ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์การขยายแบบอนุรักษ์นิยม (conservative extension)คือทฤษฎีขั้นสูงกว่าทฤษฎีเดิมซึ่งมักสะดวกในการพิสูจน์ทฤษฎีบทแต่ไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทใหม่ใดๆ เกี่ยวกับภาษาของทฤษฎีเดิม ในทำนองเดียวกันการขยายแบบไม่อนุรักษ์นิยม (non-conservative extension ) หรือการขยายที่เหมาะสม (proper extension ) คือทฤษฎีขั้นสูงกว่าที่ไม่ใช่แบบอนุรักษ์นิยม และสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้มากกว่าทฤษฎีเดิม

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ทฤษฎีหนึ่งจะเป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยม ( เชิงทฤษฎีบทพิสูจน์ ) ของอีกทฤษฎีหนึ่งก็ต่อเมื่อทุกทฤษฎีบทของทฤษฎีบทหนึ่งเป็นทฤษฎีบทของอีกทฤษฎีบทหนึ่งและทฤษฎีบทใดๆ ของ ทฤษฎีบทหนึ่งที่ อยู่ในภาษาของอีกทฤษฎีบทหนึ่งก็เป็นทฤษฎีบทของอีกทฤษฎีบทหนึ่งอยู่แล้ว ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเซตของสูตรในภาษาทั่วไปของและแล้วจะเป็นแบบอนุรักษ์นิยมเหนือถ้าทุกสูตรจากที่พิสูจน์ได้ใน ก็สามารถพิสูจน์ ได้ ใน ด้วยเช่นกัน${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$

โปรดทราบว่าการขยายทฤษฎีที่สอดคล้องกันแบบอนุรักษ์นิยมนั้นย่อมสอดคล้องกัน หากไม่เป็นเช่นนั้น ตามหลักการระเบิดทุกสูตรในภาษาของ ทฤษฎีหนึ่ง จะเป็นทฤษฎีบทของอีกทฤษฎีหนึ่งดังนั้นทุกสูตรในภาษาของอีกทฤษฎีหนึ่งจะเป็นทฤษฎีบทของอีกทฤษฎีหนึ่งดังนั้น ทฤษฎี หนึ่งจึงไม่สอดคล้องกัน ด้วยเหตุนี้ การขยายแบบอนุรักษ์นิยมจึงไม่มีความเสี่ยงที่จะก่อให้เกิดความไม่สอดคล้องกันใหม่ๆ นี่อาจมองได้ว่าเป็นวิธีการในการเขียนและจัดโครงสร้างทฤษฎีขนาดใหญ่ กล่าวคือ เริ่มต้นด้วยทฤษฎีหนึ่ง ที่ทราบ (หรือสันนิษฐาน) ว่าสอดคล้องกัน และสร้างการขยายแบบอนุรักษ์นิยม , , ... ของทฤษฎีนั้น ไปเรื่อยๆ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

เมื่อไม่นานมานี้ มีการใช้ส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมในการกำหนดแนวคิดของโมดูลสำหรับออนโทโลยีกล่าวคือ หากออนโทโลยีได้รับการกำหนดรูปแบบเป็นทฤษฎีเชิงตรรกะ ทฤษฎีย่อยจะเป็นโมดูลก็ต่อเมื่อออนโทโลยีทั้งหมดเป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของทฤษฎีย่อยนั้น

• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$ซึ่งเป็นระบบย่อยของเลขคณิตอันดับสองที่ศึกษาในคณิตศาสตร์ย้อนกลับ เป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ เลขคณิตพีอาโนอันดับแรก
• ระบบย่อยของเลขคณิตอันดับสอง และเป็นแบบอนุรักษ์เหนือ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$${\displaystyle {\mathsf {EFA}}}$
• ระบบย่อยนี้เป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของและเป็นการ อนุรักษ์ นิยมเหนือ( เลขคณิตแบบเรียกซ้ำดั้งเดิม ) ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• ทฤษฎีเซตของ Von Neumann–Bernays–Gödel ( ) เป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelพร้อมด้วยสัจพจน์ของการเลือก ( )${\displaystyle {\mathsf {NBG}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• ทฤษฎีเซตภายในเป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkelพร้อมด้วยสัจพจน์ของการเลือก ( )${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• ตามนิยามแล้ว การขยายความมัก เป็นไป ในเชิงอนุรักษ์นิยม
• การขยายความโดยใช้สัญลักษณ์述語หรือฟังก์ชันที่ไม่จำกัดนั้นเป็นการอนุรักษ์นิยม
• ${\displaystyle I\Sigma _{1}}$(ระบบย่อยของเลขคณิต Peano ที่มีการเหนี่ยวนำเฉพาะสำหรับสูตร - ) เป็น ส่วนขยายแบบอนุรักษ์ - ของ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$เป็นการขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ^{ทฤษฎีบท}สัมบูรณ์ของ Shoenfield [ ^{3 ]}${\displaystyle \Pi _{4}^{1}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$โดย สมมติฐานความ ^ต่อเนื่องทั่วไปเป็นการขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ[ ^{4 ]}${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

ด้วย วิธีการ ทางทฤษฎีแบบจำลองจะได้แนวคิดที่แข็งแกร่งกว่า: การขยายทฤษฎีจะอนุรักษ์นิยมตามทฤษฎีแบบจำลองก็ต่อเมื่อและทุกแบบจำลองของสามารถขยายไปเป็นแบบจำลองของ ได้การขยายที่อนุรักษ์นิยมตามทฤษฎีแบบจำลองแต่ละครั้งยังเป็นการขยายที่อนุรักษ์นิยม (ตามทฤษฎีการพิสูจน์) ในความหมายข้างต้นด้วย^{[ 5 ]}แนวคิดทางทฤษฎีแบบจำลองมีข้อได้เปรียบเหนือแนวคิดทางทฤษฎีการพิสูจน์ตรงที่ไม่ขึ้นอยู่กับภาษาที่ใช้มากนัก ในทางกลับกัน การสร้างความอนุรักษ์นิยมตามทฤษฎีแบบจำลองมักจะยากกว่า ${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{1}\subseteq T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

• ขยายเพิ่มเติมด้วยชื่อค่าคงที่และฟังก์ชันใหม่
• กฎที่ยอมรับได้

• ความสำคัญของการขยายความแบบอนุรักษ์นิยมสำหรับรากฐานของคณิตศาสตร์