เรขาคณิต^{[ก] [ 1 ]}เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของพื้นที่ เช่น ระยะทาง รูปร่าง ขนาด และตำแหน่งสัมพัทธ์ของรูปทรง^{[ 2 ]}เรขาคณิตเป็นหนึ่งในสาขาที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับเลขคณิตนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานในสาขาเรขาคณิตเรียกว่านักเรขาคณิตจนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 19 เรขาคณิตเกือบทั้งหมดมุ่งเน้นไปที่เรขาคณิตแบบยุคลิด^[ข]ซึ่งรวมถึงแนวคิดของ^จุดเส้นระนาบระยะทางมุมพื้นผิวและเส้นโค้งเป็นแนวคิดพื้นฐาน[ ^{3 ]}

เดิมทีเรขาคณิตได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อจำลองโลกทางกายภาพ เรขาคณิตมีการประยุกต์ใช้ในเกือบทุกสาขาวิทยาศาสตร์ รวมถึงศิลปะสถาปัตยกรรมและกิจกรรมอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับกราฟิก^{[ 4 ]}เรขาคณิตยังมีการประยุกต์ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกัน ตัวอย่างเช่น วิธีการของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นพื้นฐานในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดย ไวลส์ ซึ่งเป็นปัญหาที่ระบุไว้ในแง่ของเลขคณิตพื้นฐานและยังคงไม่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลาหลายศตวรรษ

ในช่วงศตวรรษที่ 19 การค้นพบหลายอย่างได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตอย่างมาก หนึ่งในการค้นพบที่เก่าแก่ที่สุดคือทฤษฎีบทเอเกรเกียม (Theorema Egregium ) ของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งกล่าวโดยคร่าวๆ ว่าความ โค้งเกาส์ของพื้นผิวไม่ขึ้นอยู่กับการฝัง ตัวใดๆ ในปริภูมิยูคลิดนี่หมายความว่าพื้นผิวสามารถศึกษาได้ในตัวมันเองนั่นคือในฐานะปริภูมิที่เป็นอิสระ และได้ขยายไปสู่ทฤษฎีของแมนิโฟลด์และเรขาคณิตแบบรีมันน์ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ปรากฏว่าเรขาคณิตที่ไม่มีสัจพจน์เส้นขนาน ( เรขาคณิตนอกยูคลิด ) สามารถพัฒนาได้โดยไม่ก่อให้เกิดความขัดแย้งใดๆ เรขาคณิตที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นการประยุกต์ใช้เรขาคณิตนอกยูคลิดที่มีชื่อเสียง

นับตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 ขอบเขตของเรขาคณิตได้ขยายออกไปอย่างมาก และสาขานี้ได้แตกแขนงออกเป็นสาขาย่อยมากมายที่ขึ้นอยู่กับวิธีการพื้นฐาน เช่นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเรขาคณิตเชิงคำนวณ โทโพโลยี เชิง พีชคณิตเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือที่เรียกว่าเรขาคณิตเชิงการจัดเรียง ) เป็นต้น หรือขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริภูมิยุคลิดที่ถูกละเลย เช่นเรขาคณิตเชิงฉายที่พิจารณาเฉพาะการเรียงตัวของจุดแต่ไม่พิจารณาระยะทางและความขนาน เรขาคณิต เชิง เส้น ที่ละเว้นแนวคิดเรื่องมุมและระยะทาง เรขาคณิตจำกัดที่ละเว้นความต่อเนื่อง และอื่นๆ การขยายขอบเขตของเรขาคณิตนี้ทำให้ความหมายของคำว่า "ปริภูมิ" เปลี่ยนไป ซึ่งเดิมหมายถึง ปริภูมิสามมิติของโลกทางกายภาพและแบบจำลองที่ได้จากเรขาคณิตยุคลิด ปัจจุบันปริภูมิทางเรขาคณิตหรือเรียกง่ายๆ ว่าปริภูมิคือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กำหนดเรขาคณิตบางอย่าง

จุดเริ่มต้นของเรขาคณิตที่บันทึกไว้สามารถสืบย้อนไปได้ถึงเมโสโปเตเมียและอียิปต์ โบราณ ในช่วงสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 5 ] [ 6 ]}เรขาคณิตยุคแรกเป็นการรวบรวมหลักการที่ค้นพบโดยประสบการณ์เกี่ยวกับความยาว มุม พื้นที่ และปริมาตร ซึ่งพัฒนาขึ้นเพื่อตอบสนองความต้องการในทางปฏิบัติบางอย่างในการสำรวจการก่อสร้างดาราศาสตร์และงานฝีมือต่างๆ ตำราเรขาคณิตที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักคือปาปิรัสไรนด์ของอียิปต์ (2000–1800 ปีก่อนคริสต์ศักราช) และปาปิรัสมอสโก ( ประมาณ 1890 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) และแผ่นดินเหนียวของบาบิโลนเช่นพลิมป์ตัน 322 (1900 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ตัวอย่างเช่น ปาปิรัสมอสโกให้สูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของพีระมิดตัดยอด หรือฟรัสตัม^{[ 7 ]}แผ่นดินเหนียวในยุคหลัง (350–50 ปีก่อนคริสตกาล) แสดงให้เห็นว่านักดาราศาสตร์ชาวบาบิโลนใช้ ขั้นตอน สี่เหลี่ยมคางหมู ในการคำนวณตำแหน่งและ การเคลื่อนที่ของดาวพฤหัสบดีภายในปริภูมิเวลา-ความเร็ว ขั้นตอนทางเรขาคณิตเหล่านี้คาดการณ์ถึงเครื่องคำนวณของอ็อกซ์ฟอร์ดรวมถึงทฤษฎีบทความเร็วเฉลี่ยในศตวรรษที่ 14 ^{[ 8 ]}ทางใต้ของอียิปต์ ชาวนูเบียโบราณได้สร้างระบบเรขาคณิตซึ่งรวมถึงนาฬิกาแดดรุ่นแรกๆ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสต์ศักราชนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อธาเลสแห่งมิเลตุสได้ใช้เรขาคณิตในการแก้ปัญหาต่างๆ เช่น การคำนวณความสูงของพีระมิดและระยะทางของเรือจากชายฝั่ง เขาได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ริเริ่มการใช้เหตุผลแบบนิรนัยในเรขาคณิต โดยการอนุมานบทสรุปสี่ประการจากทฤษฎีบทของธาเลส [ ^{11 ] พี}ทาโกรัสได้ก่อตั้งสำนักพีทาโกรัสซึ่งได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นครั้งแรก^[ 12 ] ^{แม้ว่าการ}กล่าวถึงทฤษฎีบทนี้จะมีประวัติความเป็นมาที่ยาวนาน^{[ 13 ] [ 14 ]}ยูโดซัส (408– ประมาณ 355 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ได้พัฒนาวิธีการหาปริมาตรซึ่งทำให้สามารถคำนวณพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงโค้งได้^{[ 15 ]}รวมถึงทฤษฎีอัตราส่วนที่หลีกเลี่ยงปัญหาของขนาดที่ไม่สามารถวัดได้ซึ่งทำให้นักเรขาคณิตรุ่นต่อมาสามารถก้าวหน้าได้อย่างมีนัยสำคัญ ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล เรขาคณิตได้รับการปฏิวัติโดยยูคลิด ซึ่ง หนังสือ Elements ของเขา ซึ่งได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นตำราเรียนที่ประสบความสำเร็จและมีอิทธิพลมากที่สุดตลอดกาล^{[ 16 ]}ได้นำเสนอความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ผ่านวิธีการเชิงสัจพจน์และเป็นตัวอย่างแรกสุดของรูปแบบที่ยังคงใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน นั่นคือ นิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์ แม้ว่าเนื้อหาส่วนใหญ่ของElements จะเป็นที่รู้จักอยู่แล้ว ยูคลิดก็ได้จัดเรียง เนื้อหาเหล่านั้นไว้ในกรอบตรรกะที่สอดคล้องกัน^{[ 17 ]} Elements เป็นที่รู้จักของผู้มีการศึกษาทุกคนในโลกตะวันตกจนถึงกลางศตวรรษที่ 20 และเนื้อหาของหนังสือเล่มนี้ยังคงถูกสอนในชั้นเรียนเรขาคณิตในปัจจุบัน^{[ 18 ]}อาร์คิมิดีส ( ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสตกาล ) แห่งเมืองซีราคิวส์ ประเทศอิตาลีใช้ระเบียบวิธีหาพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาโดยการบวกอนุกรมอนันต์และให้ค่าประมาณของพายที่แม่นยำอย่างน่าทึ่ง^{[ 19 ]}เขายังศึกษาเกลียวที่มีชื่อของเขาและได้สูตรสำหรับปริมาตรของพื้นผิวการหมุน

นักคณิตศาสตร์ ชาวอินเดียยังมีส่วนสำคัญมากมายในด้านเรขาคณิตคัมภีร์ศตปถพรหมณะ (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) มีกฎสำหรับการสร้างรูปทรงเรขาคณิตในพิธีกรรม ซึ่งคล้ายคลึงกับสุ ล บาสูตร^{[ 20 ]}ตามที่ ( Hayashi 2005 , หน้า 363) กล่าวไว้ Śulba Sūtrasประกอบด้วย "การแสดงออกทางวาจาที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงหลงเหลืออยู่ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในโลก แม้ว่าชาวบาบิโลนโบราณจะรู้จักทฤษฎีบทนี้อยู่แล้วก็ตาม" Śulba Sūtras ประกอบด้วยรายการของ^{สามเหลี่ยม}พีทาโกรัส [ ^{c ]}ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ [ ^{21 ] ใน} ต้นฉบับBakhshaliมีปัญหาทางเรขาคณิตอยู่จำนวนหนึ่ง (รวมถึงปัญหาเกี่ยวกับปริมาตรของทรงตันที่ไม่ปกติ) ต้นฉบับ Bakhshali ยัง "ใช้ระบบค่าตำแหน่งทศนิยมที่มีจุดแทนศูนย์" ^{[ 22 ]} AryabhatiyaของAryabhata (499) ประกอบด้วยการคำนวณพื้นที่และปริมาตร Brahmaguptaเขียนงานดาราศาสตร์ของเขาBrāhmasphuṭasiddhānta ในปี 628 บทที่ 12 ประกอบด้วย ภาษาสันสกฤต 66 ข้อบทต่างๆ แบ่งออกเป็นสองส่วน คือ "การดำเนินการพื้นฐาน" (รวมถึงรากที่สาม เศษส่วน อัตราส่วนและสัดส่วน และการแลกเปลี่ยน) และ "คณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติ" (รวมถึงส่วนผสม อนุกรมทางคณิตศาสตร์ รูปทรงเรขาคณิต การเรียงอิฐ การเลื่อยไม้ และการกองเมล็ดพืช) ^{[ 23 ]}ในส่วนหลังนี้ เขาได้กล่าวถึงทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลมบทที่ 12 ยังรวมถึงสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลม (ซึ่งเป็นการขยายสูตรของเฮรอน ) รวมถึงคำอธิบายที่สมบูรณ์ของ รูป สามเหลี่ยมเชิงตรรกะ ( เช่นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนตรรกะและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกะ) ^{[ 23 ]}

ในยุคกลางคณิตศาสตร์ในศาสนาอิสลามยุคกลางมีส่วนช่วยในการพัฒนาเรขาคณิต โดยเฉพาะเรขาคณิตเชิงพีชคณิต^{[ 24 ] [ 25 ]}อัล-มาฮานี (เกิด ค.ศ. 853) ได้คิดค้นแนวคิดในการลดปัญหาทางเรขาคณิต เช่น การ ทำซ้ำลูกบาศก์ ให้เป็นปัญหาในพีชคณิต^{[ 26 ]}ธาบิต อิบนุ กุรรอ (รู้จักกันในภาษาละติน ว่า เธบิต ) (ค.ศ. 836–901) ได้ศึกษา การดำเนินการ ทางเลขคณิตที่ใช้กับอัตราส่วนของปริมาณทางเรขาคณิต และมีส่วนช่วยในการพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ [ ^{27 ] โอ}มาร์ คัยยัม (ค.ศ. 1048–1131) ได้ค้นพบวิธีแก้ทางเรขาคณิตสำหรับ สม การลูกบาศก์^{[ 28 ]}ทฤษฎีบทของIbn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam และNasir al-Din al-Tusiเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมรวมถึงรูปสี่เหลี่ยม Lambertและรูปสี่เหลี่ยม Saccheriเป็นส่วนหนึ่งของแนวทางการวิจัยเกี่ยวกับสัจพจน์เส้นขนานที่นักเรขาคณิตชาวยุโรปรุ่นหลังได้สานต่อ รวมถึงVitello ( ประมาณ ค.ศ. 1230  – ประมาณ ค.ศ. 1314 ), Gersonides (ค.ศ. 1288–1344), Alfonso, John WallisและGiovanni Girolamo Saccheri ซึ่งนำไปสู่การค้นพบ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกในศตวรรษที่ 19 ^{[ 29 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 17 มีพัฒนาการที่สำคัญสองประการในเรขาคณิต ประการแรกคือการสร้างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ หรือเรขาคณิตที่มีพิกัดและสมการโดยเรเน่ เดส์การ์ต (1596–1650) และปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (1601–1665) ^{[ 30 ]}ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นเบื้องต้นสำหรับการพัฒนาแคลคูลัสและวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณที่แม่นยำของฟิสิกส์^{[ 31 ]}พัฒนาการทางเรขาคณิตประการที่สองในยุคนี้คือการศึกษาเรขาคณิตเชิงฉายภาพ อย่างเป็นระบบ โดย ฌาร์ด เดซาร์ กส์ (1591–1661) ^{[ 32 ]}เรขาคณิตเชิงฉายภาพศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การฉายภาพและการตัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับทัศนียภาพทางศิลปะ^{[ 33 ]}

การพัฒนาสองประการในเรขาคณิตในศตวรรษที่ 19 ได้เปลี่ยนวิธีการศึกษาเรขาคณิตแบบเดิม^{[ 34 ]}ได้แก่ การค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโดย Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai และ Carl Friedrich Gauss และการกำหนดสมมาตรเป็นประเด็นสำคัญในโครงการ ErlangenของFelix Klein (ซึ่งเป็นการขยายเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่แบบยุคลิด) นักเรขาคณิตผู้เชี่ยวชาญสองคนในยุคนั้น ได้แก่Bernhard Riemann (1826–1866) ซึ่งทำงานโดยใช้เครื่องมือจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เป็นหลัก และแนะนำพื้นผิว RiemannและHenri Poincaréผู้ก่อตั้งโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและทฤษฎีเรขาคณิตของระบบพลวัต ผลจากการเปลี่ยนแปลงครั้งสำคัญเหล่านี้ในแนวคิดของเรขาคณิต ทำให้แนวคิดของ " พื้นที่ " กลายเป็นสิ่งที่มีความหลากหลายและอุดมสมบูรณ์ และเป็นพื้นฐานตามธรรมชาติสำหรับทฤษฎีที่แตกต่างกัน เช่นการวิเคราะห์เชิงซ้อนและกลศาสตร์คลาสสิก^{[ 35 ]}

ต่อไปนี้เป็นแนวคิดที่สำคัญที่สุดบางประการในเรขาคณิต^{[ 3 ] [ 36 ]}

ยูคลิดใช้แนวทางเชิงนามธรรมในเรขาคณิตในหนังสือ Elements ของเขา [ ^{37 ] ซึ่ง}เป็นหนึ่งในหนังสือที่มีอิทธิพลมากที่สุดเท่าที่เคยเขียนมา^{[ 38 ]}ยูคลิดได้แนะนำสัจพจน์หรือสมมติฐาน บางประการ ซึ่งแสดงถึงคุณสมบัติหลักหรือคุณสมบัติที่เห็นได้ชัดของจุด เส้น และระนาบ^{[ 39 ]}เขาดำเนินการอนุมานคุณสมบัติอื่นๆ อย่างเข้มงวดโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ลักษณะเด่นของแนวทางของยูคลิดในเรขาคณิตคือความเข้มงวด และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ เรขาคณิต เชิงสัจพจน์หรือเรขาคณิตสังเคราะห์^{[ 40 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 การค้นพบเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดโดยNikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) และคนอื่นๆ^{[ 41 ]}นำไปสู่การฟื้นฟูความสนใจในสาขาวิชานี้ และในศตวรรษที่ 20 David Hilbert (1862–1943) ได้ใช้การให้เหตุผลเชิงสัจพจน์เพื่อพยายามวางรากฐานเรขาคณิตสมัยใหม่^{[ 42 ]}

โดยทั่วไปแล้ว จุดถือเป็นวัตถุพื้นฐานสำหรับการสร้างเรขาคณิต จุดอาจถูกกำหนดโดยคุณสมบัติที่ต้องมี เช่น ตามคำนิยามของยูคลิดที่ว่า "สิ่งที่ไม่มีส่วน" ^{[ 43 ]}หรือในเรขาคณิตสังเคราะห์ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ จุดโดยทั่วไปจะถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบของเซตที่เรียกว่าปริภูมิซึ่งปริภูมิเองก็ถูกกำหนด โดยสัจพจน์

ตามนิยามสมัยใหม่เหล่านี้ รูปทรงเรขาคณิตทุกรูปถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุด ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นในเรขาคณิตสังเคราะห์ ที่เส้นเป็นวัตถุพื้นฐานอีกอย่างหนึ่งซึ่งไม่ได้ถูกมองว่าเป็นเซตของจุดที่เส้นนั้นผ่าน

อย่างไรก็ตาม มีเรขาคณิตสมัยใหม่บางแบบที่จุดไม่ใช่วัตถุดั้งเดิม หรือแม้กระทั่งไม่มีจุด^{[ 44 ] [ 45 ]}หนึ่งในเรขาคณิตที่เก่าแก่ที่สุดดังกล่าวคือเรขาคณิตไร้จุดของไวท์เฮดซึ่งคิดค้นโดยอัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮดในปี พ.ศ. 2462–2463

ยูคลิดอธิบายเส้นตรงว่าเป็น "ความยาวที่ไม่มีความกว้าง" ซึ่ง "วางตัวเท่ากันเมื่อเทียบกับจุดบนตัวมันเอง" ^{[ 43 ]}ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เนื่องจากมีเรขาคณิตมากมาย แนวคิดของเส้นตรงจึงมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิธีการอธิบายเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เส้นตรงในระนาบมักถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกับสมการเชิงเส้น ที่กำหนด [ ^{46 ] แต่ในบริบทที่เป็นนามธรรม มาก}ขึ้น เช่นเรขาคณิตเชิงเหตุการณ์เส้นตรงอาจเป็นวัตถุอิสระที่แตกต่างจากเซตของจุดที่อยู่บนเส้นตรงนั้น^{[ 47 ]}ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เส้นจีโอเดสิกเป็นการขยายแนวคิดของเส้นตรงไปยังพื้นที่โค้ง^{[ 48 ]}

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระนาบคือพื้นผิวเรียบสองมิติที่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 43 ]}คำจำกัดความสำหรับเรขาคณิตประเภทอื่น ๆ เป็นการสรุปทั่วไปของระนาบ ระนาบถูกนำไปใช้ในหลายสาขาของเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ระนาบสามารถศึกษาได้ในฐานะพื้นผิวเชิงทอพอ โลยี โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงระยะทางหรือมุม^{[ 49 ]}สามารถศึกษาได้ในฐานะปริภูมิเชิงเส้นตรงซึ่งสามารถศึกษาความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงและอัตราส่วนได้ แต่ไม่สามารถศึกษาระยะทางได้^{[ 50 ] สามารถ}ศึกษาได้ในฐานะระนาบเชิงซ้อนโดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์เชิงซ้อน [ ^{51 ]}และอื่น ๆ

เส้นโค้งเป็นวัตถุ 1 มิติที่อาจเป็นเส้นตรง (เช่น เส้นตรง) หรือไม่เป็นเส้นตรงก็ได้ เส้นโค้งในพื้นที่ 2 มิติเรียกว่าเส้นโค้งระนาบและเส้นโค้งในพื้นที่ 3 มิติเรียกว่า เส้น โค้งอวกาศ^{[ 52 ]}

ในโทโพโลยี เส้นโค้งถูกกำหนดโดยฟังก์ชันจากช่วงของจำนวนจริงไปยังปริภูมิอื่น^{[ 49 ]}ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ จะใช้คำจำกัดความเดียวกัน แต่ฟังก์ชันที่กำหนดจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้^{[ 53 ]}เรขาคณิตเชิงพีชคณิตศึกษาเส้นโค้งเชิงพีชคณิตซึ่งถูกกำหนดให้เป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิตที่มีมิติหนึ่ง^{[ 54 ]}

พื้นผิวเป็นวัตถุสองมิติ เช่น ทรงกลมหรือพาราโบโลอิด^{[ 55 ]}ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์^{[ 53 ]}และโทโพโลยี [ ^{49 ] พื้น} ผิวจะถูกอธิบายโดย 'แพทช์' (หรือ ย่านใกล้เคียง ) สองมิติที่ประกอบขึ้นโดยดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมหรือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมตามลำดับ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต พื้นผิวจะถูกอธิบายโดยสมการพหุนาม^{[ 54 ]}

ทรงตันคือ วัตถุสามมิติที่มีขอบเขตเป็นพื้นผิวปิด ตัวอย่างเช่นลูกบอลคือ ปริมาตรที่มีขอบเขตเป็นทรงกลม

แมนิโฟลด์เป็นการขยายแนวคิดของเส้นโค้งและพื้นผิว ในทางโทโพโลยี แมนิโฟลด์คือปริภูมิโทโพโลยีที่ทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิยุคลิด^{[ 49 ]}ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้คือปริภูมิที่แต่ละบริเวณใกล้เคียงเป็นดิฟฟีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิยุคลิด^{[ 53 ]}

แมนิโฟลด์ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์ รวมถึงในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและทฤษฎีสตริง^{[ 56 ]}

ยูคลิดนิยามมุมระนาบว่าเป็นการเอียงระหว่างเส้นตรงสองเส้นในระนาบเดียวกันซึ่งตัดกันและไม่ได้วางตัวตรงต่อกัน^{[ 43 ]}ในแง่สมัยใหม่ มุมคือรูปทรงที่เกิดจากรังสี สองเส้น เรียกว่าด้านของมุม โดยมีจุดปลายร่วมกัน เรียกว่าจุดยอดของมุม^{[ 57 ]} ขนาดของมุมถูกกำหนดอย่างเป็นทางการเป็นการวัดเชิงมุม

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดมุมถูกใช้เพื่อศึกษารูปหลายเหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยมรวมถึงเป็นวัตถุในการศึกษาด้วย^{[ 43 ]}การศึกษามุมของรูปสามเหลี่ยมหรือมุมใน^{วงกลม}หน่วยเป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ [ ^{58 ]}

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสมุมระหว่างเส้นโค้งระนาบหรือเส้นโค้งหรือพื้นผิว ในอวกาศ สามารถคำนวณได้โดยใช้อนุพันธ์^{[ 59 ] [ 60 ]}

ความยาวพื้นที่และปริมาตรอธิบายถึงขนาดหรือขอบเขตของวัตถุในมิติเดียว สองมิติ และสามมิติ ตามลำดับ

ในเรขาคณิตยุคลิดและเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ความยาวของส่วนของเส้นตรงมักจะสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส^{[ 61 ]}

พื้นที่และปริมาตรสามารถกำหนดได้ว่าเป็นปริมาณพื้นฐานที่แยกจากความยาว หรือสามารถอธิบายและคำนวณได้ในแง่ของความยาวในระนาบหรือพื้นที่ 3 มิติ นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบสูตรที่ชัดเจนมากมายสำหรับพื้นที่และสูตรสำหรับปริมาตรของวัตถุทางเรขาคณิตต่างๆ ในแคลคูลัสพื้นที่และปริมาตรสามารถกำหนดได้ในแง่ของปริพันธ์เช่นปริพันธ์รีมันน์^{[ 62 ]}หรือปริพันธ์เลเบส^{[ 63 ]}

มาตรวัดทางเรขาคณิตอื่นๆ ได้แก่ความโค้งและความกะทัดรัด

แนวคิดเรื่องความยาวหรือระยะทางสามารถสรุปได้ ทำให้เกิดแนวคิดเรื่องเมตริก[ ^{64 ] ตัวอย่าง}เช่นเมตริกแบบยุคลิดวัดระยะทางระหว่างจุดในระนาบยุคลิดในขณะที่เมตริกแบบไฮเปอร์โบลิกวัดระยะทางในระนาบไฮเปอร์โบ ลิก ตัวอย่างเมตริกที่สำคัญอื่นๆ ได้แก่เมตริกแบบลอเรน ซ์ ของ ทฤษฎีสัม พัทธภาพพิเศษและเมตริกแบบเซมิ-รีมันน์ของ ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[ 65 ]}

ในอีกทิศทางหนึ่ง แนวคิดเรื่องความยาว พื้นที่ และปริมาตรได้รับการขยายโดยทฤษฎีการวัดซึ่งศึกษาถึงวิธีการกำหนดขนาดหรือการวัดให้กับเซตโดยที่การวัดเป็นไปตามกฎที่คล้ายกับพื้นที่และปริมาตรแบบคลาสสิก^{[ 66 ]}

ความสอดคล้องและความคล้ายคลึงเป็นแนวคิดที่อธิบายว่ารูปทรงสองรูปมีลักษณะที่คล้ายคลึงกันเมื่อใด^{[ 67 ]}ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ความคล้ายคลึงใช้เพื่ออธิบายวัตถุที่มีรูปร่างเหมือนกัน ในขณะที่ความสอดคล้องใช้เพื่ออธิบายวัตถุที่มีขนาดและรูปร่างเหมือนกัน^{[ 68 ]}ฮิลเบิร์ต ในงานของเขาเกี่ยวกับการสร้างรากฐานที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับเรขาคณิต ได้ ถือว่าความสอดคล้องเป็นคำที่ไม่ได้กำหนดไว้ซึ่งคุณสมบัติของมันถูกกำหนดโดยสัจพจน์

ความสอดคล้องและความคล้ายคลึงกันได้รับการสรุปไว้ในเรขาคณิตการแปลงซึ่งศึกษาคุณสมบัติของวัตถุทางเรขาคณิตที่ได้รับการรักษาไว้โดยการแปลงประเภทต่างๆ^{[ 69 ]}

นักเรขาคณิตคลาสสิกให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการสร้างวัตถุทางเรขาคณิตที่ได้รับการอธิบายในรูปแบบอื่น ในทางคลาสสิก เครื่องมือเพียงอย่างเดียวที่ใช้ในการสร้างทางเรขาคณิตส่วนใหญ่คือ^{วงเวียนและไม้บรรทัด [} d ] นอกจากนี้^{การสร้าง}ทุกครั้งจะต้องเสร็จสมบูรณ์ภายในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด อย่างไรก็ตาม ปัญหาบางอย่างกลับกลายเป็นเรื่องยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขด้วยวิธีการเหล่านี้เพียงอย่างเดียว และได้มีการค้นพบวิธีการสร้างที่ชาญฉลาดโดยใช้เนอุซิสพาราโบลา และเส้นโค้งอื่นๆ หรืออุปกรณ์เชิงกล

แนวคิดทางเรขาคณิตเรื่องการหมุนและการวางแนว กำหนดส่วนหนึ่งของการจัดวางวัตถุที่ฝังอยู่ในระนาบหรือในอวกาศ

เรขาคณิตแบบดั้งเดิมอนุญาตให้มีมิติ 1 ( เส้นตรงหรือเส้นโค้ง), 2 ( ระนาบหรือพื้นผิว) และ 3 (โลกโดยรอบของเราซึ่งถูกมองว่าเป็นพื้นที่สามมิติ ) ยิ่งไปกว่านั้น นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ได้ใช้มิติที่สูงกว่านี้มาเกือบสองศตวรรษแล้ว^{[ 70 ]}ตัวอย่างหนึ่งของการใช้มิติที่สูงกว่านี้ในทางคณิตศาสตร์คือปริภูมิการกำหนดค่าของระบบทางกายภาพ ซึ่งมีมิติเท่ากับระดับความเป็นอิสระ ของระบบ ตัวอย่างเช่น การกำหนดค่าของสกรูสามารถอธิบายได้ด้วยพิกัดห้าพิกัด^{[ 71 ]}

ในโทโพโลยีทั่วไปแนวคิดเรื่องมิติได้รับการขยายจากจำนวนธรรมชาติไปสู่มิติอนันต์ ( เช่นปริภูมิฮิลเบิร์ต ) และ จำนวนจริง บวก (ในเรขาคณิตแฟรกทัล ) ^{[ 72 ]}ในเรขาคณิตพีชคณิตมิติของวาไรตี้พีชคณิตได้รับคำจำกัดความที่ดูเหมือนแตกต่างกันหลายประการ ซึ่งทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากันในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่^{[ 73 ]}

แนวคิดเรื่องความสมมาตรในเรขาคณิตนั้นเก่าแก่เกือบเท่ากับวิทยาศาสตร์เรขาคณิตเอง^{[ 74 ]}รูปทรงสมมาตร เช่นวงกลมรูปหลายเหลี่ยมปกติและทรง หลายเหลี่ยม เพลโตมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับนักปรัชญาโบราณหลายคน^{[ 75 ]}และได้รับการศึกษาอย่างละเอียดก่อนยุคของยูคลิด^{[ 39 ]} รูป แบบสมมาตรเกิดขึ้นในธรรมชาติและถูกถ่ายทอดออกมาเป็นศิลปะในหลากหลายรูปแบบ รวมถึงภาพกราฟิกของเลโอนาร์โด ดา วินชีเอ็มซี เอสเชอร์และคนอื่นๆ^{[ 76 ]}ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 ความสัมพันธ์ระหว่างความสมมาตรและเรขาคณิตได้รับการตรวจสอบอย่างเข้มข้นโครงการ Erlangenของเฟลิกซ์ ไคลน์ประกาศว่า ในความหมายที่แม่นยำมาก ความสมมาตร ซึ่งแสดงออกผ่านแนวคิดของกลุ่ม การแปลง กำหนดว่าเรขาคณิตคืออะไร^{[ 77 ]}สมมาตรในเรขาคณิตยุคลิด แบบคลาสสิก แสดงโดยความสอดคล้องและการเคลื่อนที่แบบแข็ง ในขณะที่ในเรขาคณิตเชิงฉายภาพ บทบาทที่คล้ายคลึงกันนั้นเล่นโดยการแปลง เส้นตรง ซึ่งเป็นการ แปลงทางเรขาคณิตที่เปลี่ยนเส้นตรงให้เป็นเส้นตรง^{[ 78 ]}อย่างไรก็ตามแนวคิดของไคลน์ที่ว่า 'กำหนดเรขาคณิตผ่านกลุ่มสมมาตร ' ได้รับแรงบันดาลใจ จากเรขาคณิตแบบใหม่ของ Bolyai และ Lobachevsky, Riemann, Cliffordและ Klein และSophus Lie ^{[ 79 ]}ทั้งสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิต โดยแบบแรกมีบทบาทสำคัญในโทโพโลยีและทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต^{[ 80 ] [ 81 ]}ส่วนแบบหลังมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีLieและเรขาคณิตแบบ Riemannian ^{[ 82 ] [ 83 ]}

สมมาตรอีกประเภทหนึ่งคือหลักการของความเป็นคู่ในเรขาคณิตเชิงฉายภาพรวมถึงสาขาอื่นๆ ปรากฏการณ์เหนือธรรมชาตินี้สามารถอธิบายได้คร่าวๆ ดังนี้: ในทฤษฎีบทใดๆให้แลกเปลี่ยนจุดกับระนาบเชื่อมกับพบอยู่ในกับประกอบด้วยและผลลัพธ์ก็เป็นทฤษฎีบทที่เป็นจริงเช่นกัน^{[ 84 ]}รูปแบบของความเป็นคู่ที่คล้ายคลึงกันและเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดมีอยู่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ ของมัน ^{[ 85 ]}

เรขาคณิตแบบยุคลิดคือเรขาคณิตในความหมายแบบคลาสสิก^{[ 86 ]}เนื่องจากเป็นแบบจำลองของพื้นที่ในโลกทางกายภาพ จึงถูกนำไปใช้ในหลายสาขาวิทยาศาสตร์ เช่นกลศาสตร์ดาราศาสตร์ผลึกศาสตร์^{[ 87 ]}และหลายสาขาทางเทคนิค เช่นวิศวกรรม^{[ 88 ]}สถาปัตยกรรม [ ^{89 ]}การ^{สำรวจ}ทางภูมิศาสตร์ [ ^{90 ]}อากาศพลศาสตร์^{[ 91 ]}และการเดินเรือ^{[ 92 ]} หลักสูตรการศึกษาภาคบังคับของประเทศส่วน ใหญ่ รวมถึงการศึกษาแนวคิด ^แบบยุคลิด เช่นจุดเส้นระนาบมุมสามเหลี่ยมความสอดคล้องความคล้ายคลึงรูปทรงเรขาคณิตสามมิติวงกลมและเรขาคณิต^เชิงวิเคราะห์[ ^{93 ]}

เวกเตอร์ แบบ ยุคลิดถูกนำไป ใช้ ในงานประยุกต์มากมายในสาขาฟิสิกส์และวิศวกรรม เช่นตำแหน่งการกระจัดการเปลี่ยนรูปความเร็วความเร่งแรงเป็นต้น

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ใช้เทคนิคของแคลคูลัสและพีชคณิตเชิงเส้นเพื่อศึกษาปัญหาในเรขาคณิต^{[ 94 ]}มีการประยุกต์ใช้ใน^{ฟิสิกส์} [ 95 ^{] เศรษฐศาสตร์}เชิงปริมาณ [ ^{96 ]และชีว}สารสนเทศ[ 97 ^{] และ}อื่นๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มีความสำคัญต่อฟิสิกส์คณิตศาสตร์เนื่องจาก สมมติฐานสัม พัทธภาพทั่วไปของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ที่ว่าเอกภพมีลักษณะโค้ง^{[ 98 ]}เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์อาจเป็นแบบอินทรินสิก ( หมายความว่าปริภูมิที่พิจารณาเป็นแมนิโฟลด์เรียบซึ่งโครงสร้างทางเรขาคณิตถูกควบคุมโดยเมตริกแบบรีมันน์ซึ่งกำหนดวิธีการวัดระยะทางใกล้แต่ละจุด) หรือแบบเอ็กซ์ทรินสิก (โดยที่วัตถุที่กำลังศึกษาเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิยูคลิดแบนราบโดยรอบ) ^{[ 99 ]}

เรขาคณิตนอกยุคลิดประกอบด้วยเรขาคณิตสองแบบที่อิงตามสัจพจน์ซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสัจพจน์ที่กำหนดเรขาคณิตยุคลิดเนื่องจากเรขาคณิตยุคลิดอยู่ตรงจุดตัดของเรขาคณิตเมตริกและเรขาคณิตเชิงเส้นตรงเรขาคณิตนอกยุคลิดจึงเกิดขึ้นได้จากการแทนที่สัจพจน์เส้นขนานด้วยสัจพจน์อื่น หรือการพิจารณารูปแบบกำลังสองอื่นนอกเหนือจากรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนซึ่งเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเมตริกในกรณีแรก จะได้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตวงรีซึ่งเป็นเรขาคณิตนอกยุคลิดแบบดั้งเดิม เมื่อยอมรับรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิก แล้ว จะมีระนาบเชิงเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับ พีชคณิตระนาบซึ่งก่อให้เกิดเรขาคณิตจลนศาสตร์ที่เรียกว่าเรขาคณิตนอกยุคลิดเช่นกัน

โทโพโลยีเป็นสาขาที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของ การแม ^ปแบบต่อเนื่อง [ ^{100 ]}และสามารถถือได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของเรขาคณิตแบบยุคลิด^{[ 101 ]}ในทางปฏิบัติ โทโพโลยีมักหมายถึงการจัดการกับคุณสมบัติขนาดใหญ่ของพื้นที่ เช่นการเชื่อมต่อและความกะทัดรัด^{[ 49 ]}

สาขาวิชาโทโพโลยี ซึ่งมีการพัฒนาอย่างมากในศตวรรษที่ 20 นั้น ในเชิงเทคนิคแล้วถือเป็นเรขาคณิตการแปลง ประเภทหนึ่ง โดยที่การแปลงต่างๆ นั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม^{[ 102 ]}สิ่งนี้มักถูกแสดงออกมาในรูปแบบของคำกล่าวที่ว่า 'โทโพโลยีคือเรขาคณิตแผ่นยาง' สาขาย่อยของโทโพโลยี ได้แก่โทโพโลยีเชิง เรขาคณิต โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์โทโพโลยีเชิงพีชคณิตและ โทโพโล ยีทั่วไป^{[ 103 ]}

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยพื้นฐานแล้วคือการศึกษาโดยใช้ วิธี การทางพีชคณิตของรูปทรงเรขาคณิตบางรูปที่เรียกว่าเซตเชิงพีชคณิตซึ่งกำหนดเป็นศูนย์ ร่วม ของพหุนามหลายตัวแปร^{[ 104 ]}เรขาคณิตเชิงพีชคณิตกลายเป็นสาขาย่อยที่เป็นอิสระของเรขาคณิตราวปี ค.ศ. 1900ด้วยทฤษฎีบทที่เรียกว่าNullstellensatz ของ Hilbertซึ่งสร้างความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างเซตเชิงพีชคณิตและอุดมคติของวงแหวนพหุนามสิ่งนี้ทำให้เกิดการพัฒนาคู่ขนานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและคู่ขนานเชิงพีชคณิตที่เรียกว่าพีชคณิตสลับที่ [ ^{105 ] ตั้งแต่}ปลายทศวรรษ 1950 ถึงกลางทศวรรษ 1970 เรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้มีการพัฒนาพื้นฐานที่สำคัญด้วยการแนะนำทฤษฎีโครงร่างโดยAlexander Grothendieck ซึ่งช่วยให้สามารถใช้วิธีการทางโทโพโลยีรวมถึงทฤษฎีโคฮอโมโลยีในบริบทเชิงพีชคณิตล้วนๆ^{[ 105 ]}ทฤษฎีโครงร่างช่วยให้สามารถแก้ปัญหาที่ยากลำบากได้มากมาย ไม่เพียงแต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในทฤษฎีจำนวนด้วย การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของปัญหาที่ยาวนานในทฤษฎีจำนวนซึ่งการแก้ปัญหานั้นใช้ทฤษฎีโครงร่างและส่วนขยาย เช่นทฤษฎีสแต็กหนึ่งในเจ็ดปัญหาของรางวัลมิลเลนเนียม คือ ข้อ สันนิษฐานของฮอดจ์ซึ่งเป็นคำถามในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต^{[ 106 ]}

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา รวมถึงการเข้ารหัส^{[ 107 ]}และทฤษฎีสตริง^{[ 108 ]}

เรขาคณิตเชิงซ้อนศึกษาธรรมชาติของโครงสร้างทางเรขาคณิตที่จำลองขึ้นหรือเกิดขึ้นจากระนาบเชิงซ้อน^{[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]}เรขาคณิตเชิงซ้อนอยู่ตรงจุดตัดของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต และการวิเคราะห์ตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวและพบการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสตริงและสมมาตรกระจก^{[ 112 ]}

^{เรขาคณิตเชิงซ้อนปรากฏขึ้นครั้งแรกใน ฐานะ}สาขาการศึกษาที่แตกต่างในงานของBernhard Riemannในการศึกษาพื้นผิว Riemann ^[ 113 ^{] [ 114 ] [ 115 ]}งานในแนวทางของ Riemann ได้รับการดำเนินการโดยโรงเรียนเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของอิตาลีในช่วงต้นทศวรรษ 1900 การศึกษาเรขาคณิตเชิงซ้อนร่วมสมัยเริ่มต้นด้วยงานของJean-Pierre Serreผู้ซึ่งแนะนำแนวคิดของชีฟให้กับวิชานี้ และชี้ให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตเชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต^{[ 116 ] [ 117 ]} วัตถุหลักของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงซ้อน ได้แก่ แมนิโฟลด์ เชิงซ้อน วา ไรตี้เชิงพีชคณิตเชิงซ้อนและวาไรตี้เชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนรวมถึงบันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกและชีฟที่สอดคล้องกันเหนือปริภูมิเหล่านี้ ตัวอย่างพิเศษของปริภูมิที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงซ้อน ได้แก่ พื้นผิว Riemann และแมนิโฟลด์ Calabi–Yauและปริภูมิเหล่านี้มีการใช้งานในทฤษฎีสตริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเวิลด์ชีทของสตริงนั้นจำลองได้ด้วยพื้นผิวรีมันน์ และทฤษฎีซูเปอร์สตริงทำนายว่ามิติพิเศษ 6 มิติของปริภูมิเวลา 10 มิติ อาจจำลองได้ด้วยแมนิโฟลด์คาลาบี-เยา

เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องเป็นวิชาที่มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิตแบบนูน [ ^{118 ] [ 119 ] [ 120 ] โดย}ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับคำถามเกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของวัตถุทางเรขาคณิตอย่างง่าย เช่น จุด เส้น และวงกลม ตัวอย่างเช่น การศึกษา การจัดเรียง ทรงกลม การสร้าง สามเหลี่ยมสมมติฐาน Kneser-Poulsen เป็นต้น^{[ 121 ] [ 122 ]}และใช้วิธีการและหลักการหลายอย่างร่วมกับ คณิตศาสตร์ เชิง การจัดเรียง

เรขาคณิตเชิงคำนวณเกี่ยวข้องกับอัลกอริธึมและการนำไปใช้ในการจัดการวัตถุทางเรขาคณิต ปัญหาสำคัญในอดีตได้แก่ปัญหาพนักงานขายเดินทางต้นไม้ครอบคลุมขั้นต่ำการลบเส้นที่ซ่อนอยู่และการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น^{[ 123 ]}

แม้ว่าจะเป็นสาขาเรขาคณิตที่ยังใหม่ แต่ก็มีการประยุกต์ใช้มากมายในด้านคอมพิวเตอร์วิชั่นการประมวลผลภาพการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยการถ่ายภาพทางการแพทย์เป็นต้น^{[ 124 ]}

กลุ่มต่างๆ ได้รับการเข้าใจว่าเป็นวัตถุทางเรขาคณิตมาตั้งแต่โครงการ Erlangen ของ Kleinทฤษฎีกลุ่มทางเรขาคณิตศึกษาการกระทำของกลุ่มบนวัตถุที่ถือว่าเป็นเรขาคณิต (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระทำแบบไอโซเมตริกบนปริภูมิเมตริก ) เพื่อศึกษากลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดซึ่งมักเกี่ยวข้องกับเทคนิคทางเรขาคณิตขนาดใหญ่^{[ 125 ]}และยืมมาจากโทโพโลยี เรขาคณิต พลศาสตร์ และการวิเคราะห์^{[ 126 ]}มันมีผลกระทบอย่างมากต่อโทโพโลยีมิติต่ำผลลัพธ์ที่โด่งดังคือการพิสูจน์ของ Agol เกี่ยวกับสมมติฐาน Haken เสมือนจริงที่รวมการสร้างเรขาคณิตของ Perelmanเข้ากับเทคนิคการหาปริมาตร^{[ 127 ]}

การกระทำของกลุ่มบนกราฟ Cayley ของพวกเขานั้น เป็นตัวอย่างพื้นฐานของการกระทำของกลุ่มแบบไอโซเมตริก หัวข้อสำคัญอื่นๆ ได้แก่ กึ่ง ไอโซเมตริกกลุ่มไฮเปอร์โบลิก Gromovและการวางนัยทั่วไปของกลุ่มเหล่านั้น ( กลุ่ม ไฮ เปอร์โบลิกแบบสัมพัทธ์ และแบบอะซิลินดริก ) กลุ่มอิสระและ ออโตมอ ร์ ฟิซึมของกลุ่ม เหล่านั้นกลุ่มที่กระทำบนต้นไม้แนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับความโค้งที่ไม่เป็นบวกสำหรับกลุ่ม ( กลุ่ม CAT(0) ฟังก์ชัน Dehnความ เป็น อัตโนมัติ ...) กลุ่ม Artin มุมฉากและหัวข้อที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีกลุ่มเชิงคอมบินาทอ ริก เช่นทฤษฎีการหักล้างขนาดเล็กและปัญหาเชิงอัลกอริทึม (เช่น ปัญหาคำ ปัญหาการสมมูลและปัญหาไอโซมอร์ฟิซึม ) หัวข้อทฤษฎีกลุ่มอื่นๆ เช่นกลุ่มคลาสการแมปคุณสมบัติ(T) ความสามารถ ในการแก้ปัญหาความสามารถใน การปรับตัว และแลตทิซในกลุ่ม Lieบางครั้งก็ถือว่าเป็นเรขาคณิตอย่างเข้มข้นเช่นกัน^{[ 125 ] [ 128 ] [ 129 ] [ 130 ]}

เรขาคณิตนูนศึกษาเกี่ยวกับ รูปทรง นูนในปริภูมิยุคลิดและอนาล็อกเชิงนามธรรมที่มากกว่า โดยมักใช้เทคนิคการวิเคราะห์จริงและคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต [ ^{​​131 ] มี}ความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์นูนการเพิ่มประสิทธิภาพและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน

เรขาคณิตนูนมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ^{[ 131 ]}อาร์คิมิดีสได้ให้คำจำกัดความที่แม่นยำของความนูนเป็นครั้งแรกปัญหาไอโซเพอริเมตริกซึ่งเป็นแนวคิดที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ในเรขาคณิตนูน ได้รับการศึกษาโดยชาวกรีกเช่นกัน รวมถึงเซโนดอรัส อาร์คิมิดีส เพลโตยูคลิดและต่อมาเคปเลอร์และค็อกเซเตอร์ต่างก็ศึกษาโพลีโทปนูนและคุณสมบัติของมัน ตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา นักคณิตศาสตร์ได้ศึกษาด้านอื่นๆ ของคณิตศาสตร์นูน รวมถึงโพลีโทปมิติสูง ปริมาตรและพื้นที่ผิวของวัตถุนูน ความโค้งเกา ส์เซียน อัลกอริทึม การปูพื้นผิวและแลตทิซ

เรขาคณิตมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ซึ่งบางส่วนได้อธิบายไว้ด้านล่างนี้

คณิตศาสตร์และศิลปะมีความสัมพันธ์กันในหลายแง่มุม ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีทัศนียภาพแสดงให้เห็นว่าเรขาคณิตมีมากกว่าแค่คุณสมบัติเชิงเมตริกของรูปทรง: ทัศนียภาพเป็นต้นกำเนิดของเรขาคณิตเชิงฉาย^{[ 132 ]}

ศิลปินใช้แนวคิดเรื่องสัดส่วนในการออกแบบ มานานแล้ว วิทรูเวียสได้พัฒนาทฤษฎีที่ซับซ้อนเกี่ยวกับสัดส่วนที่เหมาะสมของรูปร่างมนุษย์^{[ 133 ]}แนวคิดเหล่านี้ถูกนำมาใช้และดัดแปลงโดยศิลปินตั้งแต่ไมเคิลแองเจโลไปจนถึงศิลปินการ์ตูนสมัยใหม่^{[ 134 ]}

อัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนเฉพาะที่มีบทบาทที่ถกเถียงกันในงานศิลปะ มักอ้างว่าเป็นอัตราส่วนความยาวที่สวยงามที่สุด และมักกล่าวกันว่าถูกนำไปใช้ในงานศิลปะที่มีชื่อเสียง แม้ว่าตัวอย่างที่น่าเชื่อถือและชัดเจนที่สุดจะถูกสร้างขึ้นโดยเจตนาโดยศิลปินที่ตระหนักถึงตำนานนี้^{[ 135 ]}

การปูพื้นหรือการเรียงต่อกันเป็นลวดลายได้ถูกนำมาใช้ในงานศิลปะตลอดประวัติศาสตร์ศิลปะอิสลามมีการใช้การเรียงต่อกันเป็นลวดลายบ่อยครั้ง เช่นเดียวกับงานศิลปะของMC Escher [ ^{136 ] งาน}ของ Escher ยังใช้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอีก ด้วย

เซซานเสนอทฤษฎีที่ว่าภาพทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นจากทรงกลมทรงกรวยและทรงกระบอกทฤษฎีนี้ยังคงใช้ในทฤษฎีศิลปะในปัจจุบัน แม้ว่ารายการรูปทรงที่แน่นอนจะแตกต่างกันไปในแต่ละศิลปิน^{[ 137 ] [ 138 ]}

เรขาคณิตมีการประยุกต์ใช้มากมายในงานสถาปัตยกรรม อันที่จริง มีการกล่าวกันว่าเรขาคณิตเป็นหัวใจสำคัญของการออกแบบสถาปัตยกรรม^{[ 139 ] [ 140 ]}การประยุกต์ใช้เรขาคณิตในงานสถาปัตยกรรม ได้แก่ การใช้เรขาคณิตเชิงฉายเพื่อสร้างทัศนียภาพแบบบังคับ^{[ 141 ]}การใช้ภาคตัดกรวยในการสร้างโดมและวัตถุที่คล้ายกัน^{[ 89 ] การ}ใช้การปูพื้นผิว [ ^{89 ]}และการใช้สมมาตร^{[ 89 ]}

สาขาดาราศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับการทำแผนที่ตำแหน่งของดาวและดาวเคราะห์บนทรงกลมท้องฟ้าและการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุท้องฟ้า ได้ทำหน้าที่เป็นแหล่งสำคัญของปัญหาทางเรขาคณิตตลอดประวัติศาสตร์^{[ 142 ]}

เรขาคณิตแบบรีมันน์และ เรขาคณิต แบบเสมือนรีมันน์ถูกนำมาใช้ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[ 143 ]}ทฤษฎีสตริงใช้เรขาคณิตหลายรูปแบบ^{[ 144 ]}เช่นเดียวกับทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม^{[ 145 ]}

แคลคูลัสได้รับอิทธิพลอย่างมากจากเรขาคณิต^{[ 30 ]}ตัวอย่างเช่น การนำพิกัด มาใช้ โดยเรเน่ เดส์การ์ตและการพัฒนาพีชคณิต ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ถือเป็นก้าวใหม่สำหรับเรขาคณิต เนื่องจากรูปทรงเรขาคณิต เช่นเส้นโค้งระนาบสามารถแสดงได้ทางคณิตศาสตร์ในรูปของฟังก์ชันและสมการ ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการกำเนิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ยังคงเป็นส่วนสำคัญของหลักสูตรก่อนแคลคูลัสและแคลคูลัส^{[ 146 ] [ 147 ]}

อีกหนึ่งสาขาการประยุกต์ใช้ที่สำคัญคือทฤษฎีจำนวน [ ^{148 ] ใน}สมัยกรีกโบราณชาวพีทาโกเรียนพิจารณาบทบาทของจำนวนในเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม การค้นพบความยาวที่ไม่สามารถวัดได้ขัดแย้งกับมุมมองทางปรัชญาของพวกเขา^{[ 149 ]}ตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา เรขาคณิตถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างเช่น ผ่านเรขาคณิตของจำนวนหรือเมื่อไม่นานมานี้ทฤษฎีโครงร่างซึ่งถูกนำมาใช้ใน การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา ต์โดยไวลส์^{[ 150 ]}

รายการ

• รายชื่อนักเรขาคณิต
  • หมวดหมู่: เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
  • หมวดหมู่: เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
  • หมวดหมู่: เรขาคณิต
  • หมวดหมู่: นักทอพอโลยี
• รายชื่อสูตรในเรขาคณิตเบื้องต้น
• รายชื่อหัวข้อเรขาคณิต
• รายชื่อสิ่งพิมพ์สำคัญในสาขาเรขาคณิต
• รายการหัวข้อทางคณิตศาสตร์

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

• เรขาคณิตเชิงพรรณนา
• Flatlandหนังสือที่เขียนโดย Edwin Abbottเกี่ยวกับพื้นที่สองมิติและสามมิติเพื่อให้เข้าใจแนวคิดของสี่มิติ
• รายชื่อซอฟต์แวร์เรขาคณิตเชิงโต้ตอบ

แอปพลิเคชันอื่นๆ

• เรขาคณิตโมเลกุล

เว็บไซต์ Wikibooks มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อ: เรขาคณิต

• "เรขาคณิต" สารานุกรมบริแทนนิกาเล่มที่ 11 (ฉบับที่ 11) 1911 หน้า  675–736
• หลักสูตรเรขาคณิตจากWikiversity
• โจทย์เรขาคณิตที่ไม่ธรรมดา
• ฟอรัมคณิตศาสตร์ – เรขาคณิตเก็บถาวรเมื่อวันที่ 28 มกราคม 2022 ที่ Wayback Machine
  • ฟอรัมคณิตศาสตร์ – เรขาคณิตระดับอนุบาล-มัธยมศึกษาตอนปลาย(เก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 เมษายน 2551 ที่ Wayback Machine)
  • ฟอรัมคณิตศาสตร์ – เรขาคณิตระดับวิทยาลัยเก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 เมษายน 2551 ที่ Wayback Machine
  • ฟอรัมคณิตศาสตร์ – เรขาคณิตขั้นสูงเก็บถาวรเมื่อวันที่ 16 เมษายน 2551 ที่ Wayback Machine
• เรื่องราวจากธรรมชาติ – หมุดและเชือก รูปทรงเรขาคณิตที่สโตนเฮนจ์
• แผนที่คณิตศาสตร์ – สาขาเรขาคณิตของคณิตศาสตร์
• "4000 ปีแห่งเรขาคณิต"การบรรยายโดย โรบิน วิลสัน ที่วิทยาลัยเกรแชมเมื่อวันที่ 3 ตุลาคม 2550 (สามารถดาวน์โหลดเป็นไฟล์ MP3 และ MP4 รวมถึงไฟล์ข้อความได้)
  • แนวคิดเรื่องความจำกัดในเรขาคณิตในสารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• ลานขยะเรขาคณิต
• คู่มืออ้างอิงเรขาคณิตเชิงโต้ตอบพร้อมแอปพลิเคชันหลายร้อยรายการ
• ภาพร่างเรขาคณิตแบบไดนามิก (พร้อมการสำรวจของนักเรียนบางส่วน)
• คลาสเรียนเรขาคณิตที่Khan Academy