ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานหรือปริภูมิที่มีบรรทัดฐานคือปริภูมิเวกเตอร์โดยทั่วไปอยู่เหนือ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีการกำหนดบรรทัดฐาน ไว้ ^{[ 1 ]}บรรทัดฐานเป็นการขยายแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของ "ความยาว" ในโลกทางกายภาพ ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือโดยที่เป็นฟิลด์ที่เท่ากับหรือเท่ากับแล้วบรรทัดฐานบนคือแผนที่โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์สี่ข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. ความไม่เป็นลบ: สำหรับทุกๆ, .${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. ความแน่นอนเชิงบวก: สำหรับทุก ๆก็ต่อเมื่อเป็นเวกเตอร์ศูนย์${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$${\displaystyle x}$
3. ความเป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์: สำหรับทุกและ,${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle x\in V}$$${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. อสมการสามเหลี่ยม : สำหรับทุกและ,${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle y\in V}$$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนดังที่กล่าวมาข้างต้น และเป็นนอร์มบนแล้วคู่ลำดับเรียกว่า ปริมาณเวกเตอร์นอร์ม หากบริบทชัดเจนว่าหมายถึงนอร์มใด โดยทั่วไปแล้วจะใช้สัญลักษณ์ แทนปริมาณเวกเตอร์นอร์ม ${\displaystyle V}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle V}$${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$${\displaystyle V}$

บรรทัดฐานหนึ่งๆ ก่อให้เกิดระยะทาง ที่เรียกว่า เมตริกที่เกิดจากบรรทัดฐานนั้นโดยใช้สูตร ที่ทำให้ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานใดๆ กลายเป็นปริภูมิเมตริกและปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโล ยีได้ ถ้าปริภูมิเมตริกนี้สมบูรณ์ปริภูมิที่มีบรรทัดฐานนั้นจะเป็นปริภูมิบานาคปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานทุกปริภูมิสามารถ "ขยายได้อย่างไม่ซ้ำกัน" ไปยังปริภูมิบานาค ซึ่งทำให้ปริภูมิที่มีบรรทัดฐานมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับปริภูมิบานาค ปริภูมิบานาคทุกปริภูมิเป็นปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น เซตของลำดับจำกัดของจำนวนจริงสามารถกำหนดบรรทัดฐานได้ด้วยบรรทัดฐานแบบยุคลิดแต่เซตนั้นไม่สมบูรณ์สำหรับบรรทัดฐานนี้ $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

ปริภูมิผลคูณภายในคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ซึ่งบรรทัดฐานคือรากที่สองของผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์กับตัวมันเองบรรทัดฐานแบบยุคลิดของปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดเป็นกรณีพิเศษที่อนุญาตให้กำหนดระยะทางแบบยุคลิดโดยใช้สูตร $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

การศึกษาเกี่ยวกับปริภูมิบรรทัดฐานและปริภูมิบานาคเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นสาขาย่อยหลักของคณิตศาสตร์

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานกำหนดปริภูมิเวกเตอร์เซมินอร์มคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีเซมินอร์มกำกับ

รูปแบบ ที่มีประโยชน์ของอสมการสามเหลี่ยมคือ สำหรับเวกเตอร์ใดๆและ$${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นว่าค่ามาตรฐานของเวกเตอร์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ( อย่างสม่ำเสมอ ) อีก ด้วย

คุณสมบัติข้อที่ 3 ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าบรรทัดฐานของฟิลด์สเกลาร์ เมื่อฟิลด์สเกลาร์เป็น(หรือโดยทั่วไปคือเซตย่อยของ) โดยปกติจะถือว่าเป็นค่าสัมบูรณ์ ธรรมดา แต่ก็สามารถเลือกค่าอื่นได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เหนือเราอาจเลือกให้เป็นค่าสัมบูรณ์แบบ α-adicก็ได้ ${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle p}$

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน บรรทัดฐานนั้นจะเหนี่ยวนำให้เกิดเมตริก (แนวคิดเรื่องระยะทาง ) และด้วยเหตุนี้จึง เหนี่ยวนำให้เกิด โทโพโลยีบนเมตริกนี้ถูกกำหนดในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ กล่าวคือ ระยะทางระหว่างเวกเตอร์สองตัวและกำหนดโดยโทโพโลยีนี้เป็นโทโพโลยีที่อ่อนที่สุดที่ทำให้ต่อเนื่อง และเข้ากันได้กับโครงสร้างเชิงเส้นของในความหมายต่อไปนี้: ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle V}$

1. การบวกเวกเตอร์มีความต่อเนื่องร่วมกันเมื่อเทียบกับโทโพโลยีนี้ ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากอสมการสามเหลี่ยม${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. การคูณสเกลาร์โดยที่เป็นฟิลด์สเกลาร์พื้นฐานของ นั้นมีความต่อเนื่องร่วมกัน ซึ่งเป็นผลมาจากอสมการสามเหลี่ยมและความเป็นเอกรูปของนอร์ม${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle V,}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับปริภูมิเวกเตอร์กึ่งนอร์มใดๆ เราสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวคือ และได้ดังนี้ซึ่งจะเปลี่ยนปริภูมิกึ่งนอร์มให้กลายเป็นปริภูมิเสมือนเมตริก (โปรดสังเกตว่าปริภูมิเสมือนเมตริกอ่อนกว่า) และอนุญาตให้กำหนดแนวคิดต่างๆ เช่นความต่อเนื่องและการลู่เข้าได้กล่าวโดยสรุปคือ ปริภูมิเวกเตอร์กึ่งนอร์มทุกปริภูมิเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและดังนั้นจึงมีโครงสร้างเชิงทอพอโลยีซึ่งเกิดจากกึ่งนอร์ม ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ ปริภูมิบรรทัดฐาน สมบูรณ์ซึ่งรู้จักกันในชื่อปริภูมิบานาคปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานทุกปริภูมิจะอยู่เป็นปริภูมิย่อยหนาแน่นภายในปริภูมิบานาคบางปริภูมิ ปริภูมิบานาคนี้โดยพื้นฐานแล้วถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยและเรียกว่าการเติมเต็มของ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$

บรรทัดฐานสองบรรทัดบนปริภูมิเวกเตอร์เดียวกันเรียกว่าเทียบเท่ากันหากกำหนดโทโพโลยี เดียวกัน บนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด (แต่ไม่ใช่ปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์) บรรทัดฐานทั้งหมดจะเทียบเท่ากัน (แม้ว่าปริภูมิเมตริกที่ได้จะไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน) ^{[ 2 ]}และเนื่องจากปริภูมิยุคลิดใด ๆ สมบูรณ์ เราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานมิติจำกัดทั้งหมดเป็นปริภูมิบานาค

ปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานจะเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อทรงกลมหน่วยเป็นปริภูมิกระชับซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อ ปริภูมิเวกเตอร์ นั้นมีมิติจำกัด นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของรีซ (อันที่จริง ผลลัพธ์ที่ทั่วไปกว่านั้นก็คือ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อปริภูมิเวกเตอร์นั้นมีมิติจำกัด ประเด็นสำคัญคือเราไม่ได้สมมติว่าทอพอโลยีนั้นมาจากบรรทัดฐาน) ${\displaystyle V}$${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle V}$

โทโพโลยีของปริภูมิเวกเตอร์กึ่งนอร์มมีคุณสมบัติที่ดีหลายประการ เมื่อกำหนดระบบใกล้เคียง รอบ 0 แล้ว เราสามารถสร้างระบบใกล้เคียงอื่นๆ ได้ทั้งหมดเช่น เดียวกับ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$$${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

นอกจากนี้ ยังมีฐานใกล้เคียงสำหรับจุดกำเนิดซึ่งประกอบด้วย เซต ดูดซับและเซตแบบนูนเนื่องจากคุณสมบัตินี้มีประโยชน์มากในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันจึงมีการศึกษาการวางนัยทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานที่มีคุณสมบัตินี้ภายใต้ชื่อปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่

นอร์ม (หรือเซมินอร์ม ) บนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อทอพอโลยีที่เหนี่ยวนำให้เกิด นอร์ม นั้นหยาบกว่า(หมายความว่า) ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีลูกบอลเปิดบางลูกใน(เช่น อาจจะเป็น เป็นต้น) ที่เป็นลูกบอลเปิดใน(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เช่นนั้น) ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$${\displaystyle B}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle B\in \tau }$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี เรียกว่านอร์มได้หากมีนอร์มอยู่บนซึ่งเมตริกเชิงแคนอนิกเหนี่ยวนำให้เกิดทอพอโลยีบน ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นของKolmogorov : ^{[ 3 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$

เกณฑ์ความมีบรรทัดฐานของ Kolmogorov : ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี Hausdorff จะมีบรรทัดฐานได้ก็ต่อเมื่อมีบริเวณใกล้เคียง แบบนูน ที่มีขอบเขต von Neumann อยู่${\displaystyle 0\in X.}$

ผลคูณของตระกูลของปริภูมิบรรทัดฐานจะมีบรรทัดฐานได้ก็ต่อเมื่อปริภูมิเหล่านั้นมีจำนวนจำกัดเท่านั้นที่ไม่ใช่ปริภูมิว่าง (นั่นคือ) ^{[ 3 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ผลหารของปริภูมิบรรทัดฐานโดยปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดจะมีบรรทัดฐานได้ และหากโทโพโลยีของ ถูกกำหนดโดยบรรทัดฐานแล้ว แผนที่ที่กำหนดโดย จะเป็นบรรทัดฐานที่กำหนดไว้อย่างดีบนที่เหนี่ยวนำโทโพโลยีผลหารบน^{[ 4 ]}${\displaystyle \neq \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$${\displaystyle X/C}$${\displaystyle X/C.}$

นอกจากนี้จะเป็นมิติจำกัดก็ต่อเมื่อสามารถสร้างบรรทัดฐานได้ (ในที่นี้หมายถึง มีโทโพโลยีแบบอ่อน* ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

โทโพโลยีของปริภูมิเฟรเชต์ตามที่นิยามไว้ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบและการแจกแจงนั้น ถูกกำหนดโดยตระกูลของนอร์มที่นับได้ แต่ไม่ใช่ปริภูมิที่สามารถกำหนดนอร์มได้ เนื่องจากไม่มีนอร์มใดบนปริภูมิเฟรเชต์ที่ทำให้โทโพโลยีที่นอร์มนี้เหนี่ยวนำนั้นเท่ากับ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle \tau .}$

แม้ว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สามารถวัดได้จะมีทอพอโลยีที่กำหนดโดยตระกูลของนอร์ม แต่ก็ยังอาจไม่สามารถเป็นปริภูมิที่กำหนดนอร์มได้ (หมายความว่าทอพอโลยีของมันไม่สามารถกำหนดได้ด้วยนอร์มใดๆเพียงตัวเดียว ) ตัวอย่างของปริภูมิดังกล่าวคือปริภูมิ Fréchet ซึ่งคำจำกัดความสามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบและการแจกแจงเนื่องจากทอพอโลยีของมันถูกกำหนดโดยตระกูลของนอร์มที่นับได้ แต่มันไม่ใช่ปริภูมิที่กำหนดนอร์มได้ เพราะไม่มีนอร์มใดๆบนที่ทอพอโลยีที่นอร์มนี้เหนี่ยวนำนั้นเท่ากับ ในความเป็นจริง ทอพอโลยีของปริภูมิที่นูนเฉพาะที่สามารถกำหนดได้ด้วยตระกูลของนอร์มบนก็ต่อเมื่อมี นอร์มต่อเนื่อง อย่างน้อยหนึ่งตัวบน^{[ 5 ]}${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

แผนที่ที่สำคัญที่สุดระหว่างปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานสองปริภูมิคือแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง เมื่อรวมกับแผนที่เหล่านี้ ปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานจึงก่อให้เกิดหมวดหมู่ หนึ่งขึ้น มา

ค่าบรรทัดฐานเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิเวกเตอร์ของมัน การแปลงเชิงเส้นทั้งหมดระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน

ไอโซเมตรีระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานสองปริภูมิ คือ การแปลงเชิงเส้นที่รักษาบรรทัดฐาน (หมายความว่าสำหรับทุกเวกเตอร์) ไอโซเมตรีมีความต่อเนื่องและเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ไอ โซเมตรี แบบทั่วถึงระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานและเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริกและและเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิ ซึมแบบไอโซเมตริก ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริกนั้นเหมือนกันในทางปฏิบัติทุกประการ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

เมื่อพูดถึงปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน เราจะขยายแนวคิดของปริภูมิคู่ขนานเพื่อพิจารณาบรรทัดฐาน ปริภูมิคู่ขนานของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานคือปริภูมิของ แผนที่เชิงเส้น ต่อเนื่อง ทั้งหมด จากไปยังฟิลด์ฐาน (จำนวนเชิงซ้อนหรือจำนวนจริง) — แผนที่เชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่า "ฟังก์ชันนัล" บรรทัดฐานของฟังก์ชันนัลถูกกำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของ โดย ที่ครอบคลุมเวกเตอร์หน่วยทั้งหมด (นั่นคือ เวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน) ในซึ่งจะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับฟังก์ชันนัลเชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานคือทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค ${\displaystyle V^{\prime }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V^{\prime }}$

นิยามของปริภูมิบรรทัดฐานหลายๆ ปริภูมิ (โดยเฉพาะปริภูมิบานาค ) เกี่ยวข้องกับเซมิ-นอร์มที่กำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์ จากนั้นปริภูมิบรรทัดฐานจะถูกกำหนดเป็นปริภูมิผลหารโดยปริภูมิย่อยของสมาชิกที่มีเซมิ-นอร์มเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิฟังก์ชันที่กำหนดโดย เป็นเซมิ-นอร์มบนปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่อินทิกรัลเลเบสทางด้านขวามือถูกกำหนดและมีค่าจำกัด อย่างไรก็ตาม เซมิ-นอร์มจะมีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับฟังก์ชันใดๆที่รองรับบนเซตที่มีการวัดเลเบสเป็นศูนย์ ฟังก์ชันเหล่านี้ก่อตัวเป็นปริภูมิย่อยซึ่งเรา "แยกออก" ทำให้เทียบเท่ากับฟังก์ชันศูนย์ ${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

กำหนดให้ปริภูมิเซมินอร์มที่มีเซมินอร์มให้ใช้สัญลักษณ์แทน ปริภูมิ ผลคูณโดย ที่การบวกเวกเตอร์นิยามว่า และการคูณสเกลาร์นิยามว่า ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$$${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

กำหนดฟังก์ชันใหม่ซึ่ง เป็นเซมินอร์มบนฟังก์ชันนี้จะเป็นนอร์มก็ต่อเมื่อทั้งหมดเป็นนอร์ม ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{i}}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนจริงแต่ละจำนวน แผนที่ที่กำหนดโดย เป็นเซมิ-นอร์ม สำหรับจำนวนจริงแต่ละจำนวนนี้ จะกำหนดปริภูมิเชิงโทโพโลยีเดียวกัน ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$${\displaystyle p}$

การให้เหตุผลอย่างตรงไปตรงมาโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้นแสดงให้เห็นว่า ปริภูมิเซมิ-นอร์มที่มีมิติจำกัดนั้น มีเพียงปริภูมิที่เกิดขึ้นจากผลคูณของปริภูมินอร์มกับปริภูมิที่มีเซมิ-นอร์มเป็นศูนย์เท่านั้น ดังนั้น ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้ที่น่าสนใจมากมายของปริภูมิเซมิ-นอร์มจึงเกิดขึ้นในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์

• ปริภูมิบานาคคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ซึ่งสมบูรณ์เมื่อเทียบกับเมตริกที่กำหนดโดยบรรทัดฐานนั้น
• Banach–Mazur Compactum  – แนวคิดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
• แมนิโฟลด์ฟินส์เลอร์ซึ่งความยาวของเวกเตอร์สัมผัสแต่ละตัวถูกกำหนดโดยนอร์ม
• ปริภูมิผลคูณภายในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน โดยที่บรรทัดฐานกำหนดโดยผลคูณภายใน
• เกณฑ์ความมีบรรทัดฐานของ Kolmogorov  – การกำหนดลักษณะของพื้นที่ที่มีบรรทัดฐาน
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีทอพอโลยีที่กำหนดโดยเซตเปิดแบบนูน
• อวกาศ (คณิตศาสตร์) – เซตทางคณิตศาสตร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้เคียง

• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูน ในพื้นที่คณิตศาสตร์ ไลต์เฟเดน. [ตำราคณิตศาสตร์]. บีจี ทอยบเนอร์, สตุ๊ตการ์ทไอเอสบีเอ็น 3-519-02224-9MR 0632257​ ​
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• บานาค, สเตฟาน (1932) Théorie des Opérations Linéaires [ ทฤษฎีการดำเนินการเชิงเส้น ] (PDF ) Monografie Matematyczne (เป็นภาษาฝรั่งเศส) ฉบับที่ 1. วอร์ซอ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej ซบีแอล 0005.20901 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่11-01-2014 สืบค้นเมื่อ2020-07-11 .
• โรเลวิช, สเตฟาน (1987), การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีการควบคุม: ระบบเชิงเส้น , คณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ (ชุดยุโรปตะวันออก), เล่มที่ 29 (แปลจากภาษาโปแลนด์โดย เอวา เบดนาร์ซุก บรรณาธิการ), ดอร์เดรชต์; วอร์ซอ: สำนักพิมพ์ ดี. ไรเดล; PWN—สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์โปแลนด์, หน้า xvi+524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6MR  0920371 , OCLC  13064804​
• Schaefer, HH (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่มาตรฐานในวิกิมีเดียคอมมอนส์