ตารางการคูณควอเทอร์เนียน

↓ × →	1	ฉัน	เจ	เค
1	1	ฉัน	เจ	เค
ฉัน	ฉัน	−1	เค	− เจ
เจ	เจ	− k	−1	ฉัน
เค	เค	เจ	− i	−1
คอลัมน์ซ้ายแสดงปัจจัยด้านซ้าย แถวบนสุดแสดงปัจจัยด้านขวา นอกจากนี้สำหรับ, . ${\displaystyle a\mathbf {b} =\mathbf {b} ก}$${\displaystyle -\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$

ในทางคณิตศาสตร์ควอเทอร์เนียนก่อให้เกิดระบบจำนวนที่คล้ายกับจำนวนเชิงซ้อนโดยมีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตามปกติ ได้แก่การบวกการลบการคูณและการหารแต่มี ส่วนประกอบ จำนวนจริง สี่ส่วน แทนที่จะเป็นสองส่วน แตกต่างจากจำนวนเชิงซ้อน การคูณควอเทอร์เนียนไม่เป็น ไปตามกฎ การสลับที่ หมายความว่าผลลัพธ์ของการคูณควอเทอร์เนียนสองตัวขึ้นอยู่กับลำดับของควอเทอร์เนียน ควอเทอร์เนียนสามารถใช้แทนเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติซึ่งให้คำจำกัดความของผลหารของเวกเตอร์สองตัว^{[ 1 ] [ 2 ]}

ควอเทอร์เนียนได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอริชWilliam Rowan Hamiltonในปี พ.ศ. 2386 ^{[ 3 ] [ 4 ]}และเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา เซตของควอเทอร์เนียนทั้งหมดจึงมักถูกแทนด้วยหรือHควอเทอร์เนียนทั่วไปมักแสดงในรูปแบบ ที่สัมประสิทธิ์a , b , c , dเป็นจำนวนจริง และ1, i , j , kเป็นเวกเตอร์ฐานหรือองค์ประกอบฐาน^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {H} }$$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

ควอเทอร์เนียนถูกใช้ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์แต่ก็มีการใช้งานจริงในคณิตศาสตร์ประยุกต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการหมุนสามมิติเช่น ในกราฟิกคอมพิวเตอร์สามมิติคอมพิวเตอร์วิชั่นหุ่นยนต์การถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 6 ]}และการวิเคราะห์พื้นผิวผลึก^{[ 7 ]}สามารถใช้ร่วมกับวิธีการหมุนอื่นๆ เช่นมุมออยเลอร์และเมทริกซ์การหมุนหรือใช้เป็นทางเลือกแทนก็ได้ ขึ้นอยู่กับการใช้งาน

ในฐานะโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม ควอเทอร์เนียนก่อให้เกิด พีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐาน เชิงสัมพันธ์ สี่มิติเหนือจำนวนจริง และด้วยเหตุนี้จึงเป็นวงแหวน รวมถึงวงแหวนการหารและโดเมน ด้วย เนื่องจากการคูณแบบไม่สลับที่ ควอเทอร์เนียนจึงไม่ก่อให้เกิดฟิลด์นอกจากนี้ ควอเทอร์เนียนยังเป็นกรณีพิเศษของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดซึ่งจัดอยู่ใน ประเภท${\displaystyle \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).}$

ตามทฤษฎีบทของ Frobeniusพีชคณิตนี้ เป็นหนึ่งใน วงแหวนการหารมิติจำกัดเพียงสอง วงที่มี วงแหวนย่อยที่เหมาะสมซึ่งสมมาตรกับจำนวนจริง อีกวงหนึ่งคือจำนวนเชิงซ้อน วงแหวนเหล่านี้ยังเป็นพีชคณิต Hurwitz แบบยุคลิดซึ่งควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยง ที่ใหญ่ที่สุด (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นวงแหวนที่ใหญ่ที่สุด) การขยายควอเทอร์เนียนต่อไปจะให้ผลเป็นอ็อกโทเนียนที่ไม่เชื่อมโยง ซึ่งเป็น พีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานสุดท้ายเหนือจำนวนจริง การขยายต่อไปจะให้ผลเป็นเซเดเนียนซึ่งมีตัวหารเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นพีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานได้^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {H} }$

ควอเทอร์เนียนหน่วยให้ โครงสร้าง กลุ่มบนทรงกลม 3 มิติS ³ที่สมมาตรกับกลุ่มSpin(3)และSU(2)กล่าวคือ กลุ่ม ปกคลุมสากลของSO(3) เวกเตอร์ฐานบวกและลบก่อตัวเป็น กลุ่ม ควอเทอ ร์ เนียนแปดองค์ประกอบ

ควอเทอร์เนียนได้รับการแนะนำโดยแฮมิลตันในปี พ.ศ. 2386 ^{[ 9 ]}งานวิจัยที่สำคัญก่อนหน้านี้ได้แก่เอกลักษณ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของออยเลอร์ (พ.ศ. 2491) และการกำหนดพารามิเตอร์ของการหมุนทั่วไปด้วยพารามิเตอร์สี่ตัวของโอลินเดอ โรดริเกส (พ.ศ. 2483) แต่ผู้เขียนทั้งสองคนนี้ไม่ได้พิจารณาการหมุนด้วยพารามิเตอร์สี่ตัวเป็นพีชคณิต^{[ 10 ] [ 11 ] [ a ]} ​​เกาส์ค้นพบควอเทอร์เนียนในปี พ.ศ. 2462 แต่ผลงานนี้ไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งปี พ.ศ. 2443 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

แฮมิลตันรู้ว่าจำนวนเชิงซ้อนสามารถตีความได้ว่าเป็นจุดบนระนาบและเขากำลังมองหาวิธีที่จะทำเช่นเดียวกันสำหรับจุดในปริภูมิ สามมิติ จุดในปริภูมิสามารถแทนด้วยพิกัด ซึ่งเป็นตัวเลขสามตัว และเป็นเวลาหลายปีที่เขารู้วิธีบวกและลบตัวเลขสามตัว อย่างไรก็ตาม เป็นเวลานานที่เขาติดอยู่กับปัญหาการคูณและการหาร เขาไม่สามารถคิดหาวิธีคำนวณผลหารของพิกัดของจุดสองจุดในปริภูมิได้ อันที่จริงเฟอร์ดินานด์ จอร์จ โฟรเบนิอุสได้พิสูจน์ในภายหลังในปี 1877 ว่าสำหรับพีชคณิตการหารบนจำนวนจริงที่จะมีมิติจำกัดและมีคุณสมบัติการสลับที่ได้นั้น จะต้องไม่เป็นสามมิติ และมีพีชคณิตการหารดังกล่าวเพียงสามแบบเท่านั้น ได้แก่(จำนวนเชิงซ้อน) และ(ควอเทอร์เนียน) ซึ่งมีมิติ 1, 2 และ 4 ตามลำดับ ${\displaystyle \mathbb {R,C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในเรื่องควอเทอร์เนียนเกิดขึ้นในวันจันทร์ที่ 16 ตุลาคม ค.ศ. 1843 ที่ดับลินขณะที่แฮมิลตันกำลังเดินทางไปยังราชวิทยาลัยไอริชเพื่อเป็นประธานในการประชุมสภา ระหว่างที่เขาเดินไปตามทางเดินริมคลองหลวงกับภรรยา แนวคิดเบื้องหลังควอเทอร์เนียนก็เริ่มก่อตัวขึ้นในใจของเขา เมื่อคำตอบปรากฏขึ้น แฮมิลตันอดใจไม่ไหวที่จะสลักสูตรนิยามของควอเทอร์เนียนลงบนหินของสะพานบรูกแฮมด้วยมีดพกของเขา:

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\;j\;k} =-1}$$

แม้ว่ารูปแกะสลักจะเลือนหายไปแล้ว แต่ก็มีการจัดงานเดินรำลึกประจำปีมาตั้งแต่ปี 1989 เรียกว่า " Hamilton Walk"สำหรับนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ที่เดินขบวนจากหอดูดาว Dunsinkไปยังสะพาน Royal Canal เพื่อรำลึกถึงการค้นพบของแฮมิลตัน

ในวันถัดมา แฮมิลตันเขียนจดหมายถึงเพื่อนและนักคณิตศาสตร์ด้วยกันเจที เกรฟส์โดยอธิบายลำดับความคิดที่นำไปสู่การค้นพบของเขา จดหมายฉบับนี้ได้รับการตีพิมพ์ในภายหลังในจดหมายถึงนิตยสาร Philosophical Magazine [ ^{3 ]}แฮมิลตันกล่าวว่า ^:

และ ณ ที่นี้ ความคิดที่ว่าเราต้องยอมรับมิติที่สี่ของพื้นที่ในแง่หนึ่งเพื่อจุดประสงค์ในการคำนวณด้วยสามเท่าก็ผุดขึ้นมาในใจข้าพเจ้า... ดูเหมือนว่าวงจรไฟฟ้าจะปิดลง และประกายไฟก็แลบออกมา^{[ 3 ]}

แฮมิลตันเรียกควอดรูเพิลที่มีกฎการคูณเหล่านี้ว่าควอเทอร์เนียนและเขาอุทิศชีวิตส่วนใหญ่ที่เหลืออยู่ให้กับการศึกษาและสอนเรื่องนี้แนวทางของแฮมิลตันมีความเป็นเรขาคณิต มากกว่า แนวทางสมัยใหม่ ซึ่งเน้น คุณสมบัติ ทางพีชคณิตของควอเทอร์เนียน เขาก่อตั้งสำนัก "ควอเทอร์เนียนนิสต์" และพยายามเผยแพร่ควอเทอร์เนียนในหนังสือหลายเล่ม หนังสือเล่มสุดท้ายและยาวที่สุดของเขาคือElements of Quaternions [ ^{14 ] มี}ความยาว 800 หน้า หนังสือเล่มนี้ได้รับการแก้ไขโดยลูกชายของเขาและตีพิมพ์ไม่นานหลังจากที่เขาเสียชีวิต

หลังจากแฮมิลตันเสียชีวิต ปีเตอร์ เทต นักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ชาวสก็อต แลนด์ก็กลายเป็นผู้เชี่ยวชาญหลักของควอเทอร์เนียน ในเวลานั้น ควอเทอร์เนียนเป็นหัวข้อสอบบังคับในดับลิน หัวข้อในฟิสิกส์และเรขาคณิตที่ปัจจุบันจะอธิบายโดยใช้เวกเตอร์ เช่นจลนศาสตร์ในอวกาศและสมการของแม็กซ์เวลล์จะถูกอธิบายทั้งหมดในแง่ของควอเทอร์เนียน มีแม้กระทั่งสมาคมวิจัยระดับมืออาชีพสมาคมควอเทอร์เนียนซึ่งอุทิศให้กับการศึกษาควอเทอร์เนียนและระบบจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ อื่นๆ ^{[ 15 ]}

ตั้งแต่ช่วงกลางทศวรรษ 1880 ควอเทอร์เนียนเริ่มถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์เวกเตอร์ซึ่งได้รับการพัฒนาโดยโจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์ ส โอลิเวอร์ เฮวิไซด์และเฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลทซ์ การวิเคราะห์เวกเตอร์อธิบายปรากฏการณ์เดียวกันกับควอเทอร์เนียน ดังนั้นจึงยืมแนวคิดและศัพท์เฉพาะบางส่วนมาจากเอกสารเกี่ยวกับควอเทอร์เนียนอย่างมากมาย อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เวกเตอร์นั้นเรียบง่ายกว่าในเชิงแนวคิดและสะอาดกว่าในเชิงสัญลักษณ์ และในที่สุดควอเทอร์เนียนก็ถูกลดบทบาทลงไปอยู่ในบทบาทรองในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ผลข้างเคียงของการเปลี่ยนแปลงนี้คืองานของแฮมิลตันนั้นยากที่จะเข้าใจสำหรับผู้อ่านสมัยใหม่หลายคน คำจำกัดความดั้งเดิมของแฮมิลตันนั้นไม่คุ้นเคย และรูปแบบการเขียนของเขาก็เยิ่นเย้อและยากที่จะติดตาม

อย่างไรก็ตาม ควอเทอร์เนียนได้รับการฟื้นฟูขึ้นมาอีกครั้งตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 20 โดยส่วนใหญ่เนื่องมาจากประโยชน์ในการอธิบายการหมุนเชิงพื้นที่การแสดงการหมุนด้วยควอเทอร์เนียนนั้นกระชับกว่าและคำนวณได้เร็วกว่าการแสดงด้วยเมทริกซ์นอกจากนี้ ควอเทอร์เนียนยังไม่ไวต่อ " gimbal lock " ต่างจากมุมออยเลอร์ ด้วยเหตุนี้ ควอเทอร์เนียนจึงถูกนำไปใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ [ ^{16 ] [ b ] วิชั่น}คอมพิวเตอร์หุ่นยนต์[ ^{18 ] การ} สุ่มตัวอย่างภาพนิวเคลียร์แมกเนติกเรโซแนน ซ์ ^{[ 6 ]}ทฤษฎีการควบคุมการประมวลผลสัญญาณการควบคุมทิศทางฟิสิกส์ชีวสารสนเทศศาสตร์พลศาสตร์โมเลกุลการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์และกลศาสตร์วงโคจรตัวอย่างเช่น ระบบ ควบคุมทิศทาง ของยานอวกาศมักจะถูกสั่งการในรูปของควอเท อร์เนียน ควอเทอร์เนียนยังมีส่วนช่วยในทฤษฎีจำนวน ด้วย เนื่องจากความสัมพันธ์กับ รูป แบบกำลังสอง^{[ 19 ]}

แฮมิลตันได้แนะนำไบควอเทอร์เนียนในLectures on Quaternions ของเขา และลุดวิก ซิลเบอร์สไตน์ ได้ใช้สิ่งเหล่านี้ ในปี พ.ศ. 2457 เพื่อแสดงการแปลงลอเรนซ์ของ ทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษ^{[ 20 ]} การแสดงการแปลงลอเรนซ์นี้ยังถูกใช้โดย คอร์เนลิอุส แลนซอสในปี พ.ศ. 2492 อีกด้วย^{[ 21 ]}

การค้นพบในปี 1924 ที่ว่าในกลศาสตร์ควอนตัมการหมุนของอิเล็กตรอนและอนุภาคสสารอื่นๆ (ที่รู้จักกันในชื่อสปินเนอร์ ) สามารถอธิบายได้โดยใช้ควอเทอร์เนียน (ในรูปแบบของเมทริกซ์สปินของ Pauli ที่มีชื่อเสียง ) ทำให้เกิดความสนใจมากขึ้น ควอเทอร์เนียนช่วยให้เข้าใจว่าการหมุนของอิเล็กตรอน 360° สามารถแยกแยะออกจากการหมุน 720° ได้อย่างไร (" กลเม็ดเพลท ") ^{[ 22 ] [ 23 ]}ณ ปี 2018 การใช้งานควอเทอร์เนียนยังไม่แซงหน้ากลุ่มการหมุน^{[ c ]}

WK Clifford ^{[ 25 ]} (1845 − 1879) ได้นำเสนอพีชคณิตของเขาในฐานะผลคูณเทนเซอร์ (“พีชคณิตเชิงประกอบ”) ของพีชคณิตควอเทอร์เนียน (และพีชคณิตย่อยคู่ของมัน) ซึ่งเป็นแนวคิดที่B. Peirce ^{[ 26 ]} (1809 − 1880) ได้นำเสนอ R. Lipschitz ^{[ 27 ]} (1832 − 1903) ได้ค้นพบพีชคณิตย่อยคู่ขึ้นใหม่โดยอิสระ ในปี 1922 CLE Moore ^{[ 28 ]} (1876 − 1931) ได้เรียก พีชคณิตของ Lipschitz ว่า “ไฮเปอร์ควอเทอร์เนียน” ปัจจุบันคำว่า “ไฮเปอร์ควอเทอร์เนียน” หมายถึงทั้งผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตควอเทอร์เนียนและพีชคณิตย่อยคู่ของมัน^{[ 29 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes n-1}\otimes \mathbb {C} }$

ตัวอย่างของไฮเปอร์ควอเทอร์เนียน ได้แก่(ไอโซมอร์ฟิกกับพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและเมทริกซ์จริง) ซึ่งนำไปสู่การประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษพีชคณิตย่อยคู่ของมันคือ( ไบควอเทอร์เนียน ) ^{[ 30 ] [ 31 ]}${\displaystyle \mathbb {H} ,\mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$${\displaystyle Cl_{3,1}\mathbb {(R)} }$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle M(4,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {H} \otimes \mathbb {C} }$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการสร้างเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนและพีชคณิตย่อยคู่( พีชคณิตของ Dirac ) ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M(4,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

ควอเทอร์เนียนคือการแสดงออกของรูปแบบ

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

โดยที่a , b , c , dเป็นจำนวนจริง และi , j , kเป็นสัญลักษณ์ที่สามารถตีความได้ว่าเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามแกนสามมิติ ในทางปฏิบัติ ถ้าa , b , c , d ตัวใดตัวหนึ่ง เป็น 0 พจน์ที่เกี่ยวข้องจะถูกละเว้น ถ้าa , b , c , dเป็นศูนย์ทั้งหมด ควอเทอร์เนียนจะเป็น ควอเท อ ร์เนียนศูนย์ซึ่งเขียนแทนด้วย 0 ถ้าb , c , d ตัวใดตัวหนึ่ง เท่ากับ 1 พจน์ที่เกี่ยวข้องจะเขียนเป็นเพียงi , jหรือk

ควอเทอร์เนียนสามารถแยกออกเป็นส่วนสเกลาร์( บางครั้งเรียกว่าส่วนจริง ) และส่วนเวกเตอร์ (บางครั้ง เรียกว่า ส่วนจินตนาการ ) ควอเทอร์เนียนที่เท่ากับส่วนจริง (นั่นคือ ส่วนเวกเตอร์เป็นศูนย์) เรียกว่า...${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle q-a=b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ควอเทอร์เนียนสเกลาร์ (บางครั้งควอเทอร์เนียนจริงหรือเรียกง่ายๆ ว่าสเกลาร์) และถูกระบุด้วยจำนวนจริงที่สอดคล้องกัน นั่นคือ จำนวนจริงถูกฝังอยู่ในควอเทอร์เนียน ^{[ d ]}ควอเทอร์เนียนที่เท่ากับส่วนเวกเตอร์ของมันเรียกว่าเวกเตอร์ควอเทอร์เนียน (บางครั้งไรท์ควอเทอร์เนียน)

ควอเทอร์เนียนก่อให้เกิด ปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติเหนือจำนวนจริง โดยมีฐานเป็นโดยการบวกแบบแยกส่วน ${\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$$

และการคูณสเกลาร์แบบแยกส่วนประกอบ

$${\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .}$$

โครงสร้างกลุ่มการคูณที่เรียกว่าผลคูณแฮมิลตันซึ่งแสดงด้วยการวางชิดกัน สามารถกำหนดบนควอเทอร์เนียนได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• ควอเทอร์เนียนสเกลาร์1 คือองค์ประกอบเอกลักษณ์
• ควอเทอร์เนียนสเกลาร์สามารถสลับที่กับควอเทอร์เนียนอื่นๆ ได้ทั้งหมด กล่าวคือaq = qaสำหรับทุกควอเทอร์เนียนqและทุกควอเทอร์เนียนสเกลาร์aในทางพีชคณิต หมายความว่าฟิลด์ของควอเทอร์เนียนสเกลาร์เป็นศูนย์กลางของพีชคณิตควอเทอร์เนียน
• ผลคูณของแฮมิลตันนั้นกำหนดขึ้นครั้งแรกสำหรับองค์ประกอบพื้นฐาน จากนั้นจึงขยายไปยังควอเทอร์เนียนทั้งหมดโดยใช้คุณสมบัติการกระจายและคุณสมบัติศูนย์กลางของควอเทอร์เนียนสเกลาร์ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง) ผลคูณของแฮมิลตันนั้นไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่แต่เป็นไปตามกฎการจัดกลุ่มดังนั้นควอเทอร์เนียนจึงก่อให้เกิดพีชคณิตแบบจัดกลุ่มบนจำนวนจริง
• นอกจากนี้ ควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวยังมีตัวผกผันเมื่อเทียบกับผลคูณของแฮมิลตันด้วย:$${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$$

ดังนั้น ควอเทอร์เนียนจึงก่อให้เกิดพีชคณิตการหาร

การคูณด้วย1ขององค์ประกอบพื้นฐานi , jและk นั้นถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่า1เป็นเอกลักษณ์การคูณนั่นคือ $${\displaystyle \mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} .}$$

ผลิตภัณฑ์ของธาตุพื้นฐานอื่นๆ คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} ^{2}&=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1,\\\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{aligned}}}$$

เมื่อนำกฎเหล่านี้มารวมกัน $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i\,j\,k} &=-1.\end{aligned}}}$$

ศูนย์กลางของวงแหวนไม่สลับที่คือวงแหวนย่อยของสมาชิกcโดยที่cx = xcสำหรับทุกxศูนย์กลางของพีชคณิตควอเทอร์เนียนคือฟิลด์ย่อยของควอเทอร์เนียนสเกลาร์ อันที่จริงแล้ว เป็นส่วนหนึ่งของนิยามที่ว่าควอเทอร์เนียนสเกลาร์เป็นสมาชิกของศูนย์กลาง ในทางกลับกัน ถ้าq = a + b i + c j + d kเป็นสมาชิกของศูนย์กลางแล้ว $${\displaystyle 0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {i} \mathbf {j} +2d\,\mathbf {i} \mathbf {k} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} ,}$$

และc = d = 0การคำนวณที่คล้ายกันโดยใช้jแทนiแสดงให้เห็นว่าb = 0 เช่นกัน ดังนั้นq = aจึงเป็นควอเทอร์เนียนแบบสเกลาร์

ควอเทอร์เนียนก่อให้เกิดพีชคณิตการหาร ซึ่งหมายความว่าสมบัติเดียวที่ทำให้ควอเทอร์เนียนแตกต่างจากฟิลด์คือ การไม่สลับที่ของการคูณ สมบัติที่ไม่สลับที่นี้ส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิดหลายประการ หนึ่งในนั้นคือ^สมการพหุนามบนควอเทอร์เนียนสามารถมีคำตอบที่แตกต่างกันได้มากกว่าดีกรีของพหุนาม ตัวอย่างเช่น สมการz² + 1 = 0มีคำตอบควอเทอร์เนียนอนันต์ ซึ่งก็คือควอเทอร์เนียนz = bi + cj + dkโดยที่ b² + c² + d² = ¹ ดังนั้นหน่วยจินตนาการเหล่า^นี้จึงก่อให้เกิดทรงกลมหน่วยในปริภูมิสามมิติของเวกเตอร์ควอเทอ ร์^{เนียน}

สำหรับสององค์ประกอบa ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ kและa ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ kผลคูณของทั้งสององค์ประกอบนี้ เรียกว่า ผลคูณแฮมิลตัน ( a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k ) ( a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k ) จะถูกกำหนดโดยผลคูณขององค์ประกอบพื้นฐานและกฎการกระจายกฎการกระจายทำให้สามารถขยายผลคูณให้เป็นผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบพื้นฐานได้ ซึ่งจะได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}$$

ตอนนี้องค์ประกอบพื้นฐานสามารถคูณกันได้โดยใช้กฎที่ให้ไว้ข้างต้นเพื่อให้ได้: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}$$

ควอเทอร์เนียนในรูปแบบa + 0 i + 0 j + 0 kโดยที่aเป็นจำนวนจริง เรียกว่า ควอเทอร์เนียนสเกลาร์ (บางครั้งเรียกว่าควอเทอร์เนียนจริง ) และควอเทอร์เนียนในรูปแบบ0 + b i + c j + d kโดยที่b , cและdเป็นจำนวนจริง และอย่างน้อยหนึ่งในb , cหรือdไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า ควอเทอร์เนียนเวกเตอร์ (บางครั้งเรียกว่าควอเทอร์เนียนขวา ) สำหรับควอเทอร์เนียนa + b i + c j + d k ใดๆ a เรียกว่า ส่วนสเกลาร์และb i + c j + d kเรียกว่าส่วนเวกเตอร์แม้ว่าควอเทอร์เนียนทุกตัวสามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติ แต่โดยทั่วไปมักเรียกส่วนเวกเตอร์ว่าเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ตามธรรมเนียมนี้ เวกเตอร์จึงเหมือนกับองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์^{[ e ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

แฮมิลตันยังเรียกเวกเตอร์ควอเทอร์เนียนว่า ควอ เทอร์เนียนขวา^{[ 37 ] [ 38 ]}และจำนวนจริง (ถือว่าเป็นควอเทอร์เนียนที่มีส่วนเวกเตอร์เป็นศูนย์) ว่า ควอเทอร์เนียนสเกลาร์

ถ้าควอเทอร์เนียนถูกแบ่งออกเป็นส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์ นั่นคือ

$${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}),\ \mathbf {q} \in \mathbb {H} ,\ r\in \mathbb {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},}$$

ดังนั้นสูตรสำหรับการบวก การคูณ และตัวผกผันการคูณ คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}(r_{1},\,{\vec {v}}_{1})+(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\,{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r_{1},\,{\vec {v}}_{1})(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\end{aligned}}}$$

โดยที่ " " และ " " แทนผลคูณดอทและผลคูณไขว้ ตาม ลำดับ ${\displaystyle {}\cdot {}}$${\displaystyle \times }$

การผันควอเทอร์เนียนนั้นคล้ายคลึงกับการผันจำนวนเชิงซ้อนและการสลับตำแหน่ง (หรือที่เรียกว่าการกลับด้าน) ขององค์ประกอบของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด เพื่อกำหนดนิยาม ให้^pเป็นควอเทอร์เนียน ควอเทอร์เนียน ที่ผัน แล้ว ของqคือควอเทอร์เนียนqซึ่งเขียนแทนด้วยq ^∗ , q ^t , , หรือq ^{[ 9} ] การผันเป็นการผกผันของตัวเองดังนั้นการผันองค์ประกอบสองครั้งจะได้องค์ประกอบเดิม ควอเทอร์เนียนที่ผันแล้วของผลคูณของควอเทอร์เนียนสองตัวคือผลคูณของควอเทอร์เนียนที่ผันแล้ว ในลำดับย้อนกลับนั่นคือ ถ้าpและqเป็นควอเทอร์เนียนแล้ว( pq ) ^∗ = q ^∗ p ^∗ไม่ใช่p ^∗ q ^∗${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle {\tilde {q}}}$

การแปลงควอเทอร์เนียนเป็นคอนจูเกตนั้น แตกต่างจากการแปลงควอเทอร์เนียนในเชิงซ้อนตรงที่สามารถแสดงได้ด้วยการคูณและการบวกควอเทอร์เนียน:

$${\displaystyle q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).}$$

การสังยุคสามารถใช้เพื่อแยกส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์ของควอเทอร์เนียนได้ ส่วนสเกลาร์ของpคือ⁠1/2( p + p ^* )และส่วนที่เป็นเวกเตอร์ของ pคือ1/2( p − p ^* )​​

รากที่สองของผลคูณของควอเทอร์เนียนกับคอนจูเกตของมันเรียกว่านอร์มและใช้สัญลักษณ์‖ q ‖ (แฮมิลตันเรียกปริมาณนี้ว่าเทนเซอร์ของqแต่ขัดแย้งกับความหมายสมัยใหม่ของคำว่า " เทนเซอร์ ") ในสูตร สามารถแสดงได้ดังนี้:

$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$$

นี่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ และเหมือนกับค่ามาตรฐานแบบยุคลิดบนปริภูมิเวกเตอร์ การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะปรับขนาดค่ามาตรฐานของควอเทอร์เนียนด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนนั้น กล่าวคือ ถ้าαเป็นจำนวนจริงแล้ว ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

$${\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .}$$

นี่เป็นกรณีพิเศษของข้อเท็จจริงที่ว่าบรรทัดฐานเป็นแบบทวีคูณซึ่งหมายความว่า

$${\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }$$

สำหรับควอเทอร์เนียน pและqสองตัวใดๆคุณสมบัติการคูณเป็นผลมาจากสูตรสำหรับคอนจูเกตของผลคูณ หรืออีกนัยหนึ่งคือเป็นผลมาจากเอกลักษณ์

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}$$

(โดยที่iแทนหน่วยจินตนาการ ตามปกติ ) และด้วยเหตุนี้จึงมาจากคุณสมบัติการคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัส

บรรทัดฐานนี้ทำให้สามารถกำหนดระยะห่างd ( p , q )ระหว่างpและq ได้ โดยใช้บรรทัดฐานของผลต่างระหว่าง p และ q:

$${\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert .}$$

สิ่งนี้ทำให้เกิดปริภูมิเมตริกการบวกและการคูณมีความต่อเนื่องเมื่อพิจารณาจากโทโพโลยีเมตริก ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งได้มาจากการพิสูจน์แบบเดียวกันกับจำนวนจริงจากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นพีชคณิตแบบมีบรรทัดฐาน ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ควอเทอร์เนียนหน่วยคือ ควอเทอร์เนียนที่มีค่าบรรทัดฐานเท่ากับหนึ่ง การหารควอเทอร์เนียนq ที่ไม่ใช่ศูนย์ ด้วยค่าบรรทัดฐานของมัน จะได้ควอเทอร์เนียนหน่วยU qซึ่งเรียกว่าเวอร์เซอร์ของq :

$${\displaystyle \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.}$$

ควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจะมีโครงสร้างเชิงขั้วที่ ไม่ซ้ำกัน ในขณะที่ควอเทอร์เนียนศูนย์สามารถสร้างขึ้นได้จากควอเทอร์เนียนหน่วยใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q,}$

การใช้การสังยุคและค่ามาตรฐานทำให้สามารถกำหนดส่วนกลับของควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์ได้ ผลคูณของควอเทอร์เนียนกับส่วนกลับของมันควรเท่ากับ 1 และข้อพิจารณาข้างต้นบ่งชี้ว่าผลคูณของ q และ q เท่ากับ 1 (ไม่ว่าจะคูณในลำดับใดก็ตาม) ดังนั้นส่วนกลับของqจึงถูกกำหนดให้เป็น q = q + ...${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}}$

$${\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.}$$

เนื่องจากการคูณไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ ปริมาณผลหารp q ⁻¹หรือq ⁻¹ pจึงแตกต่างกัน (ยกเว้นในกรณีที่pและqมีส่วนเวกเตอร์ขนานกัน): สัญลักษณ์⁠พี/q⁠เป็นคำที่มีความหมายกำกวมและไม่ควรนำไปใช้

เซตของควอเทอร์เนียนทั้งหมดเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริงที่มีมิติ  4 ^{[ f ]}การคูณควอเทอร์เนียนมีคุณสมบัติสมาคมและกระจายเหนือการบวกเวกเตอร์แต่ไม่มีคุณสมบัติสลับที่ได้ ดังนั้น ควอเทอ ร์ เนียนจึงเป็นพีชคณิตสมาคมที่ไม่สลับที่ได้เหนือจำนวนจริงแม้ว่าจะฝังสำเนาหลายชุดของจำนวนเชิงซ้อน แต่ตัวมันเองไม่ใช่พีชคณิตสมาคมเหนือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

เนื่องจากสามารถหารควอเทอร์เนียนได้ จึงทำให้เกิดพีชคณิตการหาร โครงสร้างนี้คล้ายกับฟิลด์ยกเว้นว่ายอมรับการคูณแบบไม่สลับที่พีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงมิติจำกัดเหนือจำนวนจริงนั้นหายากมากทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุสกล่าวว่ามีอยู่เพียงสามแบบเท่านั้น ได้แก่และบรรทัดฐานทำให้ควอเทอร์เนียนกลายเป็นพีชคณิตบรรทัดฐานและพีชคณิตการหารบรรทัดฐานเหนือจำนวนจริงก็หายากมากเช่นกันทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์กล่าวว่ามีเพียงสี่แบบเท่านั้น ได้แก่และ( อ็อกโทเนียน ) ควอเทอร์เนียนยังเป็นตัวอย่างของพีชคณิตการประกอบและพีชคณิตบานาค แบบมีเอกลักษณ์อีก ด้วย ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} }$

เนื่องจากผลคูณของเวกเตอร์ฐานสองตัวใดๆ บวกหรือลบเวกเตอร์ฐานอีกตัวหนึ่ง เซต{±1, ± i , ± j , ± k }จึงก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การคูณกลุ่มที่ไม่เป็นอาเบเลียน นี้ เรียกว่ากลุ่มควอเทอร์เนียนและใช้สัญลักษณ์Q 8 _[ ^{39 ] วงแหวน}กลุ่มจริงของQ ₈เป็นวงแหวนซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์แปดมิติเหนือมีเวกเตอร์ฐานหนึ่งตัวสำหรับแต่ละองค์ประกอบของควอเทอร์เนียนเป็นไอโซมอร์ฟิกกับวงแหวนผลหารของโดยอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ1 + (−1) , i + (− i ) , j + (− j )และk + (− k )ในที่นี้ พจน์แรกในแต่ละผลรวมคือหนึ่งในองค์ประกอบฐาน1, i , jและkและพจน์ที่สองคือหนึ่งในองค์ประกอบฐาน−1, − i , − jและ− kไม่ใช่ตัวผกผันการบวกของ1 , i , jและk${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}.}$${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$

ส่วนเวกเตอร์ของควอเทอร์เนียนสามารถตีความได้ว่าเป็นเวกเตอร์พิกัดดังนั้น การดำเนินการทางพีชคณิตของควอเทอร์เนียนจึงสะท้อนถึงเรขาคณิตของการดำเนินการ เช่น ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ สามารถกำหนดได้ในรูปของควอเทอร์เนียน และทำให้สามารถใช้เทคนิคควอเทอร์เนียนได้ทุกที่ที่มีเวกเตอร์เชิงพื้นที่เกิดขึ้น การประยุกต์ใช้ควอเทอร์เนียนที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งคือการประมาณค่าการวางแนวของคีย์เฟรมในกราฟิกคอมพิวเตอร์^{[ 16 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

สำหรับส่วนที่เหลือของส่วนนี้i , jและk จะแทน เวก เตอร์ฐานจินตนาการ ^{[ 40 ]}สามตัวของ และฐานสำหรับ การแทนที่ i ด้วย −i, j ด้วย −j และ k ด้วย −kจะส่งเวกเตอร์ไปยังอินเวอร์สการบวกดังนั้นอินเวอร์สการบวกของเวกเตอร์จึงเหมือนกับคอนจูเกตของมันในรูปควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้ บางครั้งคอนจูเกตจึงเรียกว่า อินเวอร์ ส เชิงพื้นที่${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

สำหรับควอเทอร์เนียนเวกเตอร์สองตัวp = b ₁ i + c ₁ j + d ₁ kและq = b ₂ i + c ₂ j + d ₂ kผลคูณดอทของพวกมันโดยเปรียบเทียบกับเวกเตอร์ในis ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

$${\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงออกมาในรูปแบบที่ไม่ต้องใช้ส่วนประกอบได้ดังนี้

$${\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}$$

นี่เท่ากับส่วนที่เป็นสเกลาร์ของผลคูณpq ^∗ , qp ^∗ , p ^∗ qและq ^∗ pโปรดสังเกตว่าส่วนที่เป็นเวกเตอร์นั้นแตกต่างกัน

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของpและqเทียบกับทิศทางที่กำหนดโดยฐานเรียงลำดับi , jและkคือ

$${\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}$$

(โปรดจำไว้ว่าทิศทางมีความจำเป็นในการกำหนดเครื่องหมาย) ค่านี้เท่ากับส่วนเวกเตอร์ของผลคูณpq (ในรูปควอเทอร์เนียน) รวมถึงส่วนเวกเตอร์ของ− q ^∗ p ^∗ ด้วย และยังมีสูตรดังนี้

$${\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}$$

สำหรับคอมมิวเทเตอร์ [ p , q ] = pq − qpของควอเทอร์เนียนเวกเตอร์สองตัว จะ ได้

$${\displaystyle [p,q]=2p\times q,}$$

ซึ่งให้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง

$${\displaystyle qp=pq-2p\times q.}$$

โดยทั่วไป ให้pและqเป็นควอเทอร์เนียน และเขียนว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}$$

โดยที่p _sและq _sคือส่วนที่เป็นสเกลาร์ และp _vและq _vคือส่วนที่เป็นเวกเตอร์ของpและq ตามลำดับ จากนั้นเราจะได้สูตรดังนี้

$${\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการไม่สลับที่ของการคูณควอเทอร์เนียนมาจากการคูณควอเทอร์เนียนเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าควอเทอร์เนียนสองตัวสลับที่ได้ก็ต่อเมื่อส่วนเวกเตอร์ของพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน Hamilton ^{[ 41 ]}แสดงให้เห็นว่าผลคูณนี้คำนวณจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยมทรงกลมจากจุดยอดสองจุดที่กำหนดและความยาวส่วนโค้งที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นพีชคณิตของจุดในเรขาคณิตวงรีด้วย

ควอเทอร์เนียนหน่วยสามารถระบุได้ด้วยการหมุนในและแฮมิลตัน เรียกว่า เวอร์เซอร์^{[ 41 ]}ดูควอเทอร์เนียนและการหมุนเชิงพื้นที่สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการจำลองการหมุนสามมิติโดยใช้ควอเทอร์เนียน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ดูHanson (2005) ^{[ 42 ]}สำหรับการแสดงภาพของควอเทอร์เนียน

เช่นเดียวกับที่จำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ได้ควอเทอร์เนียนก็เช่นกัน มีอย่างน้อยสองวิธีในการแทนควอเทอร์เนียนด้วยเมทริกซ์ในลักษณะที่การบวกและการคูณควอเทอร์เนียนสอดคล้องกับการบวกและการคูณเมทริกซ์วิธีหนึ่งคือการใช้เมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด 2 × 2 และอีกวิธีหนึ่งคือการใช้ เมทริกซ์ จริง ขนาด 4 × 4 ในแต่ละกรณี การแทนค่าที่ได้จะเป็นหนึ่งในตระกูลของการแทนค่าที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ซึ่งเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่ง จากไปยังวงแหวนเมทริกซ์M(2, C )และM(4, R )ตามลำดับ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

ควอเทอร์เนียนa + b i + c j + d kสามารถแทนด้วยเมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด 2 × 2ได้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\phantom {-}}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$$

รูปแบบการแสดงผลนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• การกำหนดให้ค่า b , cหรือdสองค่าใดๆเป็นศูนย์ จะทำให้ได้การแสดงผลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น การกำหนดc = d = 0จะทำให้ได้เมทริกซ์เชิงซ้อนแนวทแยงมุมที่เป็นการแสดงผลของจำนวนเชิงซ้อน และการกำหนดb = d = 0จะทำให้ได้เมทริกซ์จำนวนจริงที่เป็นการแสดงผล
• ค่ามาตรฐานของควอเทอร์เนียน (รากที่สองของผลคูณกับคอนจูเกต เช่นเดียวกับจำนวนเชิงซ้อน) คือรากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน^{[ 43 ]}
• ส่วนสเกลาร์ของควอเทอร์เนียนคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของผลคูณของเมทริกซ์กับ ...
• คอนจูเกตของควอเทอร์เนียนสอดคล้องกับทรานสโพสคอนจูเกตของเมทริกซ์
• จากการจำกัด การแสดงแทนนี้จะทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มระหว่างกลุ่มย่อยของควอเทอร์เนียนหน่วยและภาพSU(2) ของพวกมัน ในทางโทโพ โลยี ควอเทอร์เนียน หน่วยคือทรงกลม 3 มิติ ดังนั้นปริภูมิพื้นฐานของ SU(2) จึงเป็นทรงกลม 3 มิติด้วย กลุ่มSU(2)มีความสำคัญในการอธิบายสปินในกลศาสตร์ควอนตัม ดู เมท ริกซ์ของ Pauli
• มีความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นระหว่างควอเทอร์เนียนและเมทริกซ์ Pauli เมทริกซ์เชิงซ้อน 2 × 2ข้างต้นสามารถเขียนได้ดังนี้ ในการแสดงนี้ หน่วยควอเทอร์เนียน{1, i , j , k }สอดคล้องกับ= การคูณเมทริกซ์ Pauli สองเมทริกซ์ใดๆ จะได้เมทริกซ์หน่วยควอเทอร์ เนียนเสมอ ยกเว้น−1จะได้ −1 ผ่านi ² = j ² = k ² = ijk = −1  ;เช่น ความเท่าเทียมกันสุดท้ายคือ${\displaystyle a\,I+b\,i\,\sigma _{3}+c\,i\,\sigma _{2}+d\,i\,\sigma _{1},}$${\displaystyle \left\{I,i\,\sigma _{3},i\,\sigma _{2},i\,\sigma _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{I,\sigma _{1}\,\sigma _{2},\sigma _{3}\,\sigma _{1},\sigma _{2}\,\sigma _{3}\right\}}$$${\displaystyle \mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}=-1.}$$

การแทนในM(2,ℂ)ไม่ซ้ำกัน: ข้อตกลงที่แตกต่างออกไป ซึ่งรักษาทิศทางการเรียงลำดับแบบวัฏจักรระหว่างควอเทอร์เนียนและเมทริกซ์ Pauli คือการเลือก$${\displaystyle 1\mapsto \mathbf {I} ,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\,\sigma _{1}=-\sigma _{2}\,\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -i\,\sigma _{2}=-\sigma _{3}\,\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -i\,\sigma _{3}=-\sigma _{1}\,\sigma _{2},}$$

สิ่งนี้ให้การแสดงทางเลือกอื่น^{[ 44 ]}

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \mapsto {\begin{bmatrix}a-d\,i&-c-b\,i\\c-b\,i&{\phantom {-}}a+d\,i\end{bmatrix}}.}$$

เมื่อใช้เมทริกซ์จริงขนาด 4 × 4 ควอเทอร์เนียนตัวเดียวกันนั้นสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}$$

อย่างไรก็ตาม การแสดงควอเทอร์เนียนในM(4,ℝ)นั้นไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียนเดียวกันสามารถแสดงได้ในรูปแบบอื่นเช่นกัน

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}$$

มีเมทริกซ์แทนรูปแบบนี้ที่แตกต่างกัน 48 แบบ โดยที่เมทริกซ์หนึ่งแทนส่วนสเกลาร์ และอีกสามเมทริกซ์ที่เหลือเป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียง กล่าวคือ มีเมทริกซ์สี่ตัวจำนวน 48 ชุดที่มีข้อจำกัดสมมาตรเหล่านี้ โดยที่ฟังก์ชันที่ส่ง1, i , jและkไปยังเมทริกซ์ในเมทริกซ์สี่ตัวนั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม นั่นคือ มันส่งผลรวมและผลคูณของควอเทอร์เนียนไปยังผลรวมและผลคูณของเมทริกซ์^{[ 45 ]} ในการแสดงแบบนี้ คอนจูเกตของควอเทอร์เนียนจะสอดคล้องกับทรานสโพสของเมทริกซ์ กำลังสี่ของนอร์มของควอเทอร์เนียนคือดีเทอร์ มิแนน ต์ของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน ส่วนสเกลาร์ของควอเทอร์เนียนคือหนึ่งในสี่ของร่องรอยของเมทริกซ์ เช่นเดียวกับ การแสดง เชิงซ้อน 2 × 2ข้างต้น สามารถสร้างจำนวนเชิงซ้อนได้อีกครั้งโดยการจำกัดสัมประสิทธิ์อย่างเหมาะสม ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์แนวทแยงแบบบล็อกที่มีบล็อก 2 × 2 สองบล็อกโดยกำหนดให้c = d = 0

แต่ละเมทริกซ์ขนาด 4 × 4ที่แสดงแทนควอเทอร์เนียนจะสอดคล้องกับตารางการคูณของควอเทอร์เนียนหน่วย ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์สุดท้ายที่แสดงข้างต้นสอดคล้องกับตารางการคูณ

ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกัน ผ่านทาง ${\displaystyle \{a\mapsto 1,\ b\mapsto i,\ c\mapsto j,\ d\mapsto k\},}$

หากเรากำหนดเงื่อนไขให้ตารางการคูณใดๆ ก็ตาม มีเอกลักษณ์ในแถวและคอลัมน์แรก และเครื่องหมายของหัวแถวต้องตรงข้ามกับเครื่องหมายของหัวคอลัมน์ จะมี 3 ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับคอลัมน์ที่สอง (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย) 2 ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับคอลัมน์ที่สาม (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย) และ 1 ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับคอลัมน์ที่สี่ (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย) รวมเป็น 6 ความเป็นไปได้ จากนั้น คอลัมน์ที่สองสามารถเลือกให้เป็นบวกหรือลบ คอลัมน์ที่สามสามารถเลือกให้เป็นบวกหรือลบ และคอลัมน์ที่สี่สามารถเลือกให้เป็นบวกหรือลบ ทำให้มี 8 ความเป็นไปได้สำหรับเครื่องหมาย เมื่อคูณความเป็นไปได้ของตำแหน่งตัวอักษรและเครื่องหมายเข้าด้วยกันจะได้ 48 จากนั้น แทนที่1ด้วยa , iด้วยb , jด้วยcและkด้วยdและลบหัวแถวและหัวคอลัมน์ออก จะได้เมทริกซ์แทนค่า a + b i + c j + d k

ควอเทอร์เนียนยังถูกใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทกำลังสองสี่เท่าของลากรองจ์ในทฤษฎีจำนวนซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสี่จำนวน นอกจากจะเป็นทฤษฎีบทที่สง่างามในตัวมันเองแล้ว ทฤษฎีบทกำลังสองสี่เท่าของลากรองจ์ยังมีประโยชน์ในการประยุกต์ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์นอกเหนือจากทฤษฎีจำนวน เช่น ทฤษฎี การออกแบบเชิงการจัดเรียงการพิสูจน์โดยใช้ควอเทอร์เนียนนั้นใช้ควอเทอร์เนียนของฮูร์วิตซ์ ซึ่งเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนของควอเทอร์เนียนทั้งหมดที่มีอนาล็อกของ อัลกอริทึมแบบ ยุค ลิด

ควอเทอร์เนียนสามารถแสดงได้ในรูปของคู่จำนวนเชิงซ้อน จากมุมมองนี้ ควอเทอร์เนียนเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้การสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสันกับจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเป็นการขยายความของการสร้างจำนวนเชิงซ้อนในรูปของคู่จำนวนจริง

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติเหนือจำนวนเชิงซ้อน เลือกฐานที่ประกอบด้วยสมาชิกสองตัวคือ1และjเวกเตอร์ในสามารถเขียนได้ในรูปของสมาชิกฐาน1และjดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle (a+b\,i)1+(c+d\,i)\mathbf {j} .}$$

ถ้าเรากำหนดj ² = −1และi j = − j iแล้ว เราสามารถคูณเวกเตอร์สองตัวโดยใช้กฎการกระจายได้ การใช้kเป็นสัญลักษณ์ย่อสำหรับผลคูณi jจะนำไปสู่กฎการคูณแบบเดียวกับควอเทอร์เนียนทั่วไป ดังนั้น เวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อนข้างต้นจึงสอดคล้องกับควอเทอร์เนียนa + bi + c j + d kถ้าเราเขียนองค์ประกอบของเป็นคู่ลำดับและควอเทอร์เนียนเป็นสี่ตัว การจับคู่จะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle (a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).}$$

ในจำนวนเชิงซ้อนมีจำนวนเพียงสองจำนวน คือiและ−iที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้ −1 นอกจากนี้ยังมีรากที่สองของลบหนึ่งอยู่เป็นจำนวนอนันต์ โดยคำตอบในรูปควอเทอร์เนียนของรากที่สองของ −1 คือทรงกลม หน่วย ในเพื่อให้เห็นภาพนี้ ให้q = a + b i + c j + d kเป็นควอเทอร์เนียน และสมมติว่ากำลังสองของมันคือ −1 ในแง่ของa , b , cและdนี่หมายความว่า ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}}$$

เพื่อให้สอดคล้องกับสมการสามข้อสุดท้ายa = 0หรือb , cและd ต้องเป็น 0ทั้งหมด ซึ่งกรณีหลังเป็นไปไม่ได้ เพราะaเป็นจำนวนจริง และสมการแรกจะหมายความว่าa² = −1ดังนั้น a ⁼ 0และb² + ^c² + ^d² = 1 ^{กล่าว}อีกนัยหนึ่งคือ ควอเทอร์เนียนยกกำลังสองได้−1ก็ต่อเมื่อมันเป็นควอเทอร์เนียนเวกเตอร์ที่มีนอร์มเท่ากับ1 ตามนิยามแล้วเซต ของเวกเตอร์ ดังกล่าวทั้งหมดจะประกอบกันเป็นทรงกลมหน่วย

เฉพาะควอเทอร์เนียนจริงที่เป็นลบเท่านั้นที่มีรากที่สองเป็นอนันต์ ส่วนควอเทอร์เนียนอื่นๆ มีเพียงสองรากที่สอง (หรือหนึ่งรากที่สองในกรณีของ 0) ^{[ g ]}

แต่ละคู่ตรงข้ามของรากที่สองของ−1 ^จะสร้างสำเนาที่แตกต่างกันของจำนวนเชิงซ้อนภายในควอเทอร์เนียน ถ้าq² = −1แล้วสำเนานั้นจะเป็นภาพของฟังก์ชัน

$${\displaystyle a+bi\mapsto a+bq.}$$

นี่คือโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับ วงแหวน จากไปยังซึ่งกำหนดไอโซมอร์ฟิซึม ของฟิลด์ จากไปยังภาพ ของมัน ภาพของการฝังตัวที่สอดคล้องกับ+qและ−qนั้นเหมือนกัน ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่จำนวนจริงทุกตัวสร้างซับอัลจีบราของควอเทอร์เนียนซึ่งสมมาตรกับและดังนั้นจึงเป็นซับสเปซระนาบของ: เขียนqเป็นผลรวมของส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์ของมัน: ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$$${\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.}$$

แยกส่วนของเวกเตอร์ออกเป็นผลคูณของนอร์มและเวอร์เซอร์ ของเวกเตอร์นั้น : $${\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} \,{\vec {q}}_{v}=q_{s}+\|{\vec {q}}_{v}\|\,{\frac {{\vec {q}}_{v}}{\|{\vec {q}}_{v}\|}}.}$$

(นี่ไม่เหมือนกับ) เวอร์เซอร์ของส่วนเวกเตอร์ของqคือเวอร์เซอร์ขวาที่มีกำลังสองเป็น –1 การตรวจสอบโดยตรงแสดงให้เห็นว่า กำหนดโฮโมมอร์ฟิ ซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ของพีชคณิตบรรทัดฐานจากไปยังควอเทอร์เนียน ภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมนี้qคือภาพของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q.}$${\displaystyle \mathbf {U} {\vec {q}}_{v},}$$${\displaystyle a+bi\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i.}$

เนื่องจากเป็นผลรวมของภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมทั้งหมดเหล่านี้ เราจึงสามารถมองควอเทอร์เนียนได้ว่าเป็นกลุ่มของระนาบที่ตัดกันบนเส้นจำนวนจริง ระนาบเชิงซ้อน แต่ละระนาบ เหล่านี้ประกอบด้วย จุดตรงข้ามของทรงกลมรากที่สองของลบหนึ่ง เพียงคู่เดียวเท่านั้น${\displaystyle \mathbb {H} }$

ความสัมพันธ์ระหว่างควอเทอร์เนียนแต่ละตัวภายในระนาบย่อยเชิงซ้อนของสามารถระบุและแสดงออกมาได้ในรูปของวงแหวน ย่อยสลับที่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากควอเทอร์เนียนpและqสลับที่ได้ (กล่าวคือpq = qp ) ก็ต่อเมื่อพวกมันอยู่ในระนาบย่อยเชิงซ้อนเดียวกันของโปรไฟล์ของซึ่งเป็นการรวมกันของระนาบเชิงซ้อนที่เกิดขึ้นเมื่อต้องการค้นหาวงแหวนย่อยสลับที่ได้ทั้งหมดของวงแหวน ควอเทอร์ เนียน ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ควอเทอร์เนียนใดๆ(ซึ่งแสดงในที่นี้ในรูปแบบสเกลาร์-เวกเตอร์) จะมีรากที่สองอย่างน้อยหนึ่งตัวที่แก้สมการนี้ได้ เมื่อพิจารณาส่วนที่เป็นสเกลาร์และเวกเตอร์ในสมการนี้แยกกัน จะได้สองสมการ ซึ่งเมื่อแก้แล้วจะได้คำตอบ ${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})}$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})}$${\displaystyle ({\sqrt {\mathbf {q} }})^{2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} .}$

$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}})}}=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|\mathbf {q} \|+r{\bigr )}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|\mathbf {q} \|-r{\bigr )}}}\right),}$$

โดยที่คือค่ามาตรฐานของและคือค่ามาตรฐานของ สำหรับควอเทอร์เนียนสเกลาร์ใดๆสมการนี้จะให้ค่ารากที่สองที่ถูกต้อง หากตีความ ว่าเป็นเวกเตอร์หน่วยใดๆ ${\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}={\sqrt {r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {q} .}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\textstyle {\vec {v}}/\|{\vec {v}}\|}$

ดังนั้น ควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์และไม่ใช่สเกลาร์ หรือควอเทอร์เนียนสเกลาร์บวก จะมีรากเพียงสองราก ในขณะที่ 0 มีรากเพียงหนึ่งราก (0) และควอเทอร์เนียนสเกลาร์ลบจะมีรากเป็นอนันต์ ซึ่งก็คือควอเทอร์เนียนเวกเตอร์ที่อยู่บน นั่นคือ โดยที่ส่วนสเกลาร์เป็นศูนย์และส่วนเวกเตอร์อยู่บนทรงกลม 2 มิติที่มีรัศมี${\displaystyle \{0\}\times S^{2}{\bigl (}{\sqrt {-r}}{\bigr )}}$${\displaystyle {\sqrt {-r}}.}$

เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียนแนะนำแบบจำลองทางกายภาพที่มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กดั้งเดิมที่อธิบายโดยแม็กซ์เวลล์เป็นฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียน ตัวอย่างของฟังก์ชันอื่นๆ ได้แก่ การขยายเซตแมนเดลบร็อตและเซตจูเลียไปยังพื้นที่ 4 มิติ^{[ 49 ]}

ฟังก์ชันของควอเทอร์เนียนสามารถกำหนดได้จากอนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดควอเทอร์เนียนมาให้

$${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,}$$

เลขชี้กำลังคำนวณได้ดังนี้^{[ 50 ]}

$${\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}{\biggl (}{\cos \|\mathbf {v} \|}+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|{\biggr )},}$$

และลอการิทึมคือ^{[ 50 ]}

$${\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.}$$

ดังนั้น การแยกส่วนเชิงขั้วของควอเทอร์เนียนจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle q=\|q\|e^{\varphi {\hat {n}}}=\|q\|{\bigl (}{\cos(\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(\varphi )}{\bigr )},}$$

โดยที่มุม^{[ h ]}${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle a=\|q\|\,\cos(\varphi )}$$

และเวกเตอร์หน่วยถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\,\sin(\varphi ).}$$

ควอเทอร์เนียนหน่วยใดๆ สามารถแสดงในรูปเชิงขั้วได้ดังนี้:

$${\displaystyle q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.}$$

กำลัง ของควอเทอร์เนียนที่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลัง xใดๆ (ที่เป็นจำนวนจริง) กำหนดโดย:

$${\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}{\bigl (}\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\sin(x\varphi ){\bigr )}.}$$

ระยะทางจีโอเดสิกd _g ( p , q )ระหว่างควอเทอร์เนียนหน่วยpและqถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 52 ]}

$${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}$$

และมีค่าเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่pและq ทำ กับส่วนโค้งใหญ่ของ ทรงกลม S ³มุมนี้สามารถคำนวณได้จากผลคูณดอท ของควอเทอร์เนียน โดยไม่ต้องใช้ลอการิทึม ดังนี้:

$${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)={\arccos }{\bigl (}2(p\cdot q)^{2}-1{\bigr )}.}$$

นอกจากความหมายที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว คำว่า " การผันแปร " ยังอาจหมายถึงการนำองค์ประกอบaไปเป็นr a r ⁻¹โดยที่rเป็นควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์ องค์ประกอบทั้งหมดที่ผันแปรกับองค์ประกอบที่กำหนด (ในความหมายของคำว่าผันแปรนี้) จะมีส่วนจริงเหมือนกันและมีค่าบรรทัดฐานของส่วนเวกเตอร์เหมือนกัน (ดังนั้น การผันแปรในความหมายอื่นจึงเป็นหนึ่งในการผันแปรในความหมายนี้) ^{[ 53 ]}

ดังนั้นกลุ่มการคูณของควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์จึงกระทำการโดยการสังยุคบนสำเนา ที่ประกอบด้วยควอเทอร์เนียนที่มีส่วนจริงเท่ากับศูนย์ การ สังยุค โดยควอเทอร์เนียนหน่วย (ควอเทอร์เนียนที่มีค่าสัมบูรณ์ 1) ที่มีส่วนจริงcos( φ )คือการหมุนด้วยมุม2φ โดย แกนของการหมุนคือทิศทางของส่วนเวกเตอร์ ข้อดีของควอเทอร์เนียนคือ: ^{[ 54 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• หลีกเลี่ยงปัญหา Gimbal Lockซึ่งเป็นปัญหาที่พบในระบบต่างๆ เช่น ระบบมุมออยเลอร์
• เร็วกว่าและกะทัดรัดกว่าเมทริกซ์
• การแสดงผลแบบไม่เอกฐาน (เมื่อเปรียบเทียบกับมุมออยเลอร์เป็นต้น)
• คู่ของควอเทอร์เนียนหน่วยแสดงถึงการหมุนใน ปริภูมิ 4 มิติ (ดูการหมุนในปริภูมิยุคลิด 4 มิติ: พีชคณิตของการหมุน 4 มิติ )

เซตของควอเทอร์เนียนหน่วยทั้งหมด ( เวอร์เซอร์ ) ก่อให้เกิดทรงกลม 3 มิติS ³และกลุ่ม ( กลุ่มลี ) ภายใต้การคูณ ซึ่งครอบคลุมกลุ่มของเมทริกซ์ตั้งฉากจริง 3×3  ที่ มีดีเท อร์มิแนนต์  1 สองเท่า เนื่องจาก ควอเทอร์เนียนหน่วย สองตัวสอดคล้องกับการหมุนทุกครั้งภายใต้การจับคู่ข้างต้น ดูเทคนิคเพลท ${\displaystyle {\text{SO}}(3,\mathbb {R} )}$

ภาพของซับกรุ๊ปของเวอร์เซอร์คือกลุ่มจุดและในทางกลับกัน ภาพผกผันของกลุ่มจุดคือซับกรุ๊ปของเวอร์เซอร์ ภาพผกผันของกลุ่มจุดจำกัดเรียกว่ากลุ่มจุดจำกัดด้วยชื่อเดียวกัน โดยมีคำนำหน้าว่า ไบนารีตัวอย่างเช่น ภาพผกผันของกลุ่มไอโคซาเฮด รัล คือกลุ่มไอโคซาเฮดรัลไบนารี

กลุ่มของเวอร์เซอร์เป็นไอโซมอร์ฟิกกับSU(2)ซึ่งเป็นกลุ่มของ เมทริกซ์ เอกภาพ เชิงซ้อน 2 × 2ที่มี ดีเทอร์ มิแนนต์ เท่ากับ 1

ให้Aเป็นเซตของควอเทอร์เนียนในรูปแบบa + b i + c j + d kโดยที่a, b, cและdเป็นจำนวนเต็ม ทั้งหมด หรือครึ่งจำนวนเต็ม ทั้งหมด เซตAเป็นวงแหวน (ที่จริงแล้วเป็นโดเมน ) และแลตทิซและเรียกว่าวงแหวนของควอเทอร์เนียนฮูร์วิตซ์ มีควอเทอร์เนียนหน่วย 24 ตัวในวงแหวนนี้ และพวกมันเป็นจุดยอดของเซลล์ปกติ 24ที่มีสัญลักษณ์ Schläfli {3,4,3} พวกมันสอดคล้องกับการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มสมมาตรการหมุนของทรงสี่หน้า ปกติ ในทำนองเดียวกัน จุดยอดของเซลล์ปกติ 600ที่มีสัญลักษณ์ Schläfli {3,3,5} สามารถนำมาเป็นไอโคเซียน หน่วย ซึ่งสอดคล้องกับการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มสมมาตรการหมุนของ ทรงยี่สิบ หน้าปกติการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มสมมาตรการหมุนของทรงแปดเหลี่ยม ปกติ สอดคล้องกับควอเทอร์เนียนที่แสดงถึงจุดยอดของเซลล์ดิสฟีนอยดัล 288 ^{[ 55 ]}

ควอเทอร์เนียนสามารถขยายไปสู่พีชคณิตเพิ่มเติมที่เรียกว่าพีชคณิตควอเทอร์เนียนได้ ให้Fเป็นฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะแตกต่างจาก 2 และให้aและbเป็นสมาชิกของFพีชคณิตเอกภาพแบบเชื่อมโยงสี่มิติสามารถกำหนดได้บนFโดยมีฐาน1, i , jและijโดยที่i ² = a , j ² = bและij = − ji (ดังนั้น(ij) ² = − ab )

พีชคณิตควอเทอร์เนียนเป็นไอโซมอร์ฟิกกับพีชคณิตของเมทริกซ์ 2×2 บนFหรือก่อให้เกิดพีชคณิตการหารบนFขึ้นอยู่กับการเลือกค่า aและb

ประโยชน์ของควอเทอร์เนียนสำหรับการคำนวณทางเรขาคณิตสามารถขยายไปสู่มิติอื่นได้โดยการระบุควอเทอร์เนียนว่าเป็นส่วนคู่ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดซึ่งเป็นพีชคณิตมัลติเวกเตอร์แบบเชื่อมโยงที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบพื้นฐานσ ₁ , σ ₂ , σ ₃โดยใช้กฎผลคูณ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,}$$$${\displaystyle \sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).}$$

หากนำองค์ประกอบพื้นฐานเหล่านี้มาใช้แทนเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ จะเห็นได้ว่าการสะท้อนของเวกเตอร์rในระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์หน่วยwสามารถเขียนได้ดังนี้:

$${\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}$$

การสะท้อนสองครั้งทำให้เกิดการหมุนเป็นมุมสองเท่าของมุมระหว่างระนาบสะท้อนทั้งสอง ดังนั้น

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}$$

สอดคล้องกับการหมุน 180° ในระนาบที่ประกอบด้วยσ ₁และσ ₂ซึ่งคล้ายคลึงกับสูตรควอเทอร์เนียนที่สอดคล้องกันมาก

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}$$

อันที่จริงแล้ว โครงสร้างทั้งสองและนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกันการระบุตัวตนตามธรรมชาติอย่างหนึ่งคือ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle 1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},}$$

และสามารถยืนยันได้อย่างง่ายดายว่าสิ่งนี้ยังคงรักษาความสัมพันธ์ของแฮมิลตันไว้

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.}$$

ในภาพนี้ สิ่งที่เรียกว่า "ควอเทอร์เนียนเวกเตอร์" (นั่นคือ ควอเทอร์เนียนจินตภาพบริสุทธิ์) ไม่ได้สอดคล้องกับเวกเตอร์ แต่สอดคล้อง กับ ไบเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริมาณที่มีขนาดและทิศทางที่เกี่ยวข้องกับ  ระนาบ 2 มิติเฉพาะ แทนที่จะเป็น  ทิศทาง 1 มิติ ความสัมพันธ์กับจำนวนเชิงซ้อนก็ชัดเจนขึ้นเช่นกัน: ใน 2 มิติ ที่มีทิศทางเวกเตอร์สองทิศทางσ ₁และσ ₂จะมีองค์ประกอบฐานไบเวกเตอร์เพียงหนึ่งเดียวσ ₁ σ ₂ดังนั้นจึงมีเพียงจินตภาพเดียว แต่ใน 3 มิติ ที่มีทิศทางเวกเตอร์สามทิศทาง จะมีองค์ประกอบฐานไบเวกเตอร์สามตัวσ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ , σ ₁ σ ₂ดังนั้นจึงมีจินตภาพสามตัว

เหตุผลนี้ขยายออกไปได้อีก ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดมีองค์ประกอบฐานไบเวกเตอร์หกตัว เนื่องจากด้วยทิศทางเวกเตอร์พื้นฐานที่แตกต่างกันสี่ทิศทาง จึงสามารถกำหนดคู่ที่แตกต่างกันได้หกคู่ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดระนาบที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่แตกต่างกันได้หกระนาบ การหมุนในปริภูมิเช่นนี้โดยใช้การขยายความทั่วไปของควอเทอร์เนียนเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่าโรเตอร์สามารถเป็นประโยชน์อย่างมากสำหรับการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับพิกัดเอกพันธุ์แต่เฉพาะใน 3 มิติเท่านั้นที่จำนวนฐานไบเวกเตอร์เท่ากับจำนวนเวกเตอร์พื้นฐาน และแต่ละไบเวกเตอร์สามารถระบุได้ว่าเป็นพсевдоเวกเตอร์ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),}$

มีข้อดีหลายประการสำหรับการวางควอเทอร์เนียนในบริบทที่กว้างขึ้นนี้: ^{[ 56 ]}

• โรเตอร์เป็นส่วนหนึ่งตามธรรมชาติของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตและเข้าใจได้ง่ายว่าเป็นรูปแบบการเข้ารหัสของการสะท้อนสองครั้ง
• ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต โรเตอร์และวัตถุที่มันกระทำนั้นอยู่ในพื้นที่เดียวกัน ซึ่งทำให้ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนรูปแบบการแสดงผลและเข้ารหัสโครงสร้างข้อมูลและวิธีการใหม่ๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องทำเมื่อเพิ่มควอเทอร์เนียนเข้าไปในพีชคณิตเชิงเส้นแบบดั้งเดิม
• โรเตอร์สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้กับทุกองค์ประกอบของพีชคณิต ไม่ใช่แค่เวกเตอร์และควอเทอร์เนียนอื่นๆ เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นตรง ระนาบ วงกลม ทรงกลม รังสี และอื่นๆ อีกด้วย
• ในแบบจำลองคอนฟอร์มอลของเรขาคณิตแบบยุคลิด โรเตอร์ช่วยให้สามารถเข้ารหัสการหมุน การเลื่อน และการปรับขนาดในองค์ประกอบเดียวของพีชคณิต ซึ่งกระทำกับองค์ประกอบใดๆ ก็ได้โดยทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าโรเตอร์สามารถแทนการหมุนรอบแกนใดๆ ได้ ในขณะที่ควอเทอร์เนียนถูกจำกัดไว้ที่แกนที่ผ่านจุดกำเนิดเท่านั้น
• การแปลงที่เข้ารหัสด้วยโรเตอร์ทำให้การประมาณค่าในช่วงทำได้ง่ายเป็นพิเศษ
• โรเตอร์สามารถนำไปใช้ได้อย่างเป็นธรรมชาติในปริภูมิแบบซูโด-ยูคลิดเช่น ปริภูมิมิงคอฟสกีของ ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษในปริภูมิเหล่านี้ โรเตอร์สามารถใช้เพื่อแสดงการเร่งความเร็วแบบลอเรนซ์ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และเพื่อตีความสูตรที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์แกมมา

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้งานพีชคณิตคลิฟฟอร์ดในทางเรขาคณิต โปรดดูที่พีชคณิต เรขาคณิต

ควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลาง (CSA) เพียงอย่างเดียว (ที่ไม่ใช่พีชคณิตเชิงเดี่ยวธรรมดา) บนจำนวนจริง ในแง่ที่ว่า CSA ทุกตัวบนจำนวนจริงนั้นสมมูลแบบบราวเออร์กับจำนวนจริงหรือควอเทอร์เนียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มบราวเออร์ของจำนวนจริงประกอบด้วยสองชั้น ซึ่งแทนด้วยจำนวนจริงและควอเทอร์เนียน โดยที่กลุ่มบราวเออร์เป็นเซตของ CSA ทั้งหมด ยกเว้นความสัมพันธ์สมมูลของ CSA หนึ่งที่เป็นวงแหวนเมทริกซ์เหนืออีก CSA หนึ่ง ตามทฤษฎีบทของอาร์ติน-เวดเดอร์เบิร์น (โดยเฉพาะส่วนของเวดเดอร์เบิร์น) CSA ทั้งหมดเป็นพีชคณิตเมทริกซ์เหนือพีชคณิตการหาร ดังนั้นควอเทอร์เนียนจึงเป็นพีชคณิตการหารที่ไม่ใช่พีชคณิตเชิงเดี่ยวธรรมดาเพียงอย่างเดียวบนจำนวนจริง

CSAs – วงแหวนมิติจำกัดเหนือฟิลด์ ซึ่งเป็นพีชคณิตเชิงง่าย (ไม่มีไอเดียลสองด้านที่ไม่เป็นศูนย์ เช่นเดียวกับฟิลด์) ที่มีจุดศูนย์กลางเป็นฟิลด์นั้นเอง – เป็นอนาล็อกแบบไม่สลับที่ของฟิลด์ส่วนขยายและมีข้อจำกัดมากกว่าส่วนขยายวงแหวนทั่วไป ข้อเท็จจริงที่ว่าควอเทอร์เนียนเป็น CSA ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวเหนือจำนวนจริง (จนถึงความสมมูล) อาจเปรียบเทียบได้กับข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนเป็นส่วนขยายฟิลด์จำกัดที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวของจำนวนจริง

• การแปลงระหว่างควอเทอร์เนียนและมุมออยเลอร์  – กลยุทธ์ทางคณิตศาสตร์
• ควอเทอร์เนียนคู่  – พีชคณิตแปดมิติบนจำนวนจริง
• จำนวนเชิงซ้อนคู่  – พีชคณิตสี่มิติเหนือจำนวนจริงPages displaying short descriptions of redirect targets
• ไบควอเทอร์เนียน  – ควอเทอร์เนียนที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
• ฟังก์ชันไบควอเทอร์เนียน  – ฟังก์ชันของควอเทอร์เนียนเชิงซ้อน
• พีชคณิตภายนอก  – พีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ
• ลำดับควอเทอร์เนียนของฮูร์วิตซ์  – แนวคิดในทางคณิตศาสตร์
• ควอเทอร์เนียนไฮเปอร์โบลิก  – การกลายพันธุ์ของควอเทอร์เนียนที่เวกเตอร์หน่วยยกกำลังสองแล้วได้ค่า +1
• ทรงกลมเลนาร์ท  – ทรงกลมโปร่งใสสำหรับเขียนไวท์บอร์ด ใช้ในการสอนเรขาคณิตทรงกลม
• เมทริกซ์ของเปาลี  – เมทริกซ์ที่มีความสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัมและการศึกษาเรื่องสปิน
• แมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียน  – แนวคิดในเรขาคณิต
• เมทริกซ์ควอเทอร์เนียน  – แนวคิดในพีชคณิตเชิงเส้น
• โพลีโทปควอเทอร์เนียน  – แนวคิดในเรขาคณิต
• ปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียน  – แนวคิดในทางคณิตศาสตร์
• การหมุนในปริภูมิยูคลิด 4 มิติ  – กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ
• Slerp  – ฟังก์ชันที่ใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• สปลิตควอเทอร์เนียน  – พีชคณิตเชิงสัมพันธ์สี่มิติเหนือจำนวนจริง
• เทสเซอแร็กต์  – รูปทรงสี่มิติที่คล้ายกับลูกบาศก์
• เวอร์เซอร์  – ควอเทอร์เนียนของนอร์ม 1 (ควอเทอร์เนียนหน่วย)