ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูป (Uniformization Theorem)กล่าวว่าพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ทุกพื้นผิว จะสมมูลกันในเชิงคอนฟอร์มัล (Conformally Equity)กับพื้นผิวรีมันน์หนึ่งในสามพื้นผิว ได้แก่ วงกลมหน่วยเปิด ระนาบเชิงซ้อนหรือทรงกลมรีมันน์ทฤษฎีบทนี้เป็นการขยายความของทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์ (Riemann Mapping Theorem) จากเซตย่อยเปิด ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ของระนาบไปยังพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายใดๆ

เนื่องจากพื้นผิวรีมันน์ทุกพื้นผิวมีตัวคลุมสากลซึ่งเป็นพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปจึงนำไปสู่การจำแนกพื้นผิวรีมันน์ออกเป็นสามประเภท ได้แก่ พื้นผิวที่มีทรงกลมรีมันน์เป็นตัวคลุมสากล ("วงรี") พื้นผิวที่มีระนาบเป็นตัวคลุมสากล ("พาราโบลา") และพื้นผิวที่มีวงกลมหน่วยเป็นตัวคลุมสากล ("ไฮเปอร์โบลา") นอกจากนี้ยังพบว่าพื้นผิวรีมันน์ทุกพื้นผิวมีเมตริกรีมันน์ที่มีความโค้งคงที่ โดยความโค้งสามารถกำหนดให้เป็น 1 ในกรณีวงรี 0 ในกรณีพาราโบลา และ -1 ในกรณีไฮเปอร์โบลา

ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพยังให้การจำแนกประเภทที่คล้ายกันของ2-แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ที่ปิด และสามารถกำหนดทิศทางได้ ออกเป็นกรณีวงรี/พาราโบลา/ไฮเปอร์โบลา โดยแต่ละแมนิโฟลด์ดังกล่าวมีเมตริกแบบรีมันน์ที่สมมูลกันในเชิงคอนฟอร์มัลซึ่งมีความโค้งคงที่ โดยความโค้งสามารถกำหนดให้เป็น 1 ในกรณีวงรี 0 ในกรณีพาราโบลา และ -1 ในกรณีไฮเปอร์โบลา

เฟลิกซ์ ไคลน์  ( 1883 ) และอองรีปวงกาเร  ( 1882 ) ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปสำหรับ (พื้นผิวรีมันน์ของ) เส้นโค้งพีชคณิต อองรี ปวงกาเร ( 1883 ) ขยายทฤษฎีบทนี้ไปยังฟังก์ชันวิเคราะห์หลายค่าใดๆ และให้เหตุผลอย่างไม่เป็นทางการเพื่อสนับสนุนทฤษฎีบทนี้ การพิสูจน์อย่างเข้มงวดครั้งแรกของทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปทั่วไปนั้นได้มาจาก ปวงกาเร  ( 1907 ) และพอล โคเบ  ( 1907a , 1907b , 1907c ) ต่อมาพอล โคเบได้ให้การพิสูจน์และการสรุปทั่วไปเพิ่มเติมอีกหลายประการ ประวัติความเป็นมาได้อธิบายไว้ในเกรย์ (1994 ) มีการอธิบายรายละเอียดอย่างครบถ้วนเกี่ยวกับการกำหนดมาตรฐานจนถึงเอกสารของ Koebe และ Poincaré ในปี 1907 พร้อมด้วยบทพิสูจน์โดยละเอียดในde Saint-Gervais (2016) (ซึ่ง เป็นนามแฝงแบบ Bourbakiของกลุ่มนักคณิตศาสตร์ 15 คนที่ร่วมกันจัดทำเอกสารนี้)

พื้นผิวรีมันน์ทุก พื้นผิว เป็นผลหารของการกระทำอิสระ เหมาะสม และโฮโลมอร์ฟิกของกลุ่มดิสครีตบนตัวคลุมสากล และตัวคลุมสากลนี้ ซึ่งเป็นพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย จะสมมาตรเชิงโฮโลมอร์ฟิก (หรืออาจเรียกว่า "สมมูลเชิงคอนฟอร์มัล" หรือ "ไบโฮโลมอร์ฟิก") กับพื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งต่อไปนี้:

1. ทรงกลมรีมันน์
2. ระนาบเชิงซ้อน
3. วงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน

สำหรับพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด พื้นผิวที่คลุมวงกลมหน่วยได้นั้น ได้แก่ พื้นผิวไฮเปอร์โบลิกที่มีจีนัสมากกว่า 1 ซึ่งทั้งหมดมีกลุ่มพื้นฐานแบบไม่สลับที่ พื้นผิวที่คลุมระนาบเชิงซ้อนได้นั้น ได้แก่ พื้นผิวรีมันน์ที่มีจีนัส 1 กล่าวคือ ทอรัสเชิงซ้อนหรือเส้นโค้งวงรีที่มีกลุ่มพื้นฐานZ₂ และพื้นผิวที่คลุมทรงกลมรีมันน์ ^ได้นั้น ได้แก่ พื้นผิวรีมันน์ที่มีจีนัสเป็นศูนย์ กล่าวคือ ทรงกลมรีมันน์เอง ซึ่งมีกลุ่มพื้นฐานแบบไม่สำคัญ

บน 2-manifold ที่มีทิศทางเมตริกแบบรีมันน์เหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างเชิงซ้อนโดยใช้การเปลี่ยนไปใช้พิกัดไอโซเทอร์มอลหากเมตริกแบบรีมันน์กำหนดไว้ในระดับท้องถิ่นดังนี้

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

จากนั้นในพิกัดเชิงซ้อนz = x + i yจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),}$

เพื่อให้λและμมีความเรียบ โดยที่λ > 0 และ | μ | < 1 ในพิกัดไอโซเทอร์มอล ( u , v ) เมตริกควรมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}$

โดยที่ρ > 0 เรียบ พิกัดเชิงซ้อนw = u + i vสอดคล้องกับ

${\displaystyle \rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},}$

ดังนั้นพิกัด ( u , v ) จะเป็นไอโซเทอร์มอลเฉพาะที่หากสมการเบลตรามี เป็นจริง

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

มีคำตอบที่เป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกในระดับท้องถิ่น กล่าวคือ คำตอบที่มีเมทริกซ์จาโคเบียนไม่เป็นศูนย์

เงื่อนไขเหล่านี้สามารถเขียนได้เทียบเท่ากันในแง่ของอนุพันธ์ภายนอกและตัวดำเนินการดาว Hodge ∗ ^{[ 1 ]} uและv จะเป็นพิกัดไอโซเทอร์มอ ลหาก∗ du = dvโดยที่∗ถูกกำหนดบนอนุพันธ์โดย∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dyให้∆ = ∗ d ∗ dเป็นตัวดำเนินการ Laplace–Beltramiตามทฤษฎีวงรีมาตรฐานuสามารถเลือกให้เป็นฮาร์มอนิกใกล้จุดที่กำหนด กล่าวคือΔ u = 0โดยที่duไม่เป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบท Poincaré dv = ∗ duมีคำตอบเฉพาะที่vก็ต่อเมื่อd (∗ du ) = 0เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับΔ u = 0ดังนั้นจึงสามารถหาคำตอบเฉพาะที่ได้เสมอ เนื่องจากduไม่เป็นศูนย์ และกำลังสองของตัวดำเนินการ Hodge star มีค่าเป็น −1 บน 1-ฟอร์ม ดังนั้นduและdvจะต้องเป็นอิสระเชิงเส้น ส่งผลให้uและvให้พิกัดไอโซเทอร์มอลเฉพาะที่

การมีอยู่ของพิกัดไอโซเทอร์มอลสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการอื่น ตัวอย่างเช่น การใช้ทฤษฎีทั่วไปของสมการเบลตรามิดังเช่นในAhlfors (2006)หรือโดยวิธีการพื้นฐานโดยตรง ดังเช่นในChern (1955)และJost (2006 )

จากความสัมพันธ์นี้กับพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด จึงสามารถจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์ 2 มิติแบบรีมันน์ที่ปิดและสามารถกำหนดทิศทางได้ แต่ละแมนิโฟลด์ดังกล่าวจะสมมูลเชิงคอนฟอร์มัลกับแมนิโฟลด์ 2 มิติแบบปิดที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีความโค้งคงที่ดังนั้นจึงเป็นผลหารของสิ่งต่อไปนี้ด้วยการกระทำอิสระของกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรี :

1. ทรงกลม (ความโค้ง +1)
2. ระนาบยุคลิด (ความโค้ง 0)
3. ระนาบไฮเปอร์โบลิก (ความโค้ง −1)

• 
  สกุล 0
• 
  สกุลที่ 1
• 
  สกุล 2
• 
  สกุล 3

กรณีแรกให้ทรงกลม 2 มิติ ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ 2 มิติที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีค่าความโค้งเป็นบวกคงที่ และด้วยเหตุนี้จึงมีค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ เป็นบวก (เท่ากับ 2) กรณีที่สองให้แมนิโฟลด์ 2 มิติแบบแบนทั้งหมด นั่นคือโทริซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เท่ากับ 0 กรณีที่สามครอบคลุมแมนิโฟลด์ 2 มิติทั้งหมดที่มีค่าความโค้งเป็นลบคงที่ นั่นคือ แม นิโฟล ด์ 2 มิติแบบไฮเปอร์โบ ลิกทั้งหมด ซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นลบ การจำแนกประเภทนี้สอดคล้องกับ ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์ซึ่งบ่งชี้ว่าสำหรับพื้นผิวปิดที่มีค่าความโค้งคงที่ เครื่องหมายของค่าความโค้งนั้นจะต้องตรงกับเครื่องหมายของค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เท่ากับ 2 – 2 gโดยที่gคือจีนัสของแมนิโฟลด์ 2 มิติ นั่นคือจำนวน "รู"

การพิสูจน์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพแบบคลาสสิกจำนวนมากอาศัยการสร้างฟังก์ชันฮาร์มอ นิกค่าจริง บนพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ซึ่งอาจมีจุดเอกฐานที่หนึ่งหรือสองจุด และมักสอดคล้องกับรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันกรีนวิธีการสร้างฟังก์ชันฮาร์มอนิกสี่วิธีที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ได้แก่วิธีของเพอร์รอนวิธีสลับของชวาร์ซหลักการของดิริชเลต์และ วิธีฉายภาพตั้งฉาก ของไวล์ในบริบทของ 2-แมนิโฟลด์รีมันน์แบบปิด การพิสูจน์สมัยใหม่หลายวิธีใช้สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นบนปริภูมิของเมตริกที่สมมูลกันแบบคอนฟอร์มัล ซึ่งรวมถึงสมการเบลตรามีจากทฤษฎีของไทช์มุลเลอร์และสูตรที่เทียบเท่ากันในแง่ของแผนที่ฮาร์มอนิ ก สมการ ของลิอูวิลล์ซึ่งปวงกาเรได้ศึกษาไว้แล้ว และการไหลของริชชีพร้อมกับการไหลไม่เชิงเส้นอื่นๆ

ทฤษฎีบทของราโดแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวรีมันน์ทุกพื้นผิวสามารถนับได้เป็นอันดับสอง โดยอัตโนมัติ แม้ว่าทฤษฎีบทของราโดมักถูกใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพ แต่ก็มีการพิสูจน์บางอย่างที่ทำให้ทฤษฎีบทของราโดกลายเป็นผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ การนับได้เป็นอันดับสองเป็นไปโดยอัตโนมัติสำหรับพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด

ในปี ค.ศ. 1913 เฮอร์มันน์ เวย์ล ได้ตีพิมพ์ตำราคลาสสิกของเขาเรื่อง "Die Idee der Riemannschen Fläche" ซึ่งอิงจากปาฐกถาของเขาที่เมืองเกิตติงเงนระหว่างปี ค.ศ. 1911 ถึง 1912 หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือเล่มแรกที่นำเสนอทฤษฎีของพื้นผิวรีมันน์ในบริบทสมัยใหม่ และยังคงมีอิทธิพลมาจนถึงปัจจุบัน แม้จะมีการตีพิมพ์ซ้ำถึงสามครั้งก็ตามฉบับพิมพ์ครั้งแรก อุทิศให้กับ เฟลิกซ์ ไคลน์ โดยได้รวมเอา การแก้ปัญหาของดิริชเลต์โดยใช้เทคนิคของปริภูมิฮิลเบิร์ต การมีส่วนร่วม ของบราวเวอร์ในด้านโทโพโลยี และการพิสูจน์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปของโคเบ และการปรับปรุงแก้ไขในภายหลัง ต่อมา เวย์ล (ค.ศ. 1940)ได้พัฒนาวิธีการฉายภาพเชิงตั้งฉากของเขา ซึ่งให้แนวทางที่คล่องตัวมากขึ้นในการแก้ปัญหาของดิริชเลต์ โดยอาศัยปริภูมิฮิลเบิร์ตเช่นกัน ทฤษฎีนั้น ซึ่งรวมถึงบทพิสูจน์ของเวย์ลเกี่ยวกับความสม่ำเสมอเชิงวงรีเกี่ยวข้องกับทฤษฎีปริพันธ์ฮาร์มอนิกของฮอดจ์ และทฤษฎีทั้งสองถูกรวมเข้ากับทฤษฎีสมัยใหม่ของตัวดำเนินการเชิงวงรีและปริภูมิโซโบเลฟ^L2 ในหนังสือฉบับที่สามของเขาจากปี 1955 ซึ่งแปลเป็นภาษาอังกฤษในWeyl (1964) Weyl ได้นำเอานิยามสมัยใหม่ของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์มาใช้แทนการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมแต่ตัดสินใจที่จะไม่ใช้วิธีการฉายภาพเชิงตั้งฉากของเขาSpringer (1957)ได้ปฏิบัติตามคำอธิบายของ Weyl เกี่ยวกับทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพ แต่ใช้วิธีการฉายภาพเชิงตั้งฉากเพื่อแก้ปัญหา Dirichlet Kodaira (2007)อธิบายแนวทางในหนังสือของ Weyl และวิธีการย่อให้สั้นลงโดยใช้วิธีการฉายภาพเชิงตั้งฉาก สามารถพบคำอธิบายที่เกี่ยวข้องได้ในDonaldson (2011 )

Richard S. Hamiltonแสดงให้เห็นว่าการไหลของ Ricci ที่เป็นมาตรฐานบนพื้นผิวปิดทำให้เมตริกเป็นแบบเดียวกัน (กล่าวคือ การไหลจะลู่เข้าสู่เมตริกความโค้งคงที่) อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ของเขาอาศัยทฤษฎีบทการทำให้เป็นแบบเดียวกัน ขั้นตอนที่ขาดหายไปเกี่ยวข้องกับการไหลของ Ricci บนทรงกลม 2 มิติ: วิธีการหลีกเลี่ยงการอ้างอิงถึงทฤษฎีบทการทำให้เป็นแบบเดียวกัน (สำหรับจีนัส 0) ได้รับการนำเสนอโดยChen, Lu & Tian (2006) ; ^{[ 2 ]}บัญชีสั้นๆ ที่ครบถ้วนเกี่ยวกับการไหลของ Ricci บนทรงกลม 2 มิติ ได้รับการนำเสนอในAndrews & Bryan (2010 )

โคเบพิสูจน์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพทั่วไปว่า ถ้าพื้นผิวรีมันน์เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตเปิดย่อยของทรงกลมเชิงซ้อน (หรือเทียบเท่ากับถ้าเส้นโค้งจอร์แดนทุกเส้นแยกพื้นผิวนั้น) แล้ว พื้นผิวรีมันน์นั้นจะสมมูลเชิงคอนฟอร์มัลกับเซตเปิดย่อยของทรงกลมเชิงซ้อน

ใน 3 มิติ มีรูปทรงเรขาคณิต 8 แบบ เรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตทั้งแปดของเธอร์สตันไม่ใช่ว่าทุก 3-แมนิโฟลด์จะมีรูปทรงเรขาคณิต แต่สมมติฐานการสร้างรูปทรงเรขาคณิต ของเธอร์สตัน ที่พิสูจน์โดยกริกอรี เพเรลแมนระบุว่าทุก 3-แมนิโฟลด์สามารถแบ่งออกเป็นชิ้นส่วนที่สามารถสร้างรูปทรงเรขาคณิตได้

ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพพร้อมกันของลิปแมน เบอร์สแสดงให้เห็นว่า เป็นไปได้ที่จะทำให้พื้นผิวรีมันน์ขนาดกะทัดรัดสองพื้นผิวที่มีจีนัส >1 เดียวกันและมีกลุ่มควาซี-ฟุคเซียน เดียวกัน เป็นเอกภาพพร้อมกัน ได้

ทฤษฎีบทการแมปแบบรีมันน์ที่วัดได้แสดงให้เห็นโดยทั่วไปว่า การแมปไปยังเซตย่อยเปิดของทรงกลมเชิงซ้อนในทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปสามารถเลือกให้เป็นการแมปแบบกึ่งคอนฟอร์มัลได้ โดยมีสัมประสิทธิ์เบลตรามีที่วัดได้และมีขอบเขตที่กำหนดไว้

• ทฤษฎีการบรรจุวงกลมซึ่งเป็นอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของทฤษฎีการทำให้เป็นเอกรูป

• การแปลงคอนฟอร์มอล: จากวงกลมเป็นสี่เหลี่ยม