ในทางคณิตศาสตร์แบบจำลองฟุคเซียน (Fuchsian model)คือการแสดงแทนพื้นผิวรีมันน์ไฮ เปอร์โบลิก Rในรูปผลหารของระนาบครึ่งบนHโดยกลุ่มฟุคเซียนพื้นผิวรีมันน์ไฮเปอร์โบลิกทุกพื้นผิวสามารถแสดงแทนได้ในลักษณะนี้ แนวคิดนี้ตั้งชื่อตามลาซารัส ฟุคส์ (Lazarus Fuchs )

ตามทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพพื้นผิวรีมันน์ทุกพื้นผิวจะเป็นพื้นผิววงรีพื้น ผิว พาราโบลาหรือ พื้นผิว ไฮเปอร์โบลากล่าวโดยละเอียด ทฤษฎีบทนี้ระบุว่า พื้นผิวรีมันน์ที่ไม่สมมาตรกับทรงกลมรีมันน์ (กรณีวงรี) หรือผลหารของระนาบเชิงซ้อนโดยกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง (กรณีพาราโบลา) จะต้องเป็นผลหารของระนาบไฮเปอร์โบลาโดยกลุ่มย่อยที่กระทำอย่างไม่ต่อเนื่องและเป็นอิสระ อย่าง เหมาะสม ${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \Gamma }$

ในแบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเรสำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิก กลุ่มของการแปลงแบบไบโฮโลมอร์ฟิกคือกลุ่มที่กระทำโดยโฮโมกราฟีและทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปหมายความว่ามีกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องและปราศจากแรงบิดอยู่ซึ่งพื้นผิวรีมันน์เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มฟุคเซียน และไอโซมอร์ฟิซึมนี้เรียกว่าแบบจำลองฟุคเซียนสำหรับ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$

ให้เป็นพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกปิด และให้เป็นกลุ่มฟุคเซียน โดยที่เป็นแบบจำลองฟุคเซียนสำหรับให้ และกำหนดโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด (บางครั้งเรียกว่า "การลู่เข้าเชิงพีชคณิต") ให้กับเซตนี้ ในกรณีเฉพาะนี้ โทโพโลยีนี้สามารถกำหนดได้ง่ายที่สุดดังนี้: กลุ่มถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเนื่องจากเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มพื้นฐานของให้เป็นเซตก่อกำเนิด: ดังนั้นใดๆจะถูกกำหนดโดยองค์ประกอบและดังนั้นเราจึงสามารถระบุกับเซตย่อยของโดยแผนที่จากนั้นเรากำหนดโทโพโลยีของปริภูมิย่อยให้กับมัน ${\displaystyle R}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$$${\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\colon \rho {\text{ เป็นค่าที่ซื่อสัตย์และไม่ต่อเนื่อง }}\}}$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r}}$${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})}$${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}}$${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))}$

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของนีลเซ่น (นี่ไม่ใช่ศัพท์มาตรฐาน และผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีบทเดห์น-นีลเซ่น ) มีข้อความดังต่อไปนี้:

สำหรับค่าใดๆจะมีการแปลงตัวเองเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (อันที่จริงคือแผนที่กึ่งคอนฟอร์มัล ) ของระนาบครึ่งบนอยู่ โดยที่สำหรับทุกๆค่า${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

การพิสูจน์นั้นง่ายมาก: เลือกโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแล้วยกมันขึ้นไปยังระนาบไฮเปอร์โบลิก การใช้ดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมจะให้แผนที่กึ่งคอนฟอร์มอลเนื่องจากเป็นเซตกระชับ ${\displaystyle R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$

ผลลัพธ์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นความเท่าเทียมกันระหว่างสองแบบจำลองสำหรับปริภูมิ Teichmüllerของ: เซตของการแสดงแทนแบบซื่อสัตย์แบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มพื้นฐานในโมดูลการผันแปร และเซตของพื้นผิว Riemann ที่มีเครื่องหมายโดยที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบกึ่งคอนฟอร์มัล โมดูลความสัมพันธ์สมมูลตามธรรมชาติ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \pi _{1}(R)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle f\colon R\to X}$

• แบบจำลองไคลน์เนียนซึ่งเป็นโครงสร้างที่คล้ายคลึงกันสำหรับ3-แมนิโฟลด์
• รูปหลายเหลี่ยมพื้นฐาน