ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเวกเตอร์ (หรือเรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น ) คือเซตที่มีสมาชิก ซึ่งมักเรียกว่าเวกเตอร์สามารถบวกและคูณ ("ปรับขนาด") ด้วยจำนวนที่เรียกว่าสเกลาร์ได้การดำเนินการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดบางประการ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ เวกเตอร์ ปริภูมิ เวกเตอร์จริงและปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเป็นชนิดของปริภูมิเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับชนิดของสเกลาร์ที่แตกต่างกัน ได้แก่จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนสเกลาร์ยังสามารถเป็นสมาชิกของฟิลด์ ใดๆ ก็ได้โดย ทั่วไป

ปริภูมิเวกเตอร์เป็นการขยายแนวคิดของเวกเตอร์แบบยุคลิดซึ่งช่วยให้สามารถจำลองปริมาณทางกายภาพ (เช่นแรงและความเร็ว ) ที่ไม่เพียงแต่มีขนาดแต่ยังมีทิศทางด้วย แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์เป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับพีชคณิตเชิงเส้นควบคู่ไปกับแนวคิดของเมทริกซ์ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณในปริภูมิเวกเตอร์ได้ สิ่งนี้ทำให้มีวิธีการที่กระชับและสังเคราะห์สำหรับการจัดการและศึกษาระบบสมการเชิงเส้น

ปริมาณเวกเตอร์ถูกกำหนดลักษณะโดยมิติซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วระบุจำนวนทิศทางอิสระในปริมาณนั้น หมายความว่าสำหรับปริมาณเวกเตอร์สองปริมาณบนฟิลด์ที่กำหนดและมีมิติเท่ากัน คุณสมบัติที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของปริมาณเวกเตอร์เท่านั้นจะเหมือนกันทุกประการ (กล่าวคือ ปริมาณเวกเตอร์ทั้งสองเป็น ไอโซมอร์ ฟิกกัน ) ปริมาณเวกเตอร์จะมีมิติจำกัดหากมิติของมันเป็นจำนวนธรรมชาติมิฉะนั้นจะมีมิติอนันต์และมิติของมันจะเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ ปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดเกิดขึ้นตามธรรมชาติในเรขาคณิตและสาขาที่เกี่ยวข้อง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์เกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นวงแหวนพหุนามเป็น ปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ นับได้และปริมาณฟังก์ชัน จำนวนมาก มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลของคอนติเนียมเป็นมิติ

ปริภูมิเวกเตอร์จำนวนมากที่พิจารณาในทางคณิตศาสตร์นั้นมักมีโครงสร้าง อื่นๆ ควบคู่ไปด้วย ตัวอย่างเช่นพีชคณิตซึ่งรวมถึงส่วนขยายของฟิลด์วงแหวนพหุนาม พีชคณิตแบบเชื่อมโยงและพีชคณิตลี และ เช่นเดียวกันกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งรวมถึงปริภูมิฟังก์ชัน ปริภูมิผลคูณภายใน ปริภูมิบรรทัดฐานปริภูมิฮิลเบิร์ตและปริภูมิบานาค

ในบทความนี้ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวหนาเพื่อแยกความแตกต่างจากสเกลาร์^{[ nb 1 ] [ 1 ]}

ปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์F คือ เซต Vที่ไม่ว่างเปล่าพร้อมกับการดำเนินการไบนารีและฟังก์ชันไบนารีที่สอดคล้องกับสัจพจน์แปดข้อที่ระบุไว้ด้านล่าง ในบริบทนี้ องค์ประกอบของVมักเรียกว่าเวกเตอร์และองค์ประกอบของ  Fเรียกว่าสเกลาร์^{[ 2 ]}

• การดำเนินการไบนารีที่เรียกว่าการบวกเวกเตอร์หรือเรียกสั้น ๆว่าการบวกจะกำหนด  เวกเตอร์ที่สามในV ให้ กับเวกเตอร์สองตัวใด ๆvและwซึ่งโดยทั่วไปเขียนเป็นv + wและเรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสองนี้

• ฟังก์ชันไบนารีที่เรียกว่าการคูณสเกลาร์ จะกำหนดสเกลาร์ a ใดๆ ในFและเวกเตอร์  v ใดๆ ในVให้กับ  ^เวกเตอร์อีกตัวหนึ่งในVซึ่งแสดงด้วย  a v ^{[ nb 2} ]

เพื่อให้มีปริภูมิเวกเตอร์ จะต้องเป็นไปตามสัจพจน์แปดข้อต่อไปนี้สำหรับ^ทุก u , vและwในVและaและbในF ^{[ 3} ]

เมื่อฟิลด์สเกลาร์เป็นจำนวนจริงปริภูมิเวกเตอร์จะเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์จริงและเมื่อฟิลด์สเกลาร์เป็นจำนวนเชิงซ้อนปริภูมิเวกเตอร์จะเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน^{[ 4 ]}สองกรณีนี้เป็นกรณีที่พบบ่อยที่สุด แต่ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีสเกลาร์ในฟิลด์F ใด ^ๆก็มักถูกพิจารณาเช่นกัน ปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์F หรือปริภูมิเวกเตอร์เหนือF ^{[ 5} ]

สามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่าของปริภูมิเวกเตอร์ได้ ซึ่งกระชับกว่ามากแต่ไม่พื้นฐานเท่า: สัจพจน์สี่ข้อแรก (ที่เกี่ยวข้องกับการบวกเวกเตอร์) กล่าวว่าปริภูมิเวกเตอร์เป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวก และสัจพจน์อีกสี่ข้อที่เหลือ (ที่เกี่ยวข้องกับการคูณสเกลาร์) กล่าวว่าการดำเนินการนี้กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากฟิลด์Fไปยังวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มนี้^{[ 6 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระจายตัวของการคูณสเกลาร์เมื่อเทียบกับการบวกเวกเตอร์หมายความว่าการคูณด้วยสเกลาร์aเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่ม สัจพจน์อีกสามข้อที่เหลือกำหนดว่าฟังก์ชันที่แมปสเกลาร์aไปยังการคูณด้วยaเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากฟิลด์ไปยังวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

การลบเวกเตอร์สองตัวสามารถนิยามได้ดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} )}$$

ผลที่ตามมาโดยตรงจากสัจพจน์ ได้แก่ สำหรับทุก ๆและหนึ่งจะมี ${\displaystyle s\in F}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V,}$

• ${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle (-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {v} =\mathbf {0} }$หมายความว่า หรือ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

กล่าวโดยสรุปแล้ว พื้นที่เวกเตอร์^คือโมดูลเหนือฟิลด์^{[ 7} ]

การรวมกันเชิงเส้น

เมื่อกำหนดเซตGขององค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์F Vการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบของGคือองค์ประกอบของVในรูปแบบที่และสเกลาร์เหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของการรวมเชิงเส้น^{[ 8 ]}$${\displaystyle a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},}$$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\in F}$${\displaystyle \mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in G.}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

ความเป็นอิสระเชิงเส้น

องค์ประกอบของเซตย่อยGของปริภูมิเวกเตอร์F Vกล่าวได้ว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหากไม่มีองค์ประกอบใดของGที่สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบอื่น ๆ ของGได้ หรือเทียบเท่ากัน พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้นหากผลรวมเชิงเส้นสองผลขององค์ประกอบของGกำหนดองค์ประกอบเดียวกันของVก็ต่อเมื่อมีสัมประสิทธิ์เดียวกัน นอกจากนี้ ยังเทียบเท่ากัน พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้นหากผลรวมเชิงเส้นส่งผลให้เวกเตอร์ศูนย์ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของมันเป็นศูนย์^{[ 9 ]}

ปริภูมิย่อยเชิงเส้น

ปริภูมิย่อยเชิงเส้นหรือปริภูมิย่อยเวกเตอร์Wของปริภูมิเวกเตอร์Vคือเซตย่อยที่ไม่ว่างของVที่ปิดภายใต้การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ กล่าวคือ ผลรวมของสององค์ประกอบของWและผลคูณขององค์ประกอบของWกับสเกลาร์เป็นของW [ ^{10 ] ซึ่ง}หมายความว่าการรวมเชิงเส้นทุกแบบขององค์ประกอบของWเป็นของWปริภูมิย่อยเชิงเส้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์สำหรับการบวกและการคูณสเกลาร์ที่เหนี่ยวนำ ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติการปิดบ่งชี้ว่าสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์เป็นไปตามเงื่อนไข^{[ 11 ]}คุณสมบัติการปิดยังบ่งชี้ว่า จุดตัด ทุกจุดของปริภูมิย่อยเชิงเส้นเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น ด้วย ^{[ 11 ]}

ช่วงเชิงเส้น

เมื่อกำหนดเซตย่อยGของปริภูมิเวกเตอร์Vแล้วสแปนเชิงเส้นหรือเรียกง่ายๆ ว่าสแปนของGคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เล็กที่สุดของVที่มีG อยู่ ในแง่ที่ว่ามันคือการตัดกันของปริภูมิย่อยเชิงเส้นทั้งหมดที่มีG อยู่ สแปนของGยังเป็นเซตของการรวมเชิงเส้นทั้งหมดขององค์ประกอบของGด้วยถ้าWเป็นสแปนของG เราจะ ^{กล่าว}ว่าG ครอบคลุมหรือสร้างWและGเป็นเซตครอบคลุมหรือเซตสร้างของW [ ^{12 ]}

พื้นฐานและมิติ

เซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าฐานถ้าองค์ประกอบของเซตย่อยนั้นเป็นอิสระเชิงเส้นและครอบคลุมปริภูมิเวกเตอร์^{[ 13 ]}ปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิมีฐานอย่างน้อยหนึ่งฐาน หรือโดยทั่วไปมีหลายฐาน (ดูฐาน (พีชคณิตเชิงเส้น) § พิสูจน์ว่าปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิมีฐาน ) ^{[ 14 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ฐานทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์มีจำนวนสมาชิก เท่ากัน ซึ่งเรียกว่ามิติของปริภูมิเวกเตอร์ (ดูทฤษฎีบทมิติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ) ^{[ 15 ]}นี่เป็นคุณสมบัติพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งมีรายละเอียดอยู่ในส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้

ฐานเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมิติมีจำกัด ในกรณีมิติอนันต์ การมีอยู่ของฐานอนันต์ ซึ่งมักเรียกว่าฐานฮาเมลขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของการเลือกดังนั้นจึงสรุปได้ว่าโดยทั่วไปแล้วไม่มีฐานใดที่สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน ^{[ 16 ]}ตัวอย่างเช่นจำนวนจริงก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์เหนือจำนวนตรรกยะซึ่งไม่มีฐานเฉพาะที่ทราบ

พิจารณาฐานของปริภูมิเวกเตอร์Vที่มีมิติnเหนือฟิลด์Fนิยามของฐานหมายความว่าทุก v สามารถเขียนได้ ด้วย v ในFและการแยกส่วนนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว สเกลาร์เหล่านี้เรียกว่าพิกัดของvบนฐาน พวกมันยังถูกเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของการแยกส่วนของvบนฐานอีกด้วย นอกจากนี้ยังกล่าวได้ว่าn - tupleของพิกัดคือเวกเตอร์พิกัดของvบนฐาน เนื่องจากเซตของn -tuple ของสมาชิกในFเป็นปริภูมิเวกเตอร์สำหรับ การ บวก แบบส่วนประกอบและการคูณสเกลาร์ ซึ่งมีมิติn${\displaystyle (\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},}$$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle F^{n}}$

การจับคู่ แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเวกเตอร์และเวกเตอร์พิกัดของเวกเตอร์จะแมปการบวกเวกเตอร์กับการบวกเวกเตอร์ และการคูณสเกลาร์กับการคูณสเกลาร์ ดังนั้นจึงเป็นการสมสัณฐานของปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งช่วยให้สามารถแปลการให้เหตุผลและการคำนวณบนเวกเตอร์ไปเป็นการให้เหตุผลและการคำนวณบนพิกัดของเวกเตอร์ได้^{[ 17 ]}

ปริภูมิเวกเตอร์มีที่มาจากเรขาคณิตเชิงเส้นตรงโดยการนำพิกัด มาใช้ ในระนาบหรือปริภูมิสามมิติ ประมาณปี ค.ศ. 1636 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเรเน เดส์การ์ตและปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ได้วางรากฐานเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์โดยการระบุคำตอบของสมการสองตัวแปรด้วยจุดบนเส้นโค้งระนาบ[ 18 ^{]เพื่อให้}ได้คำตอบทางเรขาคณิตโดยไม่ต้องใช้พิกัด โบลซาโนได้แนะนำการดำเนินการบางอย่างบนจุด เส้น และระนาบในปี ค.ศ. 1804 ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของเวกเตอร์^{[ 19 ]}โมเบียส (ค.ศ. 1827)ได้แนะนำแนวคิดของพิกัดแบรีเซนทริก [ ^{20 ] เบ}ลลาวิทิส (ค.ศ. 1833)ได้แนะนำความสัมพันธ์สมมูลบนส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางซึ่งมีความยาวและทิศทางเดียวกัน ซึ่งเขาเรียกว่าความเท่าเทียมกัน [ ^{21 ] เวก}เตอร์ยุคลิดจึงเป็นชั้นสมมูลของความสัมพันธ์นั้น^{[ 22 ]}

เวกเตอร์ได้รับการพิจารณาใหม่ด้วยการนำเสนอจำนวนเชิงซ้อนโดยArgandและHamiltonและการกำเนิดของควอเทอร์เนียนโดย Hamilton ^{[ 23 ]}พวกมันเป็นองค์ประกอบในR ²และR ⁴การจัดการพวกมันโดยใช้การรวมเชิงเส้นย้อนกลับไปถึงLaguerreในปี พ.ศ. 2410 ซึ่งได้กำหนดระบบสมการเชิงเส้นด้วย

ในปี พ.ศ. 2490 Cayleyได้นำเสนอสัญกรณ์เมทริกซ์ซึ่งช่วยให้เกิดความสอดคล้องและลดความซับซ้อนของแผนที่เชิงเส้นในช่วงเวลาเดียวกันGrassmannได้ศึกษาแคลคูลัสแบบแบรีเซนทริกที่ริเริ่มโดย Möbius เขาจินตนาการถึงเซตของวัตถุเชิงนามธรรมที่มีการดำเนินการ^{[ 24 ]}ในงานของเขา แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระเชิงเส้นและมิติรวมถึงผลคูณสเกลาร์ก็ปรากฏอยู่ งานของ Grassmann ในปี พ.ศ. 2487 ยังเกินขอบเขตของปริภูมิเวกเตอร์ด้วย เนื่องจากการพิจารณาการคูณของเขานำเขาไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าพีชคณิตนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีPeanoเป็นคนแรกที่ให้คำจำกัดความสมัยใหม่ของปริภูมิเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นในปี พ.ศ. 2431 ^{[ 25 ]}แม้ว่าเขาจะเรียกพวกมันว่า "ระบบเชิงเส้น" ^{[ 26 ]}การกำหนดสัจพจน์ของ Peano อนุญาตให้มีปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ แต่ Peano ไม่ได้พัฒนาทฤษฎีนั้นต่อไป ในปี พ.ศ. 2440 Salvatore Pincherleได้นำเอาสัจพจน์ของ Peano มาใช้และเริ่มบุกเบิกทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์^{[ 27 ]}

การพัฒนาที่สำคัญของปริภูมิเวกเตอร์เกิดจากการสร้างปริภูมิฟังก์ชันโดยHenri Lebesgueซึ่งต่อมาได้รับการทำให้เป็นทางการโดยBanachและHilbertประมาณปี 1920 ^{[ 28 ]}ในเวลานั้นพีชคณิตและสาขาใหม่ของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเริ่มมีปฏิสัมพันธ์กัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับแนวคิดสำคัญ เช่นปริภูมิของฟังก์ชันp- อินทิเกรตได้ และ ปริภูมิฮิล เบิร์ต^{[ 29 ]}

การบวกเวกเตอร์: แสดงผลรวมv + w (สีดำ) ของเวกเตอร์v (สีน้ำเงิน) และw (สีแดง)

การคูณด้วยส เกลา ร์: แสดงตัวคูณ −vและ2w

ตัวอย่างแรกของปริภูมิเวกเตอร์ประกอบด้วยลูกศรในระนาบ คงที่ โดยเริ่มต้นที่จุดคงที่จุดหนึ่ง สิ่ง นี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่ออธิบายแรงหรือความเร็ว^{[ 30 ]}เมื่อกำหนดลูกศรสองลูกดังกล่าวvและwรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากลูกศรทั้งสองนี้จะมีลูกศรแนวทแยงหนึ่งลูกที่เริ่มต้นที่จุดกำเนิดเช่นกัน ลูกศรใหม่นี้เรียกว่าผลรวมของลูกศรทั้งสอง และเขียนแทนด้วยv + wในกรณีพิเศษของลูกศรสองลูกบนเส้นเดียวกัน ผลรวมของลูกศรทั้งสองคือลูกศรบนเส้นนี้ซึ่งมีความยาวเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของความยาว ขึ้นอยู่กับว่าลูกศรมีทิศทางเดียวกันหรือไม่ การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งที่สามารถทำได้กับลูกศรคือการปรับขนาด: เมื่อกำหนดจำนวนจริง บวกใดๆ aลูกศรที่มีทิศทางเดียวกับvแต่ถูกขยายหรือหดโดยการคูณความยาวด้วยaเรียกว่าการคูณ v ด้วยaเขียนแทน ด้วย a vเมื่อaเป็นลบa v จะถูกกำหนดให้เป็นลูก ศรที่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามแทน^{[ 31 ]}

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน: ถ้าa = 2เวกเตอร์ที่ได้a wจะมีทิศทางเดียวกับwแต่ถูกยืดให้มีความยาวเป็นสองเท่าของw (ภาพที่สอง) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง2 wคือผลรวมของw + wยิ่งไปกว่านั้น(−1) v = − vจะมีทิศทางตรงกันข้ามและมีความยาวเท่ากับv (เวกเตอร์สีน้ำเงินชี้ลงในภาพที่สอง)

ตัวอย่างสำคัญประการที่สองของปริภูมิเวกเตอร์คือคู่ของจำนวนจริงxและyลำดับของส่วนประกอบxและyมีความสำคัญ ดังนั้นคู่ดังกล่าวจึงเรียกว่าคู่ลำดับ คู่ดังกล่าวเขียนได้เป็น( x , y )ผลรวมของคู่ดังกล่าวสองคู่และการคูณคู่หนึ่งกับจำนวนหนึ่งถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างแรกข้างต้นจะลดรูปมาเป็นตัวอย่างนี้ได้ หากลูกศรถูกแทนด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดปลาย ทั้งสองข้าง

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Fคือฟิลด์Fเอง โดยมองว่าการบวกเป็นการบวกเวกเตอร์ และการคูณเป็นการคูณสเกลาร์ โดยทั่วไปแล้วn -tuple (ลำดับที่มีความยาวn ) ขององค์ประกอบa _iของFจะก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์F ⁿและเรียกว่าปริภูมิพิกัด [ ^{33 ] กรณี} n = 1คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งฟิลด์Fก็ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือตัวมันเองเช่นกัน กรณีF = Rและn = 2 (ดังนั้นR ² ) จะลดลงเหลือตัวอย่างก่อนหน้านี้ $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$

เซตของจำนวนเชิงซ้อนCซึ่งเป็นจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปx + iyสำหรับจำนวนจริงxและyโดยที่iคือหน่วยจินตนาการก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริงด้วยการบวกและการคูณตามปกติ: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b )และc ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y )สำหรับจำนวนจริงx , y , a , bและcสัจพจน์ต่างๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากฎเดียวกันนี้ใช้ได้กับการคำนวณเลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อนด้วย ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับ (กล่าวคือ เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ) ปริภูมิเวกเตอร์ของคู่ลำดับของจำนวนจริงที่กล่าวถึงข้างต้น: ถ้าเราคิดว่าจำนวนเชิงซ้อนx + i yแทนคู่ลำดับ( x , y )ในระนาบเชิงซ้อนเราจะเห็นว่ากฎสำหรับการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์นั้นสอดคล้องกับตัวอย่างก่อนหน้านี้อย่างแม่นยำ

โดยทั่วไปแล้วการขยายฟิลด์จะให้ตัวอย่างอีกประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ โดยเฉพาะในพีชคณิตและ^{ทฤษฎี}จำนวนเชิงพีชคณิต : ฟิลด์Fที่มีฟิลด์E ที่เล็กกว่า เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ E โดยการดำเนินการคูณและการ บวก ที่กำหนดของF ^{[ 34} ] ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือRและการขยายฟิลด์เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือQ${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$

ฟังก์ชันจากเซตΩ ที่กำหนดไว้ใดๆ ไปยังฟิลด์Fยังก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ด้วย โดยทำการบวกและการคูณสเกลาร์แบบจุดต่อจุด กล่าวคือ ผลรวมของฟังก์ชันสองฟังก์ชันfและgคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย และในทำนองเดียวกันสำหรับการคูณ ปริภูมิฟังก์ชันดังกล่าวเกิดขึ้นในสถานการณ์ทางเรขาคณิตหลายอย่าง เมื่อΩคือเส้นจำนวนจริงหรือช่วงหรือเซตย่อย อื่นๆ ของRแนวคิดหลายอย่างในโทโพโลยีและการวิเคราะห์ เช่นความต่อเนื่องความสามารถในการหาปริพันธ์หรือความสามารถในการหาอนุพันธ์ล้วนมีพฤติกรรมที่ดีเมื่อเทียบกับความเป็นเชิงเส้น: ผลรวมและผลคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังกล่าวก็ยังคงมีคุณสมบัตินั้นอยู่^{[ 35 ]}ดังนั้น เซตของฟังก์ชันดังกล่าวจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งการศึกษาของปริภูมิเวกเตอร์นี้จัดอยู่ใน สาขาการวิเคราะห์ เชิง ฟังก์ชัน${\displaystyle (f+g)}$$${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปริภูมิเวกเตอร์^{[ 36 ]}ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการ จะได้รับจากสามตัวแปรที่มีค่าและ ที่กำหนดขึ้น เอง สมการเหล่านี้ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ ผลรวมและผลคูณสเกลาร์ของสามตัวแปรดังกล่าวยังคงเป็นไปตามอัตราส่วนเดียวกันของตัวแปรทั้งสาม ดังนั้นจึงถือเป็นคำตอบเช่นกันเมทริกซ์สามารถใช้เพื่อย่อสมการเชิงเส้นหลายสมการดังที่กล่าวมาข้างต้นให้เหลือเพียงสมการเวกเตอร์เดียว นั่นคือ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle a,}$${\displaystyle b=a/2,}$${\displaystyle c=-5a/2.}$

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$$

โดยที่คือเมทริกซ์ที่บรรจุสัมประสิทธิ์ของสมการที่กำหนดให้คือเวกเตอร์ที่แสดงถึงผลคูณของเมทริกซ์และคือเวกเตอร์ศูนย์ ในทำนองเดียวกัน ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอก พันธุ์ จะก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle (a,b,c),}$${\displaystyle A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$

$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0}$$

จะได้ผลลัพธ์ที่และเป็นค่าคงที่ใดๆ และคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ ${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle e^{x}}$

ความสัมพันธ์ของปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิสามารถแสดงได้ด้วยแผนที่เชิงเส้นหรือการแปลงเชิงเส้นฟังก์ชันเหล่านี้สะท้อนโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์ กล่าวคือ ฟังก์ชันเหล่านี้รักษาผลรวมและการคูณสเกลาร์ไว้: สำหรับทุก ๆและในทุก ๆใน^{[ 37 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ),\\f(a\cdot \mathbf {v} )&=a\cdot f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle V,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F.}$

ไอโซมอร์ฟิซึมคือแผนที่เชิงเส้นf  : V → Wที่มีแผนที่ผกผันg  : W → Vซึ่งเป็นแผนที่ที่การประกอบ ที่เป็นไปได้สองแบบ f ∘ g  : W → Wและg ∘ f  : V → Vเป็นแผนที่เอกลักษณ์หรือเทียบเท่าfเป็นทั้งแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( อินเจกทีฟ ) และทั่วถึง ( เซอร์เจกทีฟ ) ^{[ 38 ]}หากมีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างVและWปริภูมิทั้งสองจะเรียกว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ปริภูมิ ทั้งสอง จะเหมือนกันโดยพื้นฐานในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ เนื่องจากเอกลักษณ์ทั้งหมดที่มีอยู่ในVจะถูกส่งผ่านfไปยังเอกลักษณ์ที่คล้ายกันในWและในทางกลับกันผ่าน g

ตัวอย่างเช่น ลูกศรในระนาบและคู่ลำดับของจำนวนเวกเตอร์ในบทนำข้างต้น (ดู§ ตัวอย่าง ) นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน กล่าวคือ ลูกศรระนาบvที่ออกจากจุดกำเนิด ของ ระบบพิกัด (คงที่) บาง ระบบ สามารถแสดงเป็นคู่ลำดับได้โดยพิจารณา ส่วนประกอบ xและyของลูกศร ดังแสดงในภาพทางด้านขวา ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดคู่( x , y )ลูกศรที่เคลื่อนที่ไปตามแกนxไปทางขวา (หรือไปทางซ้าย ถ้าxเป็นลบ) และ แกน yขึ้น (ลง ถ้าy เป็นลบ) จะทำให้ลูกศร vกลับมา^{[ 39 ]}

แผนที่เชิงเส้นV → Wระหว่างปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์Hom _F ( V , W )หรือเขียนแทนด้วยL( V , W )หรือ𝓛( V , W ) ^{[ 40} ] ปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นจากVไปยังFเรียกว่า ปริภูมิ ^เวกเตอร์คู่ขนานเขียนแทนด้วยV ∗ ^{[ 41 ] ผ่าน}แผนที่ธรรมชาติแบบฉีดV → V ∗∗ ปริภูมิ^เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถฝังลงในปริภูมิคู่ขนานได้แผนที่นี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อปริภูมิมีมิติจำกัด^{[ 42 ]}

เมื่อ เลือกฐานของV แล้ว แผนที่เชิงเส้น f  : V → Wจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการระบุภาพของเวกเตอร์ฐาน เนื่องจากองค์ประกอบใด ๆ ของVจะถูกแสดงอย่างไม่ซ้ำกันในรูปของการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านั้น^{[ 43 ]}ถ้าdim V = dim W การจับคู่ แบบ1 ต่อ 1ระหว่างฐานคงที่ของVและWจะทำให้เกิดแผนที่เชิงเส้นที่แมปองค์ประกอบฐานใด ๆ ของVไปยังองค์ประกอบฐานที่สอดคล้องกันของWซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามนิยามของมันเอง^{[ 44 ]}ดังนั้น ปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิเหนือฟิลด์ที่กำหนดจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมิติของปริภูมิทั้งสองตรงกัน และในทางกลับกัน อีกวิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งนี้คือ ปริภูมิเวกเตอร์ใด ๆ เหนือฟิลด์ที่กำหนดจะถูกจำแนกอย่างสมบูรณ์ ( จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) โดยมิติของมัน ซึ่งเป็นตัวเลขเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเวกเตอร์Fมิติn ใด ๆ Vจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับF ⁿอย่างไรก็ตาม ไม่มีไอโซมอร์ฟิซึม "แบบมาตรฐาน" หรือแบบที่ต้องการ ไอโซมอร์ฟิซึมφ  : F ⁿ → Vเทียบเท่ากับการเลือกฐานของVโดยการแมปฐานมาตรฐานของF ⁿไปยังVผ่านทาง φ

เมทริกซ์เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ในการเข้ารหัสแผนที่เชิงเส้น^{[ 45 ]}เมทริกซ์เหล่านี้เขียนเป็นอาร์เรย์สี่เหลี่ยมของสเกลาร์ดังในภาพด้านขวา เมทริกซ์ขนาด m x n ใดๆ ก็ตาม จะทำให้เกิดแผนที่เชิงเส้นจากF ⁿไปยังF ^mโดยวิธีต่อไปนี้ โดยที่หมายถึงผลรวมหรือโดยการใช้การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์พิกัด: ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$${\textstyle \sum }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .}$$

ยิ่งไปกว่านั้น หลังจากเลือกฐานของVและWแล้วแผนที่เชิงเส้นใดๆf  : V → Wจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ที่ไม่ซ้ำกันผ่านการกำหนดนี้^{[ 46 ]}

ดีเทอร์มิแนนต์det ( A )ของเมทริกซ์จัตุรัสAเป็นสเกลาร์ที่บอกว่าแผนที่ที่เกี่ยวข้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมหรือไม่: เพื่อให้เป็นเช่นนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ต้องไม่เป็นศูนย์ก็เพียงพอและจำเป็น^{[ 47 ]}การแปลงเชิงเส้นของR ⁿที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จริงn x nจะรักษาทิศทางไว้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก

เอนโดมอร์ฟิซึม แผนที่เชิงเส้นf  : V → Vมีความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากในกรณีนี้ เวกเตอร์vสามารถเปรียบเทียบกับภาพของมันภายใต้f , f ( v ) ได้ เวกเตอร์ vใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่ง สอดคล้องกับλv = f ( v )โดยที่λเป็นสเกลาร์ เรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ของfที่มีค่าลักษณะเฉพาะλ ^{[ 48 ]}หรือเทียบเท่าvเป็นองค์ประกอบของเคอร์เนลของผลต่างf − λ · Id (โดยที่ Id คือแผนที่เอกลักษณ์V → V )ถ้าVมีมิติจำกัด สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์: f ที่มีค่าลักษณะเฉพาะλเทียบเท่ากับ โดยการอธิบายนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ จะเห็น ได้ ว่านิพจน์ทางด้านซ้ายมือเป็นฟังก์ชันพหุนามในλซึ่งเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะของf ^{[ 49 ]}ถ้าฟิลด์Fมีขนาดใหญ่พอที่จะมีศูนย์ของพหุนามนี้ (ซึ่งเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติสำหรับFที่ปิดทางพีชคณิตเช่นF = C ) แผนที่เชิงเส้นใดๆ ก็จะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว ปริภูมิเวกเตอร์Vอาจมีหรือไม่มีฐานลักษณะเฉพาะซึ่งเป็นฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ปรากฏการณ์นี้ถูกควบคุมโดยรูปแบบมาตรฐานจอร์แดนของแผนที่^{[ 50 ]}เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเฉพาะของf จะก่อให้ เกิดปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียกว่าปริภูมิลักษณะ เฉพาะ ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ (และf ) ที่กล่าวถึง $${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$

นอกเหนือจากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมข้างต้นแล้ว ยังมีการสร้างเชิงพีชคณิตเชิงเส้นมาตรฐานอีกจำนวนหนึ่งที่สร้างปริมาณเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเวกเตอร์ที่กำหนดให้

เซตย่อย ที่ไม่ว่างของปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งปิดภายใต้การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ (และดังนั้นจึงมีเวกเตอร์ -ของ) เรียกว่าปริภูมิย่อยเชิงเส้นของหรือเรียกง่ายๆ ว่าปริภูมิย่อยของเมื่อปริภูมิแวดล้อมเป็นปริภูมิเวกเตอร์อย่างชัดเจน^{[ 51 ] [ nb 4 ]}ปริภูมิย่อยของเป็นปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์เดียวกัน) ในตัวของมันเอง การตัดกันของปริภูมิย่อยทั้งหมดที่มีเซตของเวกเตอร์ที่กำหนดเรียกว่าสแปนและเป็นปริภูมิย่อยที่เล็กที่สุดของที่มีเซต สแปน ที่แสดงในรูปขององค์ประกอบ คือปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วย การรวมเชิงเส้นทั้งหมดขององค์ประกอบของ^{[ 52 ]}${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่มีมิติ 1 และ 2 เรียกว่าเส้นตรง (หรือเส้นเวกเตอร์ ) และระนาบตามลำดับ ถ้าWเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ ปริภูมิย่อยใดๆ ที่มีมิติน้อยกว่า 1 มิติ เช่น มีมิติ n เรียกว่าไฮเปอร์เพลน^{[ 53 ]}${\displaystyle n-1}$

สิ่งที่เทียบเท่ากับซับสเปซคือซับสเปซเวกเตอร์ผลหาร [ ^{54 ] เมื่อ}กำหนดซับสเปซใดๆซับสเปซผลหาร(" โมดูลัส ") จะถูกนิยามดังนี้: ในฐานะเซต มันประกอบด้วย โดย ที่เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในผลรวมของสององค์ประกอบดังกล่าวและคือและการคูณสเกลาร์จะกำหนดโดยจุดสำคัญในนิยามนี้คือก็ต่อเมื่อผลต่างของและอยู่ใน[ ^{nb 5 ]}ด้วยวิธีนี้ ซับสเปซผลหารจะ "ลืม" ข้อมูลที่อยู่ในซับสเปซ ${\displaystyle W\subseteq V}$${\displaystyle V/W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w} :\mathbf {w} \in W\},}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

เคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ถูกแมปไปยังใน [ 55 ^{]เคอร์เนลและ}ภาพเป็นปริภูมิย่อยของและตามลำดับ^{[ 56 ]}${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

ตัวอย่างที่สำคัญคือเคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์คงที่บางตัว เคอร์เนลของแผนที่นี้คือปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ที่ซึ่งก็คือเซตของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ที่อยู่ในแนวคิดนี้ยังขยายไปถึงสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ที่สัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันในด้วย ในแผนที่ที่สอดคล้องกัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน จะปรากฏเป็น เชิงเส้น (ตรงข้ามกับ เช่น) เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น (นั่นคือและสำหรับค่าคงที่) การกำหนดนี้จึงเป็นเชิงเส้น เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จะก่อตัวเป็นปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือRหรือC ) ^{[ 57 ]}${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$$${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D(f)=0}$

การมีอยู่ของเคอร์เนลและรูปภาพเป็นส่วนหนึ่งของข้อความที่ว่าหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์คงที่) เป็นหมวดหมู่อาเบลนั่นคือ คอร์ปัสของวัตถุทางคณิตศาสตร์และแผนที่ที่รักษาโครงสร้างระหว่างวัตถุเหล่านั้น ( หมวดหมู่ ) ที่มีพฤติกรรมคล้ายกับหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบล [ ^{58 ] ด้วย}เหตุนี้ ข้อความหลายข้อความ เช่นทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก (เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทอันดับ-ศูนย์ในแง่ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์) และทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อที่สองและข้อที่สาม สามารถกำหนดและพิสูจน์ได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับ กลุ่ม${\displaystyle F}$$${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$

ผลคูณโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์และผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์เป็นสองวิธีในการรวมกลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีดัชนีเข้าด้วยกันเพื่อสร้างปริภูมิเวกเตอร์ใหม่

ผลคูณโดยตรง ของตระกูลของปริภูมิเวกเตอร์ประกอบด้วยเซตของทูเปิลทั้งหมดซึ่งระบุสำหรับแต่ละดัชนีในเซตดัชนี บาง เซตขององค์ประกอบของ^{[ 59 ]}การบวกและการคูณสเกลาร์จะดำเนินการตามส่วนประกอบ รูปแบบหนึ่งของการสร้างนี้คือผลรวมโดยตรง (เรียกอีกอย่างว่าผลคูณร่วมและใช้สัญลักษณ์) ซึ่งอนุญาตเฉพาะทูเปิลที่มีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนจำกัดเท่านั้น หากเซตดัชนีมีจำนวนจำกัด การสร้างทั้งสองจะสอดคล้องกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างกัน ${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle I}$

ผลคูณเทนเซอร์ หรือเรียกง่ายๆ ว่า ผลคูณของ ปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิคือ หนึ่งในแนวคิดหลักของพีชคณิตหลายเชิงเส้นซึ่งเกี่ยวข้องกับการขยายแนวคิดต่างๆ เช่น แผนที่เชิงเส้นไปยังตัวแปรหลายตัว แผนที่จากผลคูณคาร์ทีเซียนเรียกว่า แผนที่ ทวิเชิงเส้นถ้าเป็นเชิงเส้นในตัวแปรทั้งสองและ นั่นคือ สำหรับค่าคงที่แผนที่จะเป็นเชิงเส้นในความหมายข้างต้น และในทำนองเดียวกันสำหรับค่าคงที่${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$${\displaystyle V\otimes W,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g:V\times W\to X}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} .}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {v} .}$

ผลคูณเทนเซอร์เป็นปริภูมิเวกเตอร์เฉพาะที่เป็น ตัวรับ สากลของแผนที่เชิงเส้นคู่ดังต่อไปนี้ มันถูกนิยามว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยผลรวมจำกัด (เชิงรูปธรรม) ของสัญลักษณ์ที่เรียกว่าเทนเซอร์ ภายใต้กฎ^{[ 60 ]} กฎเหล่านี้รับประกันว่าแผนที่จากไปยังที่แมปทูเปิลไปยัง เป็นแผนที่เชิงเส้นคู่ ความเป็นสากลระบุว่าเมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์ใด ๆและแผนที่เชิงเส้นคู่ใด ๆจะมีแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งเดียวที่แสดงในแผนภาพด้วยลูกศรจุด ซึ่งการประกอบกับเท่ากับ: ^{[ 61 ]}นี่เรียกว่าคุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ ซึ่งเป็นตัวอย่างของวิธีการ—ที่ใช้กันมากในพีชคณิตนามธรรมขั้นสูง—เพื่อกำหนดวัตถุทางอ้อมโดยการระบุแผนที่จาก หรือ ไปยังวัตถุนี้ ${\displaystyle g,}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:V\times W\to X,}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้น พื้นที่เวกเตอร์นั้นเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ตราบใดที่พื้นที่เวกเตอร์ใดๆ บนฟิลด์ที่กำหนดนั้นมีลักษณะเฉพาะ โดยขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึม ตามมิติของมัน อย่างไรก็ตาม พื้นที่เวกเตอร์เองไม่ได้เสนอกรอบการทำงานเพื่อจัดการกับคำถามที่สำคัญต่อการวิเคราะห์ว่าลำดับของฟังก์ชันลู่เข้าสู่ฟังก์ชันอื่นหรือไม่ ในทำนองเดียวกัน พีชคณิตเชิงเส้นก็ไม่เหมาะสมที่จะจัดการกับอนุกรมอนันต์เนื่องจากการดำเนินการบวกอนุญาตให้บวกได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นดังนั้น ความต้องการของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน จึง ต้องพิจารณาโครงสร้างเพิ่มเติม^{[ 62 ]}

ปริภูมิเวกเตอร์อาจได้รับลำดับบางส่วน ภายใต้ซึ่งสามารถเปรียบเทียบเวกเตอร์บางตัวได้^{[ 63 ]}ตัวอย่างเช่นปริภูมิจริงมิติ n สามารถเรียงลำดับได้โดยการเปรียบเทียบเวกเตอร์แบบทีละส่วนปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียงลำดับเช่นปริภูมิ Rieszเป็นพื้นฐานสำหรับการอินทิเกรต Lebesgueซึ่งอาศัยความสามารถในการแสดงฟังก์ชันเป็นผลต่างของฟังก์ชันบวกสองฟังก์ชัน โดยที่แทนส่วนบวกของและแทนส่วนลบ^{[ 64 ]}${\displaystyle \,\leq ,\,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$${\displaystyle f^{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-}}$

การ "วัด" เวกเตอร์ทำได้โดยการระบุค่ามาตรฐานซึ่งเป็นข้อมูลที่ใช้วัดความยาวของเวกเตอร์ หรือโดยผลคูณภายในซึ่งใช้วัดมุมระหว่างเวกเตอร์ ค่ามาตรฐานและผลคูณภายในจะใช้สัญลักษณ์และตามลำดับ ข้อมูลของผลคูณภายในบ่งชี้ว่าความยาวของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้เช่นกัน โดยการกำหนดค่ามาตรฐานที่เกี่ยวข้องปริภูมิเวกเตอร์ที่มีข้อมูลดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์มาตรฐานและปริภูมิผลคูณภายในตามลำดับ^{[ 65 ]}${\displaystyle |\mathbf {v} |}$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$

พื้นที่พิกัดสามารถติดตั้งผลคูณดอท มาตรฐานได้ : ซึ่งสะท้อนถึงแนวคิดทั่วไปของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวและโดยกฎของโคไซน์ : ด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์สองตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขจึงเรียกว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกันรูปแบบที่สำคัญของผลคูณดอทมาตรฐานถูกใช้ในพื้นที่มินคอฟสกี : ซึ่งติดตั้งด้วยผลคูณลอเรนซ์^{[ 66 ]} ตรงกันข้ามกับผลคูณดอทมาตรฐาน มันไม่เป็นบวกแน่นอน : ยังรับค่าลบได้ด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับการแยกพิกัดที่สี่ออกมา— ซึ่งสอดคล้องกับเวลา ตรงข้ามกับมิติพื้นที่สามมิติ—ทำให้มีประโยชน์สำหรับการจัดการทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโปรดทราบว่าในข้อกำหนดอื่นๆ เวลามักจะเขียนเป็นส่วนประกอบแรกหรือ "ศูนย์" ดังนั้นผลคูณลอเรนซ์จึงเขียนได้ดังนี้${\displaystyle F^{n}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} ,}$$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$$

คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันจะได้รับการพิจารณาโดยคำนึงถึงปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโทโพโลยี ที่เข้ากันได้ ซึ่งเป็นโครงสร้างที่ช่วยให้สามารถพูดถึงองค์ประกอบที่อยู่ใกล้กันได้ [ ^{67 ] ความ}เข้ากันได้ในที่นี้หมายความว่าการบวกและการคูณสเกลาร์จะต้องเป็นแผนที่ต่อเนื่องโดยประมาณ ถ้าและในและในเปลี่ยนแปลงด้วยปริมาณที่จำกัด แล้ว และ ก็จะเปลี่ยนแปลงด้วย^{[ nb 6 ]}เพื่อให้เข้าใจถึงปริมาณที่สเกลาร์เปลี่ยนแปลง ฟิลด์จะต้องมีโทโพโลยีในบริบทนี้ด้วย ตัวเลือกทั่วไปคือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$${\displaystyle a\mathbf {x} .}$${\displaystyle F}$

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี ดังกล่าว เราสามารถพิจารณาอนุกรมของเวกเตอร์ได้ ผลรวม อนันต์หมาย ถึงลิ มิตของผลรวมย่อยจำกัดที่สอดคล้องกันของลำดับขององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่นอาจเป็นฟังก์ชัน (จริงหรือเชิงซ้อน) ที่อยู่ในปริภูมิฟังก์ชัน บางอย่าง ซึ่งในกรณีนี้ อนุกรมจะเป็นอนุกรมฟังก์ชัน รูป แบบการลู่เข้าของอนุกรมขึ้นอยู่กับโทโพโลยีที่กำหนดให้กับปริภูมิฟังก์ชัน ในกรณีดังกล่าวการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดและการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอเป็นสองตัวอย่างที่โดดเด่น^{[ 68 ]}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$${\displaystyle V.}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle V,}$

วิธีหนึ่งในการรับรองการมีอยู่ของลิมิตของอนุกรมอนันต์บางชุดคือการจำกัดความสนใจไปที่ปริภูมิที่ลำดับโคชี ใดๆ มีลิมิต ปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่าสมบูรณ์โดยคร่าวๆ ปริภูมิเวกเตอร์จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมีลิมิตที่จำเป็นทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์ของพหุนามบนช่วงหน่วยที่มีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอจะไม่สมบูรณ์ เพราะฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ บนสามารถประมาณค่าได้อย่างสม่ำเสมอด้วยลำดับของพหุนาม ตามทฤษฎีบทการประมาณค่าของไวเออร์สตรัส [ ^{69 ] ใน} ทางตรงกันข้าม ปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด บน ที่ มีโทโพโลยีเดียวกันนั้นสมบูรณ์^{[ 70 ]}นอร์มก่อให้เกิดโทโพโลยีโดยการกำหนดว่าลำดับของเวกเตอร์ลู่เข้าสู่ ก็ต่อเมื่อ ปริภูมิบานาคและฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีที่สมบูรณ์ ซึ่งโทโพโลยีของปริภูมิเหล่านั้นกำหนดโดยนอร์มและผลคูณภายในตามลำดับ การศึกษาของพวกเขา—ซึ่งเป็นส่วนสำคัญของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน —มุ่งเน้นไปที่ปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ เนื่องจากบรรทัดฐานทั้งหมดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีมิติจำกัดก่อให้เกิดแนวคิดการลู่เข้าแบบเดียวกัน^{[ 71 ]}ภาพทางด้านขวาแสดงความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐาน - และบรรทัดฐาน - บนเนื่องจาก "ลูกบอล" หน่วยล้อมรอบซึ่งกันและกัน ลำดับจะลู่เข้าสู่ศูนย์ในบรรทัดฐานหนึ่งก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าสู่ศูนย์ในบรรทัดฐานอื่นเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในกรณีมิติอนันต์ โดยทั่วไปจะมีทอพอโลยีที่ไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งทำให้การศึกษาปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีมีความสมบูรณ์กว่าการศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม ${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$

จากมุมมองเชิงแนวคิด แนวคิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีควรสอดคล้องกับทอพอโลยี ตัวอย่างเช่น แทนที่จะพิจารณาแผนที่เชิงเส้นทั้งหมด (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันนัล ) แผนที่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะต้องมีความต่อเนื่อง^{[ 72 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิคู่ (เชิงทอพอโลยี) ประกอบด้วยฟังก์ชันนัลต่อเนื่อง(หรือไปยัง) ทฤษฎีบทพื้นฐานของ Hahn–Banachเกี่ยวข้องกับการแยกปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่เหมาะสมโดยใช้ฟังก์ชันนัลต่อเนื่อง^{[ 73 ]}${\displaystyle V\to W,}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

ปริภูมิ Banachซึ่งแนะนำโดย Stefan Banachเป็นปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานที่สมบูรณ์ ^{[ 74 ]}

ตัวอย่างแรกคือปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle \ell ^{p}}$ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์อนันต์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง โดยที่ นอร์มของเวก เตอร์ เหล่านั้นกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (1\leq p\leq \infty )}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|\qquad {\text{ for }}p=\infty ,{\text{ and }}}$$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad {\text{ for }}p<\infty .}$$

โทโพโลยีในปริภูมิอนันต์มิติไม่เท่ากันสำหรับค่าที่แตกต่างกันตัวอย่างเช่น ลำดับของเวกเตอร์ที่ส่วนประกอบแรกเป็นและส่วนประกอบถัดไปเป็น จะลู่เข้าสู่เวกเตอร์ศูนย์สำหรับแต่จะไม่ลู่ เข้าสู่เวกเตอร์ศูนย์ สำหรับ ${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right),}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{-n}}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle p=1:}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0,}$$$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชัน จะมีค่ามาตรฐานมากกว่าลำดับของจำนวนจริง ซึ่งจะแทนที่ผลรวมข้างต้นด้วย ปริพันธ์ของเลเบส${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,{d\mu (x)}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

พื้นที่ของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้บนโดเมน ที่กำหนด (เช่น ช่วง) ที่สอดคล้องกับและมีบรรทัดฐานนี้เรียกว่าพื้นที่เลเบสซึ่งแสดงด้วย^{[ nb 7 ]}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \|f\|_{p}<\infty ,}$${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega ).}$

พื้นที่เหล่านี้สมบูรณ์^{[ 75 ]} (หากใช้ปริพันธ์รีมันน์แทน พื้นที่จะไม่สมบูรณ์ ซึ่งอาจถือเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีการอินทิเกรตของเลเบส^{[ nb 8 ]} ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าสำหรับลำดับของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตเลเบสได้ ซึ่งสอดคล้อง กับเงื่อนไข จะมีฟังก์ชันที่อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์เช่นนั้น ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }$${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}<\infty ,}$$${\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left|f_{k}(x)-f_{n}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega )}$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0.}$$

การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตไม่เพียงแต่กับฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุพันธ์ ของฟังก์ชันด้วย ทำให้เกิดพื้นที่โซโบเลฟ^{[ 76 ]}

พื้นที่ผลคูณภายในที่สมบูรณ์เรียกว่าพื้นที่ฮิลเบิร์ตเพื่อเป็นเกียรติแก่เดวิด ฮิลเบิร์ต [ ^{77 ] พื้นที่}ฮิลเบิร์ตที่มีผลคูณภายในที่กำหนดโดย โดย ที่แทนค่าสังยุคเชิงซ้อนของ^{[ 78 ] [ nb 9 ]}เป็นกรณีสำคัญ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$$${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$${\displaystyle g(x),}$

ตามคำจำกัดความ ในปริภูมิฮิลเบิร์ต ลำดับโคชีใดๆ จะลู่เข้าสู่ลิมิต ในทางกลับกัน การค้นหาลำดับของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์ซึ่งประมาณฟังก์ชันลิมิตที่กำหนดนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง การวิเคราะห์ในยุคแรก ในรูปแบบของการประมาณค่าเทย์เลอร์ได้สร้างการประมาณค่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ด้วยพหุนาม^{[ 79 ]}ตามทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัสฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันบนสามารถประมาณค่าได้ใกล้เคียงตามที่ต้องการด้วยพหุนาม^{[ 80 ]}เทคนิคการประมาณค่าที่คล้ายกันโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมักเรียกว่าการขยายฟูริเยร์และมีการนำไปใช้มากในทางวิศวกรรม โดยทั่วไปและในเชิงแนวคิด ทฤษฎีบทนี้ให้คำอธิบายง่ายๆ ว่า "ฟังก์ชันพื้นฐาน" หรือในปริภูมิฮิลเบิร์ตนามธรรม เวกเตอร์พื้นฐานใดที่เพียงพอที่จะสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตในแง่ที่ว่าการปิดของช่วงของเวกเตอร์เหล่านั้น (นั่นคือ การรวมเชิงเส้นจำกัดและลิมิตของเวกเตอร์เหล่านั้น) คือปริภูมิทั้งหมด ชุดฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฐานของจำนวนสมาชิก ซึ่งเรียกว่ามิติของปริภูมิฮิลเบิร์ต [ ^{nb 10 ]}ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่แสดงฟังก์ชันฐานที่เหมาะสมซึ่งเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ในการประมาณค่าเท่านั้น แต่ยังร่วมกับกระบวนการแกรม-ชมิดต์ทำให้สามารถสร้างฐานของเวกเตอร์ตั้งฉากได้^{[ 81 ]}ฐานตั้งฉากดังกล่าวเป็นการขยายทั่วไปของแกนพิกัดในปริภูมิยูคลิดมิติจำกัดในปริภูมิฮิล เบิร์ ต ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H,}$

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ต่างๆ สามารถตีความได้ในแง่ของปริภูมิฮิลเบิร์ต ตัวอย่างเช่น สาขาต่างๆ มากมายในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์นำไปสู่สมการดังกล่าว และบ่อยครั้งที่คำตอบที่มีคุณสมบัติทางกายภาพเฉพาะจะถูกใช้เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งมักจะเป็นฟังก์ชันตั้งฉาก^{[ 82 ]}ตัวอย่างเช่น จากฟิสิกส์สมการชโรดิงเกอร์ ที่ขึ้นอยู่กับเวลา ในกลศาสตร์ควอนตัมอธิบายการเปลี่ยนแปลงของคุณสมบัติทางกายภาพในเวลาโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งคำตอบของสมการเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันคลื่น^{[ 83 ]}ค่าที่แน่นอนสำหรับคุณสมบัติทางกายภาพ เช่น พลังงาน หรือโมเมนตัม สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ ของ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (เชิงเส้น) บางตัวและฟังก์ชันคลื่นที่เกี่ยวข้องเรียกว่าสถานะลักษณะเฉพาะทฤษฎีบทสเปกตรัมแยกตัวดำเนินการเชิงเส้นขนาด กะทัดรัด ที่กระทำกับฟังก์ชันในแง่ของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้^{[ 84 ]}

ปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไปไม่มีการคูณระหว่างเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีตัวดำเนินการทวิเชิงเส้น เพิ่มเติม ที่กำหนดการคูณของเวกเตอร์สองตัวคือพีชคณิตเหนือฟิลด์ (หรือ พีชคณิต Fถ้าฟิลด์Fถูกระบุ) ^{[ 85 ]}

ตัวอย่างเช่น เซตของพหุนาม ทั้งหมด ก่อให้เกิดพีชคณิตที่เรียกว่าวงแหวนพหุนาม : โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของพหุนามสองตัวเป็นพหุนาม พวกมันจึงก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ พวกมันก่อให้เกิดพีชคณิตเนื่องจากผลคูณของพหุนามสองตัวก็เป็นพหุนามเช่นกัน วงแหวนของพหุนาม (ในหลายตัวแปร) และผลหาร ของพวกมัน ก่อให้เกิดพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากพวกมันเป็นวงแหวนของฟังก์ชันของวัตถุทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิต^{[ 86 ]}${\displaystyle p(t)}$

ตัวอย่างที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือพีชคณิตลี (Lie algebras ) ซึ่งไม่ใช่ทั้งพีชคณิตสลับที่และพีชคณิตสมาคม แต่การที่ไม่เป็นเช่นนั้นถูกจำกัดด้วยข้อจำกัด ( หมายถึงผลคูณของและ): ${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$( การสลับตำแหน่งไม่ได้ ) และ
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$( เอกลักษณ์ของจาโคบี ) ^{[ 87 ]}

ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์ของ เมทริกซ์ ขนาด -by- ที่มีตัวสลับของเมทริกซ์สองตัว และปริภูมิ เวก เตอร์ ที่มี ผลคูณไขว้${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$

พีชคณิตเทนเซอร์ เป็นวิธีการอย่างเป็นทางการในการเพิ่มผลคูณให้กับปริภูมิเวกเตอร์ใดๆเพื่อให้ได้พีชคณิต^{[ 88 ]}ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ มันถูกสร้างขึ้นโดยสัญลักษณ์ที่เรียกว่าเทนเซอร์ แบบง่าย ซึ่งระดับจะแตกต่างกัน การคูณจะทำได้โดยการต่อสัญลักษณ์ดังกล่าวเข้าด้วยกัน โดยกำหนดกฎการกระจายภายใต้การบวก และกำหนดให้การคูณสเกลาร์สลับตำแหน่งกับผลคูณเทนเซอร์ ⊗ ในลักษณะเดียวกับผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิที่แนะนำในส่วนข้างต้นเกี่ยวกับผลคูณเทนเซอร์โดยทั่วไปแล้วไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างและการบังคับให้องค์ประกอบสองตัวดังกล่าวเท่ากันจะนำไปสู่พีชคณิตสมมาตรในขณะที่การบังคับ จะได้พีชคณิตภายนอก^{[ 89 ]}${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$

เวกเตอร์บันเดิลคือตระกูลของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดพารามิเตอร์อย่างต่อเนื่องโดยปริภูมิโทโพโลยีX ^{[ 90 ]}กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เวกเตอร์บันเดิลเหนือX คือปริภูมิโทโพโลยี E ที่มีแผนที่ต่อเนื่องซึ่งสำหรับทุก x ใน X ไฟเบอร์π −1 ( x ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์กรณี^dim V = 1 เรียกว่าไลน์บันเดิล สำหรับปริภูมิเวกเตอร์V ใดๆ การฉายภาพX × V → Xทำให้ผลคูณX × Vกลายเป็นเวกเตอร์บันเดิล "ไม่สำคัญ"เวกเตอร์บันเดิลเหนือXจำเป็นต้องเป็นผลคูณของXและปริภูมิเวกเตอร์V (คงที่) ในระดับท้องถิ่น : สำหรับทุกxในXจะมีบริเวณใกล้เคียงUของxซึ่งการจำกัดของ π ไปยัง π ⁻¹ ( U ) นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิก[ ^{nb 11 ]}กับบันเดิลไม่สำคัญU × V → Uแม้ว่าเวกเตอร์บันเดิลจะมีลักษณะธรรมดาในระดับท้องถิ่น แต่ก็อาจ"บิดเบี้ยว" ในระดับใหญ่ได้ ( ขึ้นอยู่กับรูปร่างของปริภูมิพื้นฐาน X ) (นั่นคือ บันเดิลไม่จำเป็นต้องเป็น (สมมาตรทั่วโลกกับ) บันเดิลธรรมดา X × V ) ตัวอย่างเช่นแถบโมเบียสสามารถมองได้ว่าเป็นบันเดิลเส้นตรงเหนือวงกลมS ¹ (โดยการระบุช่วงเปิดกับเส้นจำนวนจริง ) อย่างไรก็ตาม มันแตกต่างจากทรงกระบอกS ¹ × Rเพราะทรงกระบอกหลังสามารถกำหนดทิศทางได้ในขณะที่อันแรกไม่สามารถ กำหนดทิศทางได้ ^{[ 91 ]}$${\displaystyle \pi :E\to X}$$

คุณสมบัติของเวกเตอร์บันเดิลบางชนิดให้ข้อมูลเกี่ยวกับปริภูมิโทโพโลยีพื้นฐาน ตัวอย่างเช่นบันเดิลสัมผัสประกอบด้วยชุดของปริภูมิสัมผัสที่กำหนดพารามิเตอร์โดยจุดของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ บันเดิลสัมผัสของวงกลมS 1 ^เป็นไอโซมอร์ฟิกทั่วโลกกับS ¹ × Rเนื่องจากมีฟิลด์เวกเตอร์ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั่วโลก บนS ^{1 [ nb 12 ]}ในทางตรงกันข้าม ตามทฤษฎีลูกบอลขนปุยไม่มีฟิลด์เวกเตอร์ (สัมผัส) บนทรงกลม 2 มิติS ²ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกที่^{[ 92 ]}ทฤษฎี Kศึกษาคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิลทั้งหมดเหนือปริภูมิโทโพโลยีบางอย่าง^{[ 93 ]}นอกเหนือจากการเพิ่มพูนความเข้าใจเชิงโทโพโลยีและเรขาคณิตแล้ว ยังมีผลลัพธ์ทางพีชคณิตล้วนๆ เช่น การจำแนกประเภทของพีชคณิตการหาร จริงมิติจำกัด : R , C , ควอเทอร์เนียน H และอ็อกโทเนียนO

กลุ่มโคแทนเจนต์ของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยปริภูมิคู่ของปริภูมิแทนเจนต์ ซึ่งก็คือปริภูมิโคแทนเจนต์ ณ ทุกจุดบนแมนิโฟลด์ส่วนตัดของกลุ่มนั้นเรียกว่ารูปแบบหนึ่งเชิงอนุพันธ์

โมดูลเปรียบเสมือนปริภูมิเวกเตอร์เปรียบเสมือนฟิลด์ กล่าวคือ สัจพจน์เดียวกัน เมื่อนำไปใช้กับวงแหวนRแทนที่จะเป็นฟิลด์Fจะให้ผลลัพธ์เป็นโมดูล^{[ 94 ]}ทฤษฎีของโมดูล เมื่อเปรียบเทียบกับทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์ จะมีความซับซ้อนมากขึ้นเนื่องจากการมีอยู่ขององค์ประกอบวงแหวนที่ไม่มีตัวผกผันการคูณตัวอย่างเช่น โมดูลไม่จำเป็นต้องมีฐาน ดังที่ โมดูล Z (นั่นคือกลุ่มอาเบล ) Z /2 Zแสดงให้เห็น โมดูลที่มีฐาน (รวมถึงปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด) เรียกว่าโมดูลอิสระอย่างไรก็ตาม ปริภูมิเวกเตอร์สามารถกำหนดได้อย่างกระชับว่าเป็นโมดูลเหนือวงแหวนซึ่งเป็นฟิลด์โดยที่องค์ประกอบเรียกว่าเวกเตอร์ ผู้เขียนบางคนใช้คำว่าปริภูมิเวกเตอร์เพื่อหมายถึงโมดูลเหนือวงแหวนหาร^{[ 95 ]}การตีความเชิงพีชคณิตเรขาคณิตของวงแหวนสลับที่ผ่านสเปกตรัม ของวงแหวนนั้น ช่วยให้สามารถพัฒนาแนวคิดต่างๆ เช่นโมดูลอิสระเฉพาะที่ซึ่งเป็นคู่ทางพีชคณิตของเวกเตอร์บันเดิ ล

โดยคร่าวๆ แล้วพื้นที่แอฟฟินคือพื้นที่เวกเตอร์ที่ไม่ได้ระบุจุดกำเนิด^{[ 96 ]}กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นที่แอฟฟินคือเซตที่มีการกระทำของพื้นที่เวกเตอร์แบบทรานซิทีฟอิสระโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่เวกเตอร์เป็นพื้นที่แอฟฟินเหนือตัวมันเองโดยแผนที่ ถ้าWเป็นพื้นที่เวกเตอร์ พื้นที่ย่อยแอฟฟินคือเซตย่อยของWที่ได้จากการเลื่อนพื้นที่ย่อยเชิงเส้นVด้วยเวกเตอร์คงที่x ∈ Wพื้นที่นี้แสดงด้วยx + V (เป็นโคเซตของVในW ) และประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมดในรูปแบบx + vสำหรับv ∈ Vตัวอย่างที่สำคัญคือพื้นที่ของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ซึ่งเป็นการ ขยาย กรณีเอกพันธุ์ที่กล่าวถึงในส่วนข้างต้นเกี่ยวกับสมการเชิงเส้น ซึ่งสามารถหาได้โดยการตั้งค่าในสมการนี้^{[ 97 ]}พื้นที่ของคำตอบคือพื้นที่ย่อยเชิงเส้นx + Vโดยที่xเป็นคำตอบเฉพาะของสมการ และVคือพื้นที่ของคำตอบของสมการเอกพันธุ์ ( พื้นที่ว่างของA ) $${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$

เซตของปริภูมิย่อยหนึ่งมิติของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดคงที่Vเรียกว่าปริภูมิเชิงฉาย (projective space ) ซึ่งอาจใช้เพื่อกำหนดแนวคิดของเส้นขนานที่ตัดกันที่อนันต์^{[ 98 ]}กราสส์มันเนียนและ แมนิโฟลด์ แฟลก (flag manifolds ) ขยายแนวคิดนี้โดยการกำหนดพารามิเตอร์ปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่มีมิติคงที่kและแฟลกของปริภูมิย่อยตามลำดับ

ในวิกิบุ๊กเรื่องพีชคณิตเชิงเส้นมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: ปริภูมิเวกเตอร์จริง

ในวิกิบุ๊กเรื่องพีชคณิตเชิงเส้นมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: ปริภูมิเวกเตอร์

• "ปริภูมิเวกเตอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]