สัจพจน์สมมติฐานหรือข้อสันนิษฐานคือข้อความที่ถือว่าเป็นจริง เพื่อใช้เป็นข้อตั้งต้นหรือจุดเริ่มต้นสำหรับการให้เหตุผลและการโต้แย้งต่อไป คำนี้มาจากคำภาษากรีกโบราณἀξίωμα ( axíōma ) ซึ่งหมายถึง 'สิ่งที่คิดว่าคู่ควรหรือเหมาะสม' หรือ 'สิ่งที่พิสูจน์ได้ว่าชัดเจน' ^{[ 1 ] [ 2 ]}

คำจำกัดความที่แน่นอนจะแตกต่างกันไปตามสาขาวิชา ในปรัชญาคลาสสิกสัจพจน์คือข้อความที่ชัดเจนหรือเป็นที่ยอมรับอย่างดีจนได้รับการยอมรับโดยไม่มีข้อโต้แย้งหรือคำถาม^{[ 3 ]}ในตรรกศาสตร์ สมัยใหม่ สัจพจน์คือข้อตั้งต้นหรือจุดเริ่มต้นสำหรับการให้เหตุผล^{[ 4 ]}

ในทางคณิตศาสตร์สัจพจน์อาจเป็น " สัจพจน์เชิงตรรกะ " หรือ " สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ " ^{[ 5 ] [ 2 ]}สัจพจน์เชิงตรรกะถือว่าเป็นจริงภายในระบบตรรกะที่กำหนดไว้ และมักแสดงในรูปแบบสัญลักษณ์ (เช่น ( AและB ) บ่งชี้A ) ในขณะที่สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะเป็นการยืนยันเนื้อหาเกี่ยวกับองค์ประกอบของโดเมนของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เฉพาะ เช่นa  + 0 =  aในเลขคณิตจำนวนเต็ม

สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะอาจเรียกว่า "สมมติฐาน" หรือ "สัจพจน์ที่แท้จริง" ก็ได้^{[ 6 ]}ในกรณีส่วนใหญ่ สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะเป็นเพียงการแสดงออกเชิงตรรกะอย่างเป็นทางการที่ใช้ในการอนุมานเพื่อสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ และอาจเป็นหรือไม่เป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง (เช่นสัจพจน์เส้นขนานในเรขาคณิตยุคลิด ) การกำหนดสัจพจน์ให้กับระบบความรู้คือการแสดงให้เห็นว่าข้ออ้างของระบบนั้นสามารถอนุมานได้จากชุดประโยคขนาดเล็กที่เข้าใจได้ดี (สัจพจน์) และโดยทั่วไปแล้วมีหลายวิธีในการกำหนดสัจพจน์ให้กับโดเมนทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด

สัจพจน์ใด ๆ ก็ตามเป็นข้อความที่ทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นซึ่งข้อความอื่น ๆ จะถูกอนุมานทางตรรกะ ไม่ว่าสัจพจน์จะมีความหมาย (และถ้ามี หมายความว่าอย่างไร) ก็ตาม เป็นเรื่องที่ถกเถียงกันในปรัชญาคณิตศาสตร์^{[ 7 ]}

คำว่าสัจพจน์มาจากคำภาษากรีกἀξίωμα ( axíōma ) ซึ่งเป็นคำนามกริยาจากกริยาἀξιόειν ( axioein ) หมายถึง "ถือว่าคู่ควร" แต่ยังหมายถึง "ต้องการ" ซึ่งมาจากἄξιος ( áxios ) หมายถึง "อยู่ในสมดุล" และด้วยเหตุนี้จึงหมายถึง "มีค่า (เท่ากัน)" "คู่ควร" "เหมาะสม" ในหมู่นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ สัจพจน์ถือเป็นข้อเสนอที่ชัดเจนในทันที เป็นพื้นฐานและเป็นเรื่องธรรมดาในหลายสาขาการวิจัย และเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดโดยไม่ต้องมีการโต้แย้งหรือพิสูจน์เพิ่มเติม^{[ 8 ]}

ความหมายดั้งเดิมของคำว่าpostulateคือ "เรียกร้อง" ตัวอย่างเช่นยูคลิดเรียกร้องให้ทุกคนยอมรับว่าบางสิ่งสามารถทำได้ (เช่น จุดสองจุดใดๆ ก็สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงได้) ^{[ 9 ]}

นักเรขาคณิตโบราณยังคงรักษาความแตกต่างระหว่างสัจพจน์และสมมติฐานเอาไว้ ในขณะที่แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับหนังสือของยูคลิดโพรคลัสกล่าวว่า " เจมินัสถือว่าสมมติฐานข้อที่ 4 นี้ไม่ควรจัดเป็นสมมติฐาน แต่เป็นสัจพจน์ เนื่องจากมันไม่ได้ยืนยันความเป็นไปได้ของการสร้างบางอย่างเหมือนสมมติฐานสามข้อแรก แต่แสดงคุณสมบัติที่สำคัญ" ^{[ 10 ]}โบเอทิอุสแปลคำว่า 'สมมติฐาน' ว่าpetitioและเรียกสัจพจน์ว่าnotiones communesแต่ในต้นฉบับในภายหลัง การใช้แบบนี้ไม่ได้ถูกยึดถืออย่างเคร่งครัดเสมอไป

วิธีการอนุมานเชิงตรรกะซึ่งข้อสรุป (ความรู้ใหม่) มาจากข้อสมมติ (ความรู้เดิม) ผ่านการใช้เหตุผลที่ถูกต้อง ( ตรรกบท , กฎการอนุมาน ) ได้รับการพัฒนาโดยชาวกรีกโบราณ และกลายเป็นหลักการสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ หากไม่นับ สัจพจน์แล้ว จะไม่สามารถอนุมานอะไรได้เลยหากไม่มีการสมมติสิ่งใดไว้ ดังนั้น สัจพจน์และสมมติฐานจึงเป็นข้อสมมติพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังความรู้เชิงอนุมานที่กำหนดไว้ ข้อสมมติเหล่านี้ได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ ข้อความยืนยันอื่นๆ ทั้งหมด ( ทฤษฎีบทในกรณีของคณิตศาสตร์) จะต้องได้รับการพิสูจน์โดยอาศัยข้อสมมติพื้นฐานเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม การตีความความรู้ทางคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนแปลงไปตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน และด้วยเหตุนี้ คำว่าสัจพจน์และสมมติฐานจึงมีความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับนักคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน เมื่อเทียบกับอริสโตเติลและยูคลิด^{[ 8 ]}

ชาวกรีกโบราณถือว่าเรขาคณิตเป็นเพียงหนึ่งในวิทยาศาสตร์ หลาย แขนง และถือว่าทฤษฎีบทของเรขาคณิตเทียบเท่ากับข้อเท็จจริงทางวิทยาศาสตร์ ดังนั้น พวกเขาจึงพัฒนาและใช้วิธีการอนุมานเชิงตรรกะเป็นวิธีการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด และเพื่อจัดโครงสร้างและสื่อสารความรู้ หนังสือPosterior Analytics ของอริสโตเติล เป็นการอธิบายมุมมองแบบคลาสสิกอย่างชัดเจน^{[ 11 ]}

ในทางศัพท์คลาสสิก "สัจพจน์" หมายถึง ข้อสันนิษฐาน ที่ชัดเจนในตัวเองซึ่งพบได้ทั่วไปในหลายสาขาวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างที่ดีคือข้อความที่ว่า:

เมื่อนำจำนวนที่เท่ากันมาหักออกจากจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะมีจำนวนที่เท่ากันเช่นกัน

พื้นฐานของวิทยาศาสตร์ต่างๆ นั้นมีสมมติฐาน เพิ่มเติมบางประการที่ได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ สมมติฐานดังกล่าวเรียกว่า หลักการ พื้นฐาน ในขณะที่สัจพจน์นั้นเป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในวิทยาศาสตร์หลายแขนง แต่หลักการพื้นฐานของวิทยาศาสตร์แต่ละแขนงนั้นแตกต่างกัน ความถูกต้องของหลักการพื้นฐานเหล่านั้นต้องได้รับการพิสูจน์โดยอาศัยประสบการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง อริสโตเติลเตือนว่าเนื้อหาของวิทยาศาสตร์ไม่สามารถสื่อสารได้อย่างประสบความสำเร็จหากผู้เรียนสงสัยในความจริงของหลักการพื้นฐาน^{[ 12 ]}

แนวทางแบบคลาสสิกได้รับการอธิบายอย่างชัดเจน^{[ a ]}โดยหนังสือ Elementsของยูคลิดซึ่งมีรายการของสมมติฐาน (ข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่สมเหตุสมผลซึ่งได้มาจากประสบการณ์ของเรา) ตามด้วยรายการของ "แนวคิดทั่วไป" (ข้อความพื้นฐานที่ชัดเจนในตัวเอง)

สมมติฐาน

1. สามารถลากเส้นตรงจากจุดใดๆ ไปยังจุดอื่นๆ ได้
2. สามารถต่อเส้นตรงให้ต่อเนื่องได้ทั้งสองทิศทาง
3. เราสามารถวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีใดๆ ก็ได้
4. เป็นความจริงที่ว่ามุมฉากทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
5. (" สัจพจน์เส้นขนาน ") กล่าวคือ ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมภายในด้านเดียวกันมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงทั้งสองนั้น ถ้าลากต่อไปเรื่อยๆจะตัดกันที่ด้านที่มีมุมภายในน้อยกว่าสองมุมฉาก

แนวคิดทั่วไป

1. สิ่งที่มีค่าเท่ากับสิ่งเดียวกัน ย่อมมีค่าเท่ากันด้วย
2. ถ้านำสิ่งเท่ากันมาบวกกับสิ่งเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเท่ากัน
3. ถ้านำจำนวนที่เท่ากันมาลบออกจากจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากัน
4. สิ่งที่ตรงกันย่อมเท่ากัน
5. ส่วนรวมนั้นยิ่งใหญ่กว่าส่วนย่อย

บทเรียนหนึ่งที่คณิตศาสตร์ได้เรียนรู้ในช่วง 150 ปีที่ผ่านมาคือ การแยกแยะความหมายออกจากข้อความทางคณิตศาสตร์ (สัจพจน์ สมมติฐานข้อเสนอทฤษฎีบท) และคำจำกัดความนั้นมีประโยชน์ เราต้องยอมรับความจำเป็นของแนวคิดพื้นฐานหรือคำศัพท์หรือแนวคิดที่ยังไม่ได้นิยาม ในการศึกษาใดๆ การสรุปหรือการทำให้เป็นทางการเช่นนี้ทำให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีความเป็นทั่วไปมากขึ้น สามารถมีความหมายได้หลากหลาย และจึงมีประโยชน์ในบริบทต่างๆอเลสซานโดร ปาโดอา , มาริโอ ปิเอรีและจูเซปเป เปอาโนเป็นผู้บุกเบิกในขบวนการนี้

คณิตศาสตร์เชิงโครงสร้างนิยมก้าวไปไกลกว่านั้น โดยพัฒนาทฤษฎีและสัจพจน์ (เช่นทฤษฎีฟิลด์ทฤษฎีกลุ่มโทโพโลยี ปริภูมิเวกเตอร์ ) โดยไม่ได้ คำนึงถึงการประยุกต์ใช้ ใดๆเป็นพิเศษ ความแตกต่างระหว่าง "สัจพจน์" และ "สมมติฐาน" จึงหายไป สมมติฐานของยูคลิดได้รับการอธิบายอย่างมีประโยชน์โดยกล่าวว่ามันนำไปสู่ข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตมากมาย ความจริงของข้อเท็จจริงที่ซับซ้อนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการยอมรับสมมติฐานพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม หากละทิ้งสมมติฐานข้อที่ห้าของยูคลิดไป ก็จะได้ทฤษฎีที่มีความหมายในบริบทที่กว้างขึ้น (เช่นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ) ดังนั้น จึงต้องเตรียมพร้อมที่จะใช้คำต่างๆ เช่น "เส้นตรง" และ "เส้นขนาน" ด้วยความยืดหยุ่นมากขึ้น การพัฒนาเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสอนนักคณิตศาสตร์ว่าการพิจารณาสมมติฐานว่าเป็นเพียงข้อความที่เป็นทางการ ไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่อิงจากประสบการณ์นั้นมีประโยชน์

เมื่อนักคณิตศาสตร์ใช้สัจพจน์ของสนาม เจตนาของพวกเขาจะยิ่งเป็นนามธรรมมากขึ้น ข้อเสนอของทฤษฎีสนามไม่ได้เกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ใดโดยเฉพาะ นักคณิตศาสตร์ทำงานในระดับนามธรรมอย่างสมบูรณ์ มีตัวอย่างของสนามมากมาย ทฤษฎีสนามให้ความรู้ที่ถูกต้องเกี่ยวกับตัวอย่างเหล่านั้นทั้งหมด

การกล่าวว่าสัจพจน์ของทฤษฎีสนามเป็น "ข้อเสนอที่ถือว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์" นั้นไม่ถูกต้อง แท้จริงแล้วสัจพจน์ของทฤษฎีสนามเป็นชุดของข้อจำกัด หากระบบการบวกและการคูณใดๆ เป็นไปตามข้อจำกัดเหล่านี้ ก็จะทำให้เราสามารถทราบข้อมูลเพิ่มเติมมากมายเกี่ยวกับระบบนั้นได้ในทันที

คณิตศาสตร์สมัยใหม่ได้วางรากฐานอย่างเป็นทางการจนถึงขั้นที่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์สามารถถือได้ว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ และตัวคณิตศาสตร์เองก็สามารถถือได้ว่าเป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์เฟรเก , รัสเซลล์ , ปวงกาเร , ฮิลเบิร์ตและเกอเดลเป็นบุคคลสำคัญบางส่วนในการพัฒนาด้านนี้

อีกบทเรียนหนึ่งที่ได้เรียนรู้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือ การตรวจสอบข้อพิสูจน์ที่กล่าวอ้างอย่างรอบคอบเพื่อค้นหาข้อสมมติฐานที่ซ่อนอยู่

ในความเข้าใจสมัยใหม่ ชุดของสัจพจน์คือกลุ่มของข้อความที่ระบุไว้อย่างเป็นทางการ ซึ่งเป็นที่มาของข้อความที่ระบุไว้อย่างเป็นทางการอื่นๆ โดยอาศัยกฎที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ในมุมมองนี้ ตรรกศาสตร์จึงเป็นเพียงระบบที่เป็นทางการอีกระบบหนึ่ง ชุดของสัจพจน์ควรมีความสอดคล้องกัน กล่าวคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะหาข้อขัดแย้งจากสัจพจน์เหล่านั้น ชุดของสัจพจน์ควรไม่ซ้ำซ้อน ข้อความที่สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์อื่นๆ ไม่จำเป็นต้องถือว่าเป็นสัจพจน์

ความหวังในช่วงแรกของนักตรรกศาสตร์สมัยใหม่คือสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ หรืออาจจะคณิตศาสตร์ทั้งหมด สามารถอนุมานได้จากชุดของสัจพจน์พื้นฐานที่สอดคล้องกัน ความสำเร็จในช่วงแรกของโครงการแบบฟอร์มาลิสต์คือการกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการของฮิลเบิร์ต^{[ b ]}ของเรขาคณิตยุคลิด [ ^{13 ] และการ สาธิต}ความสอดคล้องกันของสัจพจน์เหล่านั้นที่เกี่ยวข้อง

ในบริบทที่กว้างขึ้น มีความพยายามที่จะใช้ทฤษฎีเซตของแคนเตอร์ เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด แต่การเกิดขึ้นของปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์และความขัดแย้งในลักษณะเดียวกันของทฤษฎีเซตแบบง่ายๆทำให้เกิดความเป็นไปได้ว่าระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน

โครงการแบบฟอร์มาลิสต์ประสบความล้มเหลวเมื่อศตวรรษที่แล้ว เมื่อเกอเดลแสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่ชุดของสัจพจน์ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ( เช่น สัจพจน์ของพีอาโน ) จะสร้างข้อความที่มีความจริงเป็นอิสระจากชุดของสัจพจน์นั้นผลที่ตามมา คือ เกอเดลพิสูจน์ว่าความสอดคล้องของทฤษฎีเช่นเลขคณิตของพีอาโนเป็นการยืนยันที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในขอบเขตของทฤษฎีนั้น^{[ 14 ]}

เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะเชื่อในความสอดคล้องของเลขคณิตของ Peano เนื่องจากระบบจำนวนธรรมชาติซึ่ง เป็นระบบที่เป็นทางการ ที่ไม่มีที่สิ้นสุดแต่เข้าถึงได้โดยสัญชาตญาณนั้นเป็นไปตามนั้น อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันยังไม่มีวิธีใดที่ทราบในการพิสูจน์ความสอดคล้องของสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel สมัยใหม่ สำหรับทฤษฎีเซต ยิ่งไปกว่านั้น การใช้เทคนิคการบังคับ ( Cohen ) สามารถแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานความต่อเนื่อง (Cantor) เป็นอิสระจากสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel ^{[ 5 ]}ดังนั้น แม้แต่ชุดสัจพจน์ทั่วไปนี้ก็ไม่สามารถถือได้ว่าเป็นรากฐานที่แน่นอนสำหรับคณิตศาสตร์

วิทยาศาสตร์เชิงทดลอง – ซึ่งแตกต่างจากคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ – ก็มีหลักการพื้นฐานทั่วไปที่สามารถนำมาใช้สร้างตรรกะแบบนิรนัยเพื่อแสดงข้อเสนอที่ทำนายคุณสมบัติได้ – ไม่ว่าจะเป็นคุณสมบัติทั่วไปหรือเฉพาะเจาะจงมากขึ้นในบริบทการทดลองเฉพาะ ตัวอย่างเช่นกฎของนิวตันในกลศาสตร์คลาสสิกสมการของแม็กซ์เวลล์ในแม่เหล็กไฟฟ้าคลาสสิก สมการของไอน์สไตน์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปกฎพันธุศาสตร์ของเมนเด ล กฎ การคัดเลือกโดยธรรมชาติของดาร์วินเป็นต้น หลักการพื้นฐานเหล่านี้มักเรียกว่าหลักการหรือสมมติฐานเพื่อแยกแยะจากสัจพจน์ ทาง คณิตศาสตร์

อันที่จริงแล้ว บทบาทของสัจพจน์ในคณิตศาสตร์และสมมติฐานในวิทยาศาสตร์เชิงทดลองนั้นแตกต่างกัน ในคณิตศาสตร์นั้น เราไม่สามารถ "พิสูจน์" หรือ "หักล้าง" สัจพจน์ได้ ชุดของสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ให้ชุดของกฎที่กำหนดขอบเขตทางความคิด ซึ่งทฤษฎีบทต่างๆ จะเป็นไปตามหลักตรรกะ ในทางตรงกันข้าม ในวิทยาศาสตร์เชิงทดลอง ชุดของสมมติฐานจะช่วยให้สามารถอนุมานผลลัพธ์ที่ตรงหรือไม่ตรงกับผลการทดลองได้ หากสมมติฐานไม่สามารถอนุมานการคาดการณ์จากการทดลองได้ สมมติฐานเหล่านั้นก็ไม่ได้กำหนดกรอบความคิดทางวิทยาศาสตร์ และจะต้องได้รับการเติมเต็มหรือทำให้แม่นยำยิ่งขึ้น หากสมมติฐานช่วยให้อนุมานการคาดการณ์จากการทดลองได้ การเปรียบเทียบกับการทดลองจะช่วยให้สามารถหักล้าง ( หรือพิสูจน์ว่าผิด ) ทฤษฎีที่สมมติฐานเหล่านั้นสร้างขึ้นได้ ทฤษฎีจะถือว่าถูกต้องตราบใดที่ยังไม่ถูกหักล้าง

โดยทั่วไปแล้ว การเปลี่ยนผ่านระหว่างสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์และสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์มักจะค่อนข้างคลุมเครือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาฟิสิกส์ เนื่องจากการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อย่างหนักเพื่อสนับสนุนทฤษฎีทางฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น การนำเสนอกฎของนิวตันนั้น แทบจะไม่เคยกำหนดให้ต้องใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดหรือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นเงื่อนไขเบื้องต้นเลย เรื่องนี้ชัดเจนมากขึ้นเมื่ออัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ นำเสนอทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษเป็นครั้งแรกซึ่งปริมาณไม่เปลี่ยนแปลงไม่ใช่ความยาวแบบยุคลิด(กำหนดโดย) > แต่เป็นช่วงเวลาของปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกี(กำหนดโดย) และต่อมาในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งเรขาคณิตแบบมินคอฟสกีแบบราบถูกแทนที่ด้วยเรขาคณิตแบบซูโด-รีมันน์บนแมนิโฟลด์โค้ง ${\displaystyle l}$${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

ในฟิสิกส์ควอนตัม ชุดของสมมติฐานสองชุดได้ดำรงอยู่ร่วมกันมาระยะหนึ่งแล้ว ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ดีมากของการพิสูจน์ความเท็จ ' สำนักโคเปนเฮเกน ' ( นีลส์ โบห์ร , เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก , แม็กซ์ บอร์น^)ได้พัฒนาแนวทางเชิงปฏิบัติการด้วยรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เกือบ^{สมบูรณ์}ซึ่งเกี่ยวข้องกับการอธิบายระบบควอนตัมด้วยเวกเตอร์ ('สถานะ') ในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ และปริมาณทางกายภาพเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำในปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้ แนวทางนี้สามารถพิสูจน์ความเท็จได้อย่างสมบูรณ์ และจนถึงปัจจุบันได้สร้างการทำนายที่แม่นยำที่สุดในฟิสิกส์ แต่มีข้อเสียคือไม่สามารถให้คำตอบสำหรับคำถามที่คนเรามักถามได้ ด้วยเหตุนี้ จึงมีการพัฒนาแนวทาง ' ตัวแปรซ่อนเร้น ' อีกแนวทางหนึ่งขึ้นมาระยะหนึ่งโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เออร์วิน ชโรดิงเกอร์และเดวิด โบห์ม แนวทาง นี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อพยายามให้คำอธิบายเชิงกำหนดแก่ปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นการพัวพันแนวทางนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าคำอธิบายของสำนักโคเปนเฮเกนยังไม่สมบูรณ์ และตั้งสมมติฐานว่าจำเป็นต้องเพิ่มตัวแปรที่ยังไม่ทราบค่าเข้าไปในทฤษฎี เพื่อให้สามารถตอบคำถามบางข้อที่ทฤษฎียังตอบไม่ได้ (ซึ่งองค์ประกอบพื้นฐานเหล่านี้ได้ถูกกล่าวถึงในชื่อปรากฏการณ์ EPRในปี 1935) เมื่อพิจารณาแนวคิดนี้อย่างจริงจังจอห์น เบลล์จึงได้ทำการคาดการณ์ในปี 1964 ซึ่งจะนำไปสู่ผลการทดลองที่แตกต่างกัน ( อสมการของเบลล์ ) ในกรณีของโคเปนเฮเกนและกรณีตัวแปรที่ซ่อนอยู่ การทดลองนี้ดำเนินการครั้งแรกโดยอลัน แอสเปคต์ในช่วงต้นทศวรรษ 1980 และผลลัพธ์ที่ได้นั้นได้ตัดความเป็นไปได้ของตัวแปรที่ซ่อนอยู่แบบง่ายๆ ออกไป

แนวทางนี้ (ตัวแปรซ่อนเร้นที่ซับซ้อนอาจยังคงมีอยู่ แต่คุณสมบัติของมันจะยังคงสร้างความรบกวนมากกว่าปัญหาที่มันพยายามแก้ไข) นี่ไม่ได้หมายความว่ากรอบแนวคิดของฟิสิกส์ควอนตัมจะถือว่าสมบูรณ์แล้วในขณะนี้ เนื่องจากยังมีคำถามเปิดอยู่อีกหลายข้อ (เช่น ขอบเขตระหว่างโลกควอนตัมและโลกคลาสสิก เกิดอะไรขึ้นระหว่างการวัดควอนตัม เกิดอะไรขึ้นในระบบควอนตัมที่ปิดสนิท เช่น เอกภพ เป็นต้น) 

ในสาขาตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์มีการแบ่งแยกอย่างชัดเจนระหว่างแนวคิดของสัจพจน์สองประเภท ได้แก่ สัจพจน์เชิงตรรกะและสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ (คล้ายคลึงกับการแบ่งแยกในสมัยโบราณระหว่าง "สัจพจน์" และ "สมมติฐาน" ตามลำดับ)

สิ่งเหล่านี้คือสูตร บางอย่าง ในภาษาเชิงรูปธรรมที่มีความถูกต้องสากลกล่าวคือ สูตรที่สอดคล้องกับการกำหนดค่าทุกค่า โดยปกติแล้ว เราจะใช้สัจพจน์ทางตรรกะอย่างน้อยชุดหนึ่งของสัจนิรันดร์ที่เพียงพอสำหรับการพิสูจน์สัจนิรันดร์ ทั้งหมด ในภาษานั้น ในกรณีของตรรกะภาคแสดงจะต้องมีสัจพจน์ทางตรรกะมากกว่านั้น เพื่อพิสูจน์ความจริงทางตรรกะที่ไม่ใช่สัจนิรันดร์ในความหมายที่แท้จริง

ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สูตรทั้งหมดที่มีรูปแบบต่อไปนี้เป็นสัจพจน์เชิงตรรกะ โดยที่และสามารถเป็นสูตรใดๆ ก็ได้ในภาษา และตัวเชื่อมพื้นฐาน ที่รวมอยู่ จะมีเพียง " " สำหรับการปฏิเสธของประพจน์ที่ตามมาทันที และ " " สำหรับการบ่งชี้จากประพจน์ที่เป็นเหตุไปสู่ประพจน์ที่เป็นผลลัพธ์: ${\displaystyle \phi ,}$${\displaystyle \chi ,}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \to }$

1. ${\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}$
2. ${\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}$
3. ${\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).}$

แต่ละรูปแบบเหล่านี้คือแผนผังสัจพจน์ซึ่งเป็นกฎสำหรับการสร้างสัจพจน์จำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น ถ้า, , และเป็นตัวแปรเชิงประพจน์แล้วและต่างก็เป็นตัวอย่างของแผนผังสัจพจน์ที่ 1 และดังนั้น จึงเป็นสัจพจน์ สามารถแสดงได้ว่าด้วยแผนผังสัจพจน์ทั้งสามนี้และmodus ponens เพียง อย่างเดียว ก็สามารถพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดของแคลคูลัสเชิงประพจน์ได้ นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าไม่มีแผนผังสัจพจน์คู่ใดที่เพียงพอสำหรับการพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดด้วยmodus ponens ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\to (B\to A)}$${\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))}$

สามารถสร้างแผนผังสัจพจน์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับชุดตัวเชื่อมดั้งเดิมชุดเดียวกันหรือต่างกันได้^{[ 15 ]}

แผนผังสัจพจน์เหล่านี้ยังใช้ในแคลคูลัสภาคแสดง ด้วย แต่จำเป็นต้องมีสัจพจน์เชิงตรรกะเพิ่มเติมเพื่อรวมตัวบ่งปริมาณในแคลคูลัส^{[ 16 ]}

นี่หมายความว่า สำหรับสัญลักษณ์ตัวแปร ใดๆ สูตรนี้สามารถถือได้ว่าเป็นสัจพจน์ นอกจากนี้ ในตัวอย่างนี้ เพื่อไม่ให้เกิดความคลุมเครือและกลายเป็นชุดของ "แนวคิดพื้นฐาน" ที่ไม่มีวันจบสิ้น จำเป็นต้องมีการกำหนดแนวคิดที่ชัดเจนว่าหมายถึงอะไร (หรือ "เท่ากัน") ก่อน หรือต้องบังคับใช้การใช้สัญลักษณ์ในเชิงรูปแบบและไวยากรณ์อย่างเคร่งครัด โดยมองว่าเป็นเพียงสตริงและสตริงของสัญลักษณ์เท่านั้น และตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ก็ทำเช่นนั้นจริงๆ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x=x}$${\displaystyle x=x}$${\displaystyle =}$

อีกหนึ่งตัวอย่างของ โครงสร้างสัจพจน์ที่น่าสนใจกว่าคือ โครงสร้างที่ให้สิ่งที่เรียกว่าการแทนค่าแบบสากล (universal instantiation )

โดยที่สัญลักษณ์แทนสูตรที่มีการแทนที่ตัวแปรด้วย. (ดูการแทนที่ตัวแปร ) ในแง่ที่ไม่เป็นทางการ ตัวอย่างนี้ช่วยให้เราสามารถกล่าวได้ว่า ถ้าเรารู้ว่าคุณสมบัติบางอย่างเป็นจริงสำหรับทุกและแทนวัตถุเฉพาะในโครงสร้างของเรา เราก็ควรจะสามารถอ้างได้ว่า. อีกครั้งเรากำลังอ้างว่าสูตรนั้นถูกต้องนั่นคือ เราต้องสามารถให้ "การพิสูจน์" ของข้อเท็จจริงนี้ หรือพูดให้ถูกต้องกว่านั้นคือ การพิสูจน์เชิงอภิปรัชญาตัวอย่างเหล่านี้เป็นทฤษฎีบทเชิงอภิปรัชญาของทฤษฎีตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของเรา เนื่องจากเรากำลังจัดการกับแนวคิดของการพิสูจน์นั่นเอง นอกเหนือจากนี้ เรายังสามารถมีการสรุปเชิงการมีอยู่ได้ อีกด้วย : ${\displaystyle \phi _{t}^{x}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle \forall x\phi \to \phi _{t}^{x}}$

สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะคือสูตรที่ทำหน้าที่เป็นสมมติฐานเฉพาะทฤษฎี การให้เหตุผลเกี่ยวกับโครงสร้างที่แตกต่างกันสองแบบ เช่นจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มอาจเกี่ยวข้องกับสัจพจน์เชิงตรรกะเดียวกัน สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะมีจุดมุ่งหมายเพื่อจับภาพสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับโครงสร้างเฉพาะ (หรือชุดของโครงสร้าง เช่นกลุ่ม ) ดังนั้น สัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะจึงไม่ใช่สัจพจน์ ที่เป็นจริงเสมอ ไปอีกชื่อหนึ่งของสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะคือสมมติฐาน^{[ 6 ]}

ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่เกือบทุกทฤษฎีเริ่มต้นจากชุดของสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ และเชื่อกันว่าโดยหลักการแล้ว ทุกทฤษฎีสามารถกำหนดเป็นสัจพจน์ได้ด้วยวิธีนี้ และทำให้เป็นทางการลงเหลือเพียงภาษาพื้นฐานของสูตรเชิงตรรกะ

ในทาง คณิตศาสตร์ มักเรียกสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะว่าสัจพจน์เฉยๆซึ่งไม่ได้หมายความว่าสัจพจน์เหล่านั้นเป็นจริงอย่างแน่นอนเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในบางกลุ่ม การดำเนินการของกลุ่มเป็นแบบสลับที่ได้และสามารถยืนยันได้โดยการเพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติม แต่ถึงแม้ไม่มีสัจพจน์นี้ เราก็ยังสามารถพัฒนาทฤษฎีกลุ่ม (โดยทั่วไป) ได้เป็นอย่างดี และเรายังสามารถใช้การปฏิเสธของสัจพจน์นั้นมาใช้กับการศึกษากลุ่มที่ไม่สลับที่ได้อีกด้วย

ส่วนนี้จะยกตัวอย่างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นจากชุดของสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ (ต่อไปนี้จะเรียกว่าสัจพจน์) การศึกษาหัวข้อเหล่านี้อย่างละเอียดถี่ถ้วนจะเริ่มต้นด้วยการระบุสัจพจน์เหล่านั้น

ทฤษฎีพื้นฐาน เช่นเลขคณิต การวิเคราะห์ เชิงจริงและการวิเคราะห์เชิงซ้อนมักถูกนำเสนอโดยไม่ใช้สัจพจน์ แต่โดยนัยหรือโดยชัดแจ้ง โดยทั่วไปแล้วจะมีการสันนิษฐานว่าสัจพจน์ที่ใช้คือสัจพจน์ของทฤษฎีเซตแบบ Zermelo–Fraenkelที่มีตัวเลือก (ย่อว่า ZFC) หรือระบบทฤษฎีเซตแบบสัจพจน์ ที่คล้ายคลึงกันมาก เช่นทฤษฎีเซตแบบ Von Neumann–Bernays–Gödelซึ่ง เป็นการ ขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ ZFC บางครั้งอาจใช้ทฤษฎีที่แข็งแกร่งกว่าเล็กน้อย เช่นทฤษฎีเซตแบบ Morse–Kelleyหรือทฤษฎีเซตที่มีคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้อย่างเข้มแข็งซึ่งอนุญาตให้ใช้เอกภพแบบ Grothendieck แต่ในความเป็นจริง นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่สามารถพิสูจน์สิ่ง ที่ พวกเขาต้องการได้ในระบบที่อ่อนแอกว่า ZFC เช่นเลขคณิตอันดับสอง

การศึกษาโทโพโลยีในคณิตศาสตร์ครอบคลุมไปถึงโทโพโลยีเซตจุดโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์และสิ่งต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง เช่นทฤษฎีโฮโมโลยีทฤษฎีโฮโมโทปีการพัฒนาพีชคณิตนามธรรมนำมาซึ่งทฤษฎีกลุ่มวงแหวนฟิลด์และทฤษฎีกาลัวส์

รายการนี้สามารถขยายให้ครอบคลุมสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ได้ รวมถึงทฤษฎี การวัดทฤษฎีเออร์โกดิกความน่าจะเป็นทฤษฎีการแทนและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

สัจพจน์ ของPeano เป็น สัจพจน์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดของเลขคณิตอันดับแรกสัจพจน์เหล่านี้มีความแข็งแกร่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนและทำให้ Gödel สามารถสร้างทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองอัน โด่งดังของเขา ได้^{[ 17 ]}

เรามีภาษาที่เป็นสัญลักษณ์คงที่ และเป็นฟังก์ชันเอกภาคและมีสัจพจน์ต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$

1. ${\displaystyle \forall x.\lnot (Sx=0)}$
2. ${\displaystyle \forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)}$
3. ${\displaystyle (\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)}$สำหรับสูตร ใดๆ ที่มีตัวแปรอิสระหนึ่งตัว${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}}$${\displaystyle \phi }$

โครงสร้างมาตรฐานคือโดยที่คือเซตของจำนวนธรรมชาติคือฟังก์ชันตัวสืบทอดและโดยธรรมชาติแล้วจะถูกตีความว่าเป็นเลข 0 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$

น่าจะเป็นชุดสัจพจน์ที่เก่าแก่และมีชื่อเสียงที่สุด คือ สัจพจน์ 4 + 1 ของยูคลิดในเรขาคณิตระนาบสัจพจน์เหล่านี้ถูกเรียกว่า "4 + 1" เพราะเป็นเวลากว่าสองพันปีแล้วที่สัจพจน์ข้อที่ห้า (เส้นขนาน) ("มีเส้นขนานเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดนอกเส้นตรง") ถูกสงสัยว่าสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์สี่ข้อแรก ในที่สุดก็พบว่าสัจพจน์ข้อที่ห้าเป็นอิสระจากสี่ข้อแรก เราสามารถสมมติได้ว่ามีเส้นขนานเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดนอกเส้นตรง หรือมีอยู่เป็นอนันต์ ทางเลือกนี้ทำให้เราได้เรขาคณิตสองรูปแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งมุม ภายใน ของสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศาหรือน้อยกว่า ตามลำดับ และรู้จักกันในชื่อเรขาคณิตแบบยูคลิดและ เรขาคณิต แบบไฮเปอร์โบลิกหากเราตัดสัจพจน์ข้อที่สองออก ("เส้นตรงสามารถขยายออกไปได้เป็นอนันต์") ก็จะ เกิด เรขาคณิตแบบวงรีขึ้น ซึ่งไม่มีเส้นขนานที่ผ่านจุดนอกเส้นตรง และมุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันได้มากกว่า 180 องศา

วัตถุประสงค์ของการศึกษาอยู่ในขอบเขตของจำนวนจริงจำนวนจริงถูกเลือกอย่างไม่ซ้ำกัน (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ) โดยคุณสมบัติของฟิลด์เรียงลำดับที่สมบูรณ์แบบของเดเดคินด์ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนจริงที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่มีขอบเขตบนจะมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด อย่างไรก็ตาม การแสดงคุณสมบัติเหล่านี้เป็นสัจพจน์จำเป็นต้องใช้ตรรกะลำดับที่สองทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเล็มบอกเราว่า ถ้าเราจำกัดตัวเองไว้ที่ตรรกะลำดับที่หนึ่งระบบสัจพจน์ใดๆ สำหรับจำนวนจริงจะยอมรับแบบจำลองอื่นๆ รวมถึงแบบจำลองที่เล็กกว่าจำนวนจริงและแบบจำลองที่ใหญ่กว่า บางแบบจำลองหลังนี้ได้รับการศึกษาในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน

ระบบนิรนัยประกอบด้วยชุดของสัจพจน์เชิงตรรกะ ชุดของสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ และชุดของกฎการอนุมานคุณสมบัติที่พึงประสงค์ของระบบนิรนัยคือระบบนั้นต้องสมบูรณ์ระบบจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกสูตร ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \{(\Gamma ,\phi )\}}$${\displaystyle \phi }$

กล่าวคือ สำหรับข้อความใดๆ ที่เป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของ ข้อความ หนึ่ง ย่อมมีการอนุมานข้อความนั้นจากข้อความนั้น ได้จริง บางครั้งมีการกล่าวเช่นนี้ว่า "ทุกสิ่งที่เป็นจริงสามารถพิสูจน์ได้" แต่ต้องเข้าใจว่า "จริง" ในที่นี้หมายถึง "เป็นจริงโดยชุดของสัจพจน์" ไม่ใช่ "เป็นจริงตามการตีความที่ตั้งใจไว้" ทฤษฎีบทความสมบูรณ์ของเกอเดลได้พิสูจน์ความสมบูรณ์ของระบบการอนุมานแบบหนึ่งที่ใช้กันทั่วไป ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

โปรดสังเกตว่า "ความสมบูรณ์" ในที่นี้มีความหมายแตกต่างจากในบริบทของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกของเกอเดลซึ่งระบุว่าไม่มีชุดของสัจพจน์ที่ไม่ใช่ตรรกะแบบเวียนซ้ำและสอดคล้องกันของทฤษฎีบทเลขคณิตใดที่สมบูรณ์ในแง่ที่ว่าจะมีข้อความทางเลขคณิตอยู่เสมอซึ่งไม่ สามารถพิสูจน์ได้ทั้ง หรือจากชุดของสัจพจน์ที่กำหนดให้ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \lnot \phi }$

ดังนั้น ในด้านหนึ่งจึงมีแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ของระบบการอนุมานและในอีกด้านหนึ่งก็มีแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ของชุดสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะทฤษฎีบทความสมบูรณ์และทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ แม้จะมีชื่อแตกต่างกัน แต่ก็ไม่ได้ขัดแย้งกัน

นักคณิตศาสตร์ยุคแรกมองว่าเรขาคณิตเชิงสัจพจน์เป็นแบบจำลองของพื้นที่ทางกายภาพซึ่งหมายความว่าในที่สุดแล้วจะมีแบบจำลองดังกล่าวได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น แนวคิดที่ว่าอาจมีระบบคณิตศาสตร์ทางเลือกอื่นอยู่เป็นเรื่องที่น่ากังวลอย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 และผู้พัฒนาระบบต่างๆ เช่นพีชคณิตบูลีนได้พยายามอย่างมากที่จะหาที่มาของระบบเหล่านั้นจากเลขคณิตแบบดั้งเดิมกาโลอิสได้แสดงให้เห็นก่อนที่เขาจะเสียชีวิตอย่างกะทันหันว่าความพยายามเหล่านั้นส่วนใหญ่สูญเปล่า ในที่สุดแล้ว ความคล้ายคลึงกันในเชิงนามธรรมระหว่างระบบพีชคณิตต่างๆ ถูกมองว่ามีความสำคัญมากกว่ารายละเอียด และพีชคณิตสมัยใหม่จึงถือกำเนิดขึ้น ในมุมมองสมัยใหม่ สัจพจน์อาจเป็นชุดสูตรใดๆ ก็ได้ ตราบใดที่ยังไม่ทราบว่าสูตรเหล่านั้นขัดแย้งกัน

• ระบบสัจพจน์
• หลักคำสอน
• หลักการพื้นฐาน — สัจพจน์ในวิทยาศาสตร์และปรัชญา
• รายชื่อสัจพจน์
• ทฤษฎีแบบจำลอง
• กฎแห่งกฎหมาย
• ทฤษฎีบท
• ข้อสันนิษฐาน
• หลักการ

• เมนเดลสัน, เอลเลียต (1987). บทนำสู่ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์.เบลมอนต์, แคลิฟอร์เนีย: วาดส์เวิร์ธ แอนด์ บรูคส์. ISBN 0-534-06624-0.
• จอห์น คุก วิลสัน (1889), ว่าด้วยทฤษฎีวิวัฒนาการของสัจพจน์: ปาฐกถาเปิดตัวเมื่อวันที่ 15 ตุลาคม 1889 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1), อ็อกซ์ฟอร์ด, วิกิดาต้า Q26720682{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).

ลองค้นหาคำว่า "axiom"  หรือ"given"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

วิกิซอร์ซมีเนื้อหาจาก บทความ สารานุกรมบริแทนนิกาค.ศ. 1911เรื่อง " สัจพจน์ "

• Axiomที่PhilPapers
• Axiomที่PlanetMath​
• หน้าสัจพจน์ของ Metamath