ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเชิงซ้อนโปรเจคทีฟคือปริภูมิโปรเจคทีฟที่เกี่ยวข้องกับฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนโดยการเปรียบเทียบ ในขณะที่จุดในปริภูมิโปรเจคทีฟจริงระบุเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของปริภูมิยุคลิด จริง จุดในปริภูมิโปรเจคทีฟเชิงซ้อนระบุ เส้นตรง เชิงซ้อนที่ผ่านจุดกำเนิดของปริภูมิยุคลิดเชิงซ้อน (ดู คำอธิบายเชิงลึก ด้านล่าง ) ในทางทฤษฎี ปริภูมิโปรเจคทีฟเชิงซ้อนคือปริภูมิของเส้นตรงเชิงซ้อนที่ผ่านจุดกำเนิดของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนมิติ ( n +1) ปริภูมินี้เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ เช่น^P ( Cn + ^{1 )} _, Pn ( C )หรือCPnเมื่อn = 1 ^{ปริภูมิ}โปรเจคทีฟเชิงซ้อนCP1คือ ทรงกลมรี ^มันน์และเมื่อn = 2 CP2 คือระนาบโปรเจคทีฟเชิงซ้อน (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนนั้น )

ปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟถูกนำเสนอครั้งแรกโดยฟอน สเตาด์ท (1860)ในฐานะตัวอย่างของสิ่งที่ในขณะนั้นเรียกว่า "เรขาคณิตของตำแหน่ง" ซึ่งเป็นแนวคิดที่มาจากลาซาร์ การ์โนต์ ซึ่งเป็น เรขาคณิตสังเคราะห์ชนิดหนึ่ง ที่รวมถึงเรขาคณิตแบบโปรเจคทีฟอื่นๆ ด้วย ต่อมา ใกล้ช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 20 สำนักเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของอิตาลีก็ตระหนักว่าปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟเป็นโดเมนที่เหมาะสมที่สุดในการพิจารณาคำตอบของ สมการ พหุนาม – วาไรตี้เชิงพีชคณิต ( Grattan-Guinness 2005 , หน้า 445–446) ในยุคปัจจุบัน ทั้งโทโพโลยีและเรขาคณิตของปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ เป็นที่เข้าใจกันดีและมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทรง กลมอันที่จริง ในแง่หนึ่ง ทรงกลม (2n + 1) สามารถถือได้ว่าเป็นตระกูลของวงกลมที่กำหนดพารามิเตอร์โดย^CPn : นี่คือHopf fibration ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนมี เมตริก ( คาห์เลอร์ ) ที่เรียกว่าเมตริกฟูบินี-สตูดีซึ่งในแง่ของเมตริกนี้ ปริภูมิดังกล่าวเป็นปริภูมิสมมาตรเฮอร์มิเชียนอันดับ 1

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนมีการประยุกต์ใช้มากมายทั้งในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ควอนตัมในเรขาคณิตเชิง พีชคณิต ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเป็นที่อยู่ของวาไร ตี้เชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งเป็นกลุ่มของ วาไรตี้เชิง พีชคณิตที่ มีพฤติกรรมที่ดี ในโทโพโลยี ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนมีบทบาทสำคัญในฐานะปริภูมิจำแนกสำหรับบันเดิลเส้น เชิงซ้อน : ตระกูลของเส้นเชิงซ้อนที่กำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิอื่น ในบริบทนี้ การรวมกันอนันต์ของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ( ลิมิตโดยตรง ) ซึ่งแสดงด้วยCP ^∞คือปริภูมิจำแนกK(Z,2)ในฟิสิกส์ควอนตัมฟังก์ชันคลื่นที่เกี่ยวข้องกับสถานะบริสุทธิ์ของระบบกลศาสตร์ควอนตัมคือแอมพลิจูดความน่าจะเป็นซึ่งหมายความว่ามันมีค่าบรรทัดฐานเป็นหนึ่ง และมีเฟสโดยรวมที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ ฟังก์ชันคลื่นของสถานะบริสุทธิ์เป็นจุดในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกที ฟ ของปริภูมิสถานะโดยธรรมชาติ แมนิโฟลด์เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเป็นปริภูมิ 2n มิติ หรือเป็นปริภูมิเชิงซ้อน n มิติ

แนวคิดเรื่องระนาบเชิงฉาย (projective plane) เกิดขึ้นจากแนวคิดเรื่องทัศนียภาพในเรขาคณิตและศิลปะ กล่าวคือ บางครั้งการรวมเส้น "สมมุติ" เพิ่มเติมเข้าไปในระนาบยูคลิดนั้นมีประโยชน์ ซึ่งเส้นนี้แสดงถึงเส้นขอบฟ้าที่ศิลปินอาจมองเห็นขณะวาดภาพบนระนาบนั้น เมื่อลากเส้นไปตามทิศทางต่างๆ จากจุดกำเนิด จะได้จุดที่แตกต่างกันบนเส้นขอบฟ้า ดังนั้นเส้นขอบฟ้าจึงอาจถือได้ว่าเป็นเซตของทิศทางทั้งหมดจากจุดกำเนิด ระนาบยูคลิดพร้อมกับเส้นขอบฟ้าเรียกว่าระนาบเชิงฉายจริง (real projective plane ) และบางครั้งเส้นขอบฟ้าก็เรียกว่าเส้นอนันต์ (line at infinity ) ด้วยโครงสร้างเดียวกันนี้ พื้นที่เชิงฉายสามารถพิจารณาได้ในมิติที่สูงกว่า ตัวอย่างเช่น พื้นที่เชิงฉาย 3 มิติที่แท้จริง (real projective 3-space) คือพื้นที่ยูคลิดพร้อมกับระนาบอนันต์ที่แสดงถึงเส้นขอบฟ้าที่ศิลปิน (ซึ่งจำเป็นต้องอยู่ในสี่มิติ) จะมองเห็น

สามารถสร้างปริภูมิเชิงฉายจริงเหล่านี้ ได้ด้วยวิธีที่เข้มงวดกว่าเล็กน้อยดังต่อไปนี้ ให้ R ^{n +1}แทนปริภูมิพิกัดจริงที่มี มิติ n +1 และพิจารณาภูมิทัศน์ที่จะวาดเป็นระนาบในปริภูมินี้ สมมติว่าดวงตาของศิลปินเป็นจุดกำเนิดในR ^{n +1}ดังนั้นตามแนวเส้นแต่ละเส้นที่ผ่านดวงตาของเขา จะมีจุดในภูมิทัศน์หรือจุดบนเส้นขอบฟ้า ดังนั้นปริภูมิเชิงฉายจริงจึงเป็นปริภูมิของเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดในR ^{n +1}โดยไม่คำนึงถึงพิกัด นี่คือปริภูมิของเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์จริง ที่มีมิติ ( n +1)

การอธิบายปริภูมิเชิงฉายภาพที่ซับซ้อนในลักษณะที่คล้ายคลึงกันนั้น จำเป็นต้องมีการขยายแนวคิดของเวกเตอร์ เส้น และทิศทาง ลองจินตนาการว่าแทนที่จะยืนอยู่ในปริภูมิยูคลิดจริง ศิลปินกำลังยืนอยู่ในปริภูมิยูคลิดเชิงซ้อนC ^{n +1} (ซึ่งมีมิติจริง 2 n +2) และภูมิทัศน์เป็น ระนาบไฮเปอร์ เชิงซ้อน (ที่มีมิติจริง 2 n ) ต่างจากกรณีของปริภูมิยูคลิดจริง ในกรณีเชิงซ้อนจะมีทิศทางที่ศิลปินสามารถมองไปได้โดยไม่เห็นภูมิทัศน์ (เพราะมันมีมิติไม่สูงพอ) อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิเชิงซ้อน จะมี "เฟส" เพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับทิศทางที่ผ่านจุดหนึ่ง และโดยการปรับเฟสนี้ ศิลปินสามารถรับประกันได้ว่าโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะเห็นภูมิทัศน์ "เส้นขอบฟ้า" จึงเป็นปริภูมิของทิศทาง แต่ทิศทางสองทิศทางจะถือว่า "เหมือนกัน" หากแตกต่างกันเพียงแค่เฟสเท่านั้น ปริภูมิเชิงฉายภาพเชิงซ้อนจึงเป็นภูมิทัศน์ ( C ⁿ ) ที่มีเส้นขอบฟ้าติดอยู่ "ที่อนันต์" เช่นเดียวกับกรณีจริง พื้นที่เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนคือพื้นที่ของทิศทางที่ผ่านจุดกำเนิดของC ^{n +1}โดยที่ทิศทางสองทิศทางจะถือว่าเหมือนกันหากแตกต่างกันด้วยเฟส

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน คือแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่สามารถอธิบายได้ด้วย พิกัดเชิงซ้อน n + 1 ดังนี้

${\displaystyle Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)}$

โดยจะระบุทูเปิลที่แตกต่างกันโดยการปรับขนาดโดยรวม:

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

กล่าวคือ พิกัดเหล่านี้เป็นพิกัดเอกพันธุ์ในความหมายดั้งเดิมของเรขาคณิตเชิงฉายภาพเซตของจุดCP ⁿถูกครอบคลุมโดยแพทช์ในU _iเราสามารถกำหนดระบบพิกัดได้โดย ${\displaystyle U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}}$

${\displaystyle z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.}$

การเปลี่ยนพิกัดระหว่างแผนภูมิสองแบบที่แตกต่างกันU _iและU _jเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (อันที่จริงแล้วมันคือการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน ) ดังนั้นCP ⁿจึงมีโครงสร้างของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติเชิงซ้อนnและยิ่งไปกว่านั้นยังมีโครงสร้างของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ จริง ที่มีมิติจริง 2 nด้วย

อาจพิจารณาCP ⁿเป็นผลหาร ของ ทรงกลมหน่วย 2 n  + 1 ในC ^{n + 1}ภายใต้การกระทำของU(1) ได้ เช่น กัน

CP ⁿ = S ^{2 n +1} /U(1).

นี่เป็นเพราะว่าเส้นทุกเส้นในC ^{n +1}ตัดกับทรงกลมหน่วยเป็นวงกลมโดยการฉายภาพไปยังทรงกลมหน่วยก่อน แล้วจึงระบุภายใต้การกระทำตามธรรมชาติของ U(1) จะได้CP ⁿสำหรับn = 1 การสร้างนี้จะให้ บันเดิล Hopf  แบบคลาสสิกจากมุมมองนี้ โครงสร้างที่หาอนุพันธ์ได้บนCP ⁿจะถูกเหนี่ยวนำมาจากโครงสร้างของS ^{2 n +1}ซึ่งเป็นผลหารของโครงสร้างหลังโดยกลุ่มกระชับที่ทำหน้าที่อย่างเหมาะสม ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$

โทโพโลยีของCP ⁿถูกกำหนดโดยการอุปนัยโดยการแบ่งเซลล์ ดังต่อไปนี้ ให้Hเป็นไฮเปอร์เพลนคงที่ที่ผ่านจุดกำเนิดในC ^{n +1}ภายใต้แผนที่การฉายภาพC ^{n +1} \{0} → CP ⁿนั้นHจะเข้าไปอยู่ในปริภูมิย่อยที่สมมูลกับCP ^{n −1}ส่วนเติมเต็มของภาพของHในCP ⁿนั้นสมมูลกับC ⁿดังนั้นCP ⁿ จึงเกิดขึ้นจากการเชื่อมต่อ เซลล์2 n เข้ากับ CP ^{n −1} :

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.}$

อีกทางเลือกหนึ่ง หากพิจารณาเซลล์ 2n แทนว่าเป็นลูกบอลหน่วยเปิดในCn แผนที่^การเชื่อมต่อจะเป็นไฟเบอร์ฮอปฟ์ของขอบเขต การแยกส่วนเซลล์แบบอุปนัยที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด ดู ( Besse 1978 )

วิธีที่มีประโยชน์วิธีหนึ่งในการสร้างปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนคือการสร้างแบบเวียนซ้ำโดยใช้CW-complexesโปรดจำไว้ว่ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังทรงกลม 2 มิติ ซึ่งให้ปริภูมิแรก จากนั้นเราสามารถอุปนัยบนเซลล์เพื่อให้ได้แผนที่พุชเอาต์โดยที่คือลูกบอลสี่มิติ และแทนตัวสร้างใน(ดังนั้นจึงสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับแผนที่ฮอปฟ์ ) จากนั้นเราสามารถสร้างปริภูมิแบบอุปนัยเป็นไดอะแกรมพุชเอาต์โดยที่แทนองค์ประกอบในไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มโฮโมโทปีจะอธิบายไว้ด้านล่าง และไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มโฮโมโทปีเป็นการคำนวณมาตรฐานในทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียร (ซึ่งสามารถทำได้ด้วยลำดับสเปกตรัมของ Serreทฤษฎีบทการแขวนลอยของ Freudenthalและหอคอย Postnikov ) แผนที่ มาจากมัดไฟเบอร์ที่ให้แผนที่ที่ไม่สามารถหดตัวได้ ดังนั้นจึงแทนตัวสร้างใน มิฉะนั้น จะเกิดความสมมูลแบบโฮโมโทปีแต่ในกรณีนั้น มันจะสมมูลแบบโฮโมโทปีกับ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งที่สามารถเห็นได้จากการพิจารณากลุ่มโฮโมโทปีของปริภูมิ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$${\displaystyle D^{4}}$${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$${\displaystyle S^{2}}$

พื้นที่เชิงฉายภาพที่ซับซ้อนนั้นมีความกะทัดรัดและเชื่อมต่อกันโดยเป็นผลหารของพื้นที่ที่กะทัดรัดและเชื่อมต่อกัน

จากมัดเส้นใย

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

หรือในเชิงชวนคิดมากกว่านั้น

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿเป็นกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายยิ่งไปกว่านั้น จากลำดับโฮโมโทปีที่แน่นอนยาวกลุ่มโฮโมโทปีที่สองคือπ ₂ ( CP ⁿ ) ≅ Zและกลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงทั้งหมดสอดคล้องกับกลุ่มของS ^{2 n +1} : π _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} )สำหรับทุกk > 2

โดยทั่วไปแล้วโทโพโลยีเชิงพีชคณิตของCP ⁿนั้นขึ้นอยู่กับอันดับของกลุ่มโฮโมโลยีที่เป็นศูนย์ในมิติคี่ และH _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) ก็เป็นวัฏจักรอนันต์สำหรับi = 0 ถึงnดังนั้นจำนวนเบตติ จึง ทำงาน

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

นั่นคือ 0 ในมิติคี่ 1 ในมิติคู่ 0 ถึง 2n ดังนั้น ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของCP ⁿจึงเป็นn  + 1 โดยทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรสิ่งเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับอันดับของกลุ่มโคฮอโมโลยีด้วย ในกรณีของโคฮอโมโลยี เราสามารถไปไกลกว่านั้นและระบุ โครงสร้าง วงแหวนแบบแบ่งระดับสำหรับผลคูณคัพได้ตัวสร้างของH ² ( CP ⁿ , Z ) คือคลาสที่เกี่ยวข้องกับไฮเปอร์เพลนและนี่คือตัวสร้างวงแหวน ดังนั้นวงแหวนจึงสมมาตรกับ

Z [ T ]/( T ^{n +1} ),

โดยที่Tเป็นตัวสร้างดีกรีสอง ซึ่งหมายความว่าค่า Hodge number h ^{i , i} = 1 และค่าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ ดู ( Besse 1978 )

จากหลักการอุปนัยและคาบเวลาของบอตต์ จึงสรุปได้ ว่า

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

กลุ่มเส้นสัมผัสเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

โดยที่หมายถึงกลุ่มเส้นตรงที่ไม่สำคัญ จากลำดับออยเลอร์จากสิ่งนี้เราสามารถคำนวณ ชั้นเชิร์นและเลขลักษณะเฉพาะ ได้อย่างชัดเจน${\displaystyle \vartheta ^{1}}$

มีพื้นที่ซึ่งในแง่หนึ่งคือขีดจำกัดเชิงอุปนัยของas มันคือBU(1) พื้นที่จำแนกของU (1)กลุ่มวงกลมในความหมายของทฤษฎีโฮโมโทปีและดังนั้นจึงจำแนกบันเดิลเส้น เชิงซ้อนได้ เทียบเท่ากับที่มันอธิบาย ชั้น Chernแรกสิ่งนี้สามารถมองเห็นได้โดยการดูแผนที่บันเดิลไฟเบอร์และสิ่งนี้ให้บันเดิลไฟเบอร์ (เรียกว่าบันเดิลวงกลมสากล ) ที่สร้างพื้นที่นี้ โปรดทราบว่าการใช้ลำดับที่แน่นอน ยาว ของกลุ่มโฮโมโทปี เรามีดังนั้น จึงเป็นพื้นที่ Eilenberg–MacLaneเนื่องจากข้อเท็จจริงนี้และทฤษฎีบทการแทนของ Brownเราจึงมีไอโซมอร์ฟิซึมต่อไปนี้สำหรับ CW-complex ที่ดีใดๆยิ่งไปกว่านั้น จากทฤษฎีของชั้น Chernบันเดิลเส้นเชิงซ้อนทุกอันสามารถแทนได้ด้วยการดึงกลับของบันเดิลเส้นสากลบนหมายความว่ามีสี่เหลี่ยมดึงกลับโดยที่คือบันเดิลเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องของบันเดิลหลัก ดูตัวอย่างเช่น ( Bott & Tu 1982 ) และ ( Milnor & Stasheff 1974 ) ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$$${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$

เมตริกธรรมชาติบนCP ⁿคือเมตริก Fubini–Studyและกลุ่มไอโซเมตรีเชิงโฮโลมอร์ฟิกของมันคือกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ PU( n +1) โดยที่ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดคือ

${\displaystyle \mathrm {P} (1\times \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).}$

เป็นปริภูมิสมมาตรเฮอร์มิเชียน ( Kobayashi & Nomizu 1996 ) ซึ่งแสดงเป็นปริภูมิโคเซต

${\displaystyle U(n+1)/(U(1)\times U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\times U(n)).}$

สมมาตรจีโอเดสิก ณ จุดpคือการแปลงเอกภาพที่ตรึงจุดp ไว้ และเป็นเอกลักษณ์เชิงลบบนส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเส้นตรงที่แสดงด้วยจุด p

ในปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟ จะมี เส้นตรง เชิงซ้อน ( CP ¹ ) เพียงเส้นเดียว ที่ผ่านจุดสองจุดpและq ใดๆ วงกลมใหญ่ของเส้นตรงเชิงซ้อนนี้ที่ผ่านจุดpและqเรียกว่าเส้นจีโอเดสิกสำหรับเมตริกฟูบินี-สตูดี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นจีโอเดสิกทั้งหมดเป็นเส้นปิด (เป็นวงกลม) และมีความยาวเท่ากันทั้งหมด (ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับปริภูมิสมมาตรทั่วโลกแบบรีมันน์ที่มีอันดับ 1)

เส้นตัดของจุดp ใดๆ จะเท่ากับระนาบไฮเปอร์CP ^{n −1}ซึ่งก็คือเซตของจุดคงที่ของสมมาตรจีโอเดสิกที่p (ไม่รวมpเอง) ดู ( Besse 1978 )

มันมีความโค้งภาคตัดขวางตั้งแต่ 1/4 ถึง 1 และเป็นแมนิโฟลด์ที่กลมที่สุดที่ไม่ใช่ทรงกลม (หรือถูกปกคลุมด้วยทรงกลม): ตามทฤษฎีทรงกลมบีบ 1/4 แมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์และเชื่อมต่ออย่างง่ายใดๆที่มีความโค้งระหว่าง 1/4 และ 1 อย่างเคร่งครัดจะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม พื้นที่เชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟแสดงให้เห็นว่า 1/4 นั้นคมชัด ในทางกลับกัน ถ้าแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์และเชื่อมต่ออย่างง่ายมีความโค้งภาคตัดขวางในช่วงปิด [1/4,1] แล้วมันจะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม หรือไอโซเมตริกกับพื้นที่เชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟพื้นที่เชิงควอเทอร์เนียนเชิงโปรเจ กทีฟ หรือระนาบเคย์ลีย์ F ₄ /Spin(9); ดู ( Brendle & Schoen 2008 )

ปริภูมิเชิงฉายที่มีมิติเป็นเลขคี่สามารถกำหนดโครงสร้างสปินได้แต่ปริภูมิเชิงฉายที่มีมิติเป็นเลขคู่ไม่สามารถทำได้

ปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟเป็นกรณีพิเศษของกราสส์มันเนียนและเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับกลุ่มลี ต่างๆ มันเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ที่มีเมตริกฟูบินี-สตูดีซึ่งถูกกำหนดโดยคุณสมบัติสมมาตรเป็นหลัก นอกจากนี้ยังมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตตามทฤษฎีบทของโชว์ ซับ แมนิโฟลด์ เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดใดๆของCP ⁿจะเป็นโลคัสศูนย์ของพหุนามจำนวนจำกัด และดังนั้นจึงเป็นวา ไรตีเชิงพีชคณิต เชิงโปรเจกทีฟ ดู ( Griffiths & Harris 1994 )

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนสามารถกำหนดด้วยโทโพโลยีอีกแบบหนึ่งที่เรียกว่าโทโพโลยีซาริสกี ( Hartshorne 1977 , §II.2) ให้S = C [ Z ₀ ,..., Z _n ]แทนวงแหวนสลับที่ของพหุนามในตัวแปร ( n + 1) ตัว Z ₀ ,..., Z _nวงแหวนนี้ถูกจัดลำดับตามดีกรีรวมของแต่ละพหุนาม:

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

กำหนดให้เซตย่อยของCP ⁿเป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อเป็นเซตคำตอบพร้อมกันของกลุ่มพหุนามเอกพันธุ์ เมื่อประกาศว่าเซตส่วนเติมเต็มของเซตปิดเป็นเซตเปิด จะได้มาซึ่งโทโพโลยี (โทโพโลยีซาริสกี) บน CP ⁿ

การสร้างCP ⁿ (และโทโพโลยี Zariski ของมัน) อีกแบบหนึ่งก็เป็นไปได้เช่นกัน ให้S ₊  ⊂  Sเป็นไอเดียลที่เกิดจากพหุนามเอกพันธุ์ที่มีดีกรีเป็นบวก:

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

กำหนดให้Proj Sเป็นเซตของไอเดียลเฉพาะเอกพันธุ์ ทั้งหมด ในSที่ไม่ประกอบด้วยS ₊เรียกเซตย่อยของ Proj S ว่า ปิด ถ้ามีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

สำหรับอุดมคติI บางตัว ในSส่วนเติมเต็มของเซตปิดเหล่านี้กำหนดโทโพโลยีบน Proj SวงแหวนSโดยการหาตำแหน่งที่อุดมคติเฉพาะจะกำหนดชีฟของวงแหวนเฉพาะที่บน Proj Sปริภูมิ Proj Sพร้อมด้วยโทโพโลยีและชีฟของวงแหวนเฉพาะที่ เป็นสกีมเซตย่อยของจุดปิดของ Proj S เป็นโฮมีโอเม อร์ฟิกกับCP ⁿพร้อมด้วยโทโพโลยีซาริสกิ ส่วนตัดเฉพาะที่ของชีฟนั้นระบุได้กับฟังก์ชันตรรกยะที่มีดีกรีรวมเป็นศูนย์บน CP ⁿ

เส้นมัดทั้งหมดบนปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟสามารถหาได้จากการสร้างดังต่อไปนี้ ฟังก์ชันf  : C ^{n +1} \{0} → Cเรียกว่าฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรีkถ้า

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

สำหรับทุกλ ∈ C \{0 } และz ∈ C ^{n +1} \{0 } โดยทั่วไปแล้ว นิยามนี้มีความหมายในกรวยในC ^{n +1} \{0 } เซตV ⊂ C ^{n +1} \{0 } เรียกว่ากรวย ถ้าเมื่อใดก็ตามที่v ∈ Vแล้วλv ∈ Vสำหรับทุกλ ∈ C \{0 } กล่าวคือ เซตย่อยเป็นกรวยถ้ามันมีเส้นเชิงซ้อนผ่านจุดแต่ละจุดของมัน ถ้าU ⊂ CP ⁿเป็นเซตเปิด (ในโทโพโลยีเชิงวิเคราะห์หรือโทโพโลยีซาริสกี ) ให้V ⊂ C ^{n +1} \{0 } เป็นกรวยเหนือU : ภาพผกผันของUภายใต้การฉายภาพC ^{n +1} \{0} → CP ⁿสุดท้าย สำหรับแต่ละจำนวนเต็มkให้O ( k )( U ) เป็นเซตของฟังก์ชันที่เป็นเอกพันธุ์ดีกรีkในVสิ่งนี้กำหนดกลุ่มส่วนของมัดเส้นตรงที่แน่นอน ซึ่งแสดงด้วยO ( k )

ในกรณีพิเศษk = −1บันเดิลO (−1) เรียกว่าบันเดิลเส้นตรงแบบสัจนิรันดร์ซึ่งเทียบเท่ากับการนิยามบันเดิลย่อยของผลคูณ

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

ซึ่งไฟเบอร์เหนือL ∈ CP ⁿคือเซต

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

กลุ่มเส้นเหล่านี้สามารถอธิบายได้ในภาษาของตัวหาร เช่นกัน ให้H = CP ^{n −1}เป็นระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดในCP ⁿปริภูมิของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนCP ⁿที่มีขั้วอย่างมากที่สุดเพียงขั้วเดียวตามแนวH (และไม่มีที่อื่น) เป็นปริภูมิหนึ่งมิติ ซึ่งแทนด้วยO ( H ) และเรียกว่ากลุ่มระนาบกลุ่มคู่ขนานแทนด้วยO (− H ) และ กำลังเทนเซอร์ ^{ลำดับที่}kของO ( H ) แทนด้วยO ( kH ) นี่คือชีฟที่สร้างขึ้นโดยผลคูณโฮโลมอร์ฟิกของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่มีขั้วลำดับkตาม แนว Hปรากฏว่า

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

อันที่จริง ถ้าL ( z ) = 0เป็นฟังก์ชันนิยามเชิงเส้นสำหรับHแล้วL ^{− k}จะเป็นภาคตัดเมโรเมอร์ฟิกของO ( k ) และในระดับท้องถิ่น ภาคตัดอื่นๆ ของO ( k ) จะเป็นพหุคูณของภาคตัดนี้

เนื่องจากH ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0บันเดิลเส้นบนCP ⁿจึงถูกจำแนกตามไอโซมอร์ฟิซึมโดยชั้นเชิร์นซึ่งเป็นจำนวนเต็ม: พวกมันอยู่ในH ² ( CP ⁿ , Z ) = Zอันที่จริง ชั้นเชิร์นแรกของปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟถูกสร้างขึ้นภายใต้ทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเรโดยชั้นโฮโมโลยีที่เกี่ยวข้องกับไฮเปอร์เพลนHบันเดิลเส้นO ( kH ) มีชั้นเชิร์นkดังนั้นบันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกทุกตัวบนCP ⁿจึงเป็นกำลังเทนเซอร์ของO ( H ) หรือO (− H ) กล่าวอีกนัยหนึ่งกลุ่ม PicardของCP ⁿถูกสร้างขึ้นเป็นกลุ่มอาเบเลียนโดยชั้นไฮเปอร์เพลน [ H ] ( Hartshorne 1977 )

• อสมการของ Gromov สำหรับปริภูมิเชิงฉายที่ซับซ้อน
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงฉาย
• พื้นที่ฉายภาพควอเทอร์เนียน
• พื้นที่ฉายภาพจริง
• พื้นที่แอฟฟินเชิงซ้อน
• พื้นผิว K3