ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์เป็นปัญหาสำคัญที่ยังแก้ไม่ตกในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงซ้อนซึ่งเชื่อมโยงโทโพโลยีเชิงพีชคณิตของวา ไรตี เชิงซ้อนเชิงพีชคณิตที่ไม่เอกฐาน กับวาไรตีย่อยของมัน

กล่าวโดยง่าย สมมติฐานของฮอดจ์กล่าวว่า ข้อมูลทางโทโพโลยีพื้นฐาน เช่น จำนวนรูในปริภูมิทางเรขาคณิต บางอย่าง หรือวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนสามารถเข้าใจได้โดยการศึกษาลักษณะรูปร่างที่สวยงามซึ่งอยู่ภายในปริภูมิเหล่านั้น ซึ่งมีลักษณะคล้ายเซตศูนย์ของสมการพหุนามวัตถุเหล่านี้สามารถศึกษาได้โดยใช้พีชคณิตและแคลคูลัสของฟังก์ชันวิเคราะห์และสิ่งนี้ช่วยให้เราเข้าใจรูปร่างและโครงสร้างโดยรวมของปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า ซึ่งไม่สามารถมองเห็นได้ง่ายๆ ด้วยวิธีอื่น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อสันนิษฐานนี้กล่าวว่า คลาส โคฮอโมโลยีของเดอแรม บางคลาส เป็นพีชคณิต กล่าวคือ เป็นผลรวมของคู่ปวงกาเรของคลาสโฮ โมโลยี ของวาไรตีย่อย ข้อสันนิษฐานนี้ถูกกำหนดขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสกอตแลนด์วิลเลียม วัลแลนซ์ ดักลาส ฮอดจ์อันเป็นผลมาจากงานวิจัยระหว่างปี 1930 ถึง 1940 เพื่อเสริมคำอธิบายของโคฮอโมโลยีของเดอแรมให้ครอบคลุมโครงสร้างพิเศษที่มีอยู่ในกรณีของวาไรตีพีชคณิตเชิงซ้อน ข้อสันนิษฐานนี้ไม่ได้รับความสนใจมากนักก่อนที่ฮอดจ์จะนำเสนอในการกล่าวสุนทรพจน์ระหว่างการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ ในปี 1950 ซึ่งจัดขึ้นที่เคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์เป็นหนึ่งในปัญหาที่ได้รับรางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์โดยมีรางวัล 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐสำหรับผู้ที่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างข้อสันนิษฐานของฮอดจ์ได้

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาด กะทัดรัด ที่มีมิติเชิงซ้อนnแล้วXเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่สามารถกำหนด ทิศทางได้ และมีมิติเชิงจริงดังนั้น กลุ่ม โคฮอโมโลยี ของมัน จึงอยู่ในระดับศูนย์ถึงสมมติว่าXเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ดังนั้นจึงมีการแยกส่วนประกอบบนโคฮอโมโลยีของมันด้วยสัมประสิทธิ์ เชิงซ้อน${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),}$

โดยที่กลุ่มย่อยของชั้นโคฮอโมโลยีซึ่งแสดงด้วยรูปแบบฮาร์มอนิกประเภทคือ ชั้นโคฮอโมโลยีเหล่านี้แสดงด้วยรูปแบบเชิงอนุพันธ์ซึ่งในการเลือกพิกัดท้องถิ่นบางอย่างสามารถเขียนได้เป็นฟังก์ชัน ฮาร์มอนิกคูณ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$

${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.}$

เนื่องจากXเป็นแมนิโฟลด์แบบกระชับและมีทิศทาง ดังนั้น Xจึงมีคลาสพื้นฐานและด้วยเหตุนี้Xจึงสามารถอินทิเกรตได้

ให้Zเป็นซับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนของXที่มีมิติkและให้เป็นแผนที่การรวมเลือกรูปแบบเชิงอนุพันธ์ประเภทเราสามารถอินทิเกรตเหนือZโดยใช้ฟังก์ชันพูลแบ็ก ${\displaystyle i\colon Z\to X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle i^{*}}$

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .}$

ในการประเมินอินทิกรัลนี้ ให้เลือกจุดหนึ่งในZแล้วเรียกมันว่าการที่Z อยู่ ในXหมายความว่าเราสามารถเลือกฐาน เฉพาะที่ บนXและมี( ทฤษฎีบทอันดับ-ศูนย์ ) ถ้าแล้วจะต้องมีบางจุดที่ดึงกลับไปที่ศูนย์บนZเช่นเดียวกันกับถ้าดังนั้น อินทิกรัลนี้จะเป็นศูนย์ถ้า ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{k})}$${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$${\displaystyle p>k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dz_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle d{\bar {z}__{j}}$${\displaystyle q>k}$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$

ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์จึงถาม (อย่างคร่าวๆ) ว่า:

คลาสโคฮอโมโลยีใดในมาจากซับวาไรตีเชิงซ้อนZ ?${\displaystyle H^{k,k}(X)}$

อนุญาต

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

เราเรียกกลุ่มนี้ว่ากลุ่มของคลาส Hodgeดีกรี2kบนX

คำกล่าวที่ทันสมัยของสมมติฐานฮอดจ์คือ

ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์: ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟที่ไม่เอกฐาน แล้วชั้นฮอดจ์ทุกชั้นบนX เป็นผลรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะของชั้นโคฮอโม โลยีของซับวาไรตีเชิงซ้อนของX

แมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ คือ แมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่สามารถฝังตัวอยู่ในปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟได้ เนื่องจากปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟมีเมตริกคาห์เลอร์ ซึ่งก็คือเมตริกฟูบินี-สตูดี แมนิโฟลด์ดังกล่าวจึงเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์เสมอ ตามทฤษฎีบทของโชว์แมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟยังเป็นวาไรตีพีชคณิตเชิงโปรเจคทีฟเรียบด้วย กล่าวคือ เป็นเซตศูนย์ของกลุ่มพหุนามเอกพันธุ์

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายสมมติฐานของฮอดจ์เกี่ยวข้องกับแนวคิดของวัฏจักรพีชคณิตวัฏจักรพีชคณิตบนXคือการรวมกันอย่างเป็นทางการของส่วนย่อยของXกล่าวคือ มันมีลักษณะบางอย่างเช่น

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}Z_{i}.}$

โดยทั่วไปแล้ว สัมประสิทธิ์จะถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ เรากำหนดชั้นโคฮอโมโลยีของวัฏจักรพีชคณิตให้เป็นผลรวมของชั้นโคฮอโมโลยีของส่วนประกอบต่างๆ นี่คือตัวอย่างของแผนที่ชั้นวัฏจักรของโคฮอโมโลยีเดอแรม ดูโคฮอโมโลยีไวล์ตัวอย่างเช่น ชั้นโคฮอโมโลยีของวัฏจักรข้างต้นจะเป็น

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}[Z_{i}].}$

ชั้นโคฮอโมโลยีดังกล่าวเรียกว่าชั้นพีชคณิตด้วยสัญลักษณ์นี้ ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์จึงกลายเป็น

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ แล้วคลาสฮอดจ์ทุกคลาสบนXจะเป็นคลาสพีชคณิต

ข้อสมมติในทฤษฎีบทคาดการณ์ของ Hodge ที่ว่าXเป็นพีชคณิต (แมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ) นั้นไม่สามารถลดทอนได้ ในปี 1977 Steven Zuckerได้แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างตัวอย่างค้านต่อทฤษฎีบทคาดการณ์ของ Hodge ได้โดยใช้ทอรัสเชิงซ้อนที่มีโคฮอโมโลยีเชิงตรรกะแบบวิเคราะห์ชนิดซึ่งไม่ใช่พีชคณิตแบบโปรเจคทีฟ (ดูภาคผนวก B ของZucker (1977) ) ${\displaystyle (p,p)}$

ผลลัพธ์แรกเกี่ยวกับสมมติฐานของฮอดจ์มาจากเลฟเชตซ์ (1924)อันที่จริงแล้ว ผลลัพธ์นี้มีมาก่อนสมมติฐานดังกล่าว และเป็นแรงบันดาลใจส่วนหนึ่งให้ฮอดจ์ตั้งสมมติฐานนี้

ทฤษฎีบท ( ทฤษฎีบทของ Lefschetz เกี่ยวกับคลาส (1,1) ) สมาชิกใดๆ ของคือคลาสโคฮอโมโลยีของตัวหารบนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อสันนิษฐานของ Hodge เป็นจริงสำหรับ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{2}}$

สามารถพิสูจน์ได้อย่างรวดเร็วโดยใช้โคฮอโมโลยีของชีฟและลำดับที่แน่นอนแบบเอกซ์ โพเนนเชีย ล (ปรากฏว่าชั้นโคฮอโมโลยีของตัวหารเท่ากับชั้นเชิร์น แรกของมัน ) การพิสูจน์ดั้งเดิมของเลฟเชตซ์ดำเนินการโดยใช้ฟังก์ชันปกติซึ่งอองรี ปวงกาเร เป็นผู้แนะนำ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทความตั้งฉากของกริฟฟิธส์แสดงให้เห็นว่าวิธีการนี้ไม่สามารถพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์สำหรับซับวาไรตีที่มีมิติร่วมสูงกว่าได้

โดยทฤษฎีบท Hard Lefschetzสามารถพิสูจน์ได้ว่า: ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบท ถ้าสำหรับบางค่า สมมติฐานของฮอดจ์เป็นจริงสำหรับชั้นฮอดจ์ที่มีดีกรีแล้วสมมติฐานของฮอดจ์จะเป็นจริงสำหรับชั้นฮอดจ์ที่มีดีกรี${\displaystyle p<{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2n-p}$

เมื่อรวมทฤษฎีบททั้งสองข้างต้นเข้าด้วยกัน จะได้ว่าข้อสันนิษฐานของ Hodge เป็นจริงสำหรับ Hodge class ที่มีดีกรีซึ่งพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Hodge ได้เมื่อมีมิติไม่เกินสาม ${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle X}$

ทฤษฎีบทของ Lefschetz เกี่ยวกับคลาส (1,1) ยังบ่งชี้ด้วยว่า หากคลาส Hodge ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นโดยคลาส Hodge ของตัวหารแล้ว ข้อสันนิษฐานของ Hodge ก็จะเป็นจริง:

บทสรุป. ถ้าพีชคณิตถูกสร้างขึ้นโดยแล้วสมมติฐานของ Hodge จะเป็นจริงสำหรับ${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{1}(X)}$${\displaystyle X}$

ตามทฤษฎีบท Lefschetz ที่แข็งแกร่งและอ่อนแอ ส่วนที่ไม่ธรรมดาเพียงอย่างเดียวของการคาดการณ์ของ Hodge สำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซคือส่วนดีกรีm (เช่น โคฮอโมโลยีกลาง) ของไฮเปอร์เซอร์เฟซ 2m มิติหากดีกรีdคือ 2 กล่าวคือXเป็นควอดริกการคาดการณ์ของ Hodge จะเป็นจริงสำหรับm ทั้งหมด สำหรับ กล่าวคือโฟร์โฟลด์การคาดการณ์ของ Hodge เป็นที่รู้จักสำหรับ^{[ 2 ]}${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle d\leq 5}$

สำหรับวาไรตี้อาเบเลียน ส่วนใหญ่ พีชคณิต Hdg*( X ) ถูกสร้างขึ้นในระดับหนึ่ง ดังนั้นสมมติฐานของ Hodge จึงเป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติฐานของ Hodge เป็นจริงสำหรับวาไรตี้อาเบเลียนทั่วไปที่เพียงพอ สำหรับผลคูณของเส้นโค้งวงรี และสำหรับวาไรตี้อาเบเลียนแบบง่ายที่มีมิติเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} อย่างไรก็ตามMumford (1969)ได้สร้างตัวอย่างของวาไรตี้อาเบเลียนที่ Hdg ² ( X ) ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยผลคูณของชั้นตัวหาร Weil (1977)ได้ขยายตัวอย่างนี้โดยแสดงให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่วาไรตี้มีการคูณเชิงซ้อนโดยฟิลด์กำลังสองจินตนาการ Hdg ² ( X ) จะไม่ถูกสร้างขึ้นโดยผลคูณของชั้นตัวหาร Moonen & Zarhin (1999)พิสูจน์ว่าในมิติที่น้อยกว่า 5 Hdg*( X ) จะถูกสร้างขึ้นในระดับหนึ่ง หรือวาไรตี้มีการคูณเชิงซ้อนโดยฟิลด์กำลังสองจินตนาการ ในกรณีหลังนี้ ข้อสันนิษฐานของฮอดจ์เป็นที่รู้จักเฉพาะในกรณีพิเศษเท่านั้น

ข้อสันนิษฐานดั้งเดิมของฮอดจ์คือ:

สมมติฐานของฮอดจ์เกี่ยวกับปริพันธ์ ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ แล้วชั้นโคฮอโมโลยีทุกชั้นในXจะเป็นชั้นโคฮอโมโลยีของวัฏจักรพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มบนX${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าข้อสรุปนี้ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างค้านแรกถูกสร้างขึ้นโดยAtiyah & Hirzebruch (1961)โดยใช้ทฤษฎี Kพวกเขาสร้างตัวอย่างของคลาสโคฮอโมโลยีทอร์ชั่น—นั่นคือ คลาสโคฮอโมโลยีαที่nα  = 0สำหรับจำนวนเต็มบวกn บางตัว —ซึ่งไม่ใช่คลาสของวัฏจักรพีชคณิต คลาสเช่นนี้จำเป็นต้องเป็นคลาส Hodge Totaro (1997)ได้ตีความผลลัพธ์ของพวกเขาใหม่ในกรอบของโคบอร์ดิซึมและพบตัวอย่างมากมายของคลาสดังกล่าว

การปรับเปลี่ยนที่ง่ายที่สุดของสมมติฐานเชิงปริพันธ์ของ Hodge คือ:

ข้อสันนิษฐานของ Hodge เกี่ยว กับปริพันธ์ภายใต้ทอร์ชั่น ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ แล้วชั้นโคฮอโมโลยีทุกชั้นใน X จะเป็นผลรวมของชั้นทอร์ชั่นและชั้นโคฮอโมโลยีของวัฏจักรพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มบนX${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

ในทำนองเดียวกัน หลังจากหารด้วยชั้นทอร์ชั่นแล้ว ทุกชั้นจะเป็นภาพของชั้นโคฮอโมโลยีของวัฏจักรพีชคณิตเชิงจำนวนเต็ม ซึ่งก็ไม่เป็นความจริงเช่นกัน Kollár (1992)พบตัวอย่างของชั้น Hodge αซึ่งไม่ใช่พีชคณิต แต่มีผลคูณเชิงจำนวนเต็มที่เป็นพีชคณิต ${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Rosenschon & Srinivas (2016)ได้แสดงให้เห็นว่า เพื่อให้ได้ข้อสันนิษฐาน Hodge เชิงปริพันธ์ที่ถูกต้อง จำเป็นต้องแทนที่กลุ่ม Chow ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของ กลุ่ม โคฮอโมโลยีเชิงโมทีฟ ด้วยรูปแบบที่เรียกว่า โคฮอโมโลยีเชิงโมทีฟแบบétale (หรือLichtenbaum ) พวกเขาแสดงให้เห็นว่า ข้อสันนิษฐาน Hodge เชิงตรรกะเทียบเท่ากับข้อสันนิษฐาน Hodge เชิงปริพันธ์สำหรับโคฮอโมโลยีเชิงโมทีฟที่ดัดแปลงนี้

การสรุปโดยทั่วไปตามธรรมชาติของสมมติฐานของฮอดจ์จะถามว่า:

ข้อสันนิษฐานของ Hodge สำหรับวาไรตี้ Kähler ฉบับง่ายๆ ให้Xเป็นแมนิโฟลด์ Kähler เชิงซ้อน แล้วคลาส Hodge ทุกคลาสบนX คือการรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะของคลาสโคฮอโมโลยีของวา ไรตี้ย่อยเชิงซ้อนของX

นี่เป็นการมองโลกในแง่ดีเกินไป เพราะไม่มีพันธุ์ย่อยมากพอที่จะทำให้วิธีนี้ได้ผล ทางเลือกที่เป็นไปได้คือการถามคำถามใดคำถามหนึ่งต่อไปนี้แทน:

ข้อสันนิษฐานของ Hodge สำหรับวาไรตี้ Kähler เวอร์ชันกลุ่มเวกเตอร์ ให้Xเป็นแมนิโฟลด์ Kähler เชิงซ้อน แล้วคลาส Hodge ทุกคลาสบนXคือการรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะของคลาส Chern ของกลุ่มเวกเตอร์บนX

ข้อสันนิษฐานของ Hodge สำหรับวาไรตี้ Kähler เวอร์ชันชีฟแบบสอดคล้องกัน ให้Xเป็นแมนิโฟลด์ Kähler เชิงซ้อน แล้วคลาส Hodge ทุกคลาสบนXคือการรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะของคลาส Chern ของชีฟแบบสอดคล้องกันบนX

Voisin (2002)พิสูจน์ว่าชั้น Chern ของชีฟแบบสอดคล้องกันให้ชั้น Hodge มากกว่าชั้น Chern ของบันเดิลเวกเตอร์อย่างเคร่งครัด และชั้น Chern ของชีฟแบบสอดคล้องกันนั้นไม่เพียงพอที่จะสร้างชั้น Hodge ทั้งหมดได้ ดังนั้น สูตรเดียวที่ทราบของสมมติฐาน Hodge สำหรับวาไรตี้ Kähler จึงเป็นเท็จ

ฮอดจ์ได้ตั้งข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมที่แข็งแกร่งกว่าข้อสันนิษฐานเชิงปริพันธ์ของฮอดจ์ กล่าวคือ ชั้นโคฮอโมโลยีบนXมีระดับร่วม c (coniveau c) ถ้ามันเป็นการผลักดันไปข้างหน้าของชั้นโคฮอโมโลยีบนส่วนย่อยที่มีมิติร่วม c ของX ชั้นโคฮอโมโลยีที่มีระดับร่วมอย่างน้อยcจะกรองโคฮอโมโลยีของXและเห็นได้ง่ายว่า ขั้นตอนที่ cของการกรองN ^c H ^k ( X , Z ) เป็นไปตาม

${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{kc,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,kc}(X)).}$

คำแถลงเดิมของฮอดจ์มีดังนี้:

สมมติฐานทั่วไปของฮอดจ์ ฉบับของฮอดจ์${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{kc,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,kc}(X))}$

Grothendieck (1969)สังเกตว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ แม้ว่าจะใช้สัมประสิทธิ์ตรรกยะก็ตาม เพราะด้านขวามือไม่ได้เป็นโครงสร้างของ Hodge เสมอไป รูปแบบที่แก้ไขแล้วของสมมติฐาน Hodge ของเขาคือ:

สมมติฐานฮอดจ์แบบทั่วไปN ^c H ^k ( X , Q ) คือโครงสร้างย่อยฮอดจ์ที่ใหญ่ที่สุดของH ^k ( X , Q ) ที่บรรจุอยู่ใน${\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).}$

เวอร์ชันนี้เป็นแบบโอเพนซอร์ส

หลักฐานที่แข็งแกร่งที่สุดที่สนับสนุนสมมติฐานของ Hodge คือผลลัพธ์เกี่ยวกับความเป็นพีชคณิตของCattani, Deligne & Kaplan (1995)สมมติว่าเราเปลี่ยนแปลงโครงสร้างเชิงซ้อนของXบนฐานที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย จากนั้นโคฮอโมโลยีเชิงทอพอโลยีของXจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่การแยกส่วนของ Hodge จะเปลี่ยนแปลง เป็นที่ทราบกันว่าหากสมมติฐานของ Hodge เป็นจริง ตำแหน่งของจุดทั้งหมดบนฐานที่โคฮอโมโลยีของไฟเบอร์เป็นคลาส Hodge จะเป็นเซตย่อยเชิงพีชคณิต กล่าวคือ ถูกตัดออกโดยสมการพหุนาม Cattani, Deligne & Kaplan (1995) พิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นจริงเสมอโดยไม่ต้องสมมติสมมติฐานของ Hodge

• สมมติฐานของเทต
• ทฤษฎีของฮอดจ์
• โครงสร้างฮอดจ์
• การทำแผนที่ช่วงเวลา

• เดลิญ, ปิแอร์ . "สมมติฐานของฮอดจ์" (PDF) (คำอธิบายปัญหาอย่างเป็นทางการของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์)
• การบรรยายยอดนิยมเกี่ยวกับทฤษฎีบทสมมติฐานของฮอดจ์ โดยแดน ฟรีด (มหาวิทยาลัยเท็กซัส) (วิดีโอจริง) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 22 ธันวาคม 2015 ที่Wayback Machine (สไลด์)
• Biswas, Indranil ; Paranjape, Kapil Hari (2002), "The Hodge Conjecture for general Prym varieties", Journal of Algebraic Geometry , 11 (1): 33– 39, arXiv : math/0007192 , doi : 10.1090/S1056-3911-01-00303-4 , MR  1865912 , S2CID  119139470
• เบิร์ต โททาโรเหตุใดจึงควรเชื่อสมมติฐานของฮอดจ์?
• แคลร์ วัวซิน , ฮอดจ์ โลซี