ในพีชคณิตนามธรรมพีชคณิตการหารโดยคร่าวๆ คือพีชคณิตบนฟิลด์ที่การหารยกเว้นการหารด้วยศูนย์ เป็นไปได้เสมอ การดำเนินการคูณในพีชคณิตการหารไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสลับที่หรือแบบสมาคมเสมอไป

ในทางทฤษฎี สมมติว่าDเป็นพีชคณิตที่ไม่เป็นศูนย์ เหนือฟิลด์แล้วDเป็นพีชคณิตการหารถ้าสำหรับทุกองค์ประกอบaในD และทุกองค์ประกอบ bที่ ไม่เป็นศูนย์ในDจะมีองค์ประกอบxในD เพียงตัวเดียวเท่านั้น ที่มีa = bxและมีองค์ประกอบyในD เพียงตัวเดียวเท่านั้น ที่มีa = yb

สำหรับพีชคณิตแบบสมาคมนิยามสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: พีชคณิตแบบสมาคมที่ไม่เป็นศูนย์เหนือฟิลด์ จะเป็นพีชคณิตแบบหารก็ต่อเมื่อมันมีองค์ประกอบเอกลักษณ์ การคูณคือ 1 และทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์aมีตัวผกผันการคูณ นั่นคือ องค์ประกอบxที่มีax = xa = 1

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของพีชคณิตการหารแบบสมาคมคือพีชคณิตจำนวนจริงมิติจำกัด (กล่าวคือ พีชคณิตเหนือฟิลด์Rของจำนวนจริงที่มีมิติ จำกัด ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เหนือR ) ทฤษฎีบทฟรอเบนิอุสกล่าวว่า มีพีชคณิตดังกล่าวอยู่สามแบบ โดยพิจารณาจากความเหมือนกันทางไอโซมอร์ฟิซึม ได้แก่ จำนวนจริงเอง (มิติ 1) ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน (มิติ 2) และควอเทอร์เนียน (มิติ 4)

ทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของ Wedderburnระบุว่า ถ้าDเป็นพีชคณิตการหารจำกัด แล้วDจะเป็นฟิลด์จำกัด^{[ 1 ]}

บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตK (เช่นจำนวนเชิงซ้อนC ) ไม่มีพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงมิติจำกัดอื่นใดนอกจากKเอง^{[ 2 ]}

พีชคณิตการหารแบบสมาคมไม่มีตัวหารศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์ พีชคณิต สมาคมเอกลักษณ์มิติจำกัด(เหนือฟิลด์ใดๆ) เป็นพีชคณิตการหารก็ต่อเมื่อไม่มีตัวหารศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ อันที่จริง ถ้าเป็นสมาชิกของพีชคณิตสมาคมมิติจำกัดการที่ไม่มีตัวหารศูนย์หมายความว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันทั่วถึง กล่าวคือมีคำตอบ^{[ 3 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L_{a}=x\mapsto ax:A\to A}$${\displaystyle L_{a}x=1}$

เมื่อใดก็ตามที่Aเป็นพีชคณิตแบบสมาคม ที่มีเอกลักษณ์ เหนือฟิลด์FและSเป็นโมดูลเชิงเดี่ยวเหนือAแล้ววงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของSจะเป็นพีชคณิตการหารเหนือFพีชคณิตการหารแบบสมาคมทุกตัวเหนือFเกิดขึ้นในลักษณะนี้

ศูนย์กลางของพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงDเหนือฟิลด์Kคือฟิลด์ที่บรรจุKมิติของพีชคณิตดังกล่าวเหนือศูนย์กลางของมัน ถ้าเป็นมิติจำกัด จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์กล่าวคือ เท่ากับกำลังสองของมิติของฟิลด์ย่อยสูงสุดของDเหนือศูนย์กลาง เมื่อกำหนดฟิลด์F แล้ว ชั้นสมมูลของบราวเออร์ ของพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงอย่างง่าย (ประกอบด้วยเฉพาะอุดมคติสองด้านที่ไม่สำคัญ) ซึ่งมีศูนย์กลางเป็นF และมีมิติจำกัดเหนือFสามารถแปลงเป็นกลุ่มได้ ซึ่งก็คือกลุ่มบราวเออร์ของฟิลด์F

วิธีหนึ่งในการสร้างพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงที่มีมิติจำกัดเหนือฟิลด์ใดๆ คือการใช้พีชคณิตควอเทอร์เนียน (ดูเพิ่มเติมที่ควอเทอร์เนียน )

สำหรับพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงที่มีมิติอนันต์ กรณีที่สำคัญที่สุดคือกรณีที่ปริภูมิมีโทโพโลยี ที่สมเหตุสมผล ดูตัวอย่างเช่นพีชคณิตการหารแบบนอร์มและพีชคณิตบานาค

หากไม่ถือว่าพีชคณิตการหารเป็นแบบสมาคม โดยปกติแล้วจะมีการกำหนดเงื่อนไขที่อ่อนกว่า (เช่นสมาคมทางเลือกหรือสมาคมกำลัง ) แทน ดูที่พีชคณิตบนฟิลด์สำหรับรายชื่อเงื่อนไขดังกล่าว

บนจำนวนจริง (โดยไม่คำนึงถึงไอโซมอร์ฟิซึม) มีเพียง พีชคณิตการหารแบบเอกภาพและสลับที่ได้มิติ จำกัด เพียงสองแบบเท่านั้น คือ จำนวนจริงเอง และจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งทั้งสองแบบนี้เป็นแบบสมาคมกัน สำหรับตัวอย่างที่ไม่เป็นแบบสมาคมกัน ลองพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่มีการคูณซึ่งกำหนดโดยการหา จำนวนเชิงซ้อน สังยุคของการคูณแบบปกติ:

a ∗ b = ab .

นี่คือพีชคณิตการหารแบบสลับที่ได้และไม่สัมพันธ์กันที่มีมิติ 2 บนจำนวนจริง และไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ มีพีชคณิตการหารจริงแบบสลับที่ได้และไม่สัมพันธ์กันที่มีมิติจำกัดอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วนที่ไม่เหมือนกัน แต่ทั้งหมดมีมิติ 2

อันที่จริงแล้ว พีชคณิตการหารสลับที่แบบจำนวนจริงที่มีมิติจำกัดทุกตัวจะเป็นแบบ 1 มิติหรือ 2 มิติ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า ทฤษฎีบท ของฮอปฟ์ซึ่งได้รับการพิสูจน์ในปี 1940 การพิสูจน์ใช้วิธีการจากโทโพโลยีแม้ว่าจะมีการค้นพบการพิสูจน์ในภายหลังโดยใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิตแต่ก็ยังไม่มีการพิสูจน์โดยตรงทางพีชคณิตที่เป็นที่รู้จักทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตเป็นบทสรุปของทฤษฎีบทของฮอปฟ์

เมื่อตัดเงื่อนไขเรื่องการสลับที่ออกไป ฮอปฟ์จึงสรุปผลลัพธ์ของเขาได้ว่า พีชคณิตการหารจริงที่มีมิติจำกัดใดๆ จะต้องมีมิติเป็นกำลังของ 2

งานวิจัยในภายหลังแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้ว พีชคณิตการหารจริงที่มีมิติจำกัดจะต้องมีมิติ 1, 2, 4 หรือ 8 Michel KervaireและJohn Milnor ได้พิสูจน์เรื่องนี้อย่างอิสระ ในปี 1958 โดยใช้เทคนิคทางพีชคณิตเชิงโทโพ โลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีK Adolf Hurwitzได้แสดงให้เห็นในปี 1898 ว่าเอกลักษณ์q q = ผลรวมของกำลังสองใช้ได้เฉพาะกับมิติ 1, 2, 4 และ 8 เท่านั้น^{[ 4 ]} (ดูทฤษฎีบทของ Hurwitz ) ความท้าทายในการสร้างพีชคณิตการหารสามมิติได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ยุคแรกหลายคนKenneth O. Mayได้สำรวจความพยายามเหล่านี้ในปี 1966 ^{[ 5 ]}

พีชคณิตการหารมิติจำกัดจริงใดๆ บนจำนวนจริงจะต้องเป็น

• ไอโซมอร์ฟิกกับRหรือCถ้าเป็นยูนิแทรีและสลับที่ได้ (หรือเทียบเท่า: สมาคมและสลับที่ได้)
• ไอโซมอร์ฟิกกับควอเทอร์เนียนหากไม่สลับที่กันแต่เป็นสมาคม
• ไอโซมอร์ฟิกกับอ็อกโทเนียนหากไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่แต่เป็นทางเลือกอื่น

ต่อไปนี้เป็นข้อมูลที่ทราบเกี่ยวกับมิติของพีชคณิตการหารมิติจำกัดAบนฟิลด์K :

• dim A = 1 ถ้าKเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิต
• dim A = 1, 2, 4 หรือ 8 ถ้าKเป็นเซตปิดจริงและ
• ถ้าK ไม่ใช่ทั้งเซตปิดเชิงพีชคณิตและ เซตปิดเชิงจริงแล้ว จะมีมิติมากมายนับไม่ถ้วนที่มีพีชคณิตการหารอยู่เหนือK

เราอาจกล่าวได้ว่าพีชคณิตA มีตัวผกผันการคูณถ้าสำหรับจำนวนจริงa ∈ A ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมีสมาชิกa ⁻¹ ∈ Aที่มีaa ⁻¹ = a ⁻¹ a = 1พีชคณิตแบบสมาคมจะมีตัวผกผันการคูณก็ต่อเมื่อมันเป็นพีชคณิตแบบหาร อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ใช้ไม่ได้กับพีชคณิตแบบไม่สมาคมเซเดเนียนเป็นพีชคณิตแบบไม่สมาคมบนจำนวนจริงที่มีตัวผกผันการคูณ แต่ไม่ใช่พีชคณิตแบบหาร ในทางกลับกัน เราสามารถสร้างพีชคณิตแบบหารที่ไม่มีตัวผกผันการคูณได้โดยการนำควอเทอร์เนียนมาปรับเปลี่ยนผลคูณ โดยกำหนดให้i ² = −1 + εjสำหรับจำนวนจริงε ขนาดเล็กที่ไม่ใช่ศูนย์ ในขณะที่ตารางการคูณส่วนที่เหลือยังคงเหมือนเดิม สมาชิกiจะมีทั้งตัวผกผันทางขวาและทางซ้าย แต่ตัวผกผันทั้งสองไม่เท่ากัน

• พีชคณิตการหารแบบนอร์ม
• การหาร (คณิตศาสตร์)
• วงแหวนแบ่งแยก
• เซมิฟิลด์
• การก่อสร้างเคย์ลีย์-ดิกสัน

• "พีชคณิตการหาร" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]