นศูนย์ หรือ เป็นบวก กล่าวคือ พื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันทุกพื้นผิว มี เมตริกรีมันน์จริงสองมิติที่สมบูรณ์เพียงหนึ่งเดียวซึ่งมีความโค้งคงที่เท่ากับหรือซึ่งอยู่ในกลุ่มเมตริกรีมันน์แบบคอนฟอร์มอลที่กำหนดโดยโครงสร้างของมันในฐานะพื้นผิวรีมันน์ สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นผลมาจากการมีอยู่ของพิกัดไอโซเทอร์มอล ${\displaystyle X}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

ในแง่ของทฤษฎีบทวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูป ของปวงกาเร-โคเบ (ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์ ) ระบุว่า พื้นผิวรีมันน์ ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ทุก พื้นผิวจะสมมูลกันในเชิงคอนฟอร์มัลกับพื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งต่อไปนี้:

• ทรงกลมรีมันน์ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับ;${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$
• ระนาบเชิงซ้อน;${\displaystyle \mathbb {C} }$
• แผ่นดิสก์เปิด ซึ่งมีโครงสร้างสมมาตรกับระนาบครึ่งบน${\displaystyle \mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

พื้นผิวรีมันน์จะเป็นแบบวงรี แบบพาราโบลา หรือแบบไฮเปอร์โบลา ขึ้นอยู่กับว่าการปกคลุมสากล ของมัน เป็นไอโซมอร์ฟิกกับหรือหรือไม่ องค์ประกอบในแต่ละคลาสสามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {D} }$

ทรงกลมรีมันน์เป็นตัวอย่างเดียว เนื่องจากไม่มีกลุ่มใดกระทำต่อทรงกลมรีมันน์โดยการแปลงแบบไบโฮโลมอร์ฟิกอย่างอิสระและเหมาะสมโดยไม่ต่อเนื่องดังนั้นพื้นผิวรีมันน์ใดๆ ที่การปกคลุมสากลของมันสมมาตรกับพื้นผิวรีมันน์นั้น จะต้องสมมาตรกับพื้นผิวรีมันน์นั้นด้วยเช่นกัน ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$

ถ้าเป็นพื้นผิวรีมันน์ที่มีตัวคลุมสากลที่สมมาตรกับระนาบเชิงซ้อนแล้ว พื้นผิวรีมันน์นั้นจะสมมาตรกับพื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ตัวมันเอง;
• ผลหาร;${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$
• ผลหารโดยที่.${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$

ในทางทอพอโลยี มีเพียงสามประเภท ได้แก่ ระนาบ ทรงกระบอก และทอรัสแต่ในสองกรณีแรก โครงสร้างของพื้นผิวรีมันน์ (แบบพาราโบลา) มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ในกรณีที่สามจะให้พื้นผิวรีมันน์ที่ไม่สมมาตรกัน คำอธิบายโดยใช้พารามิเตอร์จะให้ปริภูมิ Teichmüllerของพื้นผิวรีมันน์ "ที่มีเครื่องหมาย" (นอกเหนือจากโครงสร้างของพื้นผิวรีมันน์แล้ว ยังมีการเพิ่มข้อมูลทางทอพอโลยีของ "เครื่องหมาย" ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมคงที่ของทอรัส) เพื่อให้ได้ปริภูมิโมดูลัส เชิงวิเคราะห์ (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย) จะทำการหารปริภูมิ Teichmüller ด้วยกลุ่มชั้นการแมปในกรณีนี้คือเส้นโค้งโมดูลาร์ ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

ในกรณีที่เหลือพื้นผิวรีมันน์ไฮเปอร์โบลิกจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารของระนาบครึ่งบนด้วยกลุ่มฟุคเซียน (บางครั้งเรียกว่าแบบจำลองฟุคเซียนสำหรับพื้นผิว) ประเภททางโทโพโลยีของพื้นผิวนี้สามารถเป็นพื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้ทุกชนิด ยกเว้นทอรัสและทรง กลม${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือเมื่อเป็นพื้นผิวกระชับ (compact surface) ในกรณีนี้ ประเภททางทอพอโลยีของมันจะถูกอธิบายโดย จีนัส ( genus ) ของมัน ปริภูมิ Teichmüller และปริภูมิโมดูลัสของมันมีมิติเป็น สามารถจำแนกพื้นผิวรีมันน์ประเภทจำกัด (กล่าวคือ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับพื้นผิวปิดลบด้วยจุดจำนวนจำกัด) ในทำนองเดียวกันได้ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิวรีมันน์ประเภททอพอโลยีอนันต์นั้นใหญ่เกินกว่าจะยอมรับคำอธิบายเช่นนั้นได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle (6g-6)}$

การจำแนกทางเรขาคณิตสะท้อนให้เห็นในแผนที่ระหว่างพื้นผิวรีมันน์ ดังรายละเอียดในทฤษฎีบทของลิอูวิลล์และทฤษฎีบทลิตเติลปิการ์ด : แผนที่จากไฮเปอร์โบลิกไปพาราโบลิกไปวงรีนั้นง่าย แต่แผนที่จากวงรีไปพาราโบลิกหรือพาราโบลิกไปไฮเปอร์โบลิกนั้นมีข้อจำกัดมาก (อันที่จริง โดยทั่วไปแล้วจะคงที่!) มีการรวมของแผ่นดิสก์ในระนาบในทรงกลม:

${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} \subset {\widehat {\mathbb {C} }}}$

แต่แผนที่โฮโลมอร์ฟิกใดๆ จากทรงกลมไปยังระนาบจะเป็นค่าคงที่ แผนที่โฮโลมอร์ฟิกใดๆ จากระนาบไปยังดิสก์หน่วยจะเป็นค่าคงที่ (ทฤษฎีบทของ Liouville) และที่จริงแล้ว แผนที่โฮโลมอร์ฟิกใดๆ จากระนาบไปยังระนาบที่ลบสองจุดจะเป็นค่าคงที่ (ทฤษฎีบทของ Little Picard)!

ข้อความเหล่านี้จะชัดเจนขึ้นหากพิจารณาถึงทรงกลมรีมันน์ที่มีรูเจาะจำนวนหนึ่ง หากไม่มีรูเจาะเลย ก็คือทรงกลมรีมันน์ ซึ่งเป็นรูปวงรี หากมีรูเจาะหนึ่งรู ซึ่งสามารถวางไว้ที่อนันต์ได้ ก็คือระนาบเชิงซ้อน ซึ่งเป็นรูปพาราโบลา หากมีรูเจาะสองรู ก็คือระนาบที่มีรูเจาะ หรืออาจจะเป็นวงแหวนหรือทรงกระบอก ซึ่งเป็นรูปพาราโบลา หากมีรูเจาะสามรูขึ้นไป ก็คือรูปไฮเปอร์โบลา – เปรียบเทียบกับกางเกงเราสามารถแปลงจากรูเจาะหนึ่งรูไปเป็นสองรูได้ โดยใช้การแปลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (ซึ่งเป็นการแปลงแบบสมบูรณ์และมีจุดเอกฐานที่สำคัญที่อนันต์ ดังนั้นจึงไม่นิยามที่อนันต์ และไม่ครอบคลุมทั้งศูนย์และอนันต์) แต่การแปลงทั้งหมดจากศูนย์รูเจาะไปเป็นหนึ่งรูเจาะขึ้นไป หรือจากหนึ่งหรือสองรูเจาะไปเป็นสามรูเจาะขึ้นไป ล้วนเป็นการแปลงแบบคงที่ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

ในทำนองเดียวกัน พื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดสามารถแมปไปยังพื้นผิวที่มี จีนัส ต่ำกว่าได้แต่ไม่สามารถแมปไปยัง พื้นผิวที่มีจีนัส สูงกว่าได้ ยกเว้นในกรณีแผนที่คงที่ ทั้งนี้เนื่องจากแผนที่แบบโฮโลมอร์ฟิกและเมโรมอร์ฟิกมีพฤติกรรมในระดับท้องถิ่นคล้ายกับ

${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

สำหรับจำนวนเต็มแผนที่ที่ไม่คงที่จึงเป็นแผนที่ปกคลุมแบบแตกแขนงและสำหรับพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด แผนที่เหล่านี้จะถูกจำกัดโดยสูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตซึ่งเชื่อมโยงลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของปริภูมิและแผนที่ปกคลุมแบบแตกแขนง ${\displaystyle n}$

ตัวอย่างเช่น พื้นผิวรีมันน์ไฮเปอร์โบลิกเป็นปริภูมิปกคลุมทรงกลมแบบแตกแขนง (มีฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่คงที่) แต่ทรงกลมไม่ได้ปกคลุมหรือแมปไปยังพื้นผิวที่มีจีนัสสูงกว่า ยกเว้นในกรณีที่เป็นค่าคงที่

กลุ่มไอโซเมตรีของพื้นผิวรีมันน์แบบเอกรูป (หรือเทียบเท่ากับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม แบบคอนฟอร์มอล ) สะท้อนถึงรูปทรงเรขาคณิตของพื้นผิวนั้น:

• จีนัส 0 – กลุ่มไอโซเมตรีของทรงกลมคือกลุ่มโมเบียสของการแปลงเชิงโปรเจกทีฟของเส้นเชิงซ้อน
• กลุ่มไอโซเมตรีของระนาบคือกลุ่มย่อยที่ตรึงอนันต์ไว้ และกลุ่มไอโซเมตรีของระนาบที่ถูกเจาะคือกลุ่มย่อยที่ทำให้เซตที่ประกอบด้วยอนันต์และศูนย์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ตรึงทั้งสองค่าไว้ หรือสลับค่ากัน${\displaystyle (1/z)}$
• กลุ่มไอโซเมตรีของระนาบครึ่งบนคือกลุ่มโมเบียสจริง ซึ่งเป็นกลุ่มคู่ควบกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของดิสก์
• สกุล 1 – กลุ่มไอโซเมตรีของทอรัสโดยทั่วไปสร้างขึ้นจากการแปล (ในฐานะวาไรตี้อาเบเลียน ) และการหมุนด้วยในกรณีพิเศษอาจมีการหมุนและการสะท้อนเพิ่มเติม^{[ 4 ]}${\displaystyle 180^{\circ }}$
• สำหรับจีนัสn กลุ่มไอโซเมตรีจะมีจำนวนจำกัด และมีอันดับไม่เกินn ตามทฤษฎีออโตมอร์ฟิซึมของฮูร์วิตซ์ พื้นผิวที่สอดคล้องกับขอบเขตนี้เรียกว่าพื้นผิวฮูร์วิตซ์${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle 84(g-1)}$
• เป็นที่ทราบกันว่ากลุ่มจำกัดทุกกลุ่มสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นไอโซเมตรีกลุ่มเต็มของพื้นผิวรีมันน์บางพื้นผิว^{[ 5 ]}

• • สำหรับจีนัส 2 ลำดับสูงสุดจะอยู่ที่พื้นผิวโบลซาซึ่งมีลำดับ 48
  • สำหรับจีนัส 3 ลำดับสูงสุดคือควอติกของไคลน์ซึ่งมีลำดับ 168 นี่คือพื้นผิวฮูร์วิตซ์แรก และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันสมมาตรกับกลุ่มง่ายที่ ไม่ซ้ำกัน ที่มีลำดับ 168 ซึ่งเป็นกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอาเบเลียนที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสอง กลุ่มนี้สมมาตรกับทั้งและ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} (3,2)}$
  • สำหรับจีนัส 4 พื้นผิวของ Bringเป็นพื้นผิวที่มีความสมมาตรสูงมาก
  • สำหรับจีนัส 7 ลำดับสูงสุดคือพื้นผิว Macbeathซึ่งมีลำดับ 504 นี่คือพื้นผิว Hurwitz ลำดับที่สอง และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันสมมาตรกับ ซึ่งเป็นกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอาเบเลียนที่เล็กที่สุดลำดับที่สี่${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,8)}$

แผนการจำแนกประเภทข้างต้นมักใช้โดยนักเรขาคณิต มีการจำแนกประเภทพื้นผิวรีมันน์ที่แตกต่างกันซึ่งมักใช้โดยนักวิเคราะห์เชิงซ้อน โดยใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันสำหรับ "พาราโบลิก" และ "ไฮเปอร์โบลิก" ในแผนการจำแนกประเภททางเลือกนี้ พื้นผิวรีมันน์เรียกว่าพาราโบลิกหากไม่มีฟังก์ชันซับฮาร์มอนิกเชิงลบที่ไม่คงที่บนพื้นผิว และจะเรียกว่าไฮเปอร์โบลิกใน กรณีอื่น ๆ ^{[ 6 ] [ 7 ]}

พื้นผิวไฮเปอร์โบลิกประเภทนี้ยังแบ่งย่อยออกเป็นประเภทย่อยๆ อีก โดยพิจารณาจากว่าปริภูมิฟังก์ชันอื่นๆ นอกเหนือจากฟังก์ชันซับฮาร์มอนิกเชิงลบนั้นเสื่อมสภาพหรือไม่ เช่น พื้นผิวรีมันน์ที่ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีขอบเขตทั้งหมดมีค่าคงที่ หรือที่ฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่มีขอบเขตทั้งหมดมีค่าคงที่ หรือที่ฟังก์ชันฮาร์มอนิกบวกทั้งหมดมีค่าคงที่ เป็นต้น

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้เรียกการจำแนกประเภทตามเมตริกของความโค้งคงที่ว่าการจำแนกประเภททางเรขาคณิตและการจำแนกประเภทตามความเสื่อมของปริภูมิฟังก์ชันว่า การจำแนกประเภทตามทฤษฎีฟังก์ชันตัวอย่างเช่น พื้นผิวรีมันน์ "เป็นพาราโบลาในการจำแนกประเภทตามทฤษฎีฟังก์ชัน แต่เป็นไฮเปอร์โบลาในการจำแนกประเภททางเรขาคณิต" ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

• เดสซิน เดอ อองฟองต์
• ท่อร่วมเคห์เลอร์
• พื้นผิวลอเรนซ์
• กลุ่มคลาสการแมป
• ความเป็นคู่ของเซร์เร

• ทฤษฎีบทการแตกแขนง
• ทฤษฎีออโตมอร์ฟิซึมของฮูร์วิตซ์
• ทฤษฎีบทเอกลักษณ์สำหรับพื้นผิวรีมันน์
• ทฤษฎีบทรีมันน์-รอช
• สูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์

• "พื้นผิวรีมันน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• McMullen, C. "การวิเคราะห์เชิงซ้อนบนพื้นผิวรีมันน์ Math 213b" (PDF) . Harvard Math . มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด