วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 6 นาที

พีชคณิตมิติสูง

ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในทฤษฎีหมวดหมู่ ( ระดับสูง ) พีชคณิตมิติสูงคือการศึกษา โครงสร้าง ที่มีหมวดหมู่มีการประยุกต์ใช้ในโทโพโลยีพีชคณิต แบบไม่สลับที่ และเป็นการขยายความ..

พีชคณิตมิติสูง

ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในทฤษฎีหมวดหมู่ ( ระดับสูง ) พีชคณิตมิติสูงคือการศึกษา โครงสร้าง ที่มีหมวดหมู่มีการประยุกต์ใช้ในโทโพโลยีพีชคณิต แบบไม่สลับที่ และเป็นการขยายความ ของ พีชคณิต นามธรรม

หมวดหมู่ที่มีมิติสูงกว่า

ขั้นตอนแรกในการกำหนดพีชคณิตมิติสูงคือแนวคิดของ2-categoryของทฤษฎีหมวดหมู่สูงตามด้วยแนวคิด 'เรขาคณิต' มากขึ้นของหมวดหมู่คู่[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

ดังนั้น แนวคิดระดับที่สูงกว่าจึงถูกกำหนดให้เป็นหมวดหมู่ของหมวดหมู่ หรือซูเปอร์หมวดหมู่ ซึ่งขยายแนวคิดของหมวดหมู่ ไปยังมิติที่สูงกว่า โดยถือว่าเป็นโครงสร้างใดๆ ที่เป็นการตีความสัจพจน์ของLawvereของทฤษฎีพื้นฐานของหมวดหมู่เชิงนามธรรม (ETAC) [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]ดังนั้น ซูเปอร์หมวดหมู่และซูเปอร์หมวดหมู่สามารถถือได้ว่าเป็นส่วนขยายตามธรรมชาติของแนวคิดของเมตาหมวดหมู่ [ 8 ] มัลติหมวดหมู่และมัลติกราฟ กราฟ k -partiteหรือกราฟสี (ดูรูปสีและคำจำกัดความในทฤษฎีกราฟ )

หมวดหมู่ระดับสูงได้รับการแนะนำครั้งแรกในปี พ.ศ. 2513 [ 9 ]และต่อมาได้รับการพัฒนาเพื่อการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี (โดยเฉพาะทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี ) และชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์หรือชีวฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์[ 10 ]

เส้นทางอื่นๆ ในพีชคณิตมิติสูง ได้แก่: ไบแคตเทอรี , โฮโมมอร์ฟิซึมของไบแคตเทอรี, แค ตเทอรีตัวแปร (หรือที่รู้จักกันในชื่อแคตเทอรีแบบมีดัชนีหรือแบบมีพารามิเตอร์ ), โทโปอิ , การสืบทอดที่มีประสิทธิภาพ และ แคตเทอรี เสริมและ แคตเท อ รีภายใน

กรุ๊ปอยด์คู่

ในพีชคณิตมิติสูง (HDA) กรุ๊ปอยด์คู่ เป็นการวางนัยทั่วไปของ กรุ๊ปอยด์หนึ่งมิติไปสู่สองมิติ[ 11 ] และกรุ๊ปอยด์หลังนี้สามารถถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของหมวดหมู่ที่มีลูกศรหรือ มอร์ฟิซึมที่ ผกผันได้ทั้งหมด

กลุ่มคู่มักใช้เพื่อบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับ วัตถุ ทางเรขาคณิตเช่นแมนิโฟลด์มิติสูง (หรือ แมนิโฟลด์ nมิติ ) [ 11 ]โดยทั่วไป แมนิโฟลด์ nมิติคือปริภูมิที่มีลักษณะเฉพาะที่คล้ายกับปริภูมิยุคลิดn มิติ แต่โครงสร้างโดยรวมอาจไม่ใช่แบบยุคลิด

กลุ่มคู่ (Double groupoids) ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยRonald BrownในDouble groupoids and crossed modules (1976) [ 11 ]และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมไปสู่การประยุกต์ใช้ในโทโพโลยีพีชคณิตแบบไม่สลับที่ [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] แนวคิด 'คู่' ที่เกี่ยวข้องคือพีชคณิต คู่ (double algebroid ) และแนวคิดทั่วไปของR- algebroid

โทโพโลยีพีชคณิตแบบไม่สลับที่

ดูโทโพโลยีพีชคณิตแบบไม่สลับที่

แอปพลิเคชัน

ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี

ในทฤษฎีสนามควอนตัมมีหมวดหมู่ควอนตัม [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] และควอนตัมดับเบิลกรุปอยด์ [ 18 ] เราสามารถพิจารณาควอนตัมดับเบิลกรุปอยด์ว่าเป็นกรุปอยด์พื้นฐานที่กำหนดผ่าน2-ฟังก์ชันซึ่งช่วยให้เราสามารถคิดถึงกรณีที่น่าสนใจทางกายภาพของควอนตัมกรุปอยด์พื้นฐาน (QFGs) ในแง่ของไบแคตทอรีSpan(Groupoids)จากนั้นสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ต 2- และแผนที่เชิงเส้น 2- สำหรับแมนิโฟลด์และโคบอร์ดิซึมในขั้นตอนต่อไป เราจะได้โคบอร์ดิซึมที่มีมุมผ่านการแปลงตามธรรมชาติของ 2-ฟังก์ชันดังกล่าว จากนั้นมีการอ้างว่า ด้วยกลุ่มเกจSU(2) " TQFT ที่ขยาย หรือ ETQFT ให้ทฤษฎีที่เทียบเท่ากับ แบบ จำลองPonzano–Reggeของ แรงโน้มถ่วงควอนตัม " [ 18 ]ในทำนองเดียวกันโมเดล Turaev–Viroจะได้รับด้วยการแสดงแทนของ SU q (2) ดังนั้น เราสามารถอธิบายปริภูมิสถานะของทฤษฎีเกจ – หรือทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) หลายประเภทและฟิสิกส์ควอนตัมเฉพาะที่ ในแง่ของกลุ่มการแปลงที่กำหนดโดยสมมาตร เช่น ในกรณีของทฤษฎีเกจ โดยการแปลงเกจที่กระทำกับสถานะซึ่งในกรณีนี้คือการเชื่อมต่อ ในกรณีของสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มควอนตัมเราจะได้โครงสร้างที่เป็นหมวดหมู่การแสดงแทนของกลุ่มควอนตัม [ 16 ] แทนที่จะ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ 2 มิติที่เป็นหมวดหมู่การแสดงแทนของกลุ่ม

ฟิสิกส์ควอนตัม

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ "หมวดหมู่คู่และพีชคณิตเทียม" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 10 มิถุนายน 2010
  2. ^ Brown, R.; Loday, J.-L. (1987). "การตัดออกเชิงโฮโมโทปิกและทฤษฎีบทของ Hurewicz สำหรับn -cubes ของปริภูมิ" Proceedings of the London Mathematical Society . 54 (1): 176– 192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325 . doi : 10.1112/plms/s3-54.1.176 . 
  3. ^ Batanin, MA (1998). "Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak n -Categories" . Advances in Mathematics . 136 (1): 39– 103. doi : 10.1006/aima.1998.1724 .
  4. ^ Lawvere, FW (1964). "ทฤษฎีเบื้องต้นของหมวดหมู่เซต" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 52 (6): 1506– 1511. Bibcode : 1964PNAS...52.1506L . doi : 10.1073/pnas.52.6.1506 . PMC 300477 . PMID 16591243 .  
  5. ^ Lawvere, FW: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla ., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ Archived 2009-08-12 at the Wayback Machine
  6. ↑ "คริปโทวาห์รุงเกน อุนด์ ฟิซิก " ดาวเคราะห์ฟิสิกส์ 29 มีนาคม 2024 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 13 พฤษภาคม 2012
  7. ^ Lawvere, FW (1969b). "ความเชื่อมโยงในรากฐาน" . Dialectica . 23 ( 3– 4): 281– 295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900 . doi : 10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2009-08-12 . สืบค้นเมื่อ2009-06-21 . 
  8. ^ "สัจพจน์ของเมตาแคเทกอรีและซูเปอร์แคเทกอรี" PlanetPhysics. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2009-08-14 . เรียกดูเมื่อ2009-03-02 .
  9. ^ "ทฤษฎีซูเปอร์แคตกอรี่" . PlanetMath. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2008-10-26.
  10. ^ "ชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์และชีวฟิสิกส์เชิงทฤษฎี" PlanetPhysics. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2009-08-14 . เรียกดูเมื่อ2009-03-02 .
  11. อรรถ เป็นขc บราวน์ โรนัลด์ ; สเปนเซอร์, คริสโตเฟอร์ บี. (1976) "ดับเบิ้ลกรุ๊ปออยด์และโมดูลแบบกากบาท" . Cahiers de Topologie และGéométrie Différentielle Catégoriques 17 (4): 343– 362.
  12. ^ "เรขาคณิตไม่สลับที่และโทโพโลยีพีชคณิตไม่เชิงอะเบเลียน" PlanetPhysics. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2009-08-14 . เรียกดูเมื่อ2009-03-02 .
  13. ^หนังสือNon-Abelian Algebraic Topologyถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 4 มิถุนายน 2009 ที่ Wayback Machine
  14. ^โทโพโลยีพีชคณิตแบบไม่สลับที่: กลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงของปริภูมิกรอง
  15. ↑บราวน์, โรนัลด์; ฮิกกินส์, ฟิลิป; ซิเวรา, ราฟาเอล (2011) โทโพโลยีพีชคณิตแบบไม่ใช่นาเบเลียนarXiv : math/0407275 . ดอย : 10.4171/083 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-03719-083-8.
  16. ^ a b "หมวดหมู่ควอนตัม" . PlanetMath. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2011-12-01.
  17. ^ "Associativity Isomorphism" . PlanetMath. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2010-12-17.
  18. ^ a b c Morton, Jeffrey (18 มีนาคม 2009). "หมายเหตุเกี่ยวกับควอนตัมกรุปอยด์" . พีชคณิต C*, ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป, กรุปอยด์, เรขาคณิตไม่สลับที่, การหาปริมาณ . Theoretical Atlas.

อ่านเพิ่มเติม

  • Brown, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Nonabelian Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids . Vol. Tracts Vol 15. European Mathematical Society. arXiv : math/0407275 . doi : 10.4171/083 . ISBN 978-3-03719-083-8.( สามารถดาวน์โหลดไฟล์ PDF ได้ )
  • Brown, R.; Mosa, GH (1999). "หมวดหมู่คู่ โครงสร้างบางๆ และความเชื่อมโยง"ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้หมวดหมู่5 : 163– 175. CiteSeerX  10.1.1.438.8991 .
  • บราวน์, อาร์. (2002). โครงสร้างเชิงหมวดหมู่สำหรับการสืบเชื้อสายและทฤษฎีกาโลอิสสถาบันฟิลด์ส
  • Brown, R. (1987). "จากกลุ่มสู่กรุปอยด์: การสำรวจโดยสังเขป" (PDF) . Bulletin of the London Mathematical Society . 19 (2): 113– 134. CiteSeerX  10.1.1.363.1859 . doi : 10.1112/blms/19.2.113 . hdl : 10338.dmlcz/140413 .เอกสาร นี้ให้ข้อมูลประวัติความเป็นมาของกลุ่มฟอร์มอยด์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดเริ่มต้นจากผลงานของไฮน์ริช บรันด์ทเกี่ยวกับรูปแบบกำลังสอง และระบุถึงผลงานในภายหลังจนถึงปี 1987 พร้อมด้วยเอกสารอ้างอิง 160 รายการ
  • บราวน์, โรนัลด์ (2018). "ทฤษฎีกลุ่มมิติสูง" . groupoids.org.uk . มหาวิทยาลัยบางอร์.บทความออนไลน์ที่มีการอ้างอิงมากมาย อธิบายว่าแนวคิดของกรุปอยด์นำไปสู่แนวคิดของกรุปอยด์มิติสูง ซึ่งไม่มีอยู่ในทฤษฎีกลุ่มได้อย่างไร พร้อมทั้งมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีโฮโมโทปีและในโคโฮโมโลยีของกลุ่ม
  • Brown, R.; Higgins, PJ (1981). "เกี่ยวกับพีชคณิตของลูกบาศก์". Journal of Pure and Applied Algebra . 21 (3): 233– 260. doi : 10.1016/0022-4049(81)90018-9 .
  • Mackenzie, KCH (2005). ทฤษฎีทั่วไปของกลุ่ม Lie และพีชคณิต Lieชุดบันทึกการบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน เล่มที่ 213 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-49928-6เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 10 มีนาคม 2548
  • บราวน์, อาร์. (2006). โทโพโลยีและกรุปอยด์ . บุ๊คเซิร์จ . ISBN 978-1-4196-2722-4.หนังสือฉบับปรับปรุงและเพิ่มเติมจากฉบับพิมพ์ครั้งแรกในปี 1968 และ 1988 สามารถดาวน์โหลดฉบับอิเล็กทรอนิกส์ได้จากเว็บไซต์
  • Borceux, F.; Janelidze, G. (2001). ทฤษฎีกาโลอิส . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-07041-6. OCLC  1167627177 .{{cite book}}: CS1 maint: บริการเก็บถาวรที่เลิกใช้แล้ว ( ลิงก์ )แสดงให้เห็นว่าการสรุปทั่วไปของทฤษฎี Galoisนำไปสู่ ​​Galois groupoids ได้อย่างไร
  • เบซ เจ.; โดแลน เจ. (1998) "พีชคณิตมิติสูง III. n -หมวดหมู่และพีชคณิตของ Opetopes" ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์135 (2): 145– 206. arXiv : q-alg/ 9702014 Bibcode : 1997q.alg.....2014B . ดอย : 10.1006/aima.1997.1695 . S2CID  18857286 .
  • Baianu, IC (1970). "Organismic Supercategories: II. On Multistable Systems" (PDF) . The Bulletin of Mathematical Biophysics . 32 (4): 539– 61. doi : 10.1007/BF02476770 . PMID  4327361 .
  • ไป่นู ไอซี; Marinescu, M. (1974) "เกี่ยวกับการสร้างระบบ ( M ,  R )" Revue Roumaine de Mathématiques Pures และ Appliquées 19 : 388– 391.
  • Baianu, IC (1987). "แบบจำลองคอมพิวเตอร์และทฤษฎีออโตมาตาในชีววิทยาและการแพทย์"ใน M. Witten (บรรณาธิการ). แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการแพทย์เล่ม 7. สำนักพิมพ์ Pergamonหน้า  1513–77 . ISBN 978-0-08-034692-2. OCLC  939260427 . CERN Preprint No. EXT-2004-072. ASIN  0080346928 ASIN  0080346928 .
  • "โฮโมโทปีมิติสูง" PlanetPhysics. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2009-08-13
  • Janelidze, George (1990). "ทฤษฎี Galois บริสุทธิ์ในหมวดหมู่". วารสารพีชคณิต 132 ( 2): 270– 286. doi : 10.1016/0021-8693(90)90130-G .
  • Janelidze, George (1993). "ทฤษฎี Galois ในหมวดหมู่ตัวแปร". โครงสร้างเชิงหมวดหมู่ประยุกต์1 : 103– 110. doi : 10.1007/BF00872989 . S2CID  22258886 ..
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Higher-dimensional_algebra&oldid=1288749719 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ พีชคณิตมิติสูง

ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในทฤษฎีหมวดหมู่ ( ระดับสูง ) พีชคณิตมิติสูงคือการศึกษา โครงสร้าง ที่มีหมวดหมู่มีการประยุกต์ใช้ในโทโพโลยีพีชคณิต แบบไม่สลับที่ และเป็นการขยายความ..

หมวดหมู่ที่มีมิติสูงกว่า

ขั้นตอนแรกในการกำหนดพีชคณิตมิติสูงคือแนวคิดของ 2-category ของ ทฤษฎีหมวดหมู่สูง ตามด้วยแนวคิด 'เรขาคณิต' มากขึ้นของหมวดหมู่คู่ [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

กรุ๊ปอยด์คู่

ใน พีชคณิตมิติสูง (HDA) กรุ๊ปอยด์คู่ เป็นการวางนัยทั่วไปของ กรุ๊ปอยด์ หนึ่งมิติไปสู่สองมิติ [ 11 ] และกรุ๊ปอยด์หลังนี้สามารถถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของหมวดหมู่ที่มีลูกศรหรือ มอร์ฟิซึม ที่ ผกผันได้ทั้งหมด

ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี

ใน ทฤษฎีสนามควอนตัม มี หมวดหมู่ควอนตัม [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] และ ค วอนตัมดับเบิลกรุปอยด์ [ 18 ] เรา สามารถพิจารณาควอนตัมดับเบิลกรุปอยด์ว่าเป็น กรุปอยด์พื้นฐาน ที่กำหนดผ่าน 2-ฟังก์ชัน ซึ่งช่วยให้เราสามารถคิดถึงกรณีที่น่าสนใจทางกายภาพของ ควอนตัมกรุปอยด์พื้นฐาน...