แผนที่ฮาร์มอนิก

ในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แผนที่เรียบระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เรียกว่า แผนที่ฮาร์ มอนิกถ้าตัวแทนพิกัดของแผนที่นั้นสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ไม่เชิงเส้นบางอย่าง สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสำหรับแผนที่นี้ยังเกิดขึ้นเป็นสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ของฟังก์ชันที่เรียกว่าพลังงานดิริชเลต์ดังนั้น ทฤษฎีของแผนที่ฮาร์มอนิกจึงประกอบด้วยทั้งทฤษฎีของ เส้นทางจีโอเด สิกความเร็วหน่วยใน เรขาคณิต แบบรีมันน์และทฤษฎีของฟังก์ชันฮาร์มอนิก

โดยทั่วไป พลังงานดิริชเลต์ของการแมป $f$ จากแมนิโฟลด์รีมันน์ $M$ ไปยังแมนิโฟลด์รีมันน์ $N$ สามารถคิดได้ว่าเป็นปริมาณทั้งหมดที่ $f$ ยืด $M$ ในการจัดสรรองค์ประกอบแต่ละส่วนของ M ไปยังจุดหนึ่งใน $N$ ตัวอย่างเช่นยางรัด ที่ไม่ยืด และหินเรียบสามารถมองได้ว่าเป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ การยืดแถบยางเหนือหินด้วยวิธีใดก็ตามสามารถมองได้ว่าเป็นการแมประหว่างแมนิโฟลด์เหล่านี้ และแรงตึงทั้งหมดที่เกี่ยวข้องจะแสดงด้วยพลังงานดิริชเลต์ ความเป็นฮาร์มอนิกของการแมปดังกล่าวหมายความว่า เมื่อพิจารณาวิธีสมมติใดๆ ในการเปลี่ยนรูปทางกายภาพของแถบยางนั้น แรงตึง (เมื่อพิจารณาเป็นฟังก์ชันของเวลา) จะมีอนุพันธ์อันดับแรกเท่ากับศูนย์เมื่อการเปลี่ยนรูปเริ่มต้นขึ้น

ทฤษฎีแผนที่ฮาร์มอนิกเริ่มต้นขึ้นในปี พ.ศ. 2507 โดยJames EellsและJoseph Sampsonซึ่งแสดงให้เห็นว่าในบริบททางเรขาคณิตบางอย่าง แผนที่ใดๆ ก็ตามสามารถเปลี่ยนรูปเป็นแผนที่ฮาร์มอนิกได้^{[ 1 ]}งานของพวกเขาเป็นแรงบันดาลใจให้กับงานเริ่มต้นของRichard Hamilton เกี่ยวกับ การไหลของ Ricciแผนที่ฮาร์มอนิกและการไหลของความร้อนของแผนที่ฮาร์มอนิก ที่เกี่ยวข้อง นั้น เป็นหนึ่งในหัวข้อที่มีการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดในสาขา การ วิเคราะห์ ทางเรขาคณิต

การค้นพบ "การเกิดฟอง" ของลำดับแผนที่ฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นผลมาจาก Jonathan Sacks และKaren Uhlenbeck [ ²^]มีอิทธิพลอย่างมาก เนื่องจากการวิเคราะห์ของพวกเขาได้รับการปรับใช้ในบริบททางเรขาคณิตอื่นๆ อีกมากมาย ที่น่าสังเกตคือ การค้นพบการเกิดฟองของฟิลด์ Yang–Mills ของ Uhlenbeck มีความสำคัญใน^งาน ของ Simon Donaldsonเกี่ยวกับแมนิโฟลด์สี่มิติ และการค้นพบการเกิดฟองของเส้นโค้ง pseudoholomorphic ในภายหลังของ Mikhael Gromovมีความสำคัญในการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตเชิงซิม เพล็กติก และโคฮอโมโลยีควอนตัมเทคนิคที่Richard Schoenและ Uhlenbeck ใช้ในการศึกษาทฤษฎีความสม่ำเสมอของแผนที่ฮาร์มอนิกยังเป็นแรงบันดาลใจให้กับการพัฒนาวิธีการวิเคราะห์มากมายในการวิเคราะห์ทางเรขาคณิต^[³^]

เรขาคณิตของการแมปปิ้งระหว่างแมนิโฟลด์

ในที่นี้ เราจะพิจารณาเรขาคณิตของการแมปแบบเรียบระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ โดยใช้ พิกัดท้องถิ่นและในทำนองเดียวกันโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นการแมปดังกล่าวจะกำหนดทั้งรูปแบบพื้นฐานแรกและรูปแบบพื้นฐานที่สอง ตัวดำเนิน การ ลาปลาเซียน (หรือเรียกว่าฟิลด์ความตึง ) ถูกกำหนดผ่านรูปแบบพื้นฐานที่สองและการที่ตัวดำเนินการลาปลาเซียนเป็นศูนย์เป็นเงื่อนไขที่ทำให้การแมปเป็นแบบฮาร์มอนิ ก คำจำกัดความเหล่านี้สามารถขยายไปสู่การตั้งค่าของ แมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ได้ โดยไม่ต้องแก้ไข

พิกัดท้องถิ่น

ให้ $U$ เป็นเซตเปิดย่อยของ $ℝ n$ และให้ $V$ เป็นเซตเปิดย่อยของ $ℝ m$ สำหรับแต่ละ $i$ และ $j$ ระหว่าง 1 ถึง $n$ ให้ $g ij$ เป็นฟังก์ชันค่าจริง เรียบ บน $U$ โดยที่สำหรับแต่ละ $p$ ใน $U$ จะได้ว่าเมทริกซ์ $n \times n$ $[$ $g$ $ij$ $($ $p$ $)]$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรและเป็นบวกแน่นอนสำหรับแต่ละ $α$ และ $β$ ระหว่าง 1 ถึง $m$ ให้ $h$ $αβ$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงเรียบบน $V$ โดยที่สำหรับแต่ละ $q$ ใน $V$ จะได้ว่าเมท ริกซ์ $m$ $\times$ $m$ $[$ $h$ $αβ$ $($ $q$ $)]$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน กำหนดให้เมทริกซ์ผกผันเป็น $[$ $g$ $ij$ $($ $p$ $)]$ และ $[$ $h$ $αβ$ $($ $q$ $)]$

สำหรับแต่ละ $i, j, k$ ระหว่าง 1 และ $n$ $และ$ แต่ละ $α, β, γ$ ระหว่าง 1 และ $m$ ให้กำหนดสัญลักษณ์ Christoffel $Γ(g) k ij : U \to ℝ$ และ $Γ(h) γαβ : V \to ℝ$ โดย^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }\left({\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}\right)\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }\left({\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}\right)\end{aligned}}

เมื่อกำหนดแผนที่เรียบ $f$ จาก $U$ ไปยัง $V$ รูปแบบพื้นฐานที่สองจะกำหนดสำหรับแต่ละ $i$ และ $j$ ระหว่าง 1 และ $n$ และสำหรับแต่ละ $α$ ระหว่าง 1 และ $m$ ฟังก์ชันค่าจริง $\nabla(df) α ij$ บน $U$ โดย^{[ 5 ]}

\nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.

ลาปลาเซียนของมันกำหนดสำหรับแต่ละ $α$ ระหว่าง 1 และ $n$ ฟังก์ชันค่าจริง $(∆ f) α$ บน $U$ โดย^{[ 6 ]}

(\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.

รูปแบบบันเดิล

ให้ $(M, g)$ และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เมื่อกำหนดแผนที่เรียบ $f$ จาก $M$ ไปยัง $N$ เราสามารถพิจารณาอนุพันธ์ $df$ ของแผนที่นั้น ว่าเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์บันเดิล $T * M \otimes f * TN$ เหนือ $M$ กล่าวคือ สำหรับแต่ละ $p$ ใน $M$ จะมีแผนที่เชิงเส้น $df p$ ระหว่างปริภูมิสัมผัส $T p M \to T f(p) N$ ^{[ 7} ] เวกเตอร์บันเดิล $T * M \otimes f * TN$ มีการเชื่อมต่อที่เหนี่ยวนำมาจาก การเชื่อมต่อ Levi ^- Civitaบน $M$ และ $N$ ^{[ 8} ] ดังนั้นเราอาจใช้อนุพันธ์ร่วมแปร $\nabla(df)$ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์บันเดิ^ล $T * M \otimes T * M \otimes f * TN$ เหนือ $M$ กล่าวคือ สำหรับแต่ละ $p$ ใน $M$ จะมีแผนที่เชิงเส้นคู่ $(\nabla($ ^df $)$ $)$ $p$ ของปริภูมิสัมผัส $T p M \times T p M \to T f(p) N$ ^{[ 9} ] ส่วนนี้เรียกว่าเฮสเซียนของ $f$

โดยใช้ $g$ เราสามารถติดตามเฮสเซียนของ $f$ เพื่อให้ได้ลาปลาเซียนของ $f$ ซึ่งเป็นส่วนของบันเดิล $f * TN$ เหนือ $M$ ; ซึ่งหมายความว่าลาปลาเซียนของ $f$ กำหนดให้กับ $p$ แต่ละตัว ใน $M$ องค์ประกอบของปริภูมิสัมผัส $T f (p) N$ ^{[ 10} ] ตามคำจำกัดความของตัวดำเนินการร่องรอย ลาปลาเซียนสามารถเขียน ^ได้ดังนี้

(\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})

โดย ที่ $e 1, ..., e m$ คือ ฐานออร์โทนอร์มอล $g p$ ใดๆ ของ $T p M$

พลังงาน Dirichlet และสูตรแปรผันต่างๆ

จากมุมมองของพิกัดท้องถิ่น ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นความหนาแน่นของพลังงานของการแมป $f$ คือฟังก์ชันค่าจริงบน $U$ ที่กำหนดโดย^{[ 11 ]}

{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).

อีกทางเลือกหนึ่ง ในรูปแบบบันเดิล เมตริกแบบรีมันน์บน $M$ และ $N$ เหนี่ยวนำให้เกิดเมตริกบันเดิลบน $T * M$ ⊗ $f$ $*$ $TN$ ดังนั้นจึงสามารถกำหนดความหนาแน่นของพลังงานเป็นฟังก์ชัน $เรียบ$ $ได้$ $1 / 2 ⁠ | df | 2$ บน $M$ .^{[ 12 ]}นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาความหนาแน่นของพลังงานโดยให้ (ครึ่งหนึ่งของ) $g$ -trace ของรูปแบบพื้นฐานแรกได้ [^{13 ] ไม่}ว่าจะพิจารณาจากมุมมองใด ความหนาแน่นของพลังงาน $e (f)$ ก็เป็นฟังก์ชันบน $M$ ซึ่งเรียบและไม่เป็นลบ หาก $M$ มีทิศทางและ $M$ เป็นคอมแพ็กต์พลังงาน Dirichletของ $f$ จะถูกกำหนดเป็น

E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}

โดยที่ $dμ g$ คือรูปแบบปริมาตรบน $M$ ที่เหนี่ยวนำโดย $g$ ^{[ 14} ] เนื่องจากฟังก์ชันที่วัดได้ ที่ไม่เป็นลบใดๆ มี อินทิกรัล Lebesgueที่กำหนดไว้อย่างดี^จึงไม่จำเป็นต้องกำหนดข้อจำกัดว่า $M$ จะต้องกระชับ อย่างไรก็ตาม พลังงาน Dirichlet อาจเป็นอนันต์

สูตรการแปรผันสำหรับพลังงาน Dirichlet คำนวณอนุพันธ์ของพลังงาน Dirichlet $E (f)$ เมื่อการแมป $f$ ถูกเปลี่ยนแปลง เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้พิจารณาตระกูลการแมปแบบพารามิเตอร์เดียว $f s : M \to N$ โดยที่ $f 0 = f$ ซึ่งมีเซตเปิดแบบพรีคอมแพ็กต์ $K$ ของ $M$ อยู่ เช่นนั้น $f s | M - K = f | M - K$ สำหรับทุก $s$ ; สมมติว่าตระกูลพารามิเตอร์นั้นเรียบในแง่ที่ว่าการแมปที่เกี่ยวข้อง $(-ε, ε) \times M \to N$ ที่กำหนดโดย $(s, p) \mapsto f s (p)$ นั้นเรียบ

สูตรการเปลี่ยนแปลงแรกกล่าวว่า^{[ 15 ]}

\int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}

นอกจากนี้ยังมีเวอร์ชันสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตอีกด้วย^{[ 16 ]}

นอกจากนี้ยังมีสูตรการเปลี่ยนแปลงที่สอง อีกด้วย ^{[ 17 ]}

เนื่องจากสูตรการแปรผันแรก ลาปลาเซียนของ $f$ สามารถคิดได้ว่าเป็นเกรเดียนต์ของพลังงาน Dirichlet ในทำนองเดียวกัน แผนที่ฮาร์มอนิกเป็นจุดวิกฤตของพลังงาน Dirichlet ^{[ 18 ]}สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างเป็นทางการในภาษาของการวิเคราะห์ทั่วโลกและ แมนิโฟล ด์ Banach

ตัวอย่างของแผนที่ฮาร์มอนิก

ให้ $(M, g)$ และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์เรียบ สัญลักษณ์ $g stan$ ใช้เพื่ออ้างถึงเมตริกรีมันน์มาตรฐานบนปริภูมิยุคลิด

แผนที่จีโอเดสิกโดยสมบูรณ์ทุก แผนที่ ( M , g ) → ( N , h )เป็นแผนที่ฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความข้างต้น สำหรับกรณีพิเศษ:
- สำหรับ $q$ ใดๆ ใน $N$ แผนที่คงที่ $(M, g) \to (N, h)$ ที่มีค่าที่ $q นั้น$ เป็นแผนที่ฮาร์มอนิก
- แผนที่เอกลักษณ์ $(M, g) \to (M, g)$ เป็นแผนที่ฮาร์มอนิก
ถ้าf : M → Nเป็นการฝังตัว (immersion ) แล้วf : ( M , f ^*h ) → ( N , h )จะเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก (harmonic) ก็ต่อเมื่อfเป็น ฟังก์ชัน มินิมัล (minimal) เมื่อ เทียบกับhในกรณีพิเศษ:
- ถ้า $f : ℝ \to (N, h)$ เป็นการจุ่มด้วยความเร็วคงที่ แล้ว $f : (ℝ, g stan) \to (N, h)$ จะเป็นฮาร์มอนิกก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จี โอเดสิก

โปรดจำไว้ว่า ถ้า

M

เป็นมิติเดียว ความน้อยที่สุดของ

f

จะเทียบเท่ากับ การที่

f

เป็นเส้นทางจีโอเดสิก แม้ว่าสิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่ามันเป็นการกำหนดพารามิเตอร์ความเร็วคงที่ และดังนั้นจึงไม่ได้หมายความว่า

f

แก้สมการเชิงอนุพันธ์จีโอเดสิกได้

แผนที่เรียบ $f : (M, g) \to (ℝ n, g stan)$ จะเป็นฮาร์มอนิกก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันส่วนประกอบ ทั้ง $n$ ฟังก์ชันของมัน เป็นฮาร์มอนิกในฐานะแผนที่ $(M, g) \to (ℝ, g stan)$ ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องความเป็นฮาร์มอนิกที่กำหนดโดยตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามี
แผนที่โฮโลมอร์ฟิกทุก แผนที่ ระหว่างแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ล้วนเป็นแผนที่ฮาร์มอนิก
ทุกการแปลงฮาร์มอนิกส์ระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ล้วนเป็นการแปลงฮาร์มอนิกส์

การไหลของความร้อนตามแผนที่ฮาร์มอนิก

ท่าทางที่สง่างาม

ให้ $(M, g)$ และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์เรียบแผนที่ฮาร์มอนิกการไหลของความร้อนบนช่วง $(a, b)$ กำหนดให้กับแต่ละ $t$ ใน $(a, b)$ แผนที่ $f t : M \to N$ ที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง ในลักษณะที่ว่า สำหรับแต่ละ $p$ ใน $M$ แผนที่ $(a, b) \to N$ ที่กำหนดโดย $t \mapsto f t (p)$ นั้นหาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของมันที่ค่า $t$ ที่กำหนด นั้น ในรูปเวกเตอร์ใน $T f t (p) N$ จะเท่ากับ $(∆ f t) p$ โดยทั่วไปจะย่อเป็น:

{\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.

อีลส์และแซมป์สันได้นำเสนอแผนที่การไหลของความร้อนแบบฮาร์มอนิก และพิสูจน์คุณสมบัติพื้นฐานต่อไปนี้:

ความสม่ำเสมอ การไหลของความร้อนแบบฮาร์มอนิ กใดๆ จะราบเรียบเหมือนแผนที่ $(a, b) \times M \to N$ ที่กำหนดโดย $(t, p) \mapsto f t (p)$

สมมติว่า $M$ เป็นแมนิโฟลด์ปิด และ $(N, h)$ เป็นเส้นโค้งสมบูรณ์ทางธรณีวิทยา

การมีอยู่ กำหนดให้แผนที่ $f$ จาก $M$ ไปยัง $N$ มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง จะมีจำนวนบวก $T$ และการไหลของความร้อนแผนที่ฮาร์มอนิก $f t$ บนช่วง $(0, T)$ ซึ่ง $f t$ จะลู่เข้าสู่ $f$ ใน โทโพโลยี $C 1$ เมื่อ $t$ ลดลงเป็น 0 ^{[ 19 ]}
ความเป็นเอกลักษณ์ ถ้า ${f t : 0 < t < T}$ และ ${f t : 0 < t < T}$ เป็นการไหลของความร้อนแบบแผนที่ฮาร์มอนิกสองแบบตามทฤษฎีบทการมีอยู่ แล้ว $f t = f t$ เมื่อใดก็ตามที่0 $< t < min(T, T)$

จากผลของทฤษฎีบทความไม่ซ้ำกัน ทำให้มี การไหลของความร้อนแบบแผนที่ฮาร์มอนิก สูงสุดที่มีข้อมูลเริ่มต้น $f$ ซึ่งหมายความว่ามีการไหลของความร้อนแบบแผนที่ฮาร์มอนิก ${f t : 0 < t < T}$ ดังที่ระบุไว้ในข้อความของทฤษฎีบทการมีอยู่ และถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันภายใต้เกณฑ์เพิ่มเติมที่ว่า $T$ มีค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ ซึ่งอาจเป็นอนันต์

ทฤษฎีบทของอีลส์และแซมป์สัน

ผลลัพธ์หลักของบทความของ Eells และ Sampson ในปี 1964 มีดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

ให้ $(M, g)$ และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ที่เรียบและปิด และสมมติว่าความโค้งภาคตัดขวางของ $(N, h)$ ไม่เป็นบวก แล้วสำหรับแผนที่ $f$ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อ เนื่องจาก $M$ ไปยัง $N$ แผนที่ฮาร์มอนิกสูงสุดของการไหลของความร้อน ${f t : 0 < t < T}$ ที่มีข้อมูลเริ่มต้น $f$ จะมี $T = \infty$ และเมื่อ $t$ เพิ่มขึ้นเป็น $\infty$ แผนที่ $f t$ จะลู่เข้าสู่แผนที่ฮาร์มอนิกในโทโพโลยี $C \infty ตามลำดับ$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า ภายใต้สมมติฐานเกี่ยวกับ $(M, g)$ และ $(N, h)$ แผนที่ต่อเนื่องทุกแผนที่สามารถเป็นโฮโมโทปีกับแผนที่ฮาร์มอนิกได้^{[ 1 ]}การมีอยู่ของแผนที่ฮาร์มอนิกในแต่ละคลาสโฮโมโทปี ซึ่งได้รับการยืนยันโดยปริยาย เป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์นี้ พิสูจน์ได้โดยการสร้างสมการความร้อน และแสดงให้เห็นว่าสำหรับแผนที่ใดๆ เป็นเงื่อนไขเริ่มต้นจะมีคำตอบที่มีอยู่ตลอดเวลา และคำตอบจะลู่เข้าสู่แผนที่ฮาร์มอนิกอย่างสม่ำเสมอ

ผลลัพธ์ของ Eells และ Sampson ได้รับการดัดแปลงโดยRichard Hamiltonให้เข้ากับการตั้งค่าของปัญหาค่าขอบเขต Dirichletเมื่อ $M$ เป็นเซตกระชับที่มีขอบเขตไม่ว่างเปล่า^{[ 20 ]}

หลังจากงานของ Eells และ Sampson ไม่นานPhilip Hartmanได้ขยายวิธีการของพวกเขาเพื่อศึกษาเอกลักษณ์ของแผนที่ฮาร์มอนิกภายในคลาสโฮโมโทปี นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าการล convergence ในทฤษฎีบท Eells−Sampson นั้นแข็งแกร่ง โดยไม่จำเป็นต้องเลือกลำดับย่อย^{[ 21 ]}นั่นคือ ถ้าแผนที่สองแผนที่อยู่ใกล้กันในตอนเริ่มต้น ระยะห่างระหว่างคำตอบที่สอดคล้องกันของสมการความร้อนจะไม่เพิ่มขึ้นตลอดเวลา ดังนั้น: ^{[ 22 ]}

เซตของแผนที่จีโอเดสิกทั้งหมดในแต่ละคลาสโฮโมโทปีนั้นเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง
แผนที่ฮาร์มอนิกทั้งหมดเป็นแผนที่ที่ลดพลังงานให้เหลือน้อยที่สุดและเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดโดยสมบูรณ์

^{[ 23 ]}สังเกตว่าแผนที่ทุกแผนที่จากผลิตภัณฑ์ไปยังโฮโมโทปิกกับแผนที่ โดยที่แผนที่นั้นเป็นจีโอเดสิกโดยสมบูรณ์เมื่อจำกัดไว้ที่ไฟเบอร์ $W\times M$ $N$ $M$

จุดเอกฐานและโซลูชันที่อ่อนแอ

เป็นเวลาหลายปีหลังจากงานของ Eells และ Sampson ยังไม่ชัดเจนว่าสมมติฐานความโค้งของส่วนตัดขวางบน $(N, h)$ มีความจำเป็นมากน้อยเพียงใด หลังจากงานของ Kung-Ching Chang, Wei-Yue Ding และ Rugang Ye ในปี 1992 เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางว่าเวลาสูงสุดของการดำรงอยู่ของการไหลของความร้อนแบบแผนที่ฮาร์มอนิกนั้น "โดยปกติ" ไม่สามารถคาดหวังได้ว่าเป็นอนันต์^{[ 24 ]}ผลลัพธ์ของพวกเขาชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนว่ามีการไหลของความร้อนแบบแผนที่ฮาร์มอนิกที่มี "การระเบิดในเวลาจำกัด" แม้ว่าทั้ง $(M, g)$ และ $(N, h)$ จะถูกพิจารณาว่าเป็นทรงกลมสองมิติที่มีเมตริกมาตรฐานก็ตาม เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีและพาราโบลาจะเรียบเป็นพิเศษเมื่อโดเมนเป็นสองมิติ ผลลัพธ์ของ Chang−Ding−Ye จึงถือเป็นตัวบ่งชี้ลักษณะทั่วไปของการไหล

โดยอิงตามผลงานพื้นฐานของ Sacks และ Uhlenbeck นั้นMichael Struweได้พิจารณากรณีที่ไม่มีการตั้งสมมติฐานทางเรขาคณิตเกี่ยวกับ $(N, h)$ ในกรณีที่ $M$ เป็นสองมิติ เขาได้สร้างการมีอยู่และเอกลักษณ์ที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขสำหรับคำตอบอ่อนของการไหลของความร้อนแผนที่ฮาร์มอนิก^{[ 25 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เขาพบว่าคำตอบอ่อนของเขานั้นราบเรียบห่างจากจุดปริภูมิเวลาจำนวนจำกัดที่ความหนาแน่นของพลังงานกระจุกตัว ในระดับจุลภาค การไหลใกล้จุดเหล่านี้ถูกจำลองโดยฟองอากาศ กล่าว คือ แผนที่ฮาร์มอนิกที่ราบเรียบจากทรงกลม 2 มิติไปยังเป้าหมาย Weiyue Ding และGang Tianสามารถพิสูจน์การควอนตัมของพลังงานที่เวลาเอกฐาน ซึ่งหมายความว่าพลังงาน Dirichlet ของคำตอบอ่อนของ Struwe ที่เวลาเอกฐานจะลดลงเท่ากับผลรวมของพลังงาน Dirichlet ทั้งหมดของฟองอากาศที่สอดคล้องกับเอกฐาน ณ เวลานั้น^{[ 26 ]}

ต่อมา Struwe สามารถปรับวิธีการของเขาให้เข้ากับมิติที่สูงขึ้นได้ ในกรณีที่โดเมนแมนิโฟลด์เป็นปริภูมิยุคลิด [ ^{27 ] เขา}และ Yun Mei Chen ยังพิจารณาแมนิโฟลด์ปิดที่มี มิติสูงกว่า ด้วย^{[ 28 ]}ผลลัพธ์ของพวกเขาทำได้น้อยกว่าในมิติต่ำ โดยสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของโซลูชันแบบอ่อนซึ่งเรียบบนเซตย่อยแบบเปิดที่มีความหนาแน่นเท่านั้น

สูตรของบอคเนอร์และความแข็งแกร่ง

จุดสำคัญในการคำนวณในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Eells และ Sampson คือการดัดแปลงสูตร Bochnerให้เข้ากับการตั้งค่าการไหลของความร้อนแบบแผนที่ฮาร์มอนิก ${f t : 0 < t < T}$ สูตรนี้กล่าวว่า^{[ 29 ]}

{\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.

สิ่งนี้น่าสนใจในการวิเคราะห์แผนที่ฮาร์มอนิกเช่นกัน สมมติว่า $f : M \to N$ เป็นฮาร์มอนิก แผนที่ฮาร์มอนิกใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นคำตอบคงที่ใน $t$ ของการไหลของความร้อนในแผนที่ฮาร์มอนิก และจากสูตรข้างต้นจะได้ว่า^{[ 30 ]}

\Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.

ถ้าความโค้งริชชีของ $g$ เป็นบวกและความโค้งภาคตัดขวางของ $h$ ไม่เป็นบวก นั่นหมายความว่า $∆e (f)$ ไม่เป็นลบ ถ้า $M$ ปิด การคูณด้วย $e (f) และการอินทิเกร$ $ต$ แบบแยกส่วนเพียงครั้งเดียวแสดงให้เห็นว่า $e (f)$ ต้องเป็นค่าคงที่ และดังนั้นจึงเป็นศูนย์ ดังนั้น $f$ เองต้องเป็นค่าคงที่^{[ 31 ]} Richard SchoenและShing-Tung Yauตั้งข้อสังเกตว่าเหตุผลนี้สามารถขยายไปยัง $M$ ที่ไม่กระชับได้ โดยใช้ทฤษฎีบทของ Yau ที่ยืนยันว่าฟังก์ชันย่อยฮาร์มอนิก ที่ไม่เป็น $ลบ$ ซึ่งมีขอบเขต $L2$ ต้องเป็นค่าคงที่^{[ 32 ]}โดยสรุป ตามผลลัพธ์เหล่านี้ จะได้ว่า:

ให้ $(M, g)$ และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ที่เรียบและสมบูรณ์ และให้ $f$ เป็นแผนที่ฮาร์มอนิกจาก $M$ ไปยัง $N$ สมมติว่าความโค้งริชชีของ $g$ เป็นบวก และความโค้งภาคตัดขวางของ $h$ ไม่เป็นบวก
ถ้า $M$ และ $N$ เป็นเซตปิดทั้งคู่ แสดงว่า $f$ ต้องมีค่าคงที่
ถ้า $N$ เป็นเซตปิดและ $f$ มีพลังงาน Dirichlet จำกัด พลังงานนั้นจะต้องคงที่

เมื่อนำมารวมกับทฤษฎีบท Eells−Sampson จะแสดงให้เห็น (ตัวอย่างเช่น) ว่าถ้า $(M, g)$ เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ปิดที่มีความโค้งริชชีเป็นบวก และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ปิดที่มีความโค้งภาคตัดขวางไม่เป็นบวก แล้วแผนที่ต่อเนื่องทุกแผนที่จาก $M$ ไปยัง $N$ จะสมมูลกับค่าคงที่

แนวคิดทั่วไปของการเปลี่ยนรูปแผนที่ทั่วไปให้เป็นแผนที่ฮาร์มอนิก แล้วแสดงให้เห็นว่าแผนที่ฮาร์มอนิกดังกล่าวจะต้องอยู่ในคลาสที่จำกัดอย่างมากโดยอัตโนมัติ ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลายด้าน ตัวอย่างเช่นYum-Tong Siuได้ค้นพบสูตร Bochner เวอร์ชันเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนที่สำคัญ โดยยืนยันว่าแผนที่ฮาร์มอนิกระหว่างแมนิโฟลด์ Kählerจะต้องเป็นโฮโลมอร์ฟิก หากแมนิโฟลด์เป้าหมายมีความโค้งเป็นลบอย่างเหมาะสม^{[ 33 ]}ในฐานะการประยุกต์ใช้ โดยการใช้ทฤษฎีบทการมีอยู่ของ Eells−Sampson สำหรับแผนที่ฮาร์มอนิก เขาสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้า $(M, g)$ และ $(N, h)$ เป็นแมนิโฟลด์ Kähler ที่เรียบและปิด และถ้าความโค้งของ $(N, h)$ เป็นลบอย่างเหมาะสม $M$ และ $N$ จะต้องเป็นไบโฮโลมอร์ฟิกหรือแอนติไบโฮโลมอร์ฟิก ถ้าพวกมันเป็นโฮโมโทปิกซึ่งกันและกัน ไบโฮโลมอร์ฟิซึม (หรือแอนติไบโฮโลมอร์ฟิซึม) คือแผนที่ฮาร์มอนิกที่สร้างขึ้นเป็นลิมิตของการไหลของความร้อนในแผนที่ฮาร์มอนิก โดยมีข้อมูลเริ่มต้นที่กำหนดโดยโฮโมโทปี ด้วยการกำหนดสูตรทางเลือกของแนวทางเดียวกันนี้ ซิ่วสามารถพิสูจน์รูปแบบหนึ่งของสมมติฐานฮอดจ์ ที่ยังแก้ไม่ตกได้ แม้ว่าจะอยู่ในบริบทที่จำกัดของความโค้งเชิงลบก็ตาม

เควิน คอร์เล็ตต์ ค้นพบส่วนขยายที่สำคัญของสูตรบอคเนอร์ของซิว และใช้มันเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทความแข็งแกร่ง ใหม่ สำหรับแลตทิซในกลุ่มลี บาง กลุ่ม^{[ 34 ]}ต่อจากนั้นมิคาเอล โกรโมฟและริชาร์ด โชเอน ได้ขยายทฤษฎีแผนที่ฮาร์มอนิกส่วนใหญ่เพื่อให้ $(N, h)$ สามารถแทนที่ด้วยปริภูมิเมตริกได้^{[ 35 ]}ด้วยการขยายทฤษฎีบทอีลส์-แซมป์สัน ร่วมกับการขยายสูตรบอคเนอร์ของซิว-คอร์เล็ตต์ พวกเขาสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทความแข็งแกร่งใหม่สำหรับแลตทิซได้

ปัญหาและการประยุกต์ใช้

การมีอยู่ของผลลัพธ์บนแผนที่ฮาร์มอนิกส์ระหว่างแมนิโฟลด์มีผลกระทบต่อความโค้ง ของแมนิโฟลด์เหล่า นั้น
เมื่อทราบการมีอยู่ของแผนที่ฮาร์มอนิกแล้ว จะสามารถสร้างแผนที่ฮาร์มอนิกได้อย่างชัดเจนได้อย่างไร? (วิธีหนึ่งที่ได้ผลดีคือการใช้ทฤษฎีทวิสเตอร์ )
ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีทฤษฎีสนามควอนตัมที่มีการกระทำกำหนดโดยพลังงานดิริชเลต์เรียกว่าแบบจำลองซิกมาในทฤษฎีดังกล่าว แผนที่ฮาร์มอนิกจะสอดคล้องกับอินสแตนตอน
หนึ่งในแนวคิดดั้งเดิมของวิธีการสร้างตารางกริดสำหรับพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณและฟิสิกส์เชิงคำนวณ คือการใช้การแมปแบบคอนฟอร์มอลหรือแบบฮาร์มอนิกเพื่อสร้างตารางกริดที่สม่ำเสมอ

แผนที่ระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เรียกว่าแผนที่จีโอเดสิกโดยสมบูรณ์ ถ้าเมื่อใดก็ตามที่เป็นแผนที่จีโอเดสิก การประกอบกันของแผนที่นั้นก็จะเป็นแผนที่จีโอเดสิกเช่นกัน $u:M\rightarrow N$ $\gamma :(a,b)\rightarrow M$ $u\circ \gamma$