ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยคร่าว ๆ คือปริภูมิที่ความใกล้ชิดถูกกำหนดไว้ แต่ไม่จำเป็นต้องวัดได้ด้วยระยะ ทางเชิงตัวเลข กล่าวให้เจาะจงยิ่งขึ้น ปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือเซตที่มีสมาชิกเรียกว่าจุด พร้อมด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมที่เรียกว่าทอพอโลยี ซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของบริเวณใกล้เคียงสำหรับแต่ละจุดที่สอดคล้องกับสัจพจน์ บางประการที่ ทำให้แนวคิดเรื่องความใกล้ชิดเป็นไปอย่างเป็นทางการ มีนิยามของทอพอโลยีที่เทียบเท่ากันหลายแบบ ซึ่งแบบที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือนิยามผ่านเซตเปิด

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็น ปริภูมิทางคณิตศาสตร์ประเภททั่วไปที่สุดที่อนุญาตให้กำหนดขอบเขตความต่อเนื่องและการเชื่อมต่อ [ ^{1 ] [ 2 ] ปริภูมิ}เชิงทอพอโลยีประเภททั่วไป ได้แก่ปริภูมิยุคลิดปริภูมิเมตริกและแมนิโฟลด์

แม้ว่าแนวคิดเรื่องปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะกว้างมาก แต่ก็เป็นพื้นฐานสำคัญ และถูกนำไปใช้ในแทบทุกสาขาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยเฉพาะเรียกว่าทอพอโลยีทั่วไป (หรือทอพอโลยีเซตจุด)

ประมาณปี 1735 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ค้นพบสูตร ที่เชื่อมโยงจำนวนจุดยอด( ),ขอบ( )และหน้า( )ของทรงหลายเหลี่ยมนูนและด้วยเหตุนี้จึงเชื่อมโยงกับกราฟระนาบการศึกษาและการวางนัยทั่วไปของสูตรนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยโคชี (1789–1857) และลูอิลิเยร์ (1750–1840) ได้ส่งเสริมการศึกษาด้านโทโพโลยี ในปี 1827 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้ตีพิมพ์ ผล งานเรื่อง "การตรวจสอบทั่วไปของพื้นผิวโค้ง"ซึ่งในส่วนที่ 3 ได้นิยามพื้นผิวโค้งในลักษณะที่คล้ายคลึงกับความเข้าใจทางโทโพโลยีสมัยใหม่ ${\displaystyle V-E+F=2}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

อย่างไรก็ตาม “จนกระทั่ง งานของ Riemannในช่วงต้นทศวรรษ 1850 พื้นผิวต่างๆ มักจะถูกพิจารณาจากมุมมองเฉพาะที่ (ในฐานะพื้นผิวพาราเมตริก) และไม่เคยมีการพิจารณาประเด็นทางโทโพโลยีเลย” ^{[ 3 ]} “ ดูเหมือนว่า MöbiusและJordanจะเป็นคนแรกที่ตระหนักว่าปัญหาหลักเกี่ยวกับโทโพโลยีของพื้นผิว (แบบกระชับ) คือการค้นหาค่าคงที่ (โดยเฉพาะค่าตัวเลข) เพื่อตัดสินความเท่าเทียมกันของพื้นผิว นั่นคือ เพื่อตัดสินว่าพื้นผิวสองพื้นผิวเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกันหรือไม่” ^{[ 3 ]}

หัวข้อนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจนโดยเฟลิกซ์ ไคลน์ใน " โครงการเออร์ลังเงน " (1872) ของเขา: ตัวแปรทางเรขาคณิตของการแปลงต่อเนื่องตามอำเภอใจ ซึ่งเป็นเรขาคณิตชนิดหนึ่ง คำว่า "โทโพโลยี" ได้รับการแนะนำโดยโยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติงในปี 1847 แม้ว่าเขาจะใช้คำนี้ในการติดต่อสื่อสารเมื่อหลายปีก่อนหน้านั้น แทนที่จะใช้คำว่า "การวิเคราะห์ตำแหน่ง" ที่เคยใช้มาก่อน รากฐานของวิทยาศาสตร์นี้สำหรับพื้นที่ที่มีมิติใดๆ ก็ตาม ถูกสร้างขึ้นโดยอองรี ปวงกาเรบทความแรกของเขาเกี่ยวกับหัวข้อนี้ปรากฏในปี 1894 ^{[ 4 ]}ในช่วงทศวรรษ 1930 เจมส์ วาเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่ 2และฮัสเลอร์ วิทนีย์ได้แสดงความคิดเป็นครั้งแรกว่าพื้นผิวเป็นพื้นที่โทโพโลยีที่คล้ายกับระนาบยุคลิดในระดับท้องถิ่น

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้รับการนิยามครั้งแรกโดยเฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟในปี พ.ศ. 2457 ในหนังสือสำคัญของเขาเรื่อง "หลักการของทฤษฎีเซต" ปริภูมิเมตริกได้รับการนิยามไว้ก่อนหน้านี้ในปี พ.ศ. 2449 โดยมอริซ เฟรเชต์แม้ว่าเฮาส์ดอร์ฟจะเป็นผู้ทำให้คำว่า "ปริภูมิเมตริก" ( ภาษาเยอรมัน : metrischer Raum ) เป็นที่นิยม ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ประโยชน์ของแนวคิดเรื่องโทโพโลยีแสดงให้เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ นี้ ดังนั้นจึงเลือกการกำหนดสัจพจน์ที่เหมาะสมกับการใช้งาน นิยามที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือในแง่ของเซตเปิดแต่บางทีนิยามในแง่ของย่านใกล้เคียง อาจเข้าใจง่ายกว่า ดังนั้นจึงจะกล่าวถึงนิยามนี้ก่อน

การกำหนดสัจพจน์นี้มาจากเฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟให้เป็นเซต (อาจว่างเปล่า) สมาชิกของมักจะเรียกว่าจุดแม้ว่าจะเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ได้ ให้เป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้กับแต่ละ(จุด) ใน คอลเลกชัน ของเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า ของ สมาชิกของจะเรียกว่าย่านใกล้เคียงของเมื่อเทียบกับ(หรือเรียกง่ายๆ ว่าย่านใกล้เคียงของ ) ฟังก์ชันเรียกว่าโทโพโลยีของย่านใกล้เคียงถ้าสัจพจน์ด้านล่าง^{[ 7 ]}เป็นไปตามเงื่อนไข และจากนั้นจะเรียกว่าปริภูมิโทโพโลยี ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. ถ้าเป็นย่านใกล้เคียงของ(เช่น) แล้วกล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดแต่ละจุดในเซตเป็นสมาชิกของทุกย่านใกล้เคียงของมันเมื่อเทียบกับ${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x\in N.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}.}$
2. ถ้าเป็นเซตย่อยของและรวมถึงย่านใกล้เคียงของแล้วก็เป็นย่านใกล้เคียงของกล่าวคือ ทุกเซตย่อยของย่านใกล้เคียงของจุดก็เป็นย่านใกล้เคียงของ อีกด้วย${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x.}$
3. จุดตัดของสองย่านคือย่านหนึ่ง${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$
4. ย่านใดๆของจะรวมถึงย่านของเช่นนั้น ซึ่งเป็นย่านของแต่ละจุดของ${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M.}$

สัจพจน์สามข้อแรกสำหรับย่านใกล้เคียงมีความหมายที่ชัดเจน สัจพจน์ข้อที่สี่มีประโยชน์อย่างมากในโครงสร้างของทฤษฎี นั่นคือการเชื่อมโยงย่านใกล้เคียงของจุดต่างๆ เข้าด้วยกัน${\displaystyle X.}$

ตัวอย่างมาตรฐานของระบบย่านใกล้เคียงดังกล่าวคือเส้นจำนวนจริงโดยที่เซตย่อยของจำนวน จริง จะถูกกำหนดให้เป็นย่านใกล้เคียงของจำนวนจริงก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นรวมช่วงเปิดที่บรรจุจำนวนจริงนั้นไว้ด้วย${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

เมื่อกำหนดโครงสร้างดังกล่าว เซตย่อยของจะถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิดหากเป็นย่านใกล้เคียงของจุดทั้งหมดในเซตเปิดเหล่านี้จะสอดคล้องกับสัจพจน์ที่ระบุไว้ด้านล่างในคำจำกัดความถัดไปของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดเซตเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ย่านใกล้เคียงที่สอดคล้องกับสัจพจน์ข้างต้นสามารถกู้คืนได้โดยการกำหนดให้ เป็นย่านใกล้เคียงของหากรวมเซตเปิดเช่นนั้น^{[ 8 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U.}$

โทโพโลยีบนเซตXอาจถูกนิยามเป็นชุดของเซตย่อยของXซึ่งเรียกว่าเซตเปิดและเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}${\displaystyle \tau }$

1. เซตว่างและตัวมันเองเป็นของ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$
2. การรวมกันของสมาชิกใดๆ (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจำกัดหรืออนันต์) ของ ล้วนเป็นสมาชิกของ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau .}$
3. จุดตัดของสมาชิกจำนวนจำกัดใดๆ ของเป็นสมาชิกของ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau .}$

เนื่องจากนิยามของโทโพโลยีนี้เป็นนิยามที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ดังนั้นเซตของเซตเปิดจึงมักถูกเรียกว่าโทโพโลยีบน${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$

กล่าวได้ว่า เซตย่อยใดเป็นเซตปิดใน เซตเปิด ถ้าเซตส่วนเติมเต็ม ของมัน เป็นเซตเปิด โปรดสังเกตว่าจากนิยามนี้ จะได้ว่าเซตว่างและเซตเปิดเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดในเวลาเดียวกัน นั่นคือ เซตทั้งสองเป็นส่วนเติมเต็มซึ่งกันและกัน ในขณะที่แต่ละเซตเองก็เป็นเซตเปิด โดยทั่วไปแล้ว เซตย่อยใด ๆ ของเซตเปิดที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าเซตปิดเปิด${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X\setminus C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. เมื่อพิจารณาโทโพโลยีที่ไม่สำคัญหรือไม่ต่อเนื่อง บน กลุ่มที่ประกอบด้วยเพียงสองเซตย่อยของที่กำหนดโดยสัจพจน์จะก่อให้เกิดโทโพโลยีบน${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. เมื่อพิจารณาตระกูลของเซตย่อยหกเซตของรูปแบบแล้ว โทโพโลยีอีกแบบหนึ่งของ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$$${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
3. กำหนดให้โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบนคือเซตกำลังของซึ่งเป็นตระกูลที่ประกอบด้วยเซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมดของในกรณีนี้ พื้นที่โทโพโลยีเรียกว่าพื้นที่แบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau =\wp (X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle (X,\tau )}$
4. เมื่อกำหนดเซตของจำนวนเต็มแล้ว กลุ่มของเซตย่อยจำกัดทั้งหมดของจำนวนเต็มบวกกับตัวมันเองนั้นไม่ใช่โทโพโลยี เพราะ (ตัวอย่างเช่น) การรวมกันของเซตจำกัดทั้งหมดที่ไม่ประกอบด้วยศูนย์นั้นไม่ใช่เซตจำกัด และดังนั้นจึงไม่ใช่สมาชิกของกลุ่มเซตจำกัด การรวมกันของเซตจำกัดทั้งหมดที่ไม่ประกอบด้วยศูนย์นั้นก็ไม่ใช่ "ทั้งหมดของ" และดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ในกลุ่ม เซตจำกัดได้${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \tau .}$

โดยใช้กฎของเดอ มอร์แกน สัจพจน์ข้างต้นที่กำหนดเซตเปิดจะกลายเป็นสัจพจน์ที่กำหนดเซตปิด :

1. เซตว่างและเป็นเซตปิด${\displaystyle X}$
2. จุดตัดของกลุ่มเซตปิดใดๆ ก็เป็นเซตปิดเช่นกัน
3. การรวมกันของเซตปิดจำนวนจำกัดใดๆ ก็เป็นเซตปิดเช่นกัน

โดยใช้สัจพจน์เหล่านี้ อีกวิธีหนึ่งในการนิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือ การเป็นเซตพร้อมกับกลุ่มของเซตย่อยปิดของดังนั้นเซตในทอพอโลยีจึงเป็นเซตปิด และส่วนเติมเต็มของเซตเหล่านั้นในคือเซตเปิด ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

ยังมีวิธีอื่น ๆ อีกมากมายที่เทียบเท่ากันในการกำหนดพื้นที่เชิงทอพอโลยี กล่าวคือ แนวคิดเรื่องย่านใกล้เคียง หรือแนวคิดเรื่องเซตเปิดหรือเซตปิด สามารถสร้างขึ้นใหม่จากจุดเริ่มต้นอื่น ๆ และสอดคล้องกับสัจพจน์ที่ถูกต้องได้

อีกวิธีหนึ่งในการนิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือการใช้สัจพจน์การปิดของคุราตอฟสกีซึ่งนิยามเซตปิดว่าเป็นจุดตรึงของตัวดำเนินการบนเซตกำลังของ${\displaystyle X.}$

เน็ตคือการขยายแนวคิดของลำดับ โทโพโล ยีจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเน็ตในเซตของจุดสะสมถูกกำหนดไว้แล้ว ${\displaystyle X}$

สามารถกำหนดโทโพโลยีได้หลายแบบบนเซตเพื่อสร้างปริภูมิโทโพโลยี เมื่อเซตเปิดทุกเซตของโทโพโลยี หนึ่ง เป็นเซตเปิดสำหรับโทโพโลยีอีกแบบหนึ่งด้วยเราจะกล่าวว่าโทโพโลยีนั้นละเอียดกว่าและโท โพโลยี นั้นหยาบกว่าการพิสูจน์ที่อาศัยเพียงการมีอยู่ของเซตเปิดบางเซตจะใช้ได้กับโทโพโลยีที่ละเอียดกว่าทุกแบบ และในทำนองเดียวกัน การพิสูจน์ที่อาศัยเพียงเซตบางเซตที่ไม่เป็นเซตเปิดจะใช้ได้กับโทโพโลยีที่หยาบกว่าทุกแบบ คำว่าใหญ่กว่าและเล็กกว่าบางครั้งใช้แทนคำว่าละเอียดกว่าและหยาบกว่าตามลำดับ คำว่าแข็งแกร่งกว่าและอ่อนแอกว่าก็ใช้ในเอกสารเช่นกัน แต่มีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับความหมาย ดังนั้นจึงควรแน่ใจเสมอว่าผู้เขียนใช้คำตามแบบแผนใดเมื่ออ่านงานเขียนของตน ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2},}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1},}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}.}$

ชุดของโทโพโลยีทั้งหมดบนเซตคงที่ที่กำหนดให้ก่อให้เกิดแลตทิซสมบูรณ์ : ถ้าเป็นชุดของโทโพโลยีบนแล้วผลรวมของคือจุดตัดของและการเชื่อมต่อของคือผลรวมของชุดของโทโพโลยีทั้งหมดบนที่ประกอบด้วยสมาชิกทุกตัวของ${\displaystyle X}$${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F.}$

ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าต่อเนื่องถ้าสำหรับทุก ๆและทุกย่านใกล้เคียงของจะ มีย่านใกล้เคียงของเช่นนั้นซึ่งสัมพันธ์กับนิยามปกติในการวิเคราะห์ได้ง่าย เทียบเท่ากับ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อภาพผกผันของเซตเปิดทุกเซตเป็นเซตเปิด^{[ 10 ]} นี่เป็นความพยายามที่จะจับภาพสัญชาตญาณว่าไม่มี "การกระโดด" หรือ "การแยก" ในฟังก์ชัน โฮมีโอเมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่ต่อเนื่องและฟังก์ชันผกผัน ของมัน ก็ต่อเนื่องเช่นกัน ปริภูมิสองปริภูมิเรียกว่าโฮมีโอเมอร์ฟิกกัน ถ้ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิทั้งสอง จากมุมมองของทอพอโลยี ปริภูมิโฮมีโอเมอร์ฟิกกันนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน^{[ 11 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$${\displaystyle f}$

ในทฤษฎี หมวดหมู่ หนึ่งในหมวดหมู่ พื้นฐาน คือTopซึ่งหมายถึงหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีวัตถุเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและมีมอร์ฟิ ซึม เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ความพยายามในการจำแนกวัตถุของหมวดหมู่นี้ ( จนถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ) โดยใช้ตัวแปรคงที่ได้กระตุ้นให้เกิดการวิจัยในหลายสาขา เช่นทฤษฎีโฮโมโทปีทฤษฎีโฮโมโลยีและทฤษฎี K

เซตหนึ่งๆ อาจมีโทโพโลยีที่แตกต่างกันได้หลายแบบ ถ้าเซตใดมีโทโพโลยีที่แตกต่างกัน ก็จะมองว่าเซตนั้นเป็นปริภูมิโทโพโลยีที่แตกต่างกัน เซตใดๆ ก็สามารถมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องได้โดยที่ทุกเซตย่อยเป็นเซตเปิด ลำดับหรือเน็ตที่ลู่เข้าในโทโพโลยีแบบนี้จะมีเฉพาะลำดับหรือเน็ตที่มีค่าคงที่ในที่สุดเท่านั้น นอกจากนี้ เซตใดๆ ก็สามารถมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องได้ (หรือเรียกว่าโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง) โดยที่เฉพาะเซตว่างและปริภูมิทั้งหมดเป็นเซตเปิด ทุกลำดับและเน็ตในโทโพโลยีแบบนี้จะลู่เข้าสู่ทุกจุดในปริภูมิ ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าในปริภูมิโทโพโลยีทั่วไป ลิมิตของลำดับไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว อย่างไรก็ตาม ปริภูมิโทโพโลยีมักจะต้องเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟซึ่งจุดลิมิตจะมีเพียงหนึ่งเดียว

บน เซตจำกัดใดๆ ก็ตาม มีโทโพโลยีอยู่มากมายปริภูมิเหล่านี้เรียกว่าปริภูมิโทโพโลยีจำกัดบางครั้งปริภูมิจำกัดถูกนำมาใช้เพื่อยกตัวอย่างหรือค้านข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับปริภูมิโทโพโลยีโดยทั่วไป

เซตใดๆ ก็สามารถกำหนดโทโพโลยีโคไฟไนต์ได้โดยที่เซตเปิดคือเซตว่างและเซตที่มีส่วนเติมเต็มเป็นเซตจำกัด นี่คือ โทโพโลยี T ₁ ที่เล็กที่สุด บนเซตอนันต์ใดๆ^{[ 12 ]}

เซตใดๆ ก็สามารถกำหนดโทโพโลยีแบบนับได้ร่วมได้โดยที่เซตจะถูกนิยามว่าเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อเซตนั้นว่างเปล่าหรือส่วนเติมเต็มของเซตนั้นสามารถนับได้ ในกรณีที่เซตนั้นไม่สามารถนับได้ โทโพโลยีนี้จะทำหน้าที่เป็นตัวอย่างค้านในหลายสถานการณ์

เส้นจำนวนจริงสามารถกำหนดโทโพโลยีขีดจำกัดล่าง ได้เช่น กัน ในที่นี้ เซตเปิดพื้นฐานคือช่วงครึ่งเปิด โทโพโลยีนี้บน เส้น จำนวนจริงนั้นละเอียดกว่าโทโพโลยีแบบยุคลิดที่กำหนดไว้ข้างต้นอย่างเคร่งครัด ลำดับจะลู่เข้าสู่จุดในโทโพโลยีนี้ก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าจากด้านบนในโทโพโลยีแบบยุคลิดเท่านั้น ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าเซตหนึ่งอาจมีโทโพโลยีที่แตกต่างกันหลายแบบที่กำหนดไว้บนเซตนั้น ${\displaystyle [a,b).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ถ้าเป็นจำนวนเชิงอันดับเซตอาจมีโทโพโลยีเชิงอันดับที่สร้างขึ้นโดยช่วงและโดยที่และเป็นสมาชิกของ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$${\displaystyle (\อัลฟา ,\เบต้า ),}$${\displaystyle [0,\beta ),}$${\displaystyle (\อัลฟา ,\แกมมา )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma .}$

แมนิโฟลด์ทุกอันมีโทโพโลยีตามธรรมชาติเนื่องจากมันเป็นแบบยุคลิดในระดับท้องถิ่น ในทำนองเดียวกันซิมเพล็กซ์ ทุกอัน และคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ทุกอัน ก็สืบทอดโทโพโลยีตามธรรมชาติมาจาก แมนิโฟลด์เช่นกัน

ปริภูมิเซียร์ปินสกี (Sierpiński space)เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่แยกส่วนที่ง่ายที่สุด มีความสัมพันธ์ที่สำคัญกับทฤษฎีการคำนวณและความหมาย

เซตย่อยทุกเซตของปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดทอพอโลยีของปริภูมิย่อยได้ โดยที่เซตเปิดคือจุดตัดของเซตเปิดของปริภูมิที่ใหญ่กว่ากับเซตย่อยนั้น สำหรับตระกูลของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีดัชนีใดๆ ผลคูณสามารถกำหนดทอพอโลยีของ ผลคูณได้ ซึ่งสร้างขึ้นจากภาพผกผันของเซตเปิดของตัวประกอบภายใต้ การแมป การฉายภาพตัวอย่างเช่น ในผลคูณจำกัด ฐานสำหรับทอพอโลยีของผลคูณประกอบด้วยผลคูณทั้งหมดของเซตเปิด สำหรับผลคูณอนันต์ มีข้อกำหนดเพิ่มเติมว่าในเซตเปิดพื้นฐาน การฉายภาพทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด จะเป็นปริภูมิทั้งหมด การสร้างนี้เป็นกรณีพิเศษของ ทอพอโล ยี เริ่มต้น

ปริภูมิผลหารถูกนิยามดังนี้: ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และเป็นเซต และถ้าเป็นฟังก์ชันทั่วถึง แล้วทอพอโลยีผลหารบนคือกลุ่มของเซตย่อยของที่มีภาพผกผันแบบ เปิด ภายใต้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทอพอโลยีผลหารคือทอพอโลยีที่ละเอียดที่สุดบนสำหรับ ซึ่งมีความต่อเนื่อง ตัวอย่างทั่วไปของทอพอโลยีผลหารคือเมื่อมีการกำหนดความสัมพันธ์สมมูล บนปริภูมิเชิงทอพอ โลยี แผนที่คือการฉายภาพตามธรรมชาติบนเซตของชั้นสมมูลการสร้างนี้เป็นกรณีพิเศษของ ทอพอโล ยี สุดท้าย${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$

ปริภูมิเมตริกแสดงถึงเมตริกซึ่งเป็นแนวคิดที่แม่นยำเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ

ปริภูมิเมตริกทุก ปริภูมิ สามารถกำหนดโทโพโลยีเมตริกได้ โดยที่เซตเปิดพื้นฐานคือลูกบอลเปิดที่กำหนดโดยเมตริก นี่คือโทโพโลยีมาตรฐานในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีนอร์ม ใดๆ ใน ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดโทโพโลยีนี้จะเหมือนกันสำหรับทุกนอร์ม

มีหลายวิธีในการกำหนดโทโพโลยีบนเซตของจำนวนจริงโทโพโลยีมาตรฐานบน เซตของจำนวนจริงนั้น สร้างขึ้นจากช่วงเปิดเซตของช่วงเปิดทั้งหมดเป็นฐานหรือฐานสำหรับโทโพโลยี ซึ่งหมายความว่าเซตเปิดทุกเซตเป็นผลรวมของกลุ่มเซตจากฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเซตหนึ่งเป็นเซตเปิดหากมีช่วงเปิดที่มีรัศมีไม่เป็นศูนย์รอบทุกจุดในเซตนั้น โดยทั่วไปแล้วปริภูมิยุคลิดสามารถกำหนดโทโพโลยีได้ ในโทโพโลยีปกติบนเซตของจำนวนจริง เซตเปิดพื้นฐานคือลูกบอล เปิด ในทำนองเดียวกันเซตของจำนวนเชิงซ้อน , และก็มีโทโพโลยีมาตรฐานซึ่งเซตเปิดพื้นฐานคือลูกบอลเปิด ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

สำหรับวัตถุเชิงพีชคณิต ใดๆ เราสามารถนำเสนอโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องได้ ซึ่งภายใต้โทโพโลยีนี้ การดำเนินการทางพีชคณิตจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง สำหรับโครงสร้างใดๆ ที่ไม่ใช่แบบจำกัด เรามักจะมีโทโพโลยีตามธรรมชาติที่เข้ากันได้กับการดำเนินการทางพีชคณิต ในแง่ที่ว่าการดำเนินการทางพีชคณิตยังคงต่อเนื่องอยู่ สิ่งนี้ทำให้เกิดแนวคิดต่างๆ เช่นกลุ่มโทโพโลยีวงแหวนโทโพโลยี ฟิลด์โทโพโลยีและปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีเหนือปริภูมิเหล่านั้นฟิลด์เฉพาะที่ (Local fields)เป็นฟิลด์โทโพโลยีที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน

โทโพโลยีซาริสกีถูกนิยามทางพีชคณิตบนสเปกตรัมของริงหรือวาไรตีทางพีชคณิตเซตปิดของโทโพโลยีซาริสกีคือเซตคำตอบของระบบสมการ พหุนาม${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

• สเปกตรัม : ปริภูมิจะเป็นสเปกตรัมก็ต่อเมื่อมันเป็นสเปกตรัมเฉพาะของริง ( ทฤษฎีบท ของฮอคสเตอร์ )
• ลำดับก่อนความเฉพาะทาง : ในปริภูมิหนึ่งลำดับก่อนความเฉพาะทาง (หรือลำดับก่อนความมาตรฐาน )ถูกกำหนดโดยก็ต่อเมื่อโดยที่หมายถึงตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับ สัจพจน์การปิด ของKuratowski${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

ถ้าเป็นตัวกรองบนเซตแล้วจะเป็นโทโพโลยีบนเซตนั้น${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$${\displaystyle X.}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นหลายชุดใน คณิตศาสตร์ วิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมีโทโพโลยีที่กำหนดโดยการระบุว่าลำดับของฟังก์ชันเฉพาะนั้นลู่เข้าสู่ฟังก์ชันศูนย์เมื่อใด

กราฟเชิงเส้นมีโทโพโลยีตามธรรมชาติที่สรุปคุณลักษณะทางเรขาคณิตหลายประการของกราฟที่มีจุดยอดและเส้น เชื่อม

พื้นที่ภายนอกของกลุ่มอิสระ ประกอบด้วยสิ่งที่เรียกว่า "โครงสร้างกราฟเมตริกที่มีเครื่องหมาย" ของเล่ม 1 ใน^{[ 13 ]}${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}.}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถจำแนกได้อย่างกว้างๆ โดยพิจารณาจากคุณสมบัติเชิงทอพอโลยี คุณสมบัติเชิงทอพอโลยีคือคุณสมบัติของปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึม การพิสูจน์ว่าปริภูมิสองปริภูมิไม่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกันนั้น เพียงพอที่จะหาคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีที่ปริภูมิทั้งสองไม่มีร่วมกัน ตัวอย่างของคุณสมบัติดังกล่าว ได้แก่การเชื่อมต่อความกะทัดรัดและสัจพจน์การแยก ต่างๆ สำหรับตัวแปรคงที่เชิงพีชคณิต โปรดดูที่ ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

• พีชคณิตเฮย์ติงสมบูรณ์ – ระบบของเซตเปิดทั้งหมดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กำหนดให้ ซึ่งเรียงลำดับตามการรวม เป็นพีชคณิตเฮย์ติงสมบูรณ์
• พื้นที่ขนาดกะทัดรัด  – ประเภทของพื้นที่ทางคณิตศาสตร์
• พื้นที่การบรรจบกัน  – การขยายแนวคิดเรื่องการบรรจบกันที่พบในโทโพโลยีทั่วไป
• พื้นที่ภายนอก
• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• ปริภูมิฮิลเบิร์ต  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ในทางคณิตศาสตร์
• ความต่อเนื่องครึ่งหนึ่ง  – ความต่อเนื่องแบบกึ่งสำหรับฟังก์ชันค่าเซต
• ปริภูมิย่อยเชิงเส้น  – ในทางคณิตศาสตร์ คือ ปริภูมิย่อยเวกเตอร์
• โทโพโลยีที่ไร้ประโยชน์
• พื้นที่กึ่งโทโพโลยี  – หน้าที่ในทางโทโพโลยี
• ปริภูมิย่อยที่ค่อนข้างกะทัดรัด  – เซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งส่วนปิดของเซตย่อยนั้นกะทัดรัด
• อวกาศ (คณิตศาสตร์)  – เซตทางคณิตศาสตร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง

• อาร์มสตรอง, MA (1983) [1979]. โทโพโลยีพื้นฐาน . ตำราคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี . สปริงเกอร์. ISBN 0-387-90839-0.
• เบรดอน, เกล็น อี. , โทโพโลยีและเรขาคณิต (ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์), สปริงเกอร์; ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1 (17 ตุลาคม 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• บูร์บากิ, นิโคลัส ; องค์ประกอบของคณิตศาสตร์: โทโพโลยีทั่วไป , แอดดิสัน-เวสลีย์ (1966)
• บราวน์, โรนัลด์ (2006). โทโพโลยีและกรุปอยด์ . บุ๊คเซิร์จ. ISBN 1-4196-2722-8.(ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3 ของหนังสือที่มีชื่อเรื่องแตกต่างกัน)
• Čech, Eduard ; ชุดจุด , Academic Press (1969).
• ฟุลตัน, วิลเลียม , โทโพโลยีเชิงพีชคณิต (ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา), สปริงเกอร์; ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1 (5 กันยายน 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). คู่มือทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสำหรับพื้นผิวขนาดกะทัดรัด Springer.
• เกาส์, คาร์ล ฟรีดริช (1827). การตรวจสอบทั่วไปของพื้นผิวโค้ง .
• ลิปชุทซ์, ซีมัวร์; โครงร่างโทโพโลยีทั่วไปของ Schaum , McGraw-Hill; พิมพ์ครั้งที่ 1 (1 มิถุนายน 2511) ไอเอสบีเอ็น 0-07-037988-2.
• มุนเครส, เจมส์ ; โทโพโลยี , เพรนทิส ฮอลล์; ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 (28 ธันวาคม 1999) ISBN 0-13-181629-2.
• รุนเดอ, โฟลเกอร์; รสชาติแห่งโทโพโลยี (Universitext) , สปริงเกอร์; ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1 (6 กรกฎาคม 2548) ISBN 0-387-25790-X.
• ชูเบิร์ต, ฮอร์สต์ (1968), โทโพโลยี , แมคโดนัลด์ เทคนิคัล แอนด์ ไซเอนซ์, ISBN 0-356-02077-0
• Steen, Lynn A.และSeebach, J. Arthur Jr. ; ตัวอย่างค้านในโทโพโลยี , Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Vaidyanathaswamy, R. (1999). ทฤษฎีเซต . สำนักพิมพ์เชลซี. ISBN 0486404560.
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004). โทโพโลยีทั่วไป . สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 0-486-43479-6.

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเชิงทอพอโลยี

• "ปริภูมิเชิงทอพอโลยี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]( เก็บถาวร )