ในทางคณิตศาสตร์แลตทิซสมบูรณ์คือเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งเซตย่อยทั้งหมดมีทั้งค่าสูงสุด ( join ) และค่าต่ำสุด ( meet ) แลตทิซสมบูรณ์แบบมีเงื่อนไขจะตรงตามคุณสมบัติอย่างน้อยหนึ่งข้อสำหรับเซตย่อยที่มีขอบเขตและไม่ว่างเปล่า สำหรับการเปรียบเทียบ ในแลตทิซ ทั่วไป มีเพียงคู่ของสมาชิกเท่านั้นที่จำเป็นต้องมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด แลตทิซจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าทุกอันเป็นแลตทิซสมบูรณ์ แต่แลตทิสอดันต์อาจไม่สมบูรณ์

แลตทิซสมบูรณ์ปรากฏในงานประยุกต์หลายด้านในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทั้งทฤษฎีลำดับและพีชคณิตสากลต่างศึกษาแลตทิซสมบูรณ์ในฐานะแลตทิซประเภทพิเศษ

ไม่ควรสับสนระหว่างแลตทิซสมบูรณ์กับลำดับบางส่วนสมบูรณ์ (CPO) ซึ่งเป็นกลุ่มทั่วไปของเซตที่มีลำดับบางส่วน แลตทิซสมบูรณ์ที่เฉพาะเจาะจงกว่า ได้แก่พีชคณิตบูลีนสมบูรณ์และพีชคณิตเฮย์ติงสมบูรณ์ (โลเคิล)

แลตทิซสมบูรณ์คือเซตที่มีลำดับบางส่วน ( L , ≤) ซึ่งทุกเซตย่อยAของLมีทั้งขอบล่างที่มากที่สุด ( อินฟิมัมหรือมีท ) และขอบบนที่น้อยที่สุด ( ซูพรีมัมหรือจอยน์ ) ใน ( L , ≤)

เครื่องหมายแทนจุดบรรจบและเครื่องหมายแทนจุดเชื่อมต่อ ${\displaystyle \bigwedge A}$${\displaystyle \bigvee A}$

ในกรณีพิเศษที่Aเป็นเซตว่างผลรวมของAจะเป็นสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของLในทำนองเดียวกัน ผลรวมของเซตว่างจะเป็นสมาชิกที่เล็กที่สุดของLดังนั้น แลตทิซสมบูรณ์จึงเป็นแลตทิซที่มีขอบเขต ประเภท พิเศษ

ซับแลตติซMของแลตติซสมบูรณ์Lเรียกว่าซับแลตติซสมบูรณ์ของLถ้าสำหรับทุกเซตย่อย^Aของ M องค์ประกอบและตามที่กำหนดไว้ในL อยู่ใน Mจริงๆ^{[ 1} ]${\displaystyle \bigwedge A}$${\displaystyle \bigvee A}$

หากลดข้อกำหนดข้างต้นลงเหลือเพียงการบรรจบและการ เชื่อม ต่อที่ไม่ว่างเปล่าในMโครงสร้างย่อยMจะเรียกว่าโครงสร้างย่อยปิดของL

คำว่าcomplete meet-semilatticeหรือcomplete join-semilatticeเป็นอีกวิธีหนึ่งในการอ้างถึงแลตติซที่สมบูรณ์ เนื่องจากสามารถแสดงการตัดกันแบบใดก็ได้ในรูปของการเชื่อมต่อแบบใดก็ได้ และในทางกลับกัน (สำหรับรายละเอียด โปรดดูที่ความสมบูรณ์ )

อีกหนึ่งการใช้งานของ "โครงข่ายกึ่งเส้นเชื่อมสมบูรณ์" หมายถึง โครงข่ายกึ่งเส้นเชื่อมที่มีขอบเขตสมบูรณ์และมีลำดับสมบูรณ์บางส่วนแนวคิดนี้อาจกล่าวได้ว่าเป็นแนวคิดที่ "สมบูรณ์ที่สุด" ของโครงข่ายกึ่งเส้นเชื่อมที่ยังไม่ใช่โครงข่ายสมบูรณ์ (อันที่จริง อาจมีเพียงองค์ประกอบบนสุดเท่านั้นที่ขาดหายไป)

โปรดดูเซมิแลตติสสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเปรียบเทียบระหว่างคำจำกัดความทั้งสอง

แลตทิซจะเรียกว่า " สมบูรณ์ตามเงื่อนไข " หากเป็นไปตาม คุณสมบัติข้อ ใดข้อหนึ่งหรือทั้งสองข้อต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

• เซตย่อย ที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่มีขอบเขตบนจะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด
• เซตย่อย ที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่มีขอบเขตล่างจะมีขอบเขตล่างที่มากที่สุด

• แลตทิซจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ก็ตาม ถือว่าสมบูรณ์โดยปริยาย
• เซตกำลังของเซตที่กำหนดเมื่อเรียงลำดับตามการรวม ค่าสูงสุดได้จากผล รวมของ เซตย่อยและค่าต่ำสุดได้จากผลตัดกันของเซตย่อย
• จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเรียงลำดับตามการหาร ลงตัว สมาชิกที่เล็กที่สุดในโครงสร้างนี้คือ 1 เนื่องจากหารจำนวนอื่นได้ลงตัว ที่น่าประหลาดใจคือ สมาชิกที่ใหญ่ที่สุดคือ 0 เพราะหารด้วยจำนวนอื่นได้ลงตัวเช่นกัน ค่าสูงสุด (supremum) ของเซตจำกัดหาได้จากตัวคูณร่วมน้อยที่สุดและค่าต่ำสุด (infimum) หาได้จากตัวหารร่วมมากสำหรับเซตอนันต์ ค่าสูงสุดจะเป็น 0 เสมอ ในขณะที่ค่าต่ำสุดอาจมากกว่า 1 ได้ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนคู่ทั้งหมดมี 2 เป็นตัวหารร่วมมาก ถ้าลบ 0 ออกจากโครงสร้างนี้ มันยังคงเป็นโครงสร้างแบบแลตทิซ แต่จะไม่สมบูรณ์อีกต่อไป
• กลุ่มย่อยของกลุ่มใดๆ ภายใต้การรวม (ในขณะที่ค่าต่ำสุดในที่นี้คือการตัดกันทางทฤษฎีเซตตามปกติค่าสูงสุดของเซตของกลุ่มย่อยคือกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยการรวมกันทางทฤษฎีเซตของกลุ่มย่อย ไม่ใช่การรวมกันทางทฤษฎีเซตเอง) ถ้าeคือเอกลักษณ์ของGแล้วกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ { e } คือ กลุ่มย่อย ต่ำสุดของGในขณะที่ กลุ่มย่อย สูงสุดคือกลุ่มGเอง
• อุดมคติของวงแหวนเมื่อเรียงลำดับตามการรวม อุดมคติสูงสุดได้จากผลรวมของอุดมคติ และอุดมคติต่ำสุดได้จากส่วนตัดกัน
• เซตเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยี เมื่อเรียงลำดับตามการรวม เซตสูงสุดได้จากการรวมกันของเซตเปิด และเซตต่ำสุดได้จากส่วนภายในของจุดตัด
• เซตย่อยที่มีขอบเขตของจำนวนจริงที่มีลำดับปกติ ≤ จะประกอบกันเป็นแลตทิซสมบูรณ์
• จำนวนจริงที่มีลำดับปกติ ≤ จะสร้างแลตทิซที่สมบูรณ์แบบมีเงื่อนไข แต่ไม่ใช่แลตทิซที่สมบูรณ์ เนื่องจากลำดับอาจมีค่ามากหรือน้อยตามอำเภอใจ อย่างไรก็ตาม แลตทิซที่สมบูรณ์จะเกิดขึ้นได้จากการเพิ่ม+∞และ−∞ เข้าไป ซึ่งจะสร้างเป็นเส้นจำนวนจริงแบบขยาย
• จำนวนธรรมชาติที่มีลำดับปกติ ≤ ก่อให้เกิดแลตทิซที่สมบูรณ์แบบมีเงื่อนไข และจำนวนธรรมชาติแบบขยาย (ซึ่งต่อท้ายด้วย+∞ ) ก่อให้เกิดแลตทิซที่สมบูรณ์
• จำนวนเชิงลำดับและจำนวนเชิงปริมาณก่อให้เกิดโครงข่ายสมบูรณ์แบบมีเงื่อนไข

• เซตว่างไม่ใช่แลตทิซสมบูรณ์ ถ้าหากเป็นแลตทิซสมบูรณ์แล้ว เซตว่างจะมีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดอยู่ในเซตว่าง ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง
• จำนวนตรรกยะที่ มีลำดับปกติ ≤ ไม่ใช่แลตทิซที่สมบูรณ์ มันเป็นแลตทิซที่มีและอย่างไรก็ตามตัวมันเองไม่มีค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด และ ก็ไม่มีเช่นกัน${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \bigwedge \{x,y\}=\min\{x,y\}}$${\displaystyle \bigvee \{x,y\}=\max\{x,y\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}}$

A complete lattice L is said to be locally finite if the supremum of any infinite subset is equal to the supremal element. Denoting this supremal element "1", the condition is equivalently that the set ${\displaystyle \{y\in L~|~y\leq x\}\,\!}$ is finite for any ${\displaystyle 1\neq x\in L}$. This notation may clash with other notation, as in the case of the lattice (N, |), i.e., the non-negative integers ordered by divisibility. In this locally finite lattice, the infimal element denoted "0" for the lattice theory is the number 1 in the set N and the supremal element denoted "1" for the lattice theory is the number 0 in the set N.

The traditional morphisms between complete lattices, taking the complete lattices as the objects of a category, are the complete homomorphisms (or complete lattice homomorphisms). These are characterized as functions that preserve all joins and all meets. Explicitly, this means that a function ⁠${\displaystyle f:L\to M}$⁠ between two complete lattices L and M is a complete homomorphism if

• ${\displaystyle f\left(\bigwedge A\right)=\bigwedge \{f(a)\mid a\in A\}}$ and
• ${\displaystyle f\left(\bigvee A\right)=\bigvee \{f(a)\mid a\in A\}}$,

for all subsets A of L. Such functions are automatically monotonic, but the condition of being a complete homomorphism is in fact much more specific. For this reason, it can be useful to consider weaker notions of morphisms, such as those that are only required to preserve all joins (giving a categorySup) or all meets (giving a category Inf), which are indeed inequivalent conditions. These notions may also be considered as homomorphisms of complete meet-semilattices or complete join-semilattices, respectively.

Furthermore, morphisms that preserve all joins are equivalently characterized as the lower adjoint part of a unique Galois connection. For any pair of preorders X and Y, a Galois connection is given by a pair of monotone functions f and g from X to Y such that for each pair of elements x of X and y of Y

${\displaystyle f(x)\leq y\iff x\leq g(y)}$

โดยที่fเรียกว่าตัวผกผันล่างและgเรียกว่าตัวผกผันบนตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน แผนที่เอกภาคระหว่างแลตทิซสมบูรณ์สองคู่ใดๆ จะรักษาการเชื่อมต่อทั้งหมดไว้ก็ต่อเมื่อเป็นตัวผกผันล่าง และจะรักษาการพบกันทั้งหมดไว้ก็ต่อเมื่อเป็นตัวผกผันบน

ด้วยเหตุนี้ มอร์ฟิซึมที่รักษาการเชื่อมต่อแต่ละตัวจึงกำหนดแอดจอยต์บนที่ ไม่ซ้ำกัน ในทิศทางผกผันซึ่งรักษาจุดตัดทั้งหมดไว้ ด้วยเหตุนี้ การพิจารณาแลตติซที่สมบูรณ์ด้วยมอร์ฟิซึมเซมิแลตติซที่สมบูรณ์ (ไม่ว่าจะเป็นแบบรักษาการเชื่อมต่อหรือแบบรักษาจุดตัด) จึงลดทอนลงเหลือเพียงการพิจารณาการเชื่อมต่อกาโลอิสเป็นมอร์ฟิซึมแลตติซ นอกจากนี้ยังให้ข้อมูลเชิงลึกว่า มอร์ฟิซึมสามประเภทที่กล่าวถึงข้างต้นนั้นโดยพื้นฐานแล้วอธิบายแลตติซที่สมบูรณ์เพียงสองประเภทที่แตกต่างกันเท่านั้น คือ ประเภทหนึ่งที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่สมบูรณ์ และอีกประเภทหนึ่งที่มีการเชื่อมต่อกาโลอิสซึ่งจับทั้งฟังก์ชันที่รักษาจุดตัด (แอดจอยต์บน) และ การแมป คู่ที่รักษาการเชื่อมต่อ (แอดจอยต์ล่าง)

กรณีพิเศษที่สำคัญอย่างยิ่งเกิดขึ้นระหว่างแลตทิซของเซตย่อยของXและYกล่าวคือ เซตกำลัง⁠ ⁠${\displaystyle P(X)}$และ⁠ ⁠${\displaystyle P(Y)}$โดยกำหนดฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f}$จากXไปยังYในกรณีเหล่านี้ แผนที่ภาพตรงและภาพผกผันที่เกิดจาก⁠ ⁠${\displaystyle f}$ระหว่างเซตกำลังจะเป็นตัวผกผันบนและตัวผกผันล่างของกันและกันตามลำดับ

การสร้างวัตถุอิสระขึ้นอยู่กับคลาสของมอร์ฟิซึมที่เลือก ฟังก์ชันที่รักษาการเชื่อมต่อทั้งหมด (เช่น ตัวผกผันล่างของการเชื่อมต่อกาโลอิส) เรียกว่าเซมิแลตทิซการเชื่อมต่อสมบูรณ์อิสระ

นิยามมาตรฐานจากพีชคณิตสากลระบุว่า แลตทิซสมบูรณ์อิสระเหนือเซตก่อกำเนิดคือ แลตทิซสมบูรณ์พร้อมกับฟังก์ชันโดยที่ฟังก์ชันใดๆจากไปยังเซตพื้นฐานของแลตทิซสมบูรณ์บางตัวสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันผ่านมอร์ฟิซึมจากไปยังซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกองค์ประกอบของและเป็นมอร์ฟิซึมเดียวที่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของเซตและฟังก์ชันไปยังหมวดหมู่ของแลตทิซสมบูรณ์และฟังก์ชันรักษาการเชื่อมต่อ ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันลืมจากแลตทิซสมบูรณ์ไปยังเซตพื้นฐานของมัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle i:S\rightarrow L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f^{\circ }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(s)=f^{\circ }(i(s))}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f^{\circ }}$

ดังนั้นจึงสามารถสร้างแลตติซสมบูรณ์อิสระได้ โดยที่แลตติซสมบูรณ์ที่สร้างขึ้นโดยเซตบางเซตก็คือเซตกำลัง (powerset)ซึ่งเป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของที่เรียงลำดับตามการรวมเซตย่อยหน่วยที่ต้องการจะแมปองค์ประกอบใด ๆของไปยังเซตที่มีสมาชิกเดียวเมื่อกำหนดการแมปดังข้างต้น ฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle S}$${\displaystyle 2^{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i:S\rightarrow 2^{S}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{s\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\circ }:2^{S}\rightarrow M}$

${\displaystyle f^{\circ }(X)=\bigvee \{f(s)|s\in X\}}$.

จากนั้นจึงแปลงยูเนียนให้เป็นซูพรีมา และรักษาการเชื่อมต่อเอาไว้ ${\displaystyle f^{\circ }}$

ข้อพิจารณาเหล่านี้ยังนำไปสู่การสร้างมอร์ฟิซึมแบบอิสระที่รักษาความสัมพันธ์แบบ "มีต" แทนที่จะเป็น "เชื่อม" (เช่น ตัวผกผันบนของการเชื่อมต่อกาโลอิส) สิ่งข้างต้นสามารถแปลงเป็นคู่ได้ : วัตถุอิสระจะถูกกำหนดเป็นเซตกำลังที่เรียงลำดับโดยการรวมแบบย้อนกลับ โดยที่การรวมเซตจะให้การดำเนินการแบบ "มีต" และฟังก์ชันจะถูกกำหนดในแง่ของความสัมพันธ์แบบ "มีต" แทนที่จะเป็น "เชื่อม" ผลลัพธ์ของการสร้างนี้เรียกว่าเซมิแลตติซแบบ "มีต" ที่สมบูรณ์และอิสระจะเห็นได้ว่าการสร้างแบบอิสระเหล่านี้เป็นการขยายการสร้างที่ใช้ในการสร้างเซมิแลตติซแบบอิสระซึ่งจำเป็นต้องพิจารณาเซตจำกัด ${\displaystyle f^{\circ }}$

สถานการณ์สำหรับแลตทิซสมบูรณ์ที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมสมบูรณ์นั้นซับซ้อนกว่ามาก อันที่จริง แลตทิซสมบูรณ์อิสระโดยทั่วไปไม่มีอยู่จริง แน่นอน เราสามารถสร้างปัญหาคำถามที่คล้ายกับกรณีของแลตทิซได้แต่การรวบรวมคำ (หรือ "เทอม") ที่เป็นไปได้ทั้งหมดในกรณีนี้จะเป็นคลาสที่เหมาะสมเนื่องจาก meet และ join ใดๆ ประกอบด้วยการดำเนินการสำหรับเซตอาร์กิวเมนต์ที่มีขนาด ทุก ขนาด

คุณสมบัตินี้ในตัวมันเองไม่ใช่ปัญหา: ดังที่กรณีของเซมิแลตติซสมบูรณ์อิสระที่กล่าวถึงข้างต้นแสดงให้เห็น เป็นไปได้ที่คำตอบของโจทย์ปัญหาจะเหลือเพียงเซตของชั้นสมมูลเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปได้ที่ชั้นที่แท้จริงของทุกเทอมจะมีaความหมายเดียวกันและถูกระบุในโครงสร้างอิสระ อย่างไรก็ตาม ชั้นสมมูลสำหรับโจทย์ปัญหาของแลตติซสมบูรณ์นั้น "เล็กเกินไป" ดังนั้นแลตติซสมบูรณ์อิสระจึงยังคงเป็นชั้นที่แท้จริง ซึ่งไม่ได้รับอนุญาต

อย่างไรก็ตาม เราอาจยังหวังว่าจะมีบางกรณีที่เป็นประโยชน์ซึ่งเซตของตัวสร้างมีขนาดเล็กพอที่จะทำให้แลตทิซที่สมบูรณ์และเป็นอิสระสามารถดำรงอยู่ได้ น่าเสียดายที่ขีดจำกัดขนาดนั้นต่ำมาก และเรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้:

แลตทิซสมบูรณ์อิสระบนตัวสร้างสามตัวนั้นไม่มีอยู่จริง มันเป็นคลาสที่เหมาะสม

Johnstone ได้ให้การพิสูจน์ข้อความนี้^{[ 3 ]}ข้อโต้แย้งดั้งเดิมมีที่มาจากAlfred W. Hales ^{[ 4 ]}ดู^{บทความเกี่ยว}กับ แลตติ ส อิสระ ด้วย

ถ้าหากสามารถสร้างแลตทิซสมบูรณ์ได้อย่างอิสระจากโพเซต ที่กำหนด โดยใช้แทนเซตตัวสร้างที่พิจารณาไว้ข้างต้น เราจะเรียกว่าเป็นการเติมเต็มโพเซตนั้น นิยามของผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้คล้ายกับนิยามของวัตถุอิสระข้างต้น โดยที่ "เซต" และ "ฟังก์ชัน" ถูกแทนที่ด้วย "โพเซต" และ "การแมปแบบโมโนโทน" ในทำนองเดียวกัน เราสามารถอธิบายกระบวนการเติมเต็มได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของโพเซตที่มีฟังก์ชันโมโนโทนไปยังหมวดหมู่ของแลตทิซสมบูรณ์บางหมวดหมู่ที่มีมอร์ฟิซึมที่เหมาะสม ซึ่งเป็นแอดจอยต์ซ้ายของฟังก์ชันลืมในทิศทางตรงกันข้าม

ตราบใดที่เราพิจารณาฟังก์ชันที่รักษาการพบกันหรือการเชื่อมต่อว่าเป็นมอร์ฟิซึม สิ่งนี้สามารถทำได้ง่ายๆ ผ่านกระบวนการที่เรียกว่าการเติมเต็มแบบเดเดคินด์-แมคนีลสำหรับกระบวนการนี้ องค์ประกอบของโพเซตจะถูกแมปไปยัง (เดเดคินด์-) คัตซึ่งจากนั้นสามารถแมปไปยังโพเซตพื้นฐานของแลตทิซสมบูรณ์ใดๆ ได้ในลักษณะเดียวกับที่ทำสำหรับเซตและแลตทิซสมบูรณ์อิสระ (กึ่งสมบูรณ์) ข้างต้น

ผลลัพธ์ที่กล่าวมาข้างต้นที่ว่าแลตติซสมบูรณ์อิสระไม่มีอยู่จริง หมายความว่าการสร้างอิสระที่สอดคล้องกันจากโพเซตก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน สิ่งนี้เห็นได้ง่ายโดยการพิจารณาโพเซตที่มีลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีความสัมพันธ์กับตัวมันเองเท่านั้น สิ่งเหล่านี้คือโพเซตอิสระบนเซตพื้นฐานอย่างแท้จริง หากมีการสร้างแลตติซสมบูรณ์อิสระจากโพเซตได้ การสร้างทั้งสองแบบก็จะสามารถประกอบกันได้ ซึ่งขัดแย้งกับผลลัพธ์เชิงลบข้างต้น

หนังสือLattice Theory ของ G. Birkhoff มีวิธีการแสดงแทนที่มีประโยชน์มาก โดยเชื่อมโยงแลตทิซที่สมบูรณ์กับความสัมพันธ์ทวิภาคใดๆ ระหว่างสองเซตโดยการสร้างการเชื่อมต่อ Galois จากความสัมพันธ์ ซึ่งจะนำไปสู่ ระบบปิด สองระบบ ที่สมมาตรกัน^{[ 5 ]}ระบบปิดคือตระกูลของเซตที่ปิดด้วยการตัดกัน เมื่อเรียงลำดับตามความสัมพันธ์ของเซตย่อย ⊆ พวกมันจะเป็นแลตทิซที่สมบูรณ์

ตัวอย่างพิเศษของการสร้างของ Birkhoff เริ่มต้นจาก poset ใดๆ(P,≤)และสร้างการเชื่อมต่อ Galois จากความสัมพันธ์ลำดับ ≤ ระหว่างPกับตัวมันเอง แลตติซสมบูรณ์ที่ได้คือการเติมเต็มแบบ Dedekind-MacNeilleเมื่อนำการเติมเต็มนี้ไปใช้กับ poset ที่เป็นแลตติซสมบูรณ์อยู่แล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับแลตติซเดิม ดังนั้น เราจึงพบได้ทันทีว่าแลตติซสมบูรณ์ทุกอันสามารถแทนได้ด้วยวิธีการของ Birkhoff จนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม

โครงสร้างนี้ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์แนวคิดเชิงรูปธรรมซึ่งเป็นการแทนข้อมูลในโลกแห่งความเป็นจริงด้วยความสัมพันธ์แบบไบนารี (เรียกว่าบริบทเชิงรูปธรรม ) และใช้แลตทิซที่สมบูรณ์ที่เกี่ยวข้อง (เรียกว่าแลตทิซแนวคิด ) สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูล ดังนั้นคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังการวิเคราะห์แนวคิดเชิงรูปธรรมจึงเป็นทฤษฎีของแลตทิซที่สมบูรณ์

อีกรูปแบบหนึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้: เซตย่อยของแลตทิซสมบูรณ์จะเป็นแลตทิซสมบูรณ์ (เมื่อเรียงลำดับตามลำดับที่เหนี่ยวนำ) ก็ต่อเมื่อมันเป็นภาพของ แผนที่ตัวเอง ที่เพิ่มขึ้นและเอกลักษณ์ (แต่ไม่จำเป็นต้องครอบคลุม) แผนที่เอกลักษณ์มีคุณสมบัติทั้งสองนี้ ดังนั้นแลตทิซสมบูรณ์ทั้งหมดจึงเกิดขึ้น

นอกจากผลลัพธ์การแสดงผลก่อนหน้านี้แล้ว ยังมีข้อความอื่นๆ ที่สามารถกล่าวได้เกี่ยวกับแลตทิซสมบูรณ์ หรือที่มีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษในกรณีนี้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Knaster–Tarskiซึ่งกล่าวว่าเซตของจุดตรึงของฟังก์ชันเอกภาคบนแลตทิซสมบูรณ์นั้นเป็นแลตทิซสมบูรณ์อีกด้วย สิ่งนี้เห็นได้ง่ายว่าเป็นส่วนขยายของการสังเกตข้างต้นเกี่ยวกับภาพของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและฟังก์ชันเอกลักษณ์