ในฟิสิกส์ควอนตัมสถานะควอนตัมเป็นหน่วยทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงระบบทางกายภาพ กลศาสตร์ควอนตัมระบุถึงการสร้าง วิวัฒนาการ และการวัดสถานะควอนตัม ความรู้เกี่ยวกับสถานะควอนตัมและกฎสำหรับการวิวัฒนาการของระบบในเวลา ถือเป็นความรู้ที่ครอบคลุมทุกสิ่งที่สามารถรู้ได้เกี่ยวกับระบบควอนตัม

สถานะควอนตัมมีทั้งแบบบริสุทธิ์และแบบผสมและสามารถแสดงได้หลายรูปแบบ สถานะควอนตัมบริสุทธิ์มักแสดงด้วยเวกเตอร์ใน ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตส่วนสถานะผสมเป็นส่วนผสมทางสถิติของสถานะบริสุทธิ์ และไม่สามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ แต่โดยทั่วไปจะแสดงด้วย เมท ริก ซ์ความหนาแน่น

ตัวอย่างทั่วไปของสถานะควอนตัม ได้แก่ฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายตำแหน่งและโมเมนตัม เวกเตอร์มิติจำกัดที่อธิบายสปินเช่นซิงเกล็ตและสถานะที่อธิบายระบบควอนตัมหลายอนุภาคใน ปริภูมิ ฟ็ อ ค

ในฐานะเครื่องมือสำหรับฟิสิกส์ สถานะควอนตัมพัฒนามาจากสถานะในกลศาสตร์คลาสสิกสถานะไดนามิกแบบคลาสสิกประกอบด้วยชุดของตัวแปรไดนามิกที่มี ค่า จริง ที่กำหนดไว้อย่างดี ในแต่ละช่วงเวลา^{[ 1 ] : 3} ตัวอย่างเช่น สถานะของลูกปืนใหญ่จะประกอบด้วยตำแหน่งและความเร็ว ค่าสถานะจะวิวัฒนาการภายใต้สมการการเคลื่อนที่และดังนั้นจึงยังคงถูกกำหนดไว้อย่างเคร่งครัด หากเรารู้ตำแหน่งของปืนใหญ่และความเร็วขาออกของกระสุนปืนใหญ่ เราสามารถใช้สมการที่มีแรงโน้มถ่วงเพื่อทำนายวิถีของลูกปืนใหญ่ได้อย่างแม่นยำ

ในทำนองเดียวกัน สถานะควอนตัมประกอบด้วยชุดของตัวแปรไดนามิกที่วิวัฒนาการภายใต้สมการการเคลื่อนที่ อย่างไรก็ตาม ค่าที่ได้จากสถานะควอนตัมเป็นจำนวนเชิงซ้อนควอนตัม จำกัดด้วยความสัมพันธ์ความไม่แน่นอน [ ^{1 ] : 159} และให้เพียงการกระจายความน่าจะเป็น สำหรับผลลัพธ์ของระบบเท่านั้น ข้อจำกัด ^{เหล่า}นี้เปลี่ยนแปลงธรรมชาติของตัวแปรไดนามิกควอนตัม ตัวอย่างเช่น สถานะควอนตัมของอิเล็กตรอนในการทดลองช่องคู่จะประกอบด้วยค่าเชิงซ้อนเหนือบริเวณการตรวจจับ และเมื่อยกกำลังสอง จะทำนายได้เพียงการกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนอิเล็กตรอนทั่วทั้งตัวตรวจจับเท่านั้น

กระบวนการอธิบายระบบควอนตัมด้วยกลศาสตร์ควอนตัมเริ่มต้นด้วยการระบุชุดตัวแปรที่กำหนดสถานะควอนตัมของระบบ^{[ 1 ] : 204} ชุดนี้จะประกอบด้วยตัวแปรที่เข้ากันได้และไม่เข้ากันการวัดชุดตัวแปรที่เข้ากันได้ทั้งหมด พร้อมกัน จะเตรียมระบบให้อยู่ในสถานะเดียว จากนั้นสถานะจะวิวัฒนาการตามสมการการเคลื่อนที่การวัดสถานะในภายหลังจะสร้างตัวอย่างจากการกระจายความน่าจะเป็นที่ทำนายโดยตัวดำเนิน การกลศาสตร์ควอนตัม ที่สอดคล้องกับการวัด

ลักษณะทางสถิติหรือความน่าจะเป็นพื้นฐานของการวัดควอนตัมทำให้บทบาทของสถานะควอนตัมในกลศาสตร์ควอนตัมเปลี่ยนแปลงไปเมื่อเทียบกับสถานะคลาสสิกในกลศาสตร์คลาสสิก ในกลศาสตร์คลาสสิก สถานะเริ่มต้นของวัตถุหนึ่งหรือมากกว่านั้นจะถูกวัด สถานะจะวิวัฒนาการไปตามสมการการเคลื่อนที่ การวัดสถานะสุดท้ายจะถูกเปรียบเทียบกับการทำนาย ในกลศาสตร์ควอนตัม กลุ่มของสถานะควอนตัมที่เตรียมไว้เหมือนกันจะวิวัฒนาการไปตามสมการการเคลื่อนที่ และการวัดซ้ำหลายครั้งจะถูกเปรียบเทียบกับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ทำนายไว้^{[ 1 ] : 204}

การวัด ซึ่งเป็นการดำเนินการระดับมหภาคบนสถานะควอนตัม จะกรองสถานะ^{[ 1 ] : 196} ไม่ว่าสถานะควอนตัมขาเข้าจะเป็นอย่างไร การวัดที่เหมือนกันซ้ำๆ จะให้ค่าที่สอดคล้องกัน ด้วยเหตุนี้ การวัดจึง 'เตรียม' สถานะควอนตัมสำหรับการทดลอง โดยวางระบบไว้ในสถานะที่กำหนดไว้บางส่วน การวัดในภายหลังอาจเตรียมระบบเพิ่มเติม – ซึ่งเรียกว่าการวัดที่เข้ากันได้ – หรืออาจเปลี่ยนแปลงสถานะ กำหนดสถานะใหม่ – ซึ่งเรียกว่าการวัดที่ไม่เข้ากันหรือการวัดเสริม ตัวอย่างเช่น เราอาจวัดโมเมนตัมของสถานะตามแกนได้หลายครั้งและได้ผลลัพธ์เดียวกัน แต่ถ้าเราวัดตำแหน่งหลังจากวัดโมเมนตัมไปแล้วครั้งหนึ่ง การวัดโมเมนตัมในภายหลังจะเปลี่ยนไป สถานะควอนตัมดูเหมือนจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เนื่องจากการวัดที่ไม่เข้ากัน นี่คือสิ่งที่เรียกว่าหลักการความไม่แน่นอน ${\displaystyle x}$

สถานะควอนตัมหลังจากการวัดจะอยู่ในสถานะไอเกนที่สอดคล้องกับการวัดนั้นและค่าที่วัดได้^{[ 1 ] : 202} ด้านอื่นๆ ของสถานะอาจไม่เป็นที่รู้จัก การวัดซ้ำจะไม่เปลี่ยนแปลงสถานะ ในบางกรณี การวัดที่เข้ากันได้สามารถปรับปรุงสถานะให้ดียิ่งขึ้น ทำให้สถานะเป็นไอเกนที่สอดคล้องกับการวัดทั้งหมดเหล่านี้^{[ 2 ]}ชุดการวัดที่เข้ากันได้ทั้งหมดจะสร้างสถานะบริสุทธิ์สถานะใดๆ ที่ไม่บริสุทธิ์เรียกว่าสถานะผสมดังที่ได้กล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง [ ^{1 ] : 204 [ 3 ] : 73}

โซลูชันสถานะเฉพาะของสมการชโรดิงเกอร์สามารถสร้างเป็นสถานะบริสุทธิ์ได้ การทดลองมักไม่ก่อให้เกิดสถานะบริสุทธิ์ ดังนั้น ส่วนผสมทางสถิติของโซลูชันจึงต้องนำมาเปรียบเทียบกับการทดลอง^{[ 1 ] : 204}

สถานะควอนตัมทางกายภาพเดียวกันสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้หลายวิธีที่เรียกว่าการแทนค่า [ ^{1 ] ฟังก์ชัน}คลื่นตำแหน่งเป็นการแทนค่าหนึ่งที่มักพบเห็นเป็นอันดับแรกในการแนะนำกลศาสตร์ควอนตัม ฟังก์ชันคลื่นโมเมนตัมที่เทียบเท่าเป็นการแทนค่าอีกแบบหนึ่งที่ใช้ฟังก์ชันคลื่น การแทนค่ามีความคล้ายคลึงกับระบบพิกัด^{[ 1 ] : 244} หรืออุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกัน เช่นสมการพาราเมตริกการเลือกการแทนค่าจะทำให้บางแง่มุมของปัญหาทำได้ง่ายขึ้น แต่ในขณะเดียวกันก็ทำให้บางแง่มุมยากขึ้น

ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงรูปธรรม (ดู§ รูปแบบในฟิสิกส์ควอนตัมด้านล่าง) ทฤษฎีพัฒนาขึ้นในแง่ของ ' ปริภูมิเวกเตอร์ ' นามธรรม โดยหลีกเลี่ยงการแสดงแทนแบบใดแบบหนึ่งโดยเฉพาะ ซึ่งทำให้สามารถแสดงและประยุกต์ใช้แนวคิดที่สง่างามมากมายของกลศาสตร์ควอนตัมได้ แม้ในกรณีที่ไม่มีแบบจำลองคลาสสิก^{[ 1 ] : 244}

ฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงสถานะควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งหรือโมเมนตัมในอดีต นิยามของสถานะควอนตัมใช้ฟังก์ชันคลื่นก่อนที่จะมีการพัฒนาวิธีการที่เป็นทางการมากขึ้น^{[ 4 ] : 268} ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของชุดที่สมบูรณ์ของระดับความเป็นอิสระ ที่สลับกันได้หรือเข้ากันได้ ตัวอย่างเช่น ชุดหนึ่งอาจเป็นพิกัดเชิงพื้นที่ของอิเล็กตรอน การเตรียมระบบโดยการวัดชุดที่สมบูรณ์ของตัวแปรที่เข้ากันได้จะสร้างสถานะควอนตัมบริสุทธิ์การเตรียมที่ไม่สมบูรณ์ที่พบได้บ่อยกว่าจะสร้างสถานะควอนตัมผสมฟังก์ชันคลื่นของสมการการเคลื่อนที่ของชโรดิงเกอร์สำหรับตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับการวัดสามารถแสดงเป็นสถานะบริสุทธิ์ได้อย่างง่ายดาย จะต้องรวมเข้ากับน้ำหนักทางสถิติที่ตรงกับการเตรียมการทดลองเพื่อคำนวณการกระจายความน่าจะเป็นที่คาดหวัง^{[ 1 ] : 205} ${\displaystyle x,y,z}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขหรือเชิงวิเคราะห์สามารถแสดงได้ในรูปของสถานะบริสุทธิ์สถานะเหล่านี้เรียกว่าสถานะเฉพาะ (eigenstates) ซึ่งมีค่าเป็นควอนตัม โดยทั่วไปคือเลขควอนตัมตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาสเปกตรัมพลังงานของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนสถานะบริสุทธิ์ที่เกี่ยวข้องจะถูกระบุด้วยเลขควอนตัมหลักnเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมℓเลขควอนตัมแม่เหล็กmและส่วนประกอบสปินz s _zอีกตัวอย่างหนึ่ง หากวัดสปินของอิเล็กตรอนในทิศทางใดๆ เช่น ด้วยการทดลอง Stern–Gerlachจะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างคือ ขึ้นหรือลง สถานะบริสุทธิ์ในที่นี้แสดงด้วยเวกเตอร์เชิงซ้อน สองมิติ ที่มีความยาวหนึ่ง นั่นคือ โดย ที่และคือค่าสัมบูรณ์ของและตาม ลำดับ${\displaystyle (\อัลฟา ,\เบต้า )}$$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$$${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle |\beta |}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

หลักการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมกล่าวว่า สถานะบริสุทธิ์ ณ เวลาt ใดๆ จะสอดคล้องกับเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกส่วนได้ ในขณะที่ปริมาณทางกายภาพที่วัดได้แต่ละอย่าง (เช่น พลังงานหรือโมเมนตัมของอนุภาค ) จะสัมพันธ์กับตัวดำเนินการ ทางคณิตศาสตร์ ที่เรียกว่าตัวสังเกตได้ตัวดำเนินการนี้ทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่กระทำต่อสถานะของระบบ ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการจะสอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของตัวสังเกตได้ ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะสังเกตอนุภาคที่มีโมเมนตัม 1 kg⋅m/s ก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะค่าหนึ่งของตัวดำเนินการโมเมนตัมคือ 1 kg⋅m/s เวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน (ซึ่งนักฟิสิกส์เรียกว่าสถานะลักษณะเฉพาะ ) ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ 1 kg⋅m/s จะเป็นสถานะควอนตัมที่มีค่าโมเมนตัมที่แน่นอนและกำหนดได้ดีคือ 1 kg⋅m/s โดยไม่มีความไม่แน่นอนทางควอนตัม หากวัดโมเมนตัม ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับ 1 กก.⋅ม./วินาที อย่างแน่นอน

ในทางกลับกัน สถานะบริสุทธิ์ที่อธิบายว่าเป็นผลรวมของสถานะไอเกนที่แตกต่างกันหลายสถานะโดยทั่วไปจะ มีความไม่แน่นอนควอนตัมสำหรับค่าสังเกตที่กำหนด การใช้ สัญกรณ์ bra–ket การรวมเชิงเส้น ของสถานะไอเกน นี้สามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 5 ] : 22, 171, 172} สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกับสถานะเฉพาะในการรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจึงอนุญาตให้มีผลกระทบจากการรบกวนระหว่างสถานะ สัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่ กับ เวลา การเปลี่ยนแปลงของสถานะควอนตัมในเวลาจะถูกควบคุมโดยตัวดำเนินการวิวัฒนาการเวลา$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$$

สถานะควอนตัมผสมสอดคล้องกับการผสมกันของสถานะบริสุทธิ์ในเชิงความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตาม การกระจายตัวที่แตกต่างกันของสถานะบริสุทธิ์สามารถสร้างสถานะผสมที่เทียบเท่ากัน (กล่าวคือ แยกแยะทางกายภาพไม่ได้) ได้การผสมกันของสถานะควอนตัมก็ยังคงเป็นสถานะควอนตัมอยู่ดี

สถานะผสมสำหรับสปินอิเล็กตรอนในสูตรเมทริกซ์ความหนาแน่นมีโครงสร้างเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและกึ่งบวกแน่นอน และมีร่องรอย 1 ^{[ 6 ]}กรณีที่ซับซ้อนกว่านั้นแสดง (ในสัญกรณ์ bra–ket ) โดยสถานะซิงเกล็ตซึ่งเป็นตัวอย่างของการพัวพันควอนตัมซึ่ง เกี่ยวข้องกับ การ ซ้อนทับของสถานะสปินร่วมสำหรับอนุภาคสองตัวที่มีสปิน 1/2 สถานะซิงเกล็ตเป็นไปตามคุณสมบัติที่ว่าหากสปินของอนุภาคถูกวัดไปตามทิศทางเดียวกัน สปินของอนุภาคตัวแรกจะถูกสังเกตขึ้นและสปินของอนุภาคตัวที่สองจะถูกสังเกตลง หรืออนุภาคตัวแรกจะถูกสังเกตลงและอนุภาคตัวที่สองจะถูกสังเกตขึ้น โดยทั้งสองความเป็นไปได้เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},}$$

สถานะควอนตัมบริสุทธิ์สามารถแสดงได้ด้วยรังสีซึ่งเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟเหนือจำนวนเชิงซ้อนในขณะที่สถานะผสมจะแสดงด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นซึ่งเป็นตัวดำเนินการกึ่ง บวก ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 7 ] [ 3 ]} ทฤษฎีบทSchrödinger–HJWจำแนกวิธีการมากมายในการเขียนสถานะผสมที่กำหนดให้เป็นการรวมแบบนูนของสถานะบริสุทธิ์^{[ 8 ]} ก่อนที่จะทำการ วัด เฉพาะกับระบบควอนตัม ทฤษฎีจะให้เพียงการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ และรูปแบบที่การแจกแจงนี้ใช้จะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยสถานะควอนตัมและตัวดำเนินการเชิงเส้นที่อธิบายการวัด การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับการวัดที่แตกต่างกันแสดงให้เห็นถึงการแลกเปลี่ยนที่ยกตัวอย่างโดยหลักการความไม่แน่นอน : สถานะที่บ่งบอกถึงการกระจายแคบของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับการทดลองหนึ่ง ย่อมบ่งบอกถึงการกระจายกว้างของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับการทดลองอื่น

การผสมสถานะทางสถิติเป็นรูปแบบที่แตกต่างกันของการรวมเชิงเส้น การผสมสถานะทางสถิติเป็นกลุ่มทางสถิติของระบบอิสระ การผสมทางสถิติแสดงถึงระดับความรู้ในขณะที่ความไม่แน่นอนภายในกลศาสตร์ควอนตัมเป็นพื้นฐาน ในทางคณิตศาสตร์ การผสมทางสถิติไม่ใช่การรวมโดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงซ้อน แต่เป็นการรวมโดยใช้ความน่าจะเป็นที่เป็นบวกและมีค่าจริงของสถานะต่างๆตัวเลขแสดงถึงความน่าจะเป็นของระบบที่เลือกแบบสุ่มที่จะอยู่ในสถานะนั้นซึ่งแตกต่างจากกรณีการรวมเชิงเส้นตรงที่แต่ละระบบอยู่ในสถานะเฉพาะที่แน่นอน^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

ค่าคาดหวังของตัวแปรสังเกตได้Aคือค่าเฉลี่ยทางสถิติของค่าที่วัดได้ของตัวแปรสังเกตได้นั้น ค่าเฉลี่ยนี้และการกระจายของความน่าจะเป็นคือสิ่งที่ทฤษฎีทางฟิสิกส์ใช้ในการทำนาย ${\displaystyle {\langle A\rangle }_{\sigma }}$

ไม่มีสถานะใดที่เป็นสถานะเฉพาะสำหรับ ตัวแปรที่สังเกตได้ ทั้งหมด พร้อมกัน ตัวอย่างเช่น เราไม่สามารถเตรียมสถานะที่ทำให้ทราบทั้งการวัดตำแหน่งQ ( t )และการวัดโมเมนตัมP ( t ) (ในเวลาเดียวกันt ) ได้อย่างแม่นยำ อย่างน้อยหนึ่งค่าจะมีช่วงของค่าที่เป็นไปได้^{[ a ]}นี่คือเนื้อหาของความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเปรียบเทียบกับกลศาสตร์คลาสสิกการวัดค่าบนระบบโดยทั่วไปจะทำให้สถานะของระบบเปลี่ยนแปลงไป อย่างหลีกเลี่ยง ไม่ ได้ ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] : 4} กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น: หลังจากวัดค่าที่สังเกตได้Aแล้ว ระบบจะอยู่ในสถานะไอเกนของAดังนั้นสถานะจึงเปลี่ยนแปลงไป เว้นแต่ว่าระบบจะอยู่ในสถานะไอเกนนั้นอยู่แล้ว สิ่งนี้แสดงถึงความสอดคล้องเชิงตรรกะชนิดหนึ่ง: หากเราวัดค่าAสองครั้งในการทดลองเดียวกัน โดยการวัดค่าต่อเนื่องกันในเวลา^{[ b ]}ผลลัพธ์ที่ได้จะเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้มีผลที่ตามมาที่แปลกประหลาดบางประการดังต่อไปนี้

พิจารณาตัวแปรสังเกตได้สองตัวที่ไม่เข้ากันคือAและBโดยที่A สอดคล้องกับการวัด ที่เกิดขึ้นก่อนB ^{[ c ]} สมมติว่าระบบอยู่ในสถานะไอเกนของBในตอนเริ่มต้นการทดลอง ถ้าเราวัดเฉพาะB เท่านั้น การทดลองทุกครั้งจะให้ผลลัพธ์เดียวกัน ถ้าเราวัดA ก่อน แล้วจึงวัดBในการทดลองเดียวกัน ระบบจะเปลี่ยนไปสู่สถานะไอเกนของAหลังจากการวัดครั้งแรก และโดยทั่วไปเราจะสังเกตเห็นว่าผลลัพธ์ของB นั้น เป็นแบบสถิติ ดังนั้นการวัดทางกลศาสตร์ควอนตัมจึงมีอิทธิพลต่อกันและกันและลำดับในการดำเนินการวัดนั้นมีความสำคัญ

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของสถานะควอนตัมจะมีความสำคัญหากเราพิจารณาระบบทางกายภาพที่ประกอบด้วยระบบย่อยหลายระบบ ตัวอย่างเช่น การทดลองกับอนุภาคสองตัวแทนที่จะเป็นหนึ่งตัว ฟิสิกส์ควอนตัมอนุญาตให้มีสถานะบางอย่างที่เรียกว่าสถานะพันกันซึ่งแสดงความสัมพันธ์ทางสถิติบางอย่างระหว่างการวัดบนอนุภาคทั้งสองที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีคลาสสิก สำหรับรายละเอียด โปรดดูที่การพันกันของควอนตัมสถานะพันกันเหล่านี้ทำให้เกิดคุณสมบัติที่สามารถทดสอบได้ในเชิงทดลอง ( ทฤษฎีบทของเบลล์ ) ซึ่งช่วยให้เราสามารถแยกแยะระหว่างทฤษฎีควอนตัมและแบบจำลองคลาสสิกทางเลือก (ที่ไม่ใช่ควอนตัม) ได้

เราสามารถกำหนดให้ตัวแปรที่สังเกตได้ขึ้นอยู่กับเวลา ในขณะที่สถานะσถูกกำหนดไว้แล้ว ณ จุดเริ่มต้นของการทดลอง วิธีนี้เรียกว่าภาพไฮเซนเบิร์ก (วิธีนี้ถูกนำมาใช้ในส่วนหลังของการอธิบายข้างต้น โดยมีตัวแปรที่สังเกตได้P ( t ) , Q ( t ) ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ) ในทางกลับกัน เราสามารถกำหนดให้ตัวแปรที่สังเกตได้คงที่ ในขณะที่สถานะของระบบขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งเรียกว่าภาพชโรดิงเกอร์ (วิธีนี้ถูกนำมาใช้ในส่วนแรกของการอธิบายข้างต้น โดยมีสถานะที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) ในเชิงแนวคิด (และทางคณิตศาสตร์) ทั้งสองวิธีมีความเทียบเท่ากัน การเลือกใช้วิธีใดวิธีหนึ่งเป็นเพียงเรื่องของข้อตกลง ${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$

ทั้งสองมุมมองนี้ใช้ในทฤษฎีควอนตัม ในขณะที่กลศาสตร์ควอนตัม ที่ไม่สัมพัทธภาพ มักจะถูกกำหนดขึ้นโดยใช้ภาพของชโรดิงเกอร์ ภาพของไฮเซนเบิร์กมักจะถูกเลือกใช้ในบริบทสัมพัทธภาพ นั่นคือสำหรับทฤษฎีสนามควอนตัมเปรียบเทียบกับภาพของดิแรก^{[ 14 ] : 65}

ฟิสิกส์ควอนตัมมักถูกอธิบายด้วยพีชคณิตเชิงเส้นดังนี้ ระบบใดๆ ก็ตามจะถูกระบุด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่มีมิติจำกัดหรืออนันต์ สถานะบริสุทธิ์จะสอดคล้องกับเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 ดังนั้น เซตของสถานะบริสุทธิ์ทั้งหมดจึงสอดคล้องกับทรงกลมหน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ต เนื่องจากทรงกลมหน่วยถูกนิยามว่าเป็นเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีขนาดเท่ากับ 1

การคูณสถานะบริสุทธิ์ด้วยสเกลาร์นั้นไม่มีผลทางกายภาพ (ตราบใดที่พิจารณาสถานะนั้นเพียงลำพัง) ถ้าเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนสามารถได้มาจากการคูณเวกเตอร์อื่นด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์ทั้งสองนั้น จะกล่าวได้ว่าสอดคล้องกับ รังสีเดียวกันในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปร เจกทีฟ ของ โปรดทราบว่าแม้จะใช้คำว่ารังสี แต่ในความหมายที่ถูกต้อง จุดในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกที ฟนั้นสอดคล้องกับเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของปริภูมิฮิลเบิร์ต มากกว่าครึ่งเส้นตรงหรือรังสีใน ความ หมาย ทางเรขาคณิต${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle H}$

โมเมนตัมเชิงมุมมีมิติเดียวกัน ( M · L ² · T ⁻¹ ) กับค่าคงที่ของพลังค์และในระดับควอนตัม จะมีพฤติกรรมเหมือน ระดับความเป็นอิสระ แบบไม่ต่อเนื่องของระบบควอนตัม อนุภาคส่วนใหญ่มีโมเมนตัมเชิงมุมภายในชนิดหนึ่งที่ไม่ปรากฏเลยในกลศาสตร์คลาสสิก และเกิดขึ้นจากการวางนัยทั่วไปเชิงสัมพัทธภาพของทฤษฎีของดิแรก ในทางคณิตศาสตร์จะอธิบายด้วยสปินเนอร์ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพ จะใช้ การแสดงกลุ่มของกลุ่มลี SU(2) เพื่ออธิบายความเป็นอิสระเพิ่มเติมนี้ สำหรับอนุภาคที่กำหนด การเลือกการแสดง (และด้วยเหตุนี้ช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสปิน) จะระบุโดยจำนวนที่ไม่เป็นลบSซึ่งในหน่วยของค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลงħจะเป็นจำนวนเต็ม (0, 1, 2, ...) หรือครึ่งจำนวนเต็ม (1/2, 3/2, 5/2, ...) สำหรับ อนุภาคที่มี มวลและมีสปินSนั้นเลขควอนตัมสปินmจะมีค่าใดค่าหนึ่งจาก2 S + 1ค่าที่เป็นไปได้ในชุดค่าที่กำหนด เสมอ$${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}}$$

ด้วยเหตุนี้ สถานะควอนตัมของอนุภาคที่มีสปินจึงถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันคลื่นแบบเวกเตอร์ ที่มีค่าอยู่ใน C ^{2 S +1}หรืออาจแสดงด้วยฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีตัวแปร สี่ตัว โดยตัวแปร เลขควอนตัมแบบไม่ต่อเนื่องหนึ่งตัว(สำหรับสปิน) จะถูกบวกเข้ากับตัวแปรต่อเนื่องสามตัวตามปกติ (สำหรับตำแหน่งในอวกาศ)

สถานะควอนตัมของระบบ อนุภาค Nตัว ซึ่งแต่ละตัวอาจมีสปิน จะถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่มีตัวแปรสี่ตัวต่ออนุภาค โดยสอดคล้องกับพิกัดเชิงพื้นที่ 3 ตำแหน่ง และสปินเช่น $${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}$$

ในที่นี้ ตัวแปรสปินm _νจะมีค่าจากเซต โดยที่คือสปินของอนุภาคที่νสำหรับอนุภาคที่ไม่มีสปิน $${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}$$${\displaystyle S_{\nu }}$${\displaystyle S_{\nu }=0}$

วิธีการจัดการกับอนุภาคที่เหมือนกันนั้นแตกต่างกันมากระหว่างโบซอน (อนุภาคที่มีสปินเป็นจำนวนเต็ม) กับเฟอร์มิออน (อนุภาคที่มีสปินเป็นครึ่งจำนวนเต็ม) ฟังก์ชัน Nอนุภาคข้างต้นจะต้องถูกทำให้สมมาตร (ในกรณีโบซอน) หรือไม่สมมาตร (ในกรณีเฟอร์มิออน) โดยสัมพันธ์กับจำนวนอนุภาค หากอนุภาคทั้งN ตัวไม่ เหมือนกัน แต่บางตัวเหมือนกัน ฟังก์ชันจะต้องถูกทำให้สมมาตร (หรือไม่สมมาตร) แยกกันตามตัวแปรที่สอดคล้องกับแต่ละกลุ่มของตัวแปรที่เหมือนกัน โดยพิจารณาจากสถิติ (โบซอนหรือเฟอร์มิออน)

อิเล็กตรอนเป็นเฟอร์มิออนที่มีS = 1/2ส่วนโฟตอน (ควอนตัมของแสง) เป็นโบซอนที่มีS = 1 (ถึงแม้ว่าในสุญญากาศ โฟตอนจะไม่มีมวลและไม่สามารถอธิบายได้ด้วยกลศาสตร์ของชโรดิงเกอร์)

เมื่อไม่จำเป็นต้องทำให้สมมาตรหรือต่อต้านสมมาตรพื้นที่สถานะที่มีอนุภาคN ตัว สามารถหาได้ง่ายๆ โดยใช้ ผลคูณเทนเซอร์ของพื้นที่ที่มีอนุภาคตัวเดียว ซึ่งเราจะกล่าวถึงในภายหลัง

สถานะที่อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงเสมอในรูปของการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบของฐานออร์โทนอร์มอลของโดยใช้สัญกรณ์ bra–ketซึ่งหมายความว่าสถานะใดๆ ก็สามารถเขียนได้เป็น โดยมีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนและองค์ประกอบฐานในกรณีนี้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานจะแปลเป็น ในทางฟิสิกส์ได้ถูกแสดงออกมาในรูปของการซ้อนทับควอนตัมของ "สถานะฐาน" กล่าวคือ สถานะเฉพาะของสิ่งที่สังเกตได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากสิ่งที่สังเกตได้ดังกล่าวถูกวัดบนสถานะมาตรฐานแล้ว คือความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการวัดคือ[ ^{5 ] : 22} ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle &=\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle ,\\&=\sum _{i}|{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$${\displaystyle |k_{i}\rangle }$$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle =\sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |c_{i}|^{2}=|\langle {k_{i}}|\psi \rangle |^{2},}$$${\displaystyle k_{i}}$

โดยทั่วไป นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นจะประกอบด้วยความสัมพันธ์ระหว่างสถานะควอนตัมและส่วนหนึ่งของสเปกตรัมของตัวแปรไดนามิก (เช่นตัวแปรสุ่ม ) ที่ถูกสังเกต^{[ 15 ] : 98 [ 16 ] : 53} ตัวอย่างเช่น สถานการณ์ข้างต้นอธิบายกรณีแบบไม่ต่อเนื่องเนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะ เป็นของสเปกตรัมจุดในทำนองเดียวกันฟังก์ชันคลื่นเป็นเพียงฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันพลังงานของระบบ ${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle E}$

ตัวอย่างของกรณีต่อเนื่องแสดงโดยตัวดำเนินการตำแหน่งการวัดความน่าจะเป็นสำหรับระบบในสถานะกำหนดโดย: ^{[ 17 ]} โดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับการค้นหาอนุภาคที่ตำแหน่งที่กำหนด ตัวอย่างเหล่านี้เน้นความแตกต่างในลักษณะเฉพาะระหว่างสถานะและสิ่งที่สังเกตได้ กล่าวคือ ในขณะที่เป็นสถานะบริสุทธิ์ที่อยู่ใน เวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ(ทั่วไป)ของตัวดำเนินการตำแหน่งไม่อยู่ ใน ^{[ 18 ]}${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \mathrm {Pr} (x\in B|\psi )=\int _{B\subset \mathbb {R} }|\psi (x)|^{2}dx,}$$${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle H}$

แม้ว่าจะมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด แต่สถานะบริสุทธิ์ก็ไม่เหมือนกับสถานะผูกพันที่อยู่ในสเปกตรัมจุดบริสุทธิ์ของสิ่งที่สังเกตได้โดยไม่มีความไม่แน่นอนทางควอนตัม อนุภาคจะอยู่ในสถานะผูกพันก็ต่อเมื่อมันยังคงอยู่เฉพาะที่ในบริเวณที่มีขอบเขตของพื้นที่ตลอดเวลา สถานะบริสุทธิ์เรียกว่าสถานะผูกพันก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆมีเซตกระชับเช่นนั้น สำหรับทุกๆ[ ^{19 ] อิน}ทิกรัลแสดงถึงความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะพบในบริเวณที่มีขอบเขตในเวลาใดๆหากความน่าจะเป็นยังคงใกล้เคียงกับ อย่างมากอนุภาคจะอยู่ใน ${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \int _{K}|\phi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon }$$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$

ตัวอย่างเช่น โซลูชัน ที่ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ของสมการชโรดิงเกอร์อิสระสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยใช้แพ็กเก็ตคลื่น แพ็กเก็ตคลื่นเหล่านี้เป็นของสเปกตรัมจุดบริสุทธิ์ของ ตัวดำเนินการฉายภาพที่สอดคล้องกันซึ่งในทางคณิตศาสตร์ถือเป็นสิ่งที่สังเกตได้^{[ 16 ] : 48} อย่างไรก็ตาม พวกมันไม่ใช่สถานะผูกพัน

ดังที่กล่าวมาข้างต้น สถานะควอนตัมสามารถซ้อนทับกันได้ถ้าและเป็นเค็ตสองตัวที่สอดคล้องกับสถานะควอนตัม เค็ต ก็จะเป็นสถานะควอนตัมของระบบเดียวกันด้วย ทั้งและสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยแอมพลิจูดสัมพัทธ์และเฟสสัมพัทธ์ของพวกมันจะมีผลต่อสถานะควอนตัมที่ได้ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$$${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\beta }}$

การเขียนสถานะซ้อนทับโดยใช้ และกำหนดบรรทัดฐานของสถานะเป็น: และการดึงปัจจัยร่วมจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ปัจจัยเฟสโดยรวมด้านหน้าไม่มีผลทางกายภาพ^{[ 20 ] : 108} มี เพียงเฟสสัมพัทธ์เท่านั้นที่มีผลต่อลักษณะทางกายภาพของการซ้อนทับ $${\displaystyle c_{\alpha }=A_{\alpha }e^{i\theta _{\alpha }}\ \ c_{\beta }=A_{\beta }e^{i\theta _{\beta }}}$$$${\displaystyle |c_{\alpha }|^{2}+|c_{\beta }|^{2}=A_{\alpha }^{2}+A_{\beta }^{2}=1}$$$${\displaystyle e^{i\theta _{\alpha }}\left(A_{\alpha }|\alpha \rangle +{\sqrt {1-A_{\alpha }^{2}}}e^{i\theta _{\beta }-i\theta _{\alpha }}|\beta \rangle \right)}$$

ตัวอย่างหนึ่งของการซ้อนทับคือการทดลองช่องคู่ซึ่งการซ้อนทับนำไปสู่การแทรกสอดเชิงควอนตัมอีกตัวอย่างหนึ่งของความสำคัญของเฟสสัมพัทธ์คือการแกว่งแบบราบีซึ่งเฟสสัมพัทธ์ของสองสถานะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาเนื่องจากสมการชโรดิงเกอร์การซ้อนทับที่เกิดขึ้นจะแกว่งไปมาระหว่างสองสถานะที่แตกต่างกัน

สถานะควอนตัมบริสุทธิ์คือสถานะที่สามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์ ket ตัวเดียว ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นสถานะควอนตัมผสมคือกลุ่มสถิติของสถานะบริสุทธิ์ (ดูกลศาสตร์สถิติควอนตัม ) ^{[ 3 ] : 73}

สถานะผสมเกิดขึ้นในกลศาสตร์ควอนตัมในสองสถานการณ์ที่แตกต่างกัน: ประการแรก เมื่อการเตรียมระบบไม่เป็นที่ทราบอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงต้องจัดการกับกลุ่มสถิติของการเตรียมการที่เป็นไปได้ และประการที่สอง เมื่อต้องการอธิบายระบบทางกายภาพที่พันกันกับระบบอื่น เนื่องจากสถานะของระบบนั้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสถานะบริสุทธิ์ ในกรณีแรก ในทางทฤษฎีอาจมีบุคคลอื่นที่รู้ประวัติทั้งหมดของระบบ และดังนั้นจึงสามารถอธิบายระบบเดียวกันนั้นได้ว่าเป็นสถานะบริสุทธิ์ ในกรณีนี้ เมทริกซ์ความหนาแน่นถูกใช้เพื่อแสดงความรู้ที่จำกัดเกี่ยวกับสถานะควอนตัมเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่สอง การมีอยู่ของการพันกันทางควอนตัมในทางทฤษฎีจะป้องกันการมีอยู่ของความรู้ที่สมบูรณ์เกี่ยวกับระบบย่อย และเป็นไปไม่ได้ที่บุคคลใดจะอธิบายระบบย่อยของคู่ที่พันกันว่าเป็นสถานะบริสุทธิ์

สถานะผสมเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้จากสถานะบริสุทธิ์เมื่อสำหรับระบบควอนตัมแบบผสมที่มี สถานะ พันกันนั้น ส่วนนั้นไม่สามารถเข้าถึงได้โดยผู้สังเกต^{[ 3 ] : 121–122} สถานะของส่วนนั้นจะแสดงออกมาเป็น ร่องรอย บาง ส่วนเหนือ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

สถานะผสมไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์ ket เพียงตัวเดียว^{[ 21 ] : 691–692} แต่จะอธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น ที่เกี่ยวข้อง (หรือตัวดำเนินการความหนาแน่น ) ซึ่งมักจะใช้สัญลักษณ์ρเมทริกซ์ความหนาแน่นสามารถอธิบายได้ทั้งสถานะผสมและสถานะบริสุทธิ์ โดยถือว่าทั้งสองสถานะมีสถานะเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น สถานะควอนตัมผสมบนระบบควอนตัมที่กำหนดซึ่งอธิบายโดยปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถแสดงได้เสมอเป็นร่องรอยบางส่วนของสถานะควอนตัมบริสุทธิ์ (เรียกว่าการทำให้บริสุทธิ์ ) บนระบบทวิภาคที่ใหญ่กว่า สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่ มีขนาดใหญ่เพียงพอ${\displaystyle H}$${\displaystyle H\otimes K}$${\displaystyle K}$

เมทริกซ์ความหนาแน่นที่อธิบายสถานะผสมถูกกำหนดให้เป็นตัวดำเนินการในรูปแบบ ที่p _sคือสัดส่วนของกลุ่มในแต่ละสถานะบริสุทธิ์เมทริกซ์ความหนาแน่นสามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการใช้รูปแบบ อนุภาคเดี่ยว เพื่ออธิบายพฤติกรรมของอนุภาคที่คล้ายคลึงกันจำนวนมาก โดยให้การกระจายความน่าจะเป็น (หรือกลุ่ม) ของสถานะที่อนุภาคเหล่านี้สามารถพบได้ $${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$

เกณฑ์ง่ายๆ สำหรับการตรวจสอบว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นอธิบายสถานะบริสุทธิ์หรือสถานะผสมหรือไม่ คือร่องรอยของρ ²จะเท่ากับ 1 ถ้าสถานะบริสุทธิ์ และน้อยกว่า 1 ถ้าสถานะผสม^{[ d ] [ 22 ]}เกณฑ์อีกประการหนึ่งที่เทียบเท่ากันคือเอนโทรปีของฟอนนอยมันน์เป็น 0 สำหรับสถานะบริสุทธิ์ และเป็นบวกอย่างเคร่งครัดสำหรับสถานะผสม

กฎสำหรับการวัดในกลศาสตร์ควอนตัมนั้นง่ายเป็นพิเศษที่จะระบุในแง่ของเมทริกซ์ความหนาแน่น ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม ( ค่าคาดหวัง ) ของการวัดที่สอดคล้องกับสิ่งที่สังเกตได้Aจะได้รับจาก โดย ที่และคือ eigenkets และ eigenvalues ​​ตามลำดับ สำหรับตัวดำเนินการAและ " tr " หมายถึงร่องรอย^{[ 3 ] : 73} มีการหาค่าเฉลี่ยสองประเภทเกิดขึ้น ประเภทหนึ่ง (เหนือ) คือค่าคาดหวังปกติของสิ่งที่สังเกตได้เมื่อควอนตัมอยู่ในสถานะ และอีกประเภทหนึ่ง (เหนือ) คือค่าเฉลี่ยทางสถิติ (กล่าวคือไม่สอดคล้องกัน ) ด้วยความน่าจะเป็นp _sที่ควอนตัมอยู่ในสถานะเหล่านั้น $${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$$${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$${\displaystyle s}$

สถานะต่างๆ สามารถกำหนดได้โดยใช้ตัวแปรที่สังเกตได้ แทนที่จะเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ ตัวแปรเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นปกติที่เป็นบวกบนพีชคณิต C*หรือบางครั้งอาจเป็นพีชคณิตของตัวแปรที่สังเกตได้ประเภทอื่นๆ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ สถานะบนพีชคณิต C*และการสร้างแบบ Gelfand–Naimark–Segal

แนวคิดเรื่องสถานะควอนตัม โดยเฉพาะเนื้อหาในหัวข้อ " รูปแบบในฟิสิกส์ควอนตัม"ข้างต้นนั้น มีกล่าวถึงอยู่ในตำราเรียนมาตรฐานส่วนใหญ่เกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัม

สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับแง่มุมเชิงแนวคิดและการเปรียบเทียบกับรัฐแบบดั้งเดิม โปรดดูที่:

• Isham, Chris J (1995). บรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีควอนตัม: พื้นฐานทางคณิตศาสตร์และโครงสร้าง . สำนักพิมพ์อิมพีเรียลคอลเลจ . ISBN 978-1-86094-001-9.

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแง่มุมทางคณิตศาสตร์ โปรดดูที่:

• Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W (1987). Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8ฉบับที่ 2โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โปรดดูหัวข้อ 2.3

สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับการทำให้บริสุทธิ์ของสถานะควอนตัมผสม โปรดดูบทที่ 2 ของเอกสารประกอบการบรรยายวิชาฟิสิกส์ 219 ของจอห์น เพรสคิลล์ ที่สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech)

สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับลักษณะทางเรขาคณิต โปรดดูที่:

• Bengtsson I; Życzkowski K (2006). เรขาคณิตของสถานะควอนตัม . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.ฉบับแก้ไขครั้งที่สอง (2017 )