พีชคณิตสากล (บางครั้งเรียกว่าพีชคณิตทั่วไป ) คือสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตโดยทั่วไป ไม่ใช่โครงสร้างพีชคณิตเฉพาะประเภทใดประเภทหนึ่ง ตัวอย่างเช่น แทนที่จะพิจารณากลุ่มหรือวงแหวนเป็นวัตถุของการศึกษา ซึ่งเป็นหัวข้อของทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีวงแหวนในพีชคณิตสากล วัตถุของการศึกษาคือโครงสร้างพีชคณิตประเภทต่างๆ ที่เป็นไปได้และความสัมพันธ์ของโครงสร้างเหล่านั้น

ในพีชคณิตสากลพีชคณิต (หรือโครงสร้างพีชคณิต) คือเซตAพร้อมด้วยชุดของการดำเนินการบน A

การดำเนินการแบบn - aryบนAคือฟังก์ชันที่รับ องค์ประกอบ nตัวของAและส่งคืนองค์ประกอบเดียวของAดังนั้น การดำเนินการแบบ 0-ary (หรือการดำเนินการแบบไม่มีองค์ประกอบ ) สามารถแสดงได้ง่ายๆ ด้วยองค์ประกอบของAหรือค่าคงที่ซึ่งมักใช้ตัวอักษรเช่นa แทน การดำเนินการแบบ 1-ary (หรือการดำเนินการแบบเอกภาค ) คือฟังก์ชันจากAไปยังAซึ่งมักใช้สัญลักษณ์วางไว้หน้าอาร์กิวเมนต์ เช่น ~ xการดำเนินการแบบ 2-ary (หรือการดำเนินการแบบทวิภาค ) มักใช้สัญลักษณ์วางไว้ระหว่างอาร์กิวเมนต์ (เรียกอีกอย่างว่าสัญกรณ์อินฟิกซ์ ) เช่นx  ∗  y การดำเนินการที่มี จำนวนอาร์กิวเมนต์สูงกว่าหรือไม่ระบุ จำนวน อาร์กิวเมนต์ มักใช้สัญลักษณ์ฟังก์ชัน โดยวางอาร์กิวเมนต์ไว้ในวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่นf ( x , y , z ) หรือf ( x ₁ ,..., x _n ) วิธีหนึ่งในการกล่าวถึงพีชคณิตก็คือ การอ้างถึงมันว่าเป็นพีชคณิตประเภท Ω โดยที่ Ω คือลำดับของจำนวนธรรมชาติที่แสดงถึงจำนวนการดำเนินการของพีชคณิต อย่างไรก็ตาม นักวิจัยบางคนยังอนุญาตให้ มีการดำเนินการ อนันต์เช่นโดยที่J คือ เซตดัชนีอนันต์ซึ่งเป็นการดำเนินการในทฤษฎีพีชคณิตของ แลตทิ ซ สมบูรณ์${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }}$

หลังจากที่ได้ระบุการดำเนินการแล้ว พีชคณิตจะถูกกำหนดเพิ่มเติมด้วยสัจพจน์ซึ่งในพีชคณิตสากล มักอยู่ในรูปของเอกลักษณ์หรือกฎสมการ ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ การสลับที่สำหรับการดำเนินการทวิภาค ซึ่งกำหนดโดยสมการx  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  zสัจพจน์นี้มีจุดประสงค์เพื่อให้เป็นจริงสำหรับทุกองค์ประกอบx , y และ z ของเซตA

กลุ่มของโครงสร้างพีชคณิตที่กำหนดโดยเอกลักษณ์เรียกว่าวาไรตี้หรือชั้นสมการ

การจำกัดขอบเขตการศึกษาเฉพาะพันธุ์ต่างๆ จะทำให้พลาดสิ่งต่อไปนี้:

• การกำหนดปริมาณรวมถึง การกำหนดปริมาณแบบสากล (∀) ยกเว้นก่อนสมการ และการกำหนดปริมาณแบบมีอยู่ (∃)
• ตัวเชื่อมตรรกะอื่นๆ นอกเหนือจากคำสันธาน (∧)
• ความสัมพันธ์อื่นนอกเหนือจากความเท่าเทียมกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่เท่าเทียมกันทั้งa ≠ bและความสัมพันธ์เชิงลำดับ

การศึกษาเกี่ยวกับคลาสสมการสามารถมองได้ว่าเป็นสาขาพิเศษของทฤษฎีแบบจำลองโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่มีเฉพาะการดำเนินการเท่านั้น (กล่าวคือประเภทสามารถมีสัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันได้ แต่ไม่มีสัญลักษณ์สำหรับความสัมพันธ์อื่นนอกเหนือจากความเท่าเทียมกัน) และภาษาที่ใช้ในการพูดถึงโครงสร้างเหล่านี้ใช้สมการเท่านั้น

โครงสร้างพีชคณิต ในความหมายกว้างๆ นั้นไม่ได้อยู่ภายใต้ขอบเขตนี้เสมอไป ตัวอย่างเช่นกลุ่มที่มีลำดับเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ในการเรียงลำดับ ดังนั้นจึงไม่อยู่ในขอบเขตนี้

กลุ่มของฟิลด์ไม่ใช่กลุ่มสมการ เนื่องจากไม่มีชนิด (หรือ "ลายเซ็น") ใดที่สามารถเขียนกฎของฟิลด์ทั้งหมดเป็นสมการได้ (ตัวผกผันขององค์ประกอบถูกกำหนดไว้สำหรับ องค์ประกอบ ที่ไม่เป็นศูนย์ ทั้งหมด ในฟิลด์ ดังนั้นจึงไม่สามารถเพิ่มการผกผันลงในชนิดได้)

ข้อดีอย่างหนึ่งของข้อจำกัดนี้คือ โครงสร้างที่ศึกษาในพีชคณิตสากลสามารถนิยามได้ในหมวดหมู่ ใดๆ ที่มีผลคูณจำกัดตัวอย่างเช่นกลุ่มเชิงทอพอโลยีก็คือกลุ่มในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ระบบพีชคณิตส่วนใหญ่ในทางคณิตศาสตร์เป็นตัวอย่างของวาไรตี้ แต่ไม่เสมอไปในลักษณะที่ชัดเจน เนื่องจากนิยามทั่วไปมักเกี่ยวข้องกับการกำหนดปริมาณหรืออสมการ

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาคำจำกัดความของกลุ่มโดยปกติแล้ว กลุ่มจะถูกกำหนดโดยใช้การดำเนินการทวิภาคเพียงอย่างเดียว ∗ ภายใต้เงื่อนไขของสัจพจน์ดังต่อไปนี้:

• คุณสมบัติการสลับที่ (เช่นเดียวกับในส่วนก่อนหน้า ): x  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  z ; ในรูปแบบ: ∀ x , y , z . x ∗( y ∗ z )=( x ∗ y )∗ z .
• เอกลักษณ์ : มีองค์ประกอบe อยู่จริง โดยที่สำหรับแต่ละองค์ประกอบxจะได้ว่าe  ∗  x   =  x   =  x  ∗  e ; กล่าวอย่างเป็นทางการคือ: ∃ e ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .
• องค์ประกอบผกผัน : องค์ประกอบเอกลักษณ์นั้นเห็นได้ง่ายว่ามีเพียงหนึ่งเดียว และโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์e แทน ดังนั้น สำหรับแต่ละxจะมีองค์ประกอบi อยู่ตัวหนึ่ง ที่ทำให้x  ∗  i   =  e   =  i  ∗  xกล่าวอย่างเป็นทางการคือ: ∀ x  ∃ i .  x ∗ i = e = i ∗ x .

(ผู้เขียนบางท่านใช้สัจพจน์ " การปิด " ที่ระบุว่าx  ∗  yเป็นสมาชิกของAเมื่อใดก็ตามที่xและyเป็นสมาชิกด้วย แต่ในที่นี้ถือว่าสัจพจน์นี้มีความหมายโดยนัยอยู่แล้วจากการเรียก ∗ ว่าเป็นการดำเนินการแบบไบนารี)

นิยามของกลุ่มนี้ไม่สอดคล้องกับมุมมองของพีชคณิตสากลโดยตรง เพราะสัจพจน์ขององค์ประกอบเอกลักษณ์และการผกผันไม่ได้ระบุไว้ในรูปของกฎสมการที่ใช้ได้กับทุกองค์ประกอบ "..." อย่างบริสุทธิ์ แต่ยังเกี่ยวข้องกับตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่ "มีอยู่..." ด้วย สัจพจน์ของกลุ่มสามารถเขียนได้ในรูปสมการที่มีตัวบ่งปริมาณสากล โดยการระบุเพิ่มเติมจากตัวดำเนินการทวิภาค ∗ แล้ว ยังมีตัวดำเนินการศูนย์eและตัวดำเนินการเอกภาค ~ โดยที่ ~ xมักเขียนเป็นx ⁻¹สัจพจน์จึงกลายเป็น:

• คุณสมบัติการสลับที่: x ∗ ( y ∗ z ) =  ( x ∗ y ) ∗ z .
• องค์ประกอบเอกลักษณ์: e ∗ x  =  x  =  x ∗ e .
• องค์ประกอบผกผัน: x ∗ (~ x ) =  e  =  (~ x ) ∗ x .

โดยสรุป นิยามทั่วไปมีดังนี้:

• การดำเนินการไบนารีเดียว ( ลายเซ็น (2))
• 1. กฎสมการ (การจัดกลุ่ม)
• กฎเชิงปริมาณ 2 ข้อ (เอกลักษณ์และผกผัน)

ในขณะที่นิยามพีชคณิตสากลมีดังนี้:

• 3 การดำเนินการ: หนึ่งแบบไบนารี หนึ่งแบบเอกภาค และหนึ่งแบบนัลลารี ( ลายเซ็น(2, 1, 0) )
• กฎสมการ 3 ข้อ (การจัดกลุ่ม, เอกลักษณ์ และผกผัน)
• ไม่มีกฎที่กำหนดปริมาณ (ยกเว้นตัวบ่งปริมาณสากลภายนอกสุด ซึ่งเป็นสิ่งที่บ่งบอกโดยทั่วไปสำหรับตัวแปรทั้งหมดในวาไรตี้)

ประเด็นสำคัญคือ การดำเนินการเพิ่มเติมเหล่านี้ไม่ได้เพิ่มข้อมูล แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากนิยามปกติของกลุ่มอย่างเป็นเอกลักษณ์ แม้ว่านิยามปกติจะไม่ได้ระบุองค์ประกอบเอกลักษณ์e ไว้อย่างชัดเจน แต่แบบฝึกหัดง่ายๆ ก็แสดงให้เห็นว่ามันมีเอกลักษณ์ เช่นเดียวกับตัวผกผันของแต่ละองค์ประกอบ

มุมมองพีชคณิตสากลนั้นเหมาะสมกับทฤษฎีหมวดหมู่เป็นอย่างดี ตัวอย่างเช่น เมื่อนิยามวัตถุกลุ่มในทฤษฎีหมวดหมู่ ซึ่งวัตถุที่กล่าวถึงอาจไม่ใช่เซต เราต้องใช้กฎสมการ (ซึ่งมีความหมายในหมวดหมู่ทั่วไป) แทนที่จะใช้กฎเชิงปริมาณ (ซึ่งอ้างอิงถึงองค์ประกอบแต่ละตัว) นอกจากนี้ ตัวผกผันและเอกลักษณ์ยังถูกระบุเป็นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มเชิงทอพอโลยี ตัวผกผันไม่เพียงแต่ต้องมีอยู่แบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบเท่านั้น แต่ยังต้องให้การแมปแบบต่อเนื่อง (มอร์ฟิซึม) ด้วย ผู้เขียนบางคนยังกำหนดให้แผนที่เอกลักษณ์เป็นการรวมแบบปิด ( โคไฟเบรชัน ) ด้วย

โครงสร้างพีชคณิตส่วนใหญ่เป็นตัวอย่างของพีชคณิตสากล

• วงแหวน , เซมิกรุป , ควาซิกรุป , กรุปอยด์ , แมกมา , ลูปและอื่นๆ
• ปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์คงที่และโมดูลเหนือริงคงที่เป็นพีชคณิตสากล ซึ่งมีตัวดำเนินการบวกทวิภาคและตระกูลของตัวดำเนินการคูณสเกลาร์เอกภาค โดยมีตัวดำเนินการหนึ่งตัวสำหรับแต่ละองค์ประกอบของฟิลด์หรือริง

ตัวอย่างของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ ได้แก่เซมิแลตติสแลตติสและพีชคณิตบูลีน

เราถือว่าชนิด Ω นั้นได้รับการกำหนดไว้แล้ว จากนั้นจะมีโครงสร้างพื้นฐานสามอย่างในพีชคณิตสากล ได้แก่ ภาพโฮโมมอร์ฟิก พีชคณิตย่อย และผลคูณ

โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างพีชคณิตสองชุดAและBคือฟังก์ชันh  : A → BจากเซตAไปยังเซตBโดยที่สำหรับทุกการดำเนินการf _AของAและf _B ที่สอดคล้องกัน ของB (สมมติว่ามีอาร์กิวเมนต์n ) h ( f _A ( x ₁ , ..., x _n )) = f _B ( h ( x ₁ ), ..., h ( x _n )) (บางครั้งอาจตัดตัวห้อยของfออกเมื่อชัดเจนจากบริบทว่าฟังก์ชันมาจากพีชคณิตใด) ตัวอย่างเช่น ถ้าeเป็นค่าคงที่ (การดำเนินการแบบศูนย์อาร์กิวเมนต์) แล้วh ( e _A ) =  e _Bถ้า ~ เป็นการดำเนินการแบบเอกอาร์กิวเมนต์ แล้วh (~ x ) = ~ h ( x ) ถ้า ∗ เป็นการดำเนินการแบบทวิอาร์กิวเมนต์ แล้วh ( x  ∗  y ) = h ( x ) ∗  h ( y ) และอื่นๆ สิ่งต่างๆ ที่สามารถทำได้ด้วยโฮโมมอร์ฟิซึม รวมถึงคำจำกัดความของโฮโมมอร์ฟิซึมชนิดพิเศษบางประเภท ได้ถูกระบุไว้ภายใต้หัวข้อโฮโมมอร์ฟิซึมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถหาภาพโฮโมมอร์ฟิกของพีชคณิตh ( A ) ได้

สับอัลเจบราของAคือเซตย่อยของAที่ปิดภายใต้การดำเนินการทั้งหมดของAผลคูณของเซตของโครงสร้างทางพีชคณิตบางเซต คือผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตเหล่านั้น โดยมีการดำเนินการที่กำหนดไว้ตามพิกัด

• ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมซึ่งครอบคลุมถึงทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มวงแหวนโมดูลและอื่นๆ
• ทฤษฎีบท HSP ของ Birkhoffซึ่งกล่าวว่า ชั้นของพีชคณิตจะเป็นวาไรตี้ก็ต่อเมื่อมันปิดภายใต้ภาพโฮโมมอร์ฟิก พีชคณิตย่อย และผลคูณโดยตรงใดๆ

นอกจากแนวทางที่เป็นเอกภาพแล้ว พีชคณิตสากลยังให้ทฤษฎีบทที่ลึกซึ้ง ตัวอย่างที่สำคัญ และตัวอย่างค้านมากมาย มันเป็นกรอบการทำงานที่มีประโยชน์สำหรับผู้ที่ตั้งใจจะเริ่มต้นศึกษาพีชคณิตประเภทใหม่ๆ มันช่วยให้สามารถนำวิธีการที่คิดค้นขึ้นสำหรับพีชคณิตบางประเภทไปใช้กับพีชคณิตประเภทอื่นๆ ได้ โดยการปรับเปลี่ยนวิธีการเหล่านั้นให้อยู่ในรูปของพีชคณิตสากล (ถ้าเป็นไปได้) แล้วตีความวิธีการเหล่านั้นเมื่อนำไปใช้กับพีชคณิตประเภทอื่นๆ นอกจากนี้ยังช่วยให้เกิดความกระจ่างในเชิงแนวคิด ดังที่ เจ.ดี.เอช. สมิธ กล่าวไว้ว่า"สิ่งที่ดูยุ่งยากและซับซ้อนในกรอบการทำงานเฉพาะ อาจกลายเป็นเรื่องง่ายและชัดเจนในกรอบการทำงานทั่วไปที่เหมาะสม"

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตสากลสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาโมโนอิดวงแหวนและแลตทิซได้ ก่อนที่พีชคณิตสากลจะเกิดขึ้น ทฤษฎีบทหลายข้อ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม ) ได้รับการพิสูจน์แยกกันในแต่ละกลุ่มเหล่านี้ แต่ด้วยพีชคณิตสากล ทฤษฎีบทเหล่านั้นสามารถพิสูจน์ได้ในครั้งเดียวสำหรับระบบพีชคณิตทุกประเภท

บทความปี 1956 ของฮิกกินส์ได้สร้างกรอบสำหรับระบบพีชคณิตเฉพาะกลุ่ม^{[ 1 ]}บทความปี 1963 ของเขามีความโดดเด่นในการอภิปรายเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีการดำเนินการบางส่วน^{[ 2 ]}ตัวอย่างทั่วไปสำหรับเรื่องนี้คือหมวดหมู่และกรุปอยด์ การวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมคือหัวข้อของพีชคณิตมิติสูงซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นการศึกษาทฤษฎีพีชคณิตที่มีการดำเนินการบางส่วนซึ่งโดเมนถูกกำหนดภายใต้เงื่อนไขทางเรขาคณิต ตัวอย่างที่โดดเด่นของสิ่งเหล่านี้คือหมวดหมู่และกรุปอยด์มิติสูงในรูปแบบต่างๆ

พีชคณิตสากล (Universal algebra) เป็นภาษาธรรมชาติสำหรับปัญหาการแก้เงื่อนไข (Constraint Satisfaction Problem: CSP) CSP เป็นกลุ่มปัญหาการคำนวณที่สำคัญ โดยที่เมื่อกำหนดพีชคณิตเชิงสัมพันธ์Aและประโยค เชิงการมีอยู่ ϕบนพีชคณิตนี้แล้ว คำถามคือการหาว่าϕสามารถเป็นจริงได้ในA หรือไม่ โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตAมักจะคงที่ ดังนั้น CSP _Aจึงหมายถึงปัญหาที่มีเพียงประโยคเชิงการมีอยู่ϕเป็น ตัวอย่างเท่านั้น

มีการพิสูจน์แล้วว่าปัญหาการคำนวณทุกปัญหาสามารถกำหนดเป็น CSP _AสำหรับพีชคณิตA บางตัว ได้^{[ 3 ]}

ตัวอย่างเช่น ปัญหา การระบายสีn สี สามารถระบุได้ว่าเป็น CSP ของพีชคณิต({0, 1, ..., n −1}, ≠)กล่าวคือ พีชคณิตที่มี สมาชิก nตัวและมีความสัมพันธ์เดียวคืออสมการ

พีชคณิตสากลยังได้รับการศึกษาโดยใช้เทคนิคของทฤษฎีหมวดหมู่ในแนวทางนี้ แทนที่จะเขียนรายการการดำเนินการและสมการที่การดำเนินการเหล่านั้นปฏิบัติตาม เราสามารถอธิบายโครงสร้างพีชคณิตโดยใช้หมวดหมู่ประเภทพิเศษที่เรียกว่าทฤษฎี Lawvereหรือโดยทั่วไป เรียกว่า ทฤษฎีพีชคณิต หรือ อีกทางหนึ่ง เราสามารถอธิบายโครงสร้างพีชคณิตโดยใช้โมนาดแนวทางทั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด โดยแต่ละแนวทางมีข้อดีของตนเอง^{[ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎี Lawvere ทุกทฤษฎีให้โมนาดบนหมวดหมู่ของเซต ในขณะที่โมนาด "จำกัด" ใดๆ บนหมวดหมู่ของเซตเกิดขึ้นจากทฤษฎี Lawvere อย่างไรก็ตาม โมนาดอธิบายโครงสร้างพีชคณิตภายในหมวดหมู่เฉพาะหนึ่ง (เช่น หมวดหมู่ของเซต) ในขณะที่ทฤษฎีพีชคณิตอธิบายโครงสร้างภายในหมวดหมู่ใดๆ ในกลุ่มหมวดหมู่ขนาดใหญ่ (กล่าวคือ หมวดหมู่ที่มีผล คูณจำกัด )

การพัฒนาล่าสุดในทฤษฎีหมวดหมู่คือทฤษฎีโอเปอแรด  – โอเปอแรดคือเซตของการดำเนินการ คล้ายกับพีชคณิตสากล แต่มีข้อจำกัดตรงที่สมการจะอนุญาตเฉพาะระหว่างนิพจน์ที่มีตัวแปรเท่านั้น โดยไม่อนุญาตให้มีการทำซ้ำหรือละเว้นตัวแปร^{[ 5 ]}ดังนั้น วงแหวนจึงสามารถอธิบายได้ว่าเป็น "พีชคณิต" ของโอเปอแรดบางตัว แต่ไม่ใช่กลุ่ม เนื่องจากกฎgg ⁻¹ = 1ทำซ้ำตัวแปรgทางด้านซ้ายและละเว้นทางด้านขวา ในตอนแรกอาจดูเหมือนเป็นข้อจำกัดที่ยุ่งยาก แต่ผลตอบแทนคือโอเปอแรดมีข้อดีบางประการ ตัวอย่างเช่น เราสามารถผสมผสานแนวคิดของวงแหวนและปริภูมิเวกเตอร์เพื่อให้ได้แนวคิดของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงได้แต่เราไม่สามารถสร้างการผสมผสานที่คล้ายกันของแนวคิดของกลุ่มและปริภูมิเวกเตอร์ได้^{[ 6 ]}

การพัฒนาอีกอย่างหนึ่งคือพีชคณิตบางส่วนซึ่งตัวดำเนินการสามารถเป็นฟังก์ชันบางส่วนได้ฟังก์ชันบางส่วนบางอย่างยังสามารถจัดการได้ด้วยการวางนัยทั่วไปของทฤษฎี Lawvere ที่เรียกว่า "ทฤษฎีพีชคณิตพื้นฐาน" ^{[ 7 ]}

การวางนัยทั่วไปอีกอย่างหนึ่งของพีชคณิตสากลคือทฤษฎีแบบจำลองซึ่งบางครั้งเรียกว่า "พีชคณิตสากล + ตรรกะ" ^{[ 8 ]}

ใน หนังสือ A Treatise on Universal AlgebraของAlfred North Whiteheadซึ่งตีพิมพ์ในปี 1898 คำว่าพีชคณิตสากลมีความหมายโดยพื้นฐานเหมือนกับที่ใช้ในปัจจุบัน Whitehead ระบุว่าWilliam Rowan HamiltonและAugustus De Morganเป็นผู้ริเริ่มเนื้อหา และJames Joseph Sylvesterเป็นผู้บัญญัติศัพท์นี้^{[ 9 ] : v}

ในขณะนั้น โครงสร้างต่างๆ เช่นพีชคณิต Lieและควอเทอร์เนียนไฮเปอร์โบลิกดึงดูดความสนใจไปที่ความจำเป็นในการขยายโครงสร้างพีชคณิตให้เกินกว่าคลาสการคูณแบบเชื่อมโยง ในบทวิจารณ์Alexander Macfarlaneเขียนว่า: "แนวคิดหลักของงานไม่ใช่การรวมวิธีการต่างๆ เข้าด้วยกัน หรือการสรุปพีชคณิตทั่วไปเพื่อให้ครอบคลุมวิธีการเหล่านั้น แต่เป็นการศึกษาเปรียบเทียบโครงสร้างต่างๆ ของวิธีการเหล่านั้น" ^{[ 10 ]}ในขณะนั้น พีชคณิตตรรกะของ George Booleเป็นจุดโต้แย้งที่แข็งแกร่งกับพีชคณิตจำนวนทั่วไป ดังนั้นคำว่า "สากล" จึงทำหน้าที่บรรเทาความรู้สึกตึงเครียด

งานในช่วงแรกของไวท์เฮดมุ่งที่จะรวมควอเทอร์เนียน (ซึ่งได้มาจากแฮมิลตัน) ทฤษฎีบทการจำแนกประเภทของกราสส์มันน์และพีชคณิตเชิงตรรกะของบูลเข้าด้วยกัน ไวท์เฮดเขียนไว้ในหนังสือของเขาว่า:

“พีชคณิตดังกล่าวมีคุณค่าในตัวสำหรับการศึกษารายละเอียดแยกต่างหาก นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การศึกษาเปรียบเทียบ เพื่อให้ได้ความกระจ่างเกี่ยวกับทฤษฎีทั่วไปของการให้เหตุผลเชิงสัญลักษณ์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับสัญลักษณ์พีชคณิต การศึกษาเปรียบเทียบจำเป็นต้องมีการศึกษาแยกต่างหากมาก่อน การเปรียบเทียบเป็นไปไม่ได้หากปราศจากความรู้” ^{[ 9 ]}

อย่างไรก็ตาม ไวท์เฮดไม่มีผลลัพธ์ที่เป็นลักษณะทั่วไป งานวิจัยในหัวข้อนี้มีน้อยมากจนกระทั่งช่วงต้นทศวรรษ 1930 เมื่อการ์เร็ตต์ เบิร์คฮอฟฟ์และออยสไตน์ โอเรเริ่มตีพิมพ์เกี่ยวกับพีชคณิตสากล การพัฒนาในเมตาคณิตศาสตร์และทฤษฎีหมวดหมู่ในช่วงทศวรรษ 1940 และ 1950 ได้พัฒนาสาขานี้ต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งงานของอับราฮัม โรบินสันอัลเฟรด ทาร์สกีอันเดรย์ โมสโตว์สกีและลูกศิษย์ของพวกเขา^{[ 11 ]}

ในช่วงระหว่างปี 1935 ถึง 1950 บทความส่วนใหญ่เขียนขึ้นตามแนวทางที่เสนอโดยบทความของ Birkhoff ซึ่งเกี่ยวข้องกับพีชคณิตอิสระความสอดคล้องและแลตทิซของพีชคณิตย่อย และทฤษฎีบทโฮโมมอร์ฟิซึม แม้ว่าการพัฒนาตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์จะทำให้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับพีชคณิตได้ แต่ก็เป็นไปอย่างช้าๆ ผลงานที่ตีพิมพ์โดยAnatoly Maltsevในช่วงทศวรรษ 1940 ไม่ได้รับความสนใจเนื่องจากสงคราม การบรรยายของ Tarski ในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ที่เคมบริดจ์ในปี 1950 ได้นำไปสู่ยุคใหม่ที่แง่มุมของทฤษฎีแบบจำลองได้รับการพัฒนา โดยส่วนใหญ่โดย Tarski เอง รวมถึงChen Chung Chang , Leon Henkin , Bjarni Jónsson , Roger Lyndonและคนอื่นๆ

ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 Edward Marczewski ^{[ 12 ]}ได้เน้นย้ำถึงความสำคัญของพีชคณิตอิสระ ซึ่งนำไปสู่การตีพิมพ์บทความมากกว่า 50 ฉบับเกี่ยวกับทฤษฎีพีชคณิตของพีชคณิตอิสระโดย Marczewski เอง ร่วมกับJan Mycielski , Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanikและคนอื่นๆ

ตำราสำรวจปรากฏขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960 โดยBernard Neumann (1962), Paul Cohn (1965), George Grätzer (1967) และ Richard S. Pierce (1968) เริ่มจาก วิทยานิพนธ์ของ William Lawvereในปี 1963 เทคนิคจากทฤษฎีหมวดหมู่ได้กลายเป็นสิ่งสำคัญในพีชคณิตสากล^{[ 13 ]}

• ตรรกศาสตร์เชิงสมการ
• พีชคณิตกราฟ
• พีชคณิตเทอม
• โคลน
• เรขาคณิตพีชคณิตสากล
• พีชคณิตอย่างง่าย (พีชคณิตสากล)

• Algebra Universalis —วารสารที่อุทิศให้กับพีชคณิตสากล