600 เซลล์
แผนภาพชเลเกล แบบมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด(จุดยอดและเส้นขอบ)
พิมพ์	โพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูน
สัญลักษณ์ Schläfli	{3,3,5}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
เซลล์	600 ( {3,3} )
ใบหน้า	1200 {3}
ขอบ	720
จุดยอด	120
รูปจุดยอด	ไอโคซาเฮดรอน
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	30 เหลี่ยม
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	H 4 , [3,3,5], ลำดับที่ 14400
สองชั้น	120 เซลล์
คุณสมบัติ	นูน , isogonal , isotoxal , isohedral
ดัชนีสม่ำเสมอ	35

ในทางเรขาคณิตเซลล์600คือโพลีโทปปกติแบบนูน 4 มิติ (อนาล็อกสี่มิติของทรงตันเพลโต ) ที่มีสัญลักษณ์ Schläfli {3,3,5} นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อC ₆₀₀ , เฮกซาโคซิโครอน^{[ 1 ]} เฮกซาโคซิเฮดรอยด์^{[ 2 ]}และไฮเปอร์ไอโคซาเฮดรอนเรียกอีกอย่าง ว่า เททราเพล็กซ์ (ย่อมาจาก "คอมเพล็กซ์เตตระเฮดรัล") และโพลีเตตระเฮดร อน ซึ่งถูกล้อมรอบด้วยเซลล์ เตตระเฮดรั ล

ขอบของทรงหลายเหลี่ยม 600 เซลล์ประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 600 เซลล์ โดยมี 20 เซลล์มาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด รวมกันแล้วจะได้หน้าสามเหลี่ยม 1200 หน้า ขอบ 720 ขอบ และจุดยอด 120 จุด มันเป็นทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติที่ เทียบได้ กับทรงยี่สิบ หน้า เนื่องจากมี ทรง สี่เหลี่ยมด้าน เท่า 5 เซลล์ มาบรรจบกันที่ทุกขอบ เช่นเดียวกับทรงยี่สิบหน้าที่มีรูปสามเหลี่ยม 5 รูป มาบรรจบกันที่ทุกจุดยอด ทรงหลายเหลี่ยม คู่ขนาน ของมัน คือ ทรงหลายเหลี่ยม 120เซลล์

เซลล์ 600 เป็นเซลล์ลำดับที่ห้าในลำดับของโพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูน 6 เซลล์ เรียงตามลำดับความซับซ้อน (วัดโดยการเปรียบเทียบเมทริกซ์การกำหนดค่าหรือเพียงแค่จำนวนจุดยอด) และปริมาตรที่ล้อมรอบที่รัศมีเดียวกัน^{[ 3 ] [ 4 ]} สามารถแยกส่วนออกเป็น 25 อินสแตนซ์ที่ทับซ้อนกันของรุ่นก่อนหน้าโดยตรงคือเซลล์24 ^{[ 5 ]}เช่นเดียวกับที่เซลล์ 24 สามารถแยกส่วนออกเป็น 3 อินสแตนซ์ที่ทับซ้อนกันของรุ่นก่อนหน้าคือเทสเซอแร็กต์ (เซลล์ 8)และเซลล์ 8 สามารถแยกส่วนออกเป็น 2 อินสแตนซ์ของรุ่นก่อนหน้าคือเซลล์16 ^{[ 6 ]}

ขั้นตอนย้อนกลับในการสร้างแต่ละสิ่งเหล่านี้จากอินสแตนซ์ของตัวก่อนหน้าจะรักษารัศมีของตัวก่อนหน้าไว้ แต่โดยทั่วไปจะสร้างตัวถัดไปที่มีความยาวขอบที่สั้นกว่า ความยาวขอบของเซลล์ 24 เซลล์เท่ากับรัศมี แต่ความยาวขอบของเซลล์ 600 เซลล์คือ ~0.618 เท่าของรัศมี^{[ 7 ]}ซึ่งเป็นอัตราส่วน ทองคำ

โพลีโทปนูนปกติ 4 มิติ
กลุ่มสมมาตร	เอ4	บี4		เอฟ4	เอช4
ชื่อ	5 เซลล์ ไฮเปอร์เททราเฮดรอน 5 จุด	16 เซลล์ ไฮเปอร์ออกตาเฮดรอน 8 จุด	8 เซลล์ ไฮเปอร์คิวบ์ 16 จุด	24 เซลล์ 24 จุด	600 เซลล์ ไฮเปอร์ไอโคซาเฮดรอน 120 จุด	120 เซลล์ ไฮเปอร์โดเดคาเฮดรอน 600 จุด
สัญลักษณ์ Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
กระจกค็อกซ์เตอร์
มุมไดเฮดรัลสะท้อน	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
กราฟ
จุดยอด	5 ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า	ทรงแปดเหลี่ยม 8	16 เตตระเฮดรัล	24 ลูกบาศก์เมตร	120 ไอโคซาเฮดรอล	เตตระเฮดรัล 600
ขอบ	10 สามเหลี่ยม	24 ตารางเมตร	32 สามเหลี่ยม	96 สามเหลี่ยม	720 รูปห้าเหลี่ยม	1200 สามเหลี่ยม
ใบหน้า	สามเหลี่ยม 10 รูป	สามเหลี่ยม 32 รูป	24 ช่องสี่เหลี่ยม	สามเหลี่ยม 96 รูป	1200 สามเหลี่ยม	รูปห้าเหลี่ยม 720 รูป
เซลล์	5 เตตระเฮดรา	16 เตตระเฮดรา	8 ลูกบาศก์	24 ทรงแปดเหลี่ยม	เตตระเฮดรา 600	120 ทรงสิบสองเหลี่ยม
โทริ	1 5-เตตระเฮดรอน	2 8-เตตระเฮดรอน	2 4-ลูกบาศก์	4 6-ออกตาเฮดรอน	20 30-เตตระเฮดรอน	12 10-dodecahedron
จารึก	120 ใน 120 เซลล์	675 ใน 120 เซลล์	2 16 เซลล์	3 8 เซลล์	25 24 เซลล์	10,600 เซลล์
รูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่		2 ช่องสี่เหลี่ยม x 3	สี่เหลี่ยมผืนผ้า 4 x 4	หกเหลี่ยม 4 อัน x 4 อัน	12 รูปสิบเหลี่ยม x 6	รูปหกเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอ 100 ชิ้น x 4
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	1 รูปห้าเหลี่ยม x 2	1 แปดเหลี่ยม x 3	2 รูปแปดเหลี่ยม x 4	2 สิบสองเหลี่ยม x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
รัศมียาว	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
ความยาวขอบ	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
รัศมีสั้น	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
พื้นที่	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
ปริมาณ	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-เนื้อหา	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

จุดยอดของเซลล์ 600 เซลล์รัศมีหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของปริภูมิ 4 มิติ โดยมีขอบยาว(โดยที่คืออัตราส่วนทองคำ) สามารถกำหนดได้ดังนี้ ^{[ 8 ]}${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$

จุดยอด 8 จุดที่ได้รับจาก

${\displaystyle (0,\,0,\,0,\,\pm 1)}$

โดยการสลับพิกัด และจุดยอด 16 จุดในรูปแบบ:

${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

จุดยอดที่เหลืออีก 96 จุดได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่ของ

${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}\phi },\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}}\phi ^{-1},\,0{\bigr )}}$

โปรดทราบว่า 8 จุดแรกเป็นจุดยอดของเซลล์ 16 จุดจุดยอด 16 จุดหลังเป็นจุดยอดของเทสเซอแร็กต์และจุดยอดทั้ง 24 จุดรวมกันเป็นจุดยอดของเซลล์ 24จุด จุดยอดที่เหลืออีก 96 จุดเป็นจุดยอดของเซลล์ 24 จุดแบบสนับซึ่งสามารถหาได้โดยการแบ่งขอบทั้ง 96 ขอบของเซลล์ 24 จุดอีกเซลล์หนึ่ง (คู่ขนานกับเซลล์แรก) ตามอัตราส่วนทองคำในลักษณะที่สอดคล้องกัน^{[ 9 ]}

เมื่อตีความในรูปของควอเทอร์เนียน สิ่งเหล่านี้ก็คือ ไอโคเซียน หน่วย

ในเซลล์ 24 ช่อง มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกเหลี่ยมและสามเหลี่ยมที่อยู่บนวงกลมใหญ่ (ในระนาบกลางที่ผ่านจุดยอดสี่หรือหกจุด) ในเซลล์ 600 ช่อง มีเซลล์ 24 ช่องที่ซ้อนทับกัน 25 เซลล์ โดยแต่ละจุดยอดและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใช้ร่วมกันโดยเซลล์ 24 ช่องห้าเซลล์ และแต่ละรูปหกเหลี่ยมหรือสามเหลี่ยมใช้ร่วมกันโดยเซลล์ 24 ช่องสองเซลล์ ในแต่ละเซลล์ 24 ช่อง มีเซลล์ 16 ช่องที่ไม่ซ้ำกันสามเซลล์ ดังนั้นในเซลล์ 600 ช่องจึงมีเซลล์ 16 ช่องที่ซ้อนทับกัน 75 เซลล์ แต่ละเซลล์ 16 ช่องประกอบเป็นฐานตั้งฉากปกติ ที่แตกต่างกัน สำหรับการเลือกกรอบอ้างอิงพิกัด

แกน 60 แกนและเซลล์ 16 เซลล์จำนวน 75 เซลล์จากเซลล์ 600 เซลล์ประกอบกันเป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตซึ่งในภาษาของโครงสร้างจะเขียนเป็น 60 ₅ 75 ₄เพื่อระบุว่าแต่ละแกนเป็นของเซลล์ 16 เซลล์จำนวน 5 เซลล์ และแต่ละเซลล์ 16 เซลล์ประกอบด้วยแกน 4 แกน^{[ 10 ]} แต่ละแกนตั้งฉากกับแกนอื่นอีก 15 แกนพอดี และแกนเหล่านี้เป็นเพียงแกนคู่ของมันในเซลล์ 16 เซลล์จำนวน 5 เซลล์ที่มันปรากฏอยู่

ในเซลล์ 600 ยังมีรูปห้าเหลี่ยมและรูปสิบเหลี่ยม วงกลมใหญ่ (ในระนาบกลางที่ผ่านจุดยอดสิบจุด) ^{[ 11 ]}

เฉพาะขอบของรูปสิบเหลี่ยมเท่านั้นที่เป็นองค์ประกอบที่มองเห็นได้ของเซลล์ 600 (เนื่องจากเป็นขอบของเซลล์ 600) ขอบของรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่รูปอื่นๆ เป็นคอร์ดภายในของเซลล์ 600 ซึ่งไม่ได้แสดงในภาพเรนเดอร์ของเซลล์ 600 ใดๆ ในบทความนี้ (ยกเว้นในกรณีที่แสดงเป็นเส้นประ)

เซลล์ 600 จุดประกอบด้วยเซลล์ 24 จุดที่แตกต่างกัน 25 เซลล์ ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยวงแหวนห้าเหลี่ยม แต่ละวงแหวนห้าเหลี่ยมเชื่อมต่อเซลล์ 24 จุดที่ไม่ทับซ้อนกันอย่างสมบูรณ์ 5 เซลล์ โดยจุดยอดรวมของเซลล์ 24 จุดเหล่านี้คือจุดยอด 120 จุดของเซลล์ 600 จุด เซลล์ 24 จุดแต่ละเซลล์ประกอบด้วยจุดยอดหนึ่งในห้าของจุดยอดทั้งหมดในเซลล์ 600 จุด 120 จุด และเชื่อมต่อกับจุดยอดอีก 96 จุด (ซึ่งประกอบเป็นเซลล์ 24 จุดย่อย ) โดยวงแหวนห้าเหลี่ยม 144 วงของเซลล์ 600 จุด เซลล์ 24 จุดทั้ง 25 เซลล์ตัดกับวงแหวนห้าเหลี่ยมขนาดใหญ่ 144 วงที่จุดยอดเพียงจุดเดียว เซลล์ 24 จุดห้าเซลล์มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดของเซลล์ 600 จุด ดังนั้นเซลล์ 24 จุดทั้ง 25 เซลล์จึงเชื่อมต่อกันโดยวงแหวนห้าเหลี่ยมขนาดใหญ่แต่ละวง เซลล์ 600 สามารถแบ่งออกเป็นเซลล์ 24 ที่ไม่ซ้ำกัน 5 เซลล์ (10 วิธีที่แตกต่างกัน) และยังสามารถแบ่งออกเป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ซ้ำกัน 24 รูป (ที่จารึกอยู่ในรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ด 12 รูปของหนึ่งใน 6 การจัดเรียงลำดับสิบเหลี่ยม ) โดยการเลือกรูปห้าเหลี่ยมจากการจัดเรียงลำดับเดียวกันที่จุดยอดแต่ละจุดของเซลล์ 24

โดยสมมาตร รูปหลายเหลี่ยมแต่ละชนิดจำนวนเท่ากันจะผ่านจุดยอดแต่ละจุด ดังนั้นจึงสามารถอธิบายจุดยอดทั้ง 120 จุดได้ว่าเป็นจุดตัดของชุดรูปหลายเหลี่ยมศูนย์กลางเพียงชนิดเดียว ได้แก่ รูปสิบเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น จุดยอดทั้ง 120 จุดสามารถมองได้ว่าเป็นจุดยอดของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ ตั้งฉากกันอย่างสมบูรณ์ 15 คู่ ซึ่งไม่มีจุดยอดร่วมกัน หรือเป็นรูปหกเหลี่ยมที่ไม่ตั้งฉากกัน 100 คู่ซึ่งแกนทุกคู่ตั้งฉากกัน หรือเป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ตั้งฉากกัน 144 รูป ซึ่งหกรูปตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด สมมาตรรูปห้าเหลี่ยมของเซลล์ 600 เซลล์นี้ถูกจับโดยชุดพิกัด Hopf ^{[ 12 ]} (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) ที่กำหนดดังนี้:

({<10} ⁠𝜋/5, {≤5} ⁠𝜋/10, {<10} ⁠𝜋/5)​

โดยที่ {<10} คือการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลขสิบหลัก (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) และ {≤5} คือการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลขหกหลัก (0 1 2 3 4 5) พิกัด 𝜉 _iและ 𝜉 _jครอบคลุมจุดยอดทั้ง 10 จุดของรูปสิบเหลี่ยมวงกลมใหญ่ ตัวเลขคู่และคี่ใช้ระบุจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมวงกลมใหญ่สองรูปที่อยู่ภายในรูปสิบเหลี่ยมแต่ละรูป

ระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสอง ซึ่งวัดเป็นองศาของส่วนโค้งบนไฮเปอร์สเฟียร์ ที่ล้อมรอบนั้น มีค่าเพียง 36° = ⁠𝜋/560 ° =𝜋/3⁠ , 72° = ⁠2𝜋/590 ° =𝜋/2, 108° = ⁠3𝜋/5, 120° = ⁠2𝜋/3, 144° = ⁠4𝜋/5และ 180 ° = 𝜋 เมื่อออกจากจุดยอด V ใดๆ จะพบว่าที่ 36° และ 144° มีจุดยอด 12 จุดของทรงยี่สิบหน้า ที่ 60° และ 120° มีจุดยอด 20 จุดของทรงสิบสองหน้าที่ 72° และ 108° มีจุดยอด 12 จุดของทรงยี่สิบหน้าที่ใหญ่กว่า ที่ 90° มีจุดยอด 30 จุดของทรงยี่สิบ หน้าสิบหน้า และสุดท้ายที่ 180° คือจุดยอดตรงข้ามของ V ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} สามารถมองเห็นสิ่งเหล่านี้ได้ใน การฉายภาพ ระนาบ Coxeter H3 โดยที่จุดยอดที่ทับซ้อนกันจะถูกระบายสี^{[ 16 ]}

ส่วนตัดขวางทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เป็นทรงตันในแง่ที่ว่าเป็นสามมิติ แต่แน่นอนว่าจุดยอดทั้งหมดของพวกมันอยู่บนพื้นผิวของเซลล์ 600 (พวกมันกลวง ไม่ใช่ทรงตัน) ทรงหลายเหลี่ยมแต่ละอันอยู่ในปริภูมิยูคลิดสี่มิติเป็นภาคตัดขวางขนานกับเซลล์ 600 (ระนาบไฮเปอร์) ในปริภูมิสามมิติโค้งของพื้นผิวขอบเขตของเซลล์ 600 ทรงหลายเหลี่ยมจะล้อมรอบจุดยอด V ในลักษณะเดียวกับที่มันล้อมรอบจุดศูนย์กลางของมันเอง แต่จุดศูนย์กลางของมันอยู่ภายในเซลล์ 600 ไม่ได้อยู่บนพื้นผิว V ไม่ได้อยู่ที่จุดศูนย์กลางของทรงหลายเหลี่ยมจริง ๆ เพราะมันถูกเลื่อนออกไปด้านนอกจากระนาบไฮเปอร์นั้นในมิติที่สี่ ไปยังพื้นผิวของเซลล์ 600 ดังนั้น V จึงเป็นจุดยอดของพีระมิด 4 มิติที่สร้างจากทรงหลายเหลี่ยม

ตัวเรือแบบวงกลมซ้อนกัน

เซลล์ 600 เซลล์ถูกฉายไปยังมิติ 3 มิติโดยใช้ฐานตั้งฉากปกติ จุดยอดจะถูกจัดเรียงและนับตามค่ามาตรฐานสามมิติ การสร้างโครงร่างที่โปร่งใสมากขึ้นเรื่อยๆ ของแต่ละชุดของค่ามาตรฐานที่นับได้แสดงให้เห็น: 1) สองจุดที่จุดกำเนิด 2) ทรงยี่สิบหน้าสองรูป 3) ทรงสิบสองหน้าสองรูป 4) ทรงยี่สิบหน้าขนาดใหญ่สองรูป 5) และทรงยี่สิบหน้าสิบเอ็ดรูปหนึ่ง รูป รวมทั้งหมด 120 จุดยอด นี่คือมุมมองจาก จุดกำเนิด ใดๆเซลล์ 600 ประกอบด้วยชุดของโครงร่างวงกลมซ้อนกัน 60 ชุดที่แตกต่างกัน โดยแต่ละชุดมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดตรงข้ามกันแต่ละคู่

จุดยอดทั้ง 120 จุดกระจายตัว^{[ 17 ]}ที่ ความยาว คอร์ด ต่าง กันแปดระยะ ขอบและคอร์ดของเซลล์ 600 เซลล์เหล่านี้ก็คือขอบและคอร์ดของรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ทั้งห้า [ ^{18 ] เรียง} ตามลำดับความยาวจากน้อยไปมาก ได้แก่:

${\displaystyle {\sqrt {0.382\sim }}={\sqrt {2-\phi }}=\phi ^{-1}\approx 0.618}$

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1.382\sim }}={\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2.618\sim }}={\sqrt {1+\phi }}=\phi \approx 1.618}$

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\sqrt {3.618\sim }}={\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}}$

ในแผนภาพ ความยาวของคอร์ดจะแสดงเป็นรากที่สอง โดยอาจมีส่วนที่เป็น ทศนิยม หากจำเป็น ดังนี้:

${\displaystyle \Phi =\phi ^{-1}\approx 0.618}$

คืออัตราส่วนทองคำผกผัน และ:

${\displaystyle \Delta =1-\Phi =\Phi ^{2}\approx 0.382}$

คือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวอย่างเช่น ความยาวด้านของช่อง 600 ช่อง คือ:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {0.\Delta }}={\sqrt {0.382\sim }}\approx 0.618}$

เส้นคอร์ดไฮเปอร์คิวบิกทั้งสี่ของเซลล์ 24 เซลล์ ( , , , ) สลับกับเส้นคอร์ดใหม่ทั้งสี่ของวงกลมใหญ่เพิ่มเติมของเซลล์ 600 เซลล์ ได้แก่ รูปสิบเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม ความยาวของเส้นคอร์ดทองคำใหม่นั้นจำเป็น ต้องเป็นรากที่สองของเศษส่วน แต่เป็นเศษส่วนพิเศษที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ ซึ่งรวมถึงส่วนทองคำ สองส่วน ของ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

เซลล์ 600 เซลล์ทำให้เซลล์ 24 เซลล์สมบูรณ์ขึ้นโดยการเพิ่มจุดยอดอีก 96 จุดระหว่างจุดยอด 24 จุดที่มีอยู่ของเซลล์ 24 เซลล์ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วเป็นการเพิ่มเซลล์ 24 เซลล์ที่ซ้อนทับกันอีก 24 เซลล์ภายในเซลล์ 600 เซลล์ พื้นผิวใหม่ที่เกิดขึ้นจึงเป็นการเรียงตัวของเซลล์และหน้าที่มีขนาดเล็กกว่าและมีจำนวนมากกว่า: รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านแทนที่จะเป็นรูปทรงแปดเหลี่ยมที่มีความยาวด้านมันล้อมรอบขอบของเซลล์ 24 เซลล์ ซึ่งกลายเป็นคอร์ดภายในที่มองไม่เห็นในเซลล์ 600 เซลล์ เช่นเดียวกับ คอร์ดและ${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

เนื่องจากทรงสี่หน้าประกอบด้วยขอบสามเหลี่ยมที่สั้นกว่าทรงแปดหน้า (โดยมีปัจจัย ซึ่งเป็นอัตราส่วนทองคำผกผัน) เซลล์ 600 จึงไม่มีความยาวขอบหนึ่งหน่วยในระบบพิกัดรัศมีหนึ่งหน่วยเหมือนกับเซลล์ 24 และเทสเซอแร็กต์ และแตกต่างจากสองทรงนั้น เซลล์ 600 ไม่ได้เป็นทรงสามเหลี่ยมด้านเท่าตามแนวรัศมี แต่มีลักษณะเป็นทรงสามเหลี่ยมตามแนวรัศมีในลักษณะพิเศษ ซึ่งเป็นทรงที่สามเหลี่ยมทองคำมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางแทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า มีเพียงรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอไม่กี่รูปเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้ รวมถึงเซลล์ 600 ในสี่มิติ ทรงสิบสองหน้าสามมิติและทรงสิบ เหลี่ยมสอง มิติ (ทรงยี่สิบหน้าสิบ ด้านคือภาคตัดขวางตามแนวเส้นศูนย์สูตรของทรงหกสิบเซลล์ และทรงสิบเหลี่ยมคือ ภาคตัดขวางตาม แนวเส้นศูนย์สูตรของทรงยี่สิบ หน้าสิบด้าน ... ${\displaystyle \phi ^{-1}}$

ขอบเขตของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าขนาดเล็ก 600 เซลล์ห่อหุ้มรอบขอบเขตของเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 25 เซลล์ ซึ่งประกอบด้วยเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 24 เซลล์ (โดยเพิ่มพื้นที่ 4 มิติบางส่วนระหว่างขอบเขต 3 มิติที่โค้งงอเหล่านี้) รูปร่างของช่องว่างเหล่านั้นจะต้องเป็นพีระมิดทรงแปดเหลี่ยม 4 ด้านชนิดใดชนิดหนึ่ง แต่ในเซลล์ 600 เซลล์นั้น มัน ไม่ใช่ รูป ทรงปกติ

คอร์ดจุดยอดของเซลล์ 600 เซลล์ถูกจัดเรียงเป็น รูปหลายเหลี่ยม วงกลมใหญ่ แบบ จีโอ เดสิกห้าชนิด ได้แก่ รูปสิบเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสามเหลี่ยม^{[ 19 ]}

ขอบ ของ รูปทรงนี้ก่อให้เกิด รูปสิบเหลี่ยมปกติแบนราบ 72 รูป โดย 6 รูปตัดกันที่แต่ละจุดยอด เช่นเดียวกับที่ทรงสิบสองเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสิบเหลี่ยมตรงกลาง 6 รูป (60 ขอบ = 6 × 10) รูปทรง 600 เซลล์ก็สามารถแบ่งออกเป็นรูปสิบเหลี่ยม 72 รูป (720 ขอบ = 72 × 10) ขอบ 720 ขอบแบ่งพื้นผิวออกเป็นหน้าสามเหลี่ยม 1200 หน้าและเซลล์ทรงสี่เหลี่ยม 600 เซลล์: เซลล์ 600 ขอบ 720 ขอบเหล่านี้เรียงตัวเป็นคู่ขนาน 360 คู่ โดยอยู่ห่างกัน เช่นเดียวกับในรูปสิบเหลี่ยมและทรงสิบสองเหลี่ยม ขอบเหล่านี้ปรากฏในรูปสามเหลี่ยมสีทองซึ่งมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ 72 รูปสามารถแบ่งออกเป็น 6 ชุด ชุดละ 12 เส้นขนานคลิฟฟอร์ด ที่ไม่ตัดกัน โดยที่วงกลมขนาดใหญ่รูปสิบเหลี่ยมเพียงวงเดียวในแต่ละชุดจะผ่านจุดยอดแต่ละจุด และรูปสิบเหลี่ยม 12 รูปในแต่ละชุดจะไปถึงจุดยอดทั้ง 120 จุด^{[ 20 ]}${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$

เส้นคอร์ดก่อตัวเป็นรูปหกเหลี่ยมตรงกลาง 200 รูป (25 ชุด ชุดละ 16 รูป โดยแต่ละรูปหกเหลี่ยมอยู่ในสองชุด) ^{[ 21 ]}ซึ่ง 10 เส้นตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด (4 เส้นจากแต่ละเซลล์ 24 เซลล์ห้าเซลล์ที่มาบรรจบกันที่จุดยอด โดยแต่ละรูปหกเหลี่ยมอยู่ในเซลล์ 24 เซลล์สองเซลล์) แต่ละชุดของรูปหกเหลี่ยม 16 รูปประกอบด้วยขอบ 96 เส้นและจุดยอด 24 จุดของเซลล์ 24 เซลล์ที่ซ้อนทับกัน 25 เซลล์ เส้นคอร์ดเชื่อมจุดยอดที่อยู่ห่างกันสองขอบ เส้นคอร์ดแต่ละเส้นเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางยาวของเซลล์ทรงสี่หน้าคู่หนึ่งที่เชื่อมติดกัน ( พีระมิดสามเหลี่ยมคู่ ) และผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าที่ใช้ร่วมกัน เนื่องจากมี 1200 หน้า จึงมีเส้นคอร์ด 1200 เส้น แบ่งเป็นคู่ขนาน 600 คู่ระนาบหกเหลี่ยมไม่ตั้งฉากกัน (ห่างกัน 60 องศา) แต่เกิดขึ้นเป็นคู่ 100 คู่โดยที่แกนทั้ง 3 ของหกเหลี่ยมหนึ่งตั้งฉากกับแกนทั้ง 3 ของหกเหลี่ยมคู่^{[ 22 ]} หกเหลี่ยมขนาดใหญ่ 200 รูปสามารถแบ่งออกเป็น 10 ชุด ชุดละ 20 เส้นจีโอเดสิกขนานคลิฟฟอร์ดที่ไม่ตัดกัน โดยที่วงกลมขนาดใหญ่รูปหกเหลี่ยมเพียงวงเดียวในแต่ละชุดจะผ่านจุดยอดแต่ละจุด และหกเหลี่ยม 20 รูปในแต่ละชุดจะไปถึงจุดยอดทั้ง 120 จุด^{[ 23 ]}${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

เส้นคอร์ดเหล่านี้ประกอบกันเป็นรูปห้าเหลี่ยมตรงกลาง 144 รูป โดย 6 รูปตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุดเส้นคอร์ดเหล่านี้ลากจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดที่สองในระนาบเดียวกับรูปสิบเหลี่ยม 72 รูป โดยมีรูปห้าเหลี่ยมสองรูปอยู่ภายในรูปสิบเหลี่ยมแต่ละรูป เส้นคอร์ดเหล่านี้เชื่อมต่อจุดยอดที่อยู่ห่างกันสองขอบบนวงกลมใหญ่ทางเรขาคณิต เส้นคอร์ดทั้ง 720 เส้นปรากฏเป็นคู่ขนาน 360 คู่ โดยแต่ละคู่ห่างกัน ${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$${\displaystyle \phi }$

เส้นคอร์ดก่อตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลาง 450 รูป โดย 15 รูปตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด (3 รูปจากแต่ละเซลล์ 24 เซลล์ทั้งห้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอด) เส้นคอร์ดเชื่อมจุดยอดที่อยู่ห่างกัน 3 ขอบ (และห่างกัน 2 เส้นคอร์ด) มีเส้นคอร์ดทั้งหมด 600 เส้น แบ่งเป็นคู่ขนาน 300 คู่ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 450 รูป (คู่ ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์ 225 คู่) สามารถแบ่งออกเป็น 15 ชุดของเส้นโค้งจีโอเดสิกขนานคลิฟฟอร์ด 30 เส้นที่ไม่ตัดกัน โดยที่วงกลมขนาดใหญ่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพียงวงเดียวในแต่ละชุดจะผ่านจุดยอดแต่ละจุด และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 30 รูป (คู่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์ 15 คู่) ในแต่ละชุดจะครอบคลุมจุดยอดทั้ง 120 จุด^{[ 24 ]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

เส้นคอร์ดเหล่านี้เป็นด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 720 รูป (72 ชุด ชุดละ 10 รูป เรียงอยู่ภายในรูปสิบเหลี่ยมแต่ละรูป) โดย 6 เส้นคอร์ดตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด ขอบด้านที่สาม (ฐาน) ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแต่ละรูปมีความยาวเท่ากับ เส้น คอร์ดลากจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดที่สามในระนาบเดียวกับรูปสิบเหลี่ยมทั้ง 72 รูป โดยเชื่อมจุดยอดที่อยู่ห่างกันสามขอบบนวงกลมใหญ่ทางเรขาคณิต มีเส้นคอร์ดที่แตกต่างกัน 720 เส้น แบ่งเป็น 360 คู่ขนานกัน ${\displaystyle \phi \approx 1.618}$${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$

เส้นคอร์ดเหล่า นี้ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 400 รูป (25 ชุด ชุดละ 32 รูป โดยแต่ละรูปสามเหลี่ยมอยู่ในสองชุด) ซึ่ง 10 รูปตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด (4 รูปจากแต่ละเซลล์ 24 ช่อง จำนวน 5 เซลล์ โดยแต่ละรูปสามเหลี่ยมอยู่ในสองเซลล์ 24 ช่อง) แต่ละชุดของรูปสามเหลี่ยม 32 รูปประกอบด้วยเส้นคอร์ด 96 เส้นและจุดยอด 24 จุดของเซลล์ 24 ช่องที่ซ้อนทับกัน 25 เซลล์เส้นคอร์ดลากจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดที่สองในระนาบเดียวกับรูปหกเหลี่ยม 200 รูป โดยมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปอยู่ภายในรูปหกเหลี่ยมแต่ละรูป เส้นคอร์ดเชื่อมจุดยอดที่อยู่ห่างกันสี่ขอบ (และห่างกันสองเส้นคอร์ดบนวงกลมใหญ่ทางเรขาคณิต) แต่ละเส้นคอร์ดเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางยาวของเซลล์ทรงลูกบาศก์สองเซลล์ในเซลล์ 24 ช่องเดียวกัน มีเส้นคอร์ดทั้งหมด 1200 เส้น แบ่งเป็น 600 คู่ขนานกัน ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

เส้นคอร์ด (เส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยม) ประกอบเป็นด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 720 รูป (144 ชุด ชุดละ 5 รูป เรียงอยู่ภายในรูปห้าเหลี่ยมแต่ละรูป) โดยมีเส้นคอร์ด 6 เส้นตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด ขอบด้านที่สาม (ฐาน) ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแต่ละรูปเป็นขอบของรูปห้าเหลี่ยมที่มีความยาวดังนั้นรูปเหล่านี้จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำเส้นคอร์ดลากจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดทุกๆ สี่จุดในระนาบเดียวกับรูปสิบเหลี่ยม 72 รูป โดยเชื่อมจุดยอดที่อยู่ห่างกันสี่ขอบบนวงกลมใหญ่ทางเรขาคณิต มีเส้นคอร์ดที่แตกต่างกัน 720 เส้น แบ่งเป็น 360 คู่ขนานกัน ${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$

เส้นคอร์ดประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 60 เส้น (75 ชุดของแกนตั้งฉาก 4 แกน โดยแต่ละชุดประกอบด้วยเซลล์ 16 เซลล์ ) ซึ่งเทียบเท่ากับรัศมียาว 120 เส้นของเซลล์ 600 เซลล์ เส้นคอร์ดเชื่อมจุดยอดตรงข้ามซึ่งอยู่ห่างกันห้าขอบบนวงกลมใหญ่แบบจีโอเดสิก มีชุดเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 เส้นที่แตกต่างกันแต่ทับซ้อนกัน 25 ชุด โดยแต่ละชุดประกอบด้วยเซลล์ 24 เซลล์ที่อยู่ภายใน 25 เซลล์ และมีชุดเส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉาก 4 เส้นที่แตกต่างกันแต่ทับซ้อนกัน 75 ชุด โดยแต่ละชุดประกอบด้วยเซลล์ 16 เซลล์ที่อยู่ภายใน 75 เซลล์ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$

ผลรวมของความยาวกำลังสองของคอร์ดที่แตกต่างกันทั้งหมดของ 600 เซลล์คือ 14,400 = 120 ² . ^{[ a ]} ​​เหล่านี้คือรูปหลายเหลี่ยมศูนย์กลางที่ผ่านจุดยอดทั้งหมด แต่ 600 เซลล์มีวงกลมใหญ่ที่น่าสนใจวงหนึ่งที่ไม่ผ่านจุดยอดใดๆ (รูป 0 เหลี่ยม) ยิ่งไปกว่านั้น ในปริภูมิ 4 มิติ มีเส้นทางจีโอเดสิกบนทรงกลม 3 มิติที่ไม่วางอยู่ในระนาบศูนย์กลางเลย มีเส้นทางจีโอเดสิกที่สั้นที่สุดระหว่างจุดยอดสองจุดของ 600 เซลล์ที่เป็นเกลียวแทนที่จะเป็นวงกลมธรรมดา เส้นทางเหล่านี้สอดคล้องกับการหมุน แบบไอโซคลินิก (แนวทแยง) แทนที่จะเป็นการหมุนแบบธรรมดา

รูปหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นนั้นอยู่ในระนาบศูนย์กลางเพียงสามประเภท โดยแต่ละประเภทมีลักษณะเฉพาะด้วยมุมการหมุน: ระนาบสิบเหลี่ยม ( ⁠𝜋/5⁠แยกกัน), ระนาบหกเหลี่ยม ( ⁠𝜋/3⁠แยกออกไป รวมถึงใน 25 ช่อง 24 ช่องที่จารึกไว้) และระนาบสี่เหลี่ยม ( ⁠𝜋/2(แยกออกจากกัน รวมถึงในเซลล์ 16 ช่อง 75 เซลล์ และเซลล์ 24 ช่อง) ระนาบกลางของเซลล์ 600 ช่องเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นระนาบไฮเปอร์กลางตั้งฉาก 4 ระนาบ (3 มิติ) แต่ละระนาบก่อตัวเป็นทรง สิบสองหน้า 10 เหลี่ยม มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 450 รูป ห่างกัน 90 องศา หกเหลี่ยมขนาดใหญ่ 200 รูป ห่างกัน 60 องศา และสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ 72 รูป ห่างกัน 36 องศา ระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่แต่ละระนาบตั้งฉากกับระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่อื่นอย่างสมบูรณ์ ระนาบหกเหลี่ยมขนาดใหญ่แต่ละระนาบตั้งฉากกับระนาบที่ตัดผ่านจุดยอดเพียงสองจุด ( เส้นผ่านศูนย์กลางยาวหนึ่งเส้น): ระนาบสองเหลี่ยมขนาดใหญ่ระนาบสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่แต่ละระนาบตั้งฉากกับระนาบที่ไม่ ตัดผ่าน จุดยอดใดๆ: ระนาบศูนย์เหลี่ยมขนาดใหญ่ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$

แต่ละชุดของรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ที่คล้ายกัน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม หรือสิบเหลี่ยม) สามารถแบ่งออกเป็นมัดของวงกลมใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ดที่ไม่ตัดกัน (ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 30 รูป หรือหกเหลี่ยม 20 รูป หรือสิบเหลี่ยม 12 รูป) แต่ละมัดไฟเบอร์ของวงกลมใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ดเป็นไฟเบอร์ฮอปฟ์ แบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเติมเต็มเซลล์ 600 เซลล์ โดยเยี่ยมชมจุดยอดทั้ง 120 จุดเพียงครั้งเดียว^{[ 26 ]} ไฟเบอร์ฮอปฟ์แบบไม่ต่อเนื่องแต่ละอันมี ฐาน 3 มิติซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แตกต่างกันซึ่งทำหน้าที่เป็นแผนที่หรือแบบจำลองมาตราส่วนของไฟเบอร์ รูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ในแต่ละมัดจะหมุนวนรอบกันและกัน กำหนดวงแหวนเกลียวของเซลล์ที่เชื่อมต่อกันซึ่งซ้อนกัน ผ่านกันโดยไม่ตัดกันในเซลล์ใด ๆ และเติมเต็มเซลล์ 600 เซลล์ด้วยชุดเซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันอย่างแม่นยำ กลุ่มเส้นใยที่แตกต่างกันพร้อมวงแหวนเซลล์แต่ละอันจะเติมเต็มพื้นที่เดียวกัน (600 เซลล์) แต่เส้นใยจะวิ่งขนานกับคลิฟฟอร์ดใน "ทิศทาง" ที่แตกต่างกัน รูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ในฟิเบรชันที่แตกต่างกันจะไม่ขนานกับคลิฟฟอร์ด^{[ 27 ]}

การจัดเรียงแบบไฟเบรชันของเซลล์ 600 เซลล์ ประกอบด้วยการจัดเรียงแบบไฟเบรชัน 6 แบบของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 72 รูป: กลุ่มเส้นใย 6 กลุ่ม แต่ละกลุ่มประกอบด้วยรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 12 รูป รูปสิบเหลี่ยมขนานของคลิฟฟอร์ด 12 รูปในแต่ละกลุ่มนั้นแยกออกจากกันโดยสมบูรณ์ รูปสิบเหลี่ยมขนานที่อยู่ติดกันจะเชื่อมต่อกันด้วยขอบของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่รูปอื่น

แต่ละมัดเส้นใยจะกำหนดวงแหวนเกลียว 20 วงโดยแต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 30 เซลล์ และมีวงแหวนห้าวงซ้อนกันอยู่รอบรูปสิบเหลี่ยมแต่ละรูป^{[ 28 ]}แผนที่ Hopf ของไฟเบอร์นี้คือทรงยี่สิบเหลี่ยม โดยที่จุดยอด 12 จุดแต่ละจุดจะยกขึ้นเป็นรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ และหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้าแต่ละหน้าจะยกขึ้นเป็นวงแหวน 30 เซลล์ เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์จะครอบครองวงแหวนเซลล์ 20 วงเพียงวงเดียวในแต่ละไฟเบอร์ 6 ไฟเบอร์ เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์จะให้ขอบทั้ง 6 ขอบแก่รูปสิบเหลี่ยมในไฟเบอร์ที่แตกต่างกัน แต่จะให้ขอบนั้นแก่วงแหวนเซลล์ที่แตกต่างกันห้าวงในไฟเบอร์นั้น

วงกลมใหญ่ 12 วงและวงแหวน 30 เซลล์ ของ Hopf fibration 6 ลักษณะเฉพาะของ 600 เซลล์ทำให้ 600 เซลล์เป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตของ "จุด" 30 จุดและ "เส้น" 12 เส้น เขียนเป็น 30 ₂ 12 ₅เรียกว่า โครงสร้าง Schläfli double six ตาม ^{ชื่อของ Ludwig Schläfli [} 30 ]นัก^{คณิตศาสตร์ชาว}สวิสผู้ค้นพบ 600 เซลล์และชุดโพลีโทปปกติที่สมบูรณ์ในมิติn ^{[ 31 ]}

โครงสร้างแบบไฟเบรชันของเซลล์ 24 เซลล์ประกอบด้วยไฟเบรชัน 4 แบบของรูปหกเหลี่ยมใหญ่ 16 รูป: กลุ่มเส้นใย 4 กลุ่ม กลุ่มละ 4 รูปหกเหลี่ยมใหญ่ รูปหกเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด 4 รูปในแต่ละกลุ่มแยกจากกันโดยสมบูรณ์ รูปหกเหลี่ยมขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของรูปหกเหลี่ยมใหญ่อื่นๆ กลุ่มเส้นใยแต่ละกลุ่มกำหนดขอบเขตของวงแหวนเกลียว 4 วง แต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 6 เซลล์ โดยมีสามวงซ้อนกันอยู่รอบๆ รูปหกเหลี่ยมแต่ละรูป เซลล์ทรงแปดเหลี่ยมแต่ละเซลล์ครอบครองเพียงวงเซลล์เดียวในแต่ละไฟเบรชันทั้ง 4 แบบ เซลล์ทรงแปดเหลี่ยมมีส่วนร่วม 3 ใน 12 ขอบของมันให้กับรูปหกเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ดที่แตกต่างกัน 3 รูปในแต่ละไฟเบรชัน แต่มีส่วนร่วมแต่ละขอบให้กับวงเซลล์ที่แตกต่างกันสามวงในไฟเบรชันนั้น

เซลล์ 600 เซลล์ประกอบด้วยเซลล์ 24 เซลล์จำนวน 25 เซลล์ และสามารถมองเห็นได้ (ใน 10 วิธีที่แตกต่างกัน) ว่าเป็นส่วนประกอบของเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน 5 เซลล์ มันมีไฟเบอร์ 10 แบบของรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ 200 รูป: มัดไฟเบอร์ 10 มัดของรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ 20 รูป รูปหกเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด 20 รูปในแต่ละมัดจะไม่ทับซ้อนกันโดยสมบูรณ์ รูปหกเหลี่ยมขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ มัดไฟเบอร์แต่ละมัดกำหนดขอบเขตของวงแหวนเกลียว 20 วง แต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 6 เซลล์ โดยมีสามวงแหวนซ้อนกันอยู่รอบรูปหกเหลี่ยมแต่ละรูป แผนที่ฮอปฟ์ของไฟเบอร์นี้คือทรงสิบสองเหลี่ยมโดยที่จุดยอด 20 จุดแต่ละจุดยกขึ้นเป็นมัดของรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่^{[ 23 ]} เซลล์ทรงแปดเหลี่ยมแต่ละเซลล์ครอบครองเพียงหนึ่งใน 20 วงแหวนทรงแปดเหลี่ยม 6 เซลล์ในแต่ละไฟเบอร์ 10 แบบ วงแหวนทรงแปดเหลี่ยม 6 ด้านจำนวน 20 วงนั้น เป็นส่วนหนึ่งของเซลล์ 24 ด้านที่ไม่ทับซ้อนกันจำนวน 5 เซลล์ โดยแต่ละเซลล์ประกอบด้วยวงแหวนทรงแปดเหลี่ยม 6 ด้านจำนวน 4 วง และแต่ละเส้นใยหกเหลี่ยมของเซลล์ 600 ด้านนั้น ประกอบด้วยเซลล์ 24 ด้านที่ไม่ทับซ้อนกันจำนวน 5 เซลล์

โครงสร้างแบบไฟเบรชันของเซลล์ 16 เซลล์ประกอบด้วยไฟเบรชัน 3 แบบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ 6 รูป: กลุ่มเส้นใย 3 กลุ่ม แต่ละกลุ่มประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ 2 รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานคลิฟฟอร์ด 2 รูปในแต่ละกลุ่มนั้นแยกจากกันโดยสมบูรณ์ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่รูปอื่น กลุ่มเส้นใยแต่ละกลุ่มกำหนดขอบเขตของวงแหวนเกลียว 2 วง ซึ่งแต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 เซลล์ เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์ครอบครองเพียงวงแหวนเซลล์เดียวในแต่ละไฟเบรชันทั้ง 3 แบบ เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์จะส่งขอบทั้ง 6 ขอบไปยังสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตกต่างกัน (โดยส่งขอบตรงข้ามที่ไม่ตัดกัน 2 ขอบไปยังแต่ละไฟเบรชันทั้ง 3 แบบ) แต่จะส่งขอบแต่ละขอบไปยังวงแหวนเซลล์ที่แตกต่างกัน 2 วงในไฟเบรชันนั้น

เซลล์ 600 เซลล์ประกอบด้วยเซลล์ 16 เซลล์จำนวน 75 เซลล์ และสามารถมองเห็นได้ (ใน 10 วิธีที่แตกต่างกัน) ว่าเป็นส่วนประกอบของเซลล์ 16 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันจำนวน 15 เซลล์ มีไฟเบอร์ 15 แบบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 450 รูป: มัดไฟเบอร์ 15 มัดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 30 รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานคลิฟฟอร์ด 30 รูปในแต่ละมัดจะไม่ทับซ้อนกันโดยสมบูรณ์ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ มัดไฟเบอร์แต่ละมัดกำหนดขอบเขตของวงแหวนเกลียว 30 วงที่ไม่ทับซ้อนกันของเซลล์ โดยแต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 เซลล์ ( เซลล์ของเซลล์ 16 เซลล์ที่อยู่ภายใน) แผนที่ฮอปฟ์ของไฟเบอร์นี้คือไอโคซิโดเดคาเฮดรอนโดยที่จุดยอด 30 จุดแต่ละจุดยกขึ้นเป็นมัดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่^{[ 24 ]} เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์ครอบครองเพียงหนึ่งใน 30 วงแหวนทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 วงในแต่ละไฟเบอร์ 15 แบบ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

วงแหวนเซลล์เกลียวที่อัดแน่น^{[ 32 ] [ 33 ] [ 26 ]}ของไฟเบรชันนั้นเป็นเซลล์ที่แยกจากกัน แต่พวกมันมีจุดยอด ขอบ และหน้าร่วมกัน ไฟเบรชันแต่ละอันของเซลล์ 600 เซลล์สามารถมองได้ว่าเป็นการบรรจุวงแหวนเซลล์อย่างหนาแน่น โดยที่หน้าของวงแหวนเซลล์ที่อยู่ติดกันจะยึดติดกัน ไฟเบรชันเดียวกันนี้ยังสามารถมองได้ว่าเป็น โครงสร้าง ที่เบาบาง ที่สุด ของ วงแหวนเซลล์ที่ แยกจากกันอย่าง สมบูรณ์จำนวนน้อยกว่า ซึ่งไม่สัมผัสกันเลย

สามารถมองเห็นการจัดเรียงแบบไฟเบอร์ของรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ได้ (ห้าวิธีที่แตกต่างกัน) เป็นวงแหวน 30 เซลล์ที่แยกจากกันโดยสมบูรณ์ 4 วง โดยมีช่องว่างคั่นระหว่างกัน แทนที่จะเป็นวงแหวนเซลล์ที่เชื่อมต่อกัน 20 วง โดยการละเว้นวงแหวนเซลล์ทั้งหมด ยกเว้นวงแหวนเซลล์หนึ่งวงจากห้าวงที่มาบรรจบกันที่รูปสิบเหลี่ยมแต่ละรูป^{[ 34 ]} ห้าวิธีที่แตกต่างกันที่คุณสามารถทำได้นั้นเทียบเท่ากัน เนื่องจากทั้งห้าวิธีสอดคล้องกับการจัดเรียงแบบไฟเบอร์แบบไม่ต่อเนื่องเดียวกัน (ในความหมายเดียวกันกับการจัดเรียงแบบไฟเบอร์ของรูปสิบเหลี่ยม 6 แบบที่เทียบเท่ากัน เนื่องจากทั้ง 6 แบบครอบคลุมเซลล์ 600 เซลล์เดียวกัน) วงแหวนเซลล์ทั้ง 4 วงยังคงประกอบกันเป็นการจัดเรียงแบบไฟเบอร์ที่สมบูรณ์: ซึ่งรวมถึงรูปสิบเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ดทั้ง 12 รูป ซึ่งเยี่ยมชมจุดยอดทั้ง 120 จุด

เซตย่อยของวงแหวนเซลล์ 4 วงจาก 20 วงนี้ มีมิติคล้ายคลึงกับเซตย่อยของรูปสิบเหลี่ยม 12 รูปจาก 72 รูป เนื่องจากทั้งสองเป็นเซตของรูปหลายเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด ที่ไม่ทับซ้อนกันโดยสมบูรณ์ ซึ่งผ่านจุดยอดทั้ง 120 จุด

กลุ่มย่อยของวงแหวนเซลล์ 4 วงจาก 20 วง เป็นหนึ่งใน 5 ฟิเบรชันภายในฟิเบรชันของรูปสิบเหลี่ยม 12 รูปจาก 72 รูป: ฟิเบรชันของฟิเบรชัน ฟิเบรชันทั้งหมดมีโครงสร้างสองระดับนี้พร้อมด้วยซับฟิเบรชัน

การจัดเรียงแบบไฟเบรชันของรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ 24 เซลล์ สามารถมองเห็นได้ (ในสามวิธีที่แตกต่างกัน) ว่าเป็นวงแหวน 6 เซลล์ 2 วงที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิง โดยมีช่องว่างคั่นอยู่ แทนที่จะเป็นวงแหวนเซลล์ 4 วงที่เชื่อมต่อกันที่หน้า โดยการละเว้นวงแหวนเซลล์ทั้งหมด ยกเว้นวงแหวนเซลล์หนึ่งวงจากสามวงที่มาบรรจบกันที่รูปหกเหลี่ยมแต่ละรูป ดังนั้น การจัดเรียงแบบไฟเบรชันทั้ง 10 แบบของรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ 600 เซลล์ จึงสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นวงแหวนเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 2 วงที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิง

การเรียงตัวเป็นเส้นใยของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 16 เซลล์ สามารถมองเห็นได้ (สองวิธีที่แตกต่างกัน) เป็นวงแหวนเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 เซลล์วงเดียวที่มีช่องว่างขนาดเท่าวงแหวนเซลล์ที่อยู่ติดกัน แทนที่จะเป็นวงแหวนเซลล์ 2 วงที่เชื่อมต่อกันที่หน้า โดยการละเว้นวงแหวนเซลล์หนึ่งในสองวงที่มาบรรจบกันที่แต่ละสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น การเรียงตัวเป็นเส้นใยทั้ง 15 แบบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 600 เซลล์ จึงสามารถมองเห็นได้เป็นวงแหวนเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าวงเดียว

โครงสร้างแบบเบาบางของไฟเบอร์เรชัน 600 เซลล์ สอดคล้องกับการแบ่งส่วนสมมาตรต่ำของ 600 เซลล์ 24 เซลล์ หรือ16 เซลล์โดยมีเซลล์สีต่างกันเพื่อแยกวงแหวนเซลล์ออกจากช่องว่างระหว่างกัน รูปแบบสมมาตรต่ำเฉพาะของ 600 เซลล์ที่สอดคล้องกับโครงสร้างแบบเบาบางของไฟเบอร์เรชันรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ มีมิติคล้ายคลึงกับ รูปทรง เตตระเฮดรอนแบบเฉียงของไอโคซาเฮดรอน (ซึ่งเป็นฐาน ของไฟเบอร์เรชันเหล่านี้บนทรงกลม 2 มิติ) วงแหวนเซลล์ Boerdijk-Coxeterแต่ละวงจากทั้งหมด 20 วงถูกยกขึ้นจากหน้าด้าน ที่สอดคล้องกัน ของไอโคซาเฮดรอน

เซลล์ 600 ประกอบด้วยรูปทรงเรขาคณิตของโพลีโทปปกติแบบนูนทุกรูปในสี่มิติแรก ยกเว้นเซลล์ 5 เซลล์ เซลล์ 120 เซลล์ และรูปหลายเหลี่ยม {7} ขึ้นไป^{[ 35 ]} ด้วยเหตุนี้ จึงมีหลายวิธีในการสร้างหรือแยกส่วนเซลล์ 600 แต่ไม่มีวิธีใดที่ง่ายเลย การสร้างเซลล์ 600 จากเซลล์ 24 เซลล์ซึ่งเป็นต้นแบบปกติอาจมองเห็นภาพได้ยาก

Thorold Gossetค้นพบโพลีโทป 4 มิติแบบกึ่งปกติรวมถึงsnub 24-cellที่มี 96 จุดยอด ซึ่งอยู่ระหว่าง 24-cell และ 600-cell ในลำดับของโพลีโทป 4 มิติแบบนูนที่มีขนาดและความซับซ้อนเพิ่มขึ้นในรัศมีเดียวกัน การสร้าง 600-cell จาก 24-cell ของ Gosset นั้นทำในสองขั้นตอน โดยใช้ snub 24-cell เป็นรูปแบบตัวกลาง ในขั้นตอนแรกที่ซับซ้อนกว่า (อธิบายไว้ในที่อื่น ) snub 24-cell ถูกสร้างขึ้นโดยการตัด snub พิเศษของ 24-cell ที่ส่วนตัดทองคำของขอบ^{[ 9 ]} ในขั้นตอนที่สอง 600-cell ถูกสร้างขึ้นในลักษณะตรงไปตรงมาโดยการเพิ่ม 4-pyramids (จุดยอด) ลงในด้านของ snub 24-cell ^{[ 36 ]}

เซลล์ 24 เหลี่ยมแบบย่อส่วน (snub 24-cell) คือเซลล์ 600 เหลี่ยมแบบย่อส่วน โดยตัดจุดยอด 24 จุด (และกลุ่มเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 20 เซลล์รอบๆ แต่ละจุดยอด) ออกไป เหลือเซลล์ทรงยี่สิบเหลี่ยมแบบ "แบน" แทนที่พีระมิดทรงยี่สิบเหลี่ยมที่ถูกตัดออกไปแต่ละอัน ดังนั้น เซลล์ 24 เหลี่ยมแบบย่อส่วนจึงมีเซลล์ทรงยี่สิบเหลี่ยม 24 เซลล์ และเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เหลืออยู่ 120 เซลล์ ขั้นตอนที่สองของการสร้างเซลล์ 600 เหลี่ยมของ Gosset นั้นเป็นเพียงการย้อนกลับของการลดขนาดนี้ กล่าวคือ วางพีระมิดทรงยี่สิบเหลี่ยมที่ประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 20 เซลล์ไว้บนเซลล์ทรงยี่สิบเหลี่ยมแต่ละเซลล์

การสร้างเซลล์รัศมีหน่วย 600 จากเซลล์รัศมีหน่วย 24 ซึ่งเป็นเซลล์ต้นแบบโดยวิธีของกอสเซ็ตนั้น ต้องใช้สามขั้นตอน เซลล์ 24 ซึ่งเป็นเซลล์ต้นแบบของเซลล์ snub-24 นั้นไม่ได้มีรัศมีเท่ากัน แต่มีขนาดใหญ่กว่า เนื่องจากเซลล์ snub-24 เป็นส่วนตัดของเซลล์ 24 ขั้นตอนแรกคือการกลับด้านเซลล์รัศมีหน่วย 24 รอบจุดกึ่งกลางทรงกลม เพื่อสร้าง คู่แคนอนิกภายนอก: เซลล์ 24 ที่ใหญ่กว่า เนื่องจากเซลล์ 24 นั้นเป็นคู่ของตัวเอง จากนั้นเซลล์ 24 ที่ใหญ่กว่านั้นสามารถถูกตัดแบบ snub ให้กลายเป็นเซลล์ snub 24 รัศมีหน่วยได้

เนื่องจากโครงสร้างของกอสเซ็ตนั้นค่อนข้างทางอ้อม จึงอาจไม่ช่วยให้เราเห็นภาพโดยตรงว่าเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 600 เซลล์นั้นประกอบกันเป็นพื้นผิว โค้งสามมิติ ได้อย่างไร หรือวางตัวอยู่บนพื้นผิวรองรับของเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 24 เซลล์ได้อย่างไร สำหรับการนั้น การสร้างโครงสร้าง 600 เซลล์โดยตรงจากกลุ่มของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจึงเป็นประโยชน์มากกว่า

พวกเราส่วนใหญ่มีความยากลำบากในการมองเห็นเซลล์ 600 เซลล์จากภายนอกในพื้นที่ 4 มิติ หรือการรับรู้มุมมองภายนอกของเซลล์ 600 เซลล์เนื่องจากเราขาดประสบการณ์ทางประสาทสัมผัสในพื้นที่ 4 มิติโดยสิ้นเชิง^{[ 37 ]}แต่เราควรจะสามารถมองเห็นพื้นผิวของเซลล์ 600 เซลล์จากภายในได้ เพราะปริมาตรนั้นเป็นพื้นที่ 3 มิติที่เราสามารถ "เดินไปรอบๆ" และสำรวจได้^{[ 38 ]} ในแบบฝึกหัดการสร้างเซลล์ 600 เซลล์จากกลุ่มเซลล์ เราอยู่ภายในพื้นที่ 3 มิติอย่างสมบูรณ์ แม้ว่าจะเป็นพื้นที่โค้งปิดขนาด เล็กที่แปลกประหลาด ซึ่งเราสามารถเดินไปได้เพียงสิบความยาวขอบในแนวเส้นตรงในทิศทางใดก็ได้และกลับมายังจุดเริ่มต้นของเรา

รูปทรงยอดของโครงสร้าง 600 เซลล์ คือทรงยี่สิบหน้า

เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 20 เซลล์มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ก่อให้เกิดพีระมิดทรงยี่สิบหน้าซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ปลายสุด ล้อมรอบด้วยทรงยี่สิบหน้าฐาน เซลล์ 600 เซลล์นี้มีมุมไดเฮดรัลเท่ากับ⁠𝜋/3⁠ + arccos(− ⁠1/4) ≈ 164.4775° . ^{[ 39 ]}

โครงสร้างขนาด 600 เซลล์ทั้งหมดสามารถประกอบขึ้นได้จากพีระมิดทรงยี่สิบหน้า 24 อัน (เชื่อมต่อกันแบบหน้าต่อหน้า ณ 8 ด้านจากทั้งหมด 20 ด้านของทรงยี่สิบหน้า ซึ่งมีสีเหลืองในภาพประกอบ) บวกกับกลุ่มเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 5 เซลล์ 24 กลุ่ม (เซลล์สี่เซลล์เชื่อมต่อกันแบบหน้าต่อหน้าล้อมรอบหนึ่งเซลล์) ซึ่งเติมเต็มช่องว่างที่เหลืออยู่ระหว่างทรงยี่สิบหน้า ทรงยี่สิบหน้าแต่ละอันจะเชื่อมต่อกับกลุ่มเซลล์ 5 เซลล์ที่อยู่ติดกันโดยใช้หน้าสีน้ำเงินสองหน้าที่ใช้ขอบร่วมกัน (ซึ่งเป็นหนึ่งในหกขอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตรงกลางของทรงยี่สิบหน้าทั้งห้า) กลุ่มเซลล์ 5 เซลล์หกกลุ่มล้อมรอบทรงยี่สิบหน้าแต่ละอัน และทรงยี่สิบหน้าหกอันล้อมรอบกลุ่มเซลล์ 5 เซลล์แต่ละกลุ่ม เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าห้าเซลล์ล้อมรอบขอบของทรงยี่สิบหน้าแต่ละอัน: สองเซลล์จากด้านในของพีระมิดทรงยี่สิบหน้า และสามเซลล์จากด้านนอก

จุดยอดของพีระมิดทรงยี่สิบหน้า 24 อัน เป็นจุดยอดของเซลล์ 24 เซลล์ที่บรรจุอยู่ภายในเซลล์ 600 เซลล์ ส่วนจุดยอดอีก 96 จุด (จุดยอดของทรงยี่สิบหน้า) เป็นจุดยอดของเซลล์ 24 เซลล์ รูปทรงโค้งที่บรรจุอยู่ภายใน ซึ่งมีโครงสร้างของทรงยี่สิบหน้าและทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่อธิบายไว้ที่นี่ทุกประการ ยกเว้นว่าทรงยี่สิบหน้าเหล่านั้นไม่ใช่พีระมิด 4 เซลล์ที่บรรจุด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า แต่เป็นเพียงเซลล์ทรงยี่สิบหน้าสามมิติแบบ "แบน" เพราะจุดยอดตรงกลางหายไป

ขอบ 24 เซลล์ที่เชื่อมจุดยอดของพีระมิดทรงยี่สิบหน้าจะวิ่งผ่านศูนย์กลางของหน้าสีเหลือง การระบายสีทรงยี่สิบหน้าด้วยหน้าสีเหลือง 8 หน้าและสีน้ำเงิน 12 หน้า สามารถทำได้ 5 วิธีที่แตกต่างกัน ดังนั้น จุดยอดของพีระมิดทรงยี่สิบหน้าแต่ละอันจึงเป็นจุดยอดของ 5 เซลล์ 24 เซลล์ที่แตกต่างกัน และจุดยอดทั้ง 120 จุดประกอบด้วย 25 (ไม่ใช่ 5) เซลล์ 24 เซลล์

ทรงยี่สิบหน้าถูกเชื่อมต่อกันด้วยหน้าสีเหลืองตรงข้าม ทำให้เกิดเป็น "เส้นตรง" ที่โค้งงอในมิติที่สี่เป็นวงแหวนของพีระมิดทรงยี่สิบหน้า 6 อัน จุดยอดของพีระมิดเหล่านี้คือจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมวงกลมใหญ่ เส้นตรงหกเหลี่ยมนี้ตัดผ่านวงแหวนของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 12 เซลล์ ซึ่งเชื่อมต่อกันแบบสลับกันระหว่างหน้าต่อหน้าและจุดยอดต่อจุดยอด เส้นผ่านศูนย์กลางยาวของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละคู่ที่เชื่อมต่อกันด้วยหน้า ( พีระมิดสามเหลี่ยม คู่แต่ละอัน ) คือขอบของรูปหกเหลี่ยม (ขอบ 24 เซลล์) มีวงแหวนของพีระมิดทรงยี่สิบหน้า 6 อัน 4 วงตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด เช่นเดียวกับที่มีวงแหวนที่เชื่อมต่อกันแบบไม่ทับซ้อนกัน 4 วงของทรงแปดหน้า 6 อันใน 24 เซลล์ ( การจัดเรียงแบบหกเหลี่ยม )

เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเชื่อมต่อกันที่หน้าเป็นเกลียวสามชั้นโค้งงอในมิติที่สี่เป็นวงแหวนของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 30 เซลล์ เกลียวทั้งสามเป็น "เส้นตรง" ทางเรขาคณิตที่มี 10 ขอบ: รูปสิบเหลี่ยมวงกลมใหญ่ที่วิ่งขนานกันแบบคลิฟฟอร์ด เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์มีหกขอบ และมีส่วนร่วมในรูปสิบเหลี่ยมที่แตกต่างกันหกรูป และด้วยเหตุนี้จึงมีส่วนร่วมในเส้นใยรูปสิบเหลี่ยมทั้ง 6 แบบของเซลล์ 600เซลล์

การแบ่งเซลล์ 600 เซลล์ออกเป็นกลุ่ม 20 เซลล์และกลุ่ม 5 เซลล์นั้นเป็นการแบ่งแบบเทียม เนื่องจากเซลล์ทั้งหมดเหมือนกัน เราสามารถเริ่มต้นได้โดยการเลือกกลุ่มพีระมิดทรงยี่สิบหน้าที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดใดๆ ที่เลือกไว้โดยพลการ ดังนั้นจึงมีพีระมิดทรงยี่สิบหน้าซ้อนทับกัน 120 อันในเซลล์ 600 เซลล์ จุดยอดทั้ง 120 จุดนั้นเป็นจุดยอดของเซลล์ 24 จุดยอดจำนวน 5 เซลล์ ดังนั้นจึงมีเซลล์ 24 จุดยอดซ้อนทับกัน 5*120/24 = 25 เซลล์

มีอีกวิธีที่มีประโยชน์ในการแบ่งพื้นผิว 600 เซลล์ออกเป็น 24 กลุ่มของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 25 เซลล์ ซึ่งเผยให้เห็นโครงสร้างเพิ่มเติม^{[ 40 ]}และการสร้าง 600 เซลล์โดยตรงจากรุ่นก่อนหน้าคือ 24 เซลล์

เริ่มต้นด้วยกลุ่มเซลล์ 5 เซลล์กลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง (ด้านบน) และพิจารณาเซลล์ตรงกลางของกลุ่มนั้นเป็นวัตถุศูนย์กลางของกลุ่มเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าขนาดใหญ่ขึ้นใหม่ เซลล์ตรงกลางนี้เป็นส่วนแรกของกลุ่มเซลล์ 600 เซลล์ที่เริ่มต้นด้วยเซลล์หนึ่งเซลล์ โดยการล้อมรอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเพิ่มเติม เราจะสามารถเข้าถึงส่วนที่ลึกกว่าซึ่งเริ่มต้นด้วยเซลล์หนึ่งเซลล์ได้

ก่อนอื่น โปรดสังเกตว่ากลุ่มเซลล์ 5 เซลล์ประกอบด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ( พีระมิดสามเหลี่ยมคู่ ) ที่ซ้อนทับกัน 4 คู่ โดยที่เส้นผ่านศูนย์กลางยาวคือขอบ 24 เซลล์ (ขอบหกเหลี่ยม) ที่มีความยาวพีระมิดสามเหลี่ยมคู่เพิ่มเติมอีก 6 อันจะพอดีกับส่วนเว้าบนพื้นผิวของกลุ่มเซลล์ 5 เซลล์ ดังนั้นคอร์ดภายนอกที่เชื่อมต่อจุดยอดทั้ง 4 จึงมีความยาวคือขอบ 24 เซลล์เช่นกันพวกมันก่อตัวเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวขอบซึ่งเป็นส่วนที่สองของเซลล์ 600 เซลล์ที่เริ่มต้นด้วยเซลล์ มีส่วนรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่านี้ 600 ส่วนในเซลล์ 600 เซลล์ ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

เมื่อวางไดพิอามิดรูปสามเหลี่ยม 6 อันลงในส่วนเว้า จะได้เซลล์ใหม่ 12 เซลล์และจุดยอดใหม่ 6 จุด นอกเหนือจาก 5 เซลล์และ 8 จุดยอดของกลุ่มเดิม จุดยอดใหม่ 6 จุดนี้ก่อให้เกิดส่วนที่สามของกลุ่มเซลล์ 600 เซลล์ โดยเริ่มต้นด้วยเซลล์รูปทรงแปดเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเท่ากับ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเซลล์ของกลุ่มเซลล์ 24 เซลล์ เนื่องจากเซลล์รูปทรงแปดเหลี่ยมนี้ถูกเติมเต็มเพียงบางส่วน (ด้วยเซลล์รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 17 เซลล์) จึงมีหน้าเว้าที่พีระมิดสามเหลี่ยมขนาดสั้นสามารถวางลงไปได้ มันมีปริมาตรเท่ากับเซลล์รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ แต่มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่ไม่สม่ำเสมอ ทรงแปดเหลี่ยมแต่ละอันล้อมรอบเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจำนวน 1 + 4 + 12 + 8 = 25 เซลล์: เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ 17 เซลล์ บวกกับเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีปริมาตรเท่ากันอีก 8 เซลล์ ซึ่งแต่ละเซลล์ประกอบด้วยชิ้นส่วนหนึ่งในหกส่วนจำนวน 6 ชิ้นจากเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติที่แตกต่างกัน 6 เซลล์ โดยแต่ละชิ้นส่วนจะครอบคลุมเซลล์ทรงแปดเหลี่ยมที่อยู่ติดกันสามเซลล์ ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

ดังนั้น เซลล์รัศมีหน่วย 600 จึงสามารถสร้างขึ้นได้โดยตรงจากเซลล์ต้นแบบ คือ เซลล์รัศมีหน่วย 24 โดยการวางพีระมิดแปดเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอที่ถูกตัดยอดจำนวน 14 จุดยอดลงบนแต่ละด้านของทรงแปดเหลี่ยม ซึ่งสร้างขึ้น (ในลักษณะข้างต้น) จากเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ 25 เซลล์ที่มีความยาวขอบ ${\displaystyle \phi ^{-1}}$

ยังมีอีกวิธีที่มีประโยชน์ในการแบ่งพื้นผิว 600 เซลล์ออกเป็นกลุ่มเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งเผยให้เห็นโครงสร้างเพิ่มเติม^{[ 41 ]}และเส้นใยสิบเหลี่ยมของเซลล์ 600 เซลล์ เซลล์ 600 เซลล์ทั้งหมดสามารถประกอบขึ้นรอบวงแหวนสองวงของพีระมิดทรงยี่สิบหน้า 5 อัน โดยเชื่อมต่อจุดยอดต่อจุดยอดเป็น "เส้นตรง" ทางภูมิศาสตร์สองเส้น

เซลล์120สามารถแยกออกเป็นทอรัสที่ไม่ทับซ้อนกันสองอันได้เนื่องจากเป็นคู่ของเซลล์ 600 โครงสร้างทอรัสคู่เดียวกันนี้จึงมีอยู่ในเซลล์ 600 เช่นกัน แม้ว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เส้นทางจีโอเดสิก 10 เซลล์ในเซลล์ 120 สอดคล้องกับเส้นทางเดคากอน 10 จุดยอดในเซลล์ 600 ^{[ 42 ]}

เริ่มต้นด้วยการประกอบเตตระเฮดราห้าอันรอบขอบร่วมกัน โครงสร้างนี้ดูคล้าย "จานบิน" ที่มีมุมแหลม วางซ้อนกันสิบอันโดยให้จุดยอดชนกันในลักษณะ "แพนเค้ก" เติมวงแหวนระหว่าง "จานบิน" แต่ละคู่ด้วยเตตระเฮดรา 10 อันเพื่อสร้างไอโคซาเฮดรอน คุณสามารถมองสิ่งนี้เป็นพีระมิดไอโคซาเฮดรอน ที่ซ้อนกันห้าอันโดยให้จุดยอด ชนกัน และช่องว่างวงแหวนอีกห้าช่องก็ถูกเติมเต็มด้วย พื้นผิวจะเหมือนกับพื้นผิวของแอนติปริซึมห้าเหลี่ยมที่ ซ้อน กันสิบอัน: เสาที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมและหน้าตัดเป็นรูปห้าเหลี่ยม^{[ 43 ]} เมื่อดัดให้เป็นวงแหวนเสา จะได้ทอรัสที่ประกอบด้วยเซลล์ 150 เซลล์ ยาวสิบขอบ มีหน้าสามเหลี่ยมที่เปิดออก 100 หน้า ขอบที่เปิดออก 150 ขอบ และจุดยอดที่เปิดออก 50 จุด วางเตตระเฮดราอีกอันบนแต่ละหน้าที่เปิดออก ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นทรงโดนัทที่มีพื้นผิวขรุขระเล็กน้อย ประกอบด้วยเซลล์ 250 เซลล์ มีจุดยอดที่ยกสูง 50 จุด จุดยอดที่เป็นหุบเขา 50 จุด และขอบที่เป็นหุบเขา 100 ขอบ หุบเขาเหล่านี้เป็นเส้นทางปิดที่มีความยาว 10 ขอบ และสอดคล้องกับรูปสิบเหลี่ยมที่มี 10 จุดยอดที่กล่าวถึงข้างต้น (รูปสิบเหลี่ยมวงกลมใหญ่) รูปสิบเหลี่ยมเหล่านี้จะเรียงตัวเป็นเกลียวรอบรูปสิบเหลี่ยมแกนกลาง แต่ในทางคณิตศาสตร์แล้ว รูปสิบเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมดมีความเท่าเทียมกัน (เพราะทั้งหมดอยู่ในระนาบกลาง)

สร้างทอรัสที่สองที่มีขนาดเท่ากันจำนวน 250 เซลล์ ซึ่งเชื่อมต่อกับทอรัสแรก รวมแล้วมี 500 เซลล์ ทอรัสทั้งสองนี้จะประกบกันโดยให้จุดยอดของหุบสัมผัสกับจุดยอดที่ยกขึ้น ทำให้เกิดช่องว่างรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 100 ช่อง ซึ่งจะถูกเติมเต็มด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เหลืออีก 100 รูปที่ประกบกันที่ขอบหุบ รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 100 รูปหลังนี้อยู่บนขอบเขตที่แน่นอนของทรงกระบอกคู่และก่อตัวเป็นทอรัสคลิฟฟอร์ดสามารถ "คลี่ออก" เป็นแถวสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 10×10 ได้ นอกจากนี้ โครงสร้างนี้ยังก่อตัวเป็นชั้นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าหนึ่งชั้นในโครงสร้างรังผึ้งรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า-แปดเหลี่ยมมีร่องและยอด "รังไข่" จำนวน 50 จุดพอดีทั้งสองด้าน ซึ่งประกบกับทอรัส 250 เซลล์ ในกรณีนี้ ช่องว่างแต่ละช่องแทนที่จะเป็นทรงแปดเหลี่ยมเหมือนในโครงสร้างรังผึ้ง จะพอดีกับทรงพีระมิดคู่สามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองอัน

การแยกส่วนของเซลล์ 600 เซลล์นี้มีสมมาตร [10,2 ⁺ ,10] ลำดับ 400 ซึ่งเป็นสมมาตรเดียวกับแกรนด์แอนติปริซึม [ ^{44 ] แก} รนด์แอนติปริซึมก็คือเซลล์ 600 เซลล์ที่เอาทอรัส 150 เซลล์สองอันข้างบนออกไป เหลือเพียงชั้นกลางชั้นเดียวของเตตระเฮดรา 300 อัน ซึ่งมีมิติคล้ายคลึงกับเข็มขัด 10 หน้าของไอโคซาเฮดรอนที่เอาหน้าบน 5 หน้าและหน้าล่าง 5 หน้าออกไป (แอนติปริซึมรูปห้าเหลี่ยม )

ทอรัสขนาด 150 เซลล์ทั้งสองอันประกอบด้วยรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ด 6 รูป (ห้ารูปล้อมรอบหนึ่งรูป) และทอรัสทั้งสองขนานคลิฟฟอร์ดซึ่งกันและกัน ดังนั้นเมื่อรวมกันแล้วจึงประกอบเป็นเส้นใยสมบูรณ์ของรูปสิบเหลี่ยม 12 รูปที่ครอบคลุมจุดยอดทั้ง 120 จุด แม้ว่าจะเติมเซลล์เพียงครึ่งหนึ่งของขนาด 600 เซลล์ก็ตาม

เซลล์ 600 เซลล์ยังสามารถแบ่งออกเป็นวงแหวนที่พันกัน 20 วงที่ไม่ทับซ้อนกันของเซลล์ วงละ 30 เซลล์^{[ 28 ]}แต่ละวงยาว 10 ขอบ ก่อให้เกิดเส้นใย Hopf ที่แยกจากกัน ซึ่งเติมเต็มเซลล์ 600 เซลล์ทั้งหมด วงแหวนแต่ละวงของเตตระเฮดราที่เชื่อมต่อกันที่หน้า 30 อัน เป็นเกลียวBoerdijk–Coxeter ทรงกระบอกที่โค้งงอเป็นวงแหวนในมิติที่สี่

วงแหวนเกลียว Boerdijk–Coxeter รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 30 วงเดี่ยวภายในเซลล์ 600 เซลล์ มองเห็นได้จากการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก	สามารถมองเห็นวงแหวนรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 30 รูปเรียงตัวอยู่ตามขอบของภาพฉายตั้งฉาก 30 ด้านของเซลล์ 600 เซลล์นี้ได้	วงแหวน 30 เซลล์เป็นรูปหลายเหลี่ยม {30/11} ของขอบ 30 เส้นที่พันกันเป็นเกลียวที่บิดรอบแกน 11 ครั้ง การฉายภาพตามแกนของทรงกระบอก 30 เซลล์นี้แสดงให้เห็นจุดยอด 30 จุดที่ห่างกัน 12° รอบหน้าตัดวงกลมของทรงกระบอก โดยมีขอบเชื่อมต่อจุดยอดทุกๆ 11 จุดบนวงกลม
วงแหวน เกลียว Boerdijk–Coxeterที่มี 30 จุดยอดและ 30 รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าถูกตัดและวางราบในพื้นที่สามมิติ รูปสิบเหลี่ยม ขนาดใหญ่ขนานกัน สีฟ้า ของ Clifford สามรูปล้อมรอบวงแหวน รูปสิบเหลี่ยมเหล่านี้เชื่อมต่อกันด้วยเกลียวเฉียง 30 กรัมที่ประกอบด้วยขอบสีม่วงแดง 30 เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดทั้ง 30 จุด: รูปหลายเหลี่ยม Petrieของเซลล์ 600 ขอบ สีส้ม 15 เส้นและ ขอบ สีเหลือง 15 เส้นก่อตัวเป็นเกลียว 15 กรัมแยกกัน ซึ่งเป็นเส้นทางขอบของเส้นไอโซคลายน์

วงแหวน 30 เซลล์ คือพื้นที่ 3 มิติที่ครอบครองโดยจุดยอด 30 จุดของรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ดสีฟ้า 3 รูปที่อยู่ติดกัน 36° = ⁠𝜋/5=ระยะห่างระหว่างขอบ 600 เซลล์แต่ละคู่ที่จุดยอดทั้งหมดเท่ากับความยาวขอบของเซลล์ ขอบสีม่วงแดง 30 เส้นที่เชื่อมจุดยอดเหล่านี้จะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมเกลียว (helical triacontagram)ซึ่งเป็นเกลียว 30-gram เฉียงที่ประกอบด้วยหน้าสามเหลี่ยม 30 หน้าที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบ นั่นคือรูป หลายเหลี่ยมเพทรี ( Petrie polygon)ของเซลล์ 600 เซลล์ ส่วนคู่ของวงแหวน 30 เซลล์ (รูป 30 เหลี่ยมเฉียงที่สร้างขึ้นโดยการเชื่อมจุดศูนย์กลางของเซลล์) คือรูปหลายเหลี่ยมเพทรีของเซลล์ 120 เซลล์ ซึ่ง เป็นรูปหลายเหลี่ยมคู่ของเซลล์ 600 เซลล์แกนกลางของวงแหวน 30 เซลล์เป็นเส้นโค้งจีโอเดสิก 30 เหลี่ยมขนาดใหญ่ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของ 30 หน้า แต่ไม่ตัดกับจุดยอดใดๆ

ขอบสีส้ม 15 เส้นและขอบสีเหลือง 15 เส้นประกอบกันเป็นเกลียว 15 กรัมแยกกัน ขอบสีส้มหรือสีเหลืองแต่ละเส้นจะตัดผ่านระหว่างรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่สีฟ้าสองรูป ขอบสีส้มหรือสีเหลืองที่อยู่ติดกันของเกลียว 15 กรัมเหล่านี้ไม่ได้อยู่บนวงกลมขนาดใหญ่เดียวกัน แต่จะอยู่บนระนาบกลางที่แตกต่างกันซึ่งเอียงทำมุม 36° = ⁠𝝅/5ต่อกันและกัน เกลียว 15 กรัมแต่ละอันมีความโดดเด่นในฐานะเส้นทางขอบของเส้นไอโซคลายน์ซึ่งเป็น เส้นทาง จีโอเด สิก ของการหมุน แบบไอโซคลายน์ เส้นไอ โซคลายน์เป็นเส้นโค้งวงกลมที่ตัดกับ จุดยอด ที่สองของ 15 กรัม โดยไม่ตัดกับจุดยอดตรงกลาง เส้นไอโซคลายน์เส้นเดียววิ่งวนรอบ 15 กรัมสีส้ม (หรือสีเหลือง) แต่ละอันสองครั้ง โดยผ่านจุดยอดเว้นจุดหนึ่ง ตัดกับจุดยอดครึ่งหนึ่งในวงแรกและอีกครึ่งหนึ่งในวงที่สอง วงสองวงที่เชื่อมต่อกันก่อให้เกิดวงโมเบียส เดียว ซึ่งเป็นเพนทาเดคาแกรม แบบเฉียง {15/2} เพนทาเดคาแกรมไม่ได้แสดงในภาพประกอบเหล่านี้ (แต่ดูด้านล่าง ) เพราะขอบของมันเป็นคอร์ดที่มองไม่เห็นระหว่างจุดยอดซึ่งอยู่ห่างกันสองขอบสีส้ม (หรือสองขอบสีเหลือง) และไม่มีคอร์ดใดแสดงในภาพประกอบเหล่านี้ แม้ว่าจุดยอดทั้ง 30 จุดของวงแหวน 30 เซลล์จะไม่วางอยู่บนระนาบกลางรูป 30 เหลี่ยมขนาดใหญ่ระนาบเดียว แต่เส้นไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉก ที่มองไม่เห็นเหล่านี้ เป็นวงกลมจีโอเดสิกที่แท้จริงชนิดพิเศษ ซึ่งทอดผ่านมิติทั้งสี่แทนที่จะวางอยู่บนระนาบ 2 มิติเหมือนวงกลมจีโอเดสิกขนาดใหญ่ทั่วไป

เกลียว 30 เซลล์เหล่านี้ 5 อันซ้อนกันและหมุนวนรอบเส้นทางรูปสิบเหลี่ยม 10 จุดยอดแต่ละเส้น ก่อให้เกิดทอรัส 150 เซลล์ตามที่อธิบายไว้ในการแบ่งส่วนแอนติปริซึมขนาดใหญ่ข้างต้น^{[ 44 ]} ดังนั้น รูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ ทุกรูปจึงเป็นรูปสิบเหลี่ยมแกนกลางของทอรัส 150 เซลล์ ทอรัส 600 เซลล์อาจถูกแบ่งออกเป็นวงแหวน 30 เซลล์ 20 วง หรือเป็นทอรัส 150 เซลล์ 2 อันและวงแหวน 30 เซลล์ 10 วง แต่ไม่สามารถแบ่งออกเป็นทอรัส 150 เซลล์ 4 อันในลักษณะนี้ได้ ทอรัส 600 เซลล์สามารถถูกแบ่งออกเป็นทอรัส 150 เซลล์ 4 อันในลักษณะที่แตกต่างกันได้^{[ 34 ]}

เซลล์ 600 สามารถสร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมสีทอง 720 รูป โดยแต่ละรูปมีความยาวด้านเท่ากับความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมสีทอง ซึ่งมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติ โดยแต่ละรูปมีความยาวด้านเท่ากับรัศมีสองค่าและความยาวด้านเท่ากับความยาวด้านหนึ่ง รูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะก่อตัวเป็นพีระมิดสามเหลี่ยม 1200 รูป โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง: รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (ซึ่งเป็นหน้าของเซลล์ 600) และพีระมิดเหล่านี้จะก่อตัวเป็นพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า 600 รูป โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง: เซลล์ 5 มิติที่ไม่ปกติ โดยมีฐานเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าปกติ (ซึ่งเป็นเซลล์ของเซลล์ 600) ${\displaystyle 1,1,\phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$

ลักษณะของเซลล์ 600 เซลล์[ 45 ]
	ขอบ[ 46 ]	อาร์ค		ไดเฮดรัล[ 47 ]
𝒍	${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$	36°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$	164°29′	${\displaystyle \pi -2\psi }$
0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}\approx 0.505}$	22°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}-\eta }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝝉 [ b ]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}\approx 0.437}$	18°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	36°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}\approx 0.252}$	17°44′40″	${\displaystyle \eta -{\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.535}$	22°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}-\eta }$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.309}$	18°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}\approx 0.178}$	17°44′40″	${\displaystyle \eta -{\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+\phi }}\approx 0.951}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}\approx 0.934}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
${\displaystyle \eta }$		37°44′40″	${\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}}$

โพลีโทป 4 มิติปกติทุกอันจะมีออร์โธสเคป 4 มิติที่เป็นลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นเซลล์ 5 มิติที่ไม่ปกติ

แผนภาพ Coxeter-Dynkinแสดงลักษณะเฉพาะของ 5 เซลล์ในโครงสร้าง 600 เซลล์ปกติซึ่งสามารถอ่านได้ว่าเป็นรายการของมุมไดเฮดรัลระหว่างด้านสะท้อนของมัน มันคือพีระมิดทรงสี่หน้า ไม่สม่ำเสมอ ซึ่งมีพื้นฐานมาจากทรงสี่หน้าลักษณะเฉพาะของทรงสี่หน้าปกติเซลล์ 600 ปกติถูกแบ่งย่อยโดยระนาบสมมาตรของมันออกเป็น 14400 ตัวอย่างของเซลล์ 5 ลักษณะเฉพาะ ซึ่งทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลาง

เซลล์ลักษณะเฉพาะ 5 เซลล์ (4-orthoscheme) มีขอบมากกว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะฐาน (3-orthoscheme) สี่ขอบ โดยเชื่อมจุดยอดทั้งสี่ของฐานเข้ากับจุดยอด (จุดยอดที่ห้าของ 4-orthoscheme ซึ่งอยู่ตรงกลางของเซลล์ปกติ 600 เซลล์) ถ้าเซลล์ปกติ 600 เซลล์มีรัศมีหนึ่งหน่วยและความยาวขอบเซลล์ลักษณะเฉพาะ 5 เซลล์จะมีขอบสิบขอบที่มีความยาว, , รอบหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากภายนอก (ขอบตรงข้ามมุมลักษณะเฉพาะ 𝟀, 𝝉, 𝟁) ^{[ b ]}บวก, , (ขอบอีกสามขอบของหน้า 3-orthoscheme ภายนอกของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ) บวก, , , (ขอบซึ่งเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของเซลล์ 600 เซลล์) เส้นทาง 4 ขอบตามขอบตั้งฉากของออร์โธสคีมคือ, , , , เริ่มจากจุดยอด 600 เซลล์ไปยังจุดศูนย์กลางขอบ 600 เซลล์ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางหน้า 600 เซลล์ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 600 เซลล์ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลาง 600 เซลล์ ${\displaystyle \ell =\phi ^{-1}\approx 0.618}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\phi ^{-1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\phi ^{-1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\phi ^{-1}}$${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\phi ^{-1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\phi ^{-1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}\phi ^{-1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+\phi }}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$

เซลล์ 600 สามารถสร้างขึ้นได้จากการสะท้อนของเซลล์ 5 ลักษณะเฉพาะในระนาบของตัวเอง (ผนังกระจกทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า) การสะท้อนและการหมุนมีความสัมพันธ์กัน: การสะท้อนใน กระจก ที่ตัดกันจำนวนคู่ถือเป็นการหมุน^{[ 48 ] [ 49 ]} ตัวอย่างเช่น การหมุนไอโซคลินิกเต็มรูปแบบของเซลล์ 600 ในระนาบไม่แปรเปลี่ยนรูปสิบเหลี่ยม จะทำให้ จุดยอด ทั้ง 120 จุดผ่านจุดยอด 15 จุดแล้วกลับมายังจุดยอดเดิม บนเส้นไอโซไคลน์จีโอเดสิกรูปดาวห้าแฉกเฉียง2 _{เส้นรอบวง}5𝝅ที่พันรอบทรงกลม 3 มิติ ในขณะที่รูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่แต่ละรูปหมุน (เหมือนล้อ) และเอียงไปด้านข้าง (เหมือนการโยนเหรียญ) กับระนาบตั้งฉากอย่างสมบูรณ์ กลุ่มจุดยอดตรงข้ามกัน 4 คู่ที่ตั้งฉากกัน (จุดยอด 8 จุดของเซลล์ 1 ใน 75 เซลล์ 16 จุด) ที่โคจรเป็นวงโคจรดังกล่าว จะเยี่ยมชมจุดยอดที่แตกต่างกัน 15 * 8 = 120 จุด และสร้างเซลล์ 600 จุด ขึ้นมาตามลำดับในการหมุนแบบไอโซคลินิกหนึ่งรอบเต็ม เช่นเดียวกับเซลล์ 5 จุดที่มีลักษณะเฉพาะเพียงเซลล์เดียวที่สะท้อนตัวเองในผนังกระจกของตัวเอง จะสร้างจุดยอด 120 จุดพร้อมกันโดยการสะท้อน

วิธีการสร้างอีกวิธีหนึ่งใช้ควอเทอร์เนียนและสมมาตรไอโคซาเฮดรัลของ วง โคจรกลุ่ม Weylลำดับที่ 120 ^{[ 50 ]}ต่อไปนี้คือวงโคจรของน้ำหนักของ D4 ภายใต้กลุ่ม Weyl W(D4): ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000) : V1

O(0010) : V2

O(0001) : V3

เมื่อพิจารณาควอเทอร์เนียนซึ่งเป็นคอนจูเกตของและและแล้วกลุ่มค็อกเซเตอร์จะเป็นกลุ่มสมมาตรของเซลล์ 600 และเซลล์ 120ที่มีอันดับ 14400 ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\bar {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

เมื่อกำหนดให้เป็นเช่นนั้นและเป็นการแลกเปลี่ยนภายในเราสามารถสร้างสิ่งต่อไปนี้ได้: ${\displaystyle p\in T}$${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$${\displaystyle p^{\dagger }}$${\displaystyle -1/\phi \leftrightarrow \phi }$${\displaystyle p}$

• เซลล์24 เซลล์${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• เซลล์ 600 เซลล์${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• เซลล์120 เซลล์${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

โพลีโทปนูนปกติ 4 มิติเป็นการแสดงออกถึงสมมาตร พื้นฐาน ซึ่งเรียกว่าSO(4)ซึ่ง เป็น กลุ่มของการหมุน^{[ 51 ]}รอบจุดคงที่ในปริภูมิยุคลิด 4 มิติ

เซลล์ 600 เกิดจากการหมุนแบบไอโซคลินิกของเซลล์ 24 เป็นมุม 36° = ⁠𝜋/5(ส่วนโค้งที่มีความยาวด้าน 600 เซลล์)

มีเซลล์ 24 เซลล์ที่จารึกไว้ 25 เซลล์ในเซลล์ 600 เซลล์^{[ 11 ]}

เซลล์ 16 จุดยอด 8 จุด มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 4 เส้น เอียงทำมุม 90° = ⁠𝜋/2โดยจะ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน มักถือเป็นแกนตั้งฉากทั้ง 4 หรือฐานของระบบพิกัด

เซลล์ 24 จุดยอด มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เส้น เอียงทำมุม 60° = ⁠𝜋/3ต่อกัน: 3 ชุดที่ไม่ทับซ้อนกันของแกนตั้งฉาก 4 แกน แต่ละชุดประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของเซลล์ 16 เซลล์ที่อยู่ภายใน 3 เซลล์ ซึ่งหมุนในแนวระนาบด้วยมุม⁠𝜋/3ใน แง่ที่เคารพซึ่งกันและกัน

เซลล์ 600 ที่มีจุดยอด 120 จุด มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 60 เส้น: ไม่ใช่แค่ชุดเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 เส้นที่ไม่ทับซ้อนกัน 5 ชุด แต่ละชุดประกอบด้วยเซลล์ 24 เส้นที่อยู่ภายใน 5 เซลล์ (อย่างที่เราอาจคาดเดาได้จากการเปรียบเทียบ) แต่เป็นชุดเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 เส้นที่แตกต่างกันแต่ทับซ้อนกัน 25 ชุด แต่ละชุดประกอบด้วยเซลล์ 24 เส้นที่อยู่ภายใน 25 เซลล์[ 52 ] มี^{เซลล์ 24 เส้น}ที่ไม่ทับซ้อนกัน 5 เซลล์ในเซลล์ 600 แต่ไม่ใช่แค่ 5 เซลล์: มี 10 วิธีที่แตกต่างกันในการแบ่งเซลล์ 600 ออกเป็นเซลล์ 24 เส้นที่ไม่ทับซ้อนกัน 5 เซลล์^{[ 53 ]}

เช่นเดียวกับเซลล์ 16 เซลล์และ 8 เซลล์ที่อยู่ภายในเซลล์ 24 เซลล์ เซลล์ 24 เซลล์จำนวน 25 เซลล์ที่อยู่ภายในเซลล์ 600 เซลล์นั้นเป็นโพลีโทปไอโซคลินิก ซึ่งกันและกัน ระยะการหมุนระหว่างเซลล์ 24 เซลล์ที่อยู่ภายในนั้นมีค่าเท่ากับ⁠ เสมอ𝜋/5ในแต่ละระนาบการหมุนที่ไม่ เปลี่ยนแปลง

เซลล์ 24 เซลล์จำนวน 5 เซลล์แยกจากกันเนื่องจากขนานกับคลิฟฟอร์ด: จุดยอดที่สอดคล้องกันคือ⁠𝜋/5แยกออกจาก กันบนวงกลมใหญ่สิบเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ดสองวงที่ไม่ตัดกัน (รวมถึง⁠𝜋/5(แยกจากกันบนวงกลมใหญ่รูปสิบเหลี่ยมเดียวกัน) การหมุนแบบไอโซคลินิกของระนาบรูปสิบเหลี่ยมโดย𝜋/5โดยการเปลี่ยนเซลล์ 24 เซลล์แต่ละเซลล์ให้เป็นเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน (เช่นเดียวกับการหมุนแบบไอโซคลินิกของระนาบหกเหลี่ยมโดย⁠𝜋/3(การหมุนไอโซคลินิกแต่ละครั้งจะเกิดขึ้นในสองรูปแบบไครัล โดยจะมีเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน 4 เซลล์ทางด้านซ้ายของแต่ละเซลล์ 24 เซลล์ และอีก 4 เซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันทางด้านขวาการหมุนไปทางซ้ายและขวาจะไปถึงเซลล์ 24 เซลล์ที่แตกต่างกัน ดังนั้นแต่ละเซลล์ 24 เซลล์จึงเป็นของกลุ่มเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน 5 กลุ่มที่แตกต่างกันสองกลุ่ม

รูปทรงหลายเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ดทั้งหมดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมไอโซคลินิก แต่รูปทรงหลายเหลี่ยมไอโซคลินิกทั้งหมดไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด (วัตถุที่ไม่ทับซ้อนกันโดยสมบูรณ์) รูปทรงหลายเหลี่ยม 24 เซลล์แต่ละรูปเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมไอโซคลินิกและขนานคลิฟฟอร์ดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นอีก 8 รูป และเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมไอโซคลินิกแต่ไม่ขนานคลิฟฟอร์ดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นอีก 16 รูป โดยแต่ละรูปใน 16 รูปนั้นจะมีจุดยอดร่วมกัน 6 จุด คือระนาบกลางรูปหกเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยม 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันจะมีความสัมพันธ์กันโดยการหมุนอย่างง่ายโดย⁠𝜋/5ในระนาบไม่เปลี่ยนแปลงที่ตัดกับจุดยอดสองจุดของเซลล์ 600 เท่านั้น การหมุนที่ระนาบคง ที่ซึ่งตั้งฉากอย่างสมบูรณ์คือระนาบกลางหกเหลี่ยมร่วมกัน นอกจาก นี้ยังมีความสัมพันธ์กันโดยการหมุนแบบไอโซคลินิกซึ่งระนาบทั้งสองหมุนด้วย𝜋/5⁠ .

มีสองประเภท𝜋/5การหมุนแบบไอ โซคลินิกซึ่งนำเซลล์ 24 เซลล์แต่ละเซลล์ไปยังเซลล์ 24 เซลล์อื่นเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน มีความสัมพันธ์กันโดย ...𝜋/5การหมุน แบบ ไอโซคลินิกของ ไฟเบอร์เรชันทั้งหมด ที่ประกอบด้วยระนาบ เดคาโกนอลขนาน คลิฟฟอร์ด 12 ระนาบ (มีไฟเบอร์ดังกล่าว 6 ชุด และการหมุนแบบไอโซคลินิกขวาหรือซ้ายเป็นไปได้ในแต่ละชุด ดังนั้นจึงมีการหมุนที่แตกต่างกัน 12 แบบ) เซลล์ 24 เซลล์ ที่ไม่แยกออกจากกันมีความสัมพันธ์กันโดย𝜋/5การหมุนแบบไอ โซคลินิกของไฟเบอร์ทั้งหมด ที่ประกอบด้วย ระนาบคงที่หกเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด 20 ระนาบ (มีไฟเบอร์ดังกล่าว 10 ชุด ดังนั้นจึงมีการหมุนที่แตกต่างกัน 20 แบบ)

ในทางกลับกัน ชุดของเซลล์ 24 จำนวน 10 ชุด ชุดละ 5 ชุด ล้วนขนานกับคลิฟฟอร์ด เนื่องจากรูปหกเหลี่ยมใหญ่ที่สอดคล้องกันนั้นขนานกับคลิฟฟอร์ด (เซลล์ 24 ไม่มีรูปสิบเหลี่ยมใหญ่) รูปหกเหลี่ยมใหญ่ 16 รูปในแต่ละเซลล์ 24 สามารถแบ่งออกเป็น 4 ชุด ชุดละ 4 เส้น ที่ขนานกับคลิฟฟอร์ดและไม่ตัดกัน โดยแต่ละชุดครอบคลุมจุดยอดทั้ง 24 จุดของเซลล์ 24 นั้น รูปหกเหลี่ยมใหญ่ 200 รูปในเซลล์ 600 สามารถแบ่งออกเป็น 10 ชุด ชุดละ 20 เส้น ที่ขนานกับคลิฟฟอร์ดและไม่ตัดกันโดยแต่ละชุดครอบคลุมจุดยอดทั้ง 120 จุด และประกอบเป็นไฟเบอร์รูปหกเหลี่ยม แบบไม่ต่อเนื่อง แต่ละชุดของกลุ่มรูปหกเหลี่ยม 20 รูปที่ไม่ซ้ำกัน 10 ชุด สามารถแบ่งออกเป็น 5 ชุด ชุดละ 4 รูปหกเหลี่ยมที่ไม่ซ้ำกัน โดยแต่ละชุด 4 รูปครอบคลุมเซลล์ 24 ที่ไม่ซ้ำกัน ในทำนองเดียวกัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่สอดคล้องกันซึ่งประกอบด้วยเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันนั้น ขนานกับเส้นคลิฟฟอร์ด

โพลีโทปนูนปกติ 4 มิติแต่ละแบบมีลักษณะเฉพาะของการหมุนไอโซคลินิก ขวา (และซ้าย) ซึ่งสอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของการไฟเบอร์ฮอปฟ์ แบบไม่ต่อเนื่อง ของวงกลมใหญ่ ตัวอย่างเช่น เซลล์ 600 สามารถไฟเบอร์ได้หกวิธีที่แตกต่างกันเป็นชุดของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ ขนานคลิฟฟ อร์ด ดังนั้นเซลล์ 600 จึงมีการหมุนไอโซคลินิกขวา (และซ้าย) ที่แตกต่างกันหกแบบ โดยที่ระนาบรูปสิบเหลี่ยมใหญ่เหล่านั้นเป็นระนาบการหมุนที่ไม่เปลี่ยนแปลงเรากล่าวว่าการหมุนไอโซคลินิกเหล่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของเซลล์ 600 เพราะขอบของเซลล์ 600 อยู่ในระนาบที่ไม่เปลี่ยนแปลง การหมุนเหล่านี้ปรากฏเฉพาะในเซลล์ 600 เท่านั้น แม้ว่าจะพบได้ในโพลีโทปปกติขนาดใหญ่กว่า (เซลล์ 120) ซึ่งมีเซลล์ 600 ที่บรรจุอยู่ภายในด้วย

เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยม จีโอเดสิ ก (รูปสิบเหลี่ยมหรือรูปหกเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ในระนาบกลางของเซลล์ 600 เซลล์ที่ก่อตัวเป็นมัดไฟเบอร์ของวงกลมใหญ่ ขนานคลิฟฟอร์ด รูปหลายเหลี่ยมเฉียง จี โอเดสิ ก ที่ สอดคล้องกัน(ซึ่งติดตามเส้นทางบนทอรัสคลิ ฟฟอร์ ดของจุดยอดภายใต้การหมุนไอโซคลินิก) ^{[ 54 ]}ก่อตัวเป็นมัดไฟเบอร์ของไอโซคลายน์ขนาน คลิฟ ฟอร์ด : วงกลมเกลียวที่พันผ่านมิติทั้งสี่ เนื่องจากการหมุนไอโซคลินิกเป็นแบบไครัลเกิดขึ้นในรูปแบบมือซ้ายและมือขวา มัดไฟเบอร์รูปหลายเหลี่ยมแต่ละมัดจึงมีมัดไฟเบอร์รูปหลายเหลี่ยมซ้ายและขวาที่สอดคล้องกัน^{[ 55 ]} มัดไฟเบอร์ทั้งหมดเป็นแง่มุมของการจัดเรียงไฟเบอร์ฮอปฟ์ แบบไม่ต่อเนื่องเดียวกัน เนื่องจากไฟเบอร์เป็นการแสดงออกต่างๆ ของการหมุนไอโซคลินิกคู่ซ้าย-ขวาที่แตกต่างกัน

วงแหวนเซลล์เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของการเกิดไฟเบรชันแบบฮอปฟ์ ไฟเบรชันแต่ละอันจะมีชุดของวงแหวนเซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งเรียงตัวกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติ เส้นไอโซคลายน์ในแต่ละมัดไครัลจะหมุนวนรอบกันและกัน: พวกมันคือเส้นจีโอเดสิกตามแกนของวงแหวนของเซลล์ที่ยึดติดกันที่หน้า วงแหวนเซลล์ขนานแบบคลิฟฟอร์ดของการเกิดไฟเบรชันจะซ้อนกัน ผ่านกันโดยไม่ตัดกันในเซลล์ใดๆ และเติมเต็มเซลล์ 600 เซลล์ได้อย่างพอดีด้วยชุดเซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน

การหมุนแบบไอโซคลินิกเป็นการหมุนจุดยอดของวัตถุแข็งเกร็งไปตามเส้นทางขนาน โดยแต่ละจุดยอดจะหมุนวนอยู่ภายในวงกลมใหญ่สองวงที่ตั้งฉากกันและเคลื่อนที่ไปมา คล้ายกับ การทอผ้าด้วย เครื่องทอผ้าจากเส้นใยขนานสองชุดที่ตั้งฉากกัน กลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ดและกลุ่มของเส้นไอโซคลินิกรูปหลายเหลี่ยมเฉียงขนานคลิฟฟอร์ดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นเส้นด้ายยืนและเส้นด้ายพุ่งของการหมุนแบบไอโซคลินิกซ้ายหรือขวาที่แตกต่างกัน ซึ่งจะนำรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ดมาวางต่อกัน พลิกพวกมันเหมือนเหรียญและหมุนพวกมันผ่านระนาบกลางขนานคลิฟฟอร์ดชุดหนึ่ง ในขณะเดียวกัน เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปหมุนแยกกันเหมือนล้อ จุดยอดจึงถูกเคลื่อนที่ไปตามเส้นไอโซคลินิกขนานคลิฟฟอร์ดแบบเกลียว (ซึ่งคอร์ดของมันก่อให้เกิดรูปหลายเหลี่ยมเฉียง) ผ่านจุดยอดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ดที่ต่อเนื่องกัน

ในเซลล์ 600 แต่ละตระกูลของรูปหลายเหลี่ยมเฉียงไอโซคลินิก (เส้นทางจุดยอดที่เคลื่อนที่ในการหมุนรูปหลายเหลี่ยมใหญ่รูปสิบเหลี่ยม {10}, รูปหกเหลี่ยม {6} หรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส {4}) สามารถแบ่งออกเป็นมัดของเส้นไอโซไคลน์รูปหลายเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ดที่ไม่ตัดกัน^{[ 56 ]} มัดเส้นไอโซไคลน์เกิดขึ้นเป็นคู่ของ ไครัลลิตี้ ซ้ายและขวาเส้นไอโซไคลน์ในการหมุนแต่ละครั้งทำหน้าที่เป็น วัตถุ ไครัลเช่นเดียวกับการหมุนไอโซคลินิกที่แตกต่างกันแต่ละครั้ง ไฟเบอร์เรชันแต่ละครั้งประกอบด้วยเส้นไอโซไคลน์ซ้ายและขวาจำนวนเท่ากัน ในสองมัดที่ไม่ทับซ้อนกัน ซึ่งติดตามเส้นทางของจุดยอดของเซลล์ 600 ในระหว่างการหมุนไอโซคลินิกซ้ายหรือขวาของไฟเบอร์เรชันตามลำดับ มัดไฟเบอร์ซ้ายหรือขวาของเส้นไอโซไคลน์แต่ละมัดนั้นประกอบเป็นไฟเบอร์เรชันฮอปฟ์แบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเติมเต็มเซลล์ 600 ทั้งหมด โดยเยี่ยมชมจุดยอดทั้ง 120 จุดเพียงครั้งเดียว มันเป็นกลุ่มเส้นใยที่แตกต่างจากกลุ่มเส้นใยของวงกลมใหญ่รูปหลายเหลี่ยมขนานของคลิฟฟอร์ด แต่กลุ่มเส้นใยทั้งสองอธิบายถึงการจัดเรียงเส้นใยแบบไม่ต่อเนื่องเดียวกันเนื่องจากพวกมันนับจุดยอดทั้ง 120 จุดร่วมกันในการหมุนไอโซคลินิกขวา (หรือซ้าย) ที่แตกต่างกัน โดยผ่านจุดตัดของพวกมันในฐานะผ้าของเส้นใยขนานที่สานกันแบบไขว้

การหมุนไอโซคลินิกแต่ละครั้งเกี่ยวข้องกับคู่ของระนาบกลางการหมุนที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งตั้งฉากกันอย่างสมบูรณ์ โดยทั้งสองระนาบจะหมุนผ่านมุมเดียวกัน มีสองวิธีที่สามารถทำได้ คือ โดยทั้งสองระนาบหมุนไปในทิศทาง "เดียวกัน" หรือโดยการหมุนไปในทิศทาง "ตรงข้าม" (ตามกฎมือขวาซึ่งเราใช้โดยทั่วไปในการบอกว่าทิศใดเป็น "ขึ้น" บนแกนพิกัดทั้ง 4 แกน) โพลีแกรมขวาและการหมุนไอโซคลินิกขวาโดยทั่วไปจะสอดคล้องกับคู่ที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งหมุนไปในทิศทางเดียวกัน โพลีแกรมซ้ายและการหมุนไอโซคลินิกซ้ายจะสอดคล้องกับคู่ที่หมุนไปในทิศทางตรงข้าม^{[ 57 ]} ไอโซคลายน์ซ้ายและขวาเป็นเส้นทางที่แตกต่างกันซึ่งไปยังสถานที่ที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ การหมุนไอโซคลินิกที่แตกต่างกันแต่ละครั้ง (ซ้ายหรือขวา) สามารถดำเนินการได้ในทิศทางบวกหรือลบตามเส้นใยขนานวงกลม

มัดไฟเบอร์ของเส้นไอโซคลายน์ขนานคลิฟฟอร์ดคือเซตของวงกลมจุดยอดแบบเกลียวที่อธิบายโดยการหมุนไอโซคลายน์ซ้ายหรือขวาที่แตกต่างกัน จุดยอดที่เคลื่อนที่แต่ละจุดจะเดินทางไปตามเส้นไอโซคลายน์ที่บรรจุอยู่ภายในวงแหวนเซลล์ (ที่เคลื่อนที่) ในขณะที่การหมุนไอโซคลายน์ซ้ายและขวาหมุนระนาบการหมุน คงที่ขนานคลิฟฟอร์ดชุดเดียวกันสองครั้ง พวกมันจะผ่านชุดของรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ที่แตกต่างกัน เนื่องจากการหมุนไอโซคลายน์ซ้ายและขวาจะกระทบจุดยอดสลับกันของรูปหลายเหลี่ยมวงกลมใหญ่ {2p} (โดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ ≤ 5) การหมุนซ้ายและขวาใช้มัดไฟเบอร์รูปหลายเหลี่ยม {2p} ของฮอปฟ์ร่วมกัน ซึ่งเป็นทั้งมัดซ้ายและขวา แต่พวกมันมีมัดของรูปหลายเหลี่ยม {p} ที่แตกต่างกัน^{[ 58 ]}เนื่องจากไฟเบอร์แบบไม่ต่อเนื่องเป็นรูปหลายเหลี่ยม {p} ซ้ายและขวาที่ตรงข้ามกันซึ่งจารึกอยู่ในรูปหลายเหลี่ยม {2p}

การหมุนแบบง่ายเป็นการหมุนโดยตรงและเฉพาะที่ โดยจะย้ายจุดยอดบางจุดไปยังจุดยอดที่อยู่ติดกันตามวงกลมใหญ่ และย้ายระนาบกลางบางระนาบไปยังระนาบกลางอื่น ๆ ภายในไฮเปอร์เพลนเดียวกัน (เซลล์ 600 มีไฮเปอร์เพลนกลาง ตั้งฉากกันสี่ ระนาบ ซึ่งแต่ละระนาบเป็นไอโคซิโดเดคาเฮดรอน) ในการหมุนแบบง่าย จะมีเพียงระนาบกลางคงที่ที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์เพียงคู่เดียวเท่านั้น การหมุนแบบนี้ไม่ได้ก่อให้เกิดไฟเบอร์เรชัน

การหมุนแบบไอโซคลินิกเป็นการหมุนในแนวทแยงและครอบคลุมทั้งทรงกลม โดยจะย้ายจุดยอดทั้งหมด ไปยังจุดยอด ที่ไม่ติดกันตามแนวเส้นไอโซคลินิกในแนวทแยง และ ย้ายรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบกลาง ทั้งหมดไปยังรูปหลายเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด (ชนิดเดียวกัน) การหมุนแบบไอโซคลินิกคู่ซ้ายขวาประกอบกันเป็นไฟเบอร์เรชันแบบไม่ต่อเนื่อง ระนาบกลางขนานคลิฟฟอร์ดทั้งหมดของไฟเบอร์เรชันเป็นระนาบการหมุนที่ไม่เปลี่ยนแปลง โดยมี มุมเท่ากัน สอง มุมคั่นอยู่ และอยู่ในไฮเปอร์เพลนที่แตกต่างกัน เส้นไอโซคลินิกในแนวทแยงเป็นเส้นทางที่สั้นกว่าระหว่างจุดยอดที่ไม่ติดกันเมื่อเทียบกับเส้นทางง่ายๆ หลายเส้นทางระหว่างจุดยอดเหล่านั้นตามขอบ: มันเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดบนทรงกลม 3 มิติ หรือก็คือเส้นทางจีโอ เด สิ ก

การจัดเรียงเส้นใยของเซลล์ 600 เซลล์ประกอบด้วยการจัดเรียงเส้นใย 6 แบบของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 72 รูป : กลุ่มเส้นใย 6 กลุ่ม แต่ละกลุ่มประกอบด้วยรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 12 รูป แต่ละกลุ่มกำหนด ขอบเขตของวงแหวน เซลล์ไครัล 20วง แต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยม 30 เซลล์ โดยมีรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 3 รูปล้อมรอบแต่ละวงแหวนเซลล์ และมีวงแหวนเซลล์ 5 วงซ้อนกันอยู่รอบรูปสิบเหลี่ยมแต่ละรูป รูปสิบเหลี่ยมขนานของคลิฟฟอร์ด 12 รูปในแต่ละกลุ่มเส้นใยแยกออกจากกันโดยสมบูรณ์ รูปสิบเหลี่ยมขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่รูปอื่น การจัดเรียงเส้นใยแต่ละแบบสอดคล้องกับการหมุนไอโซคลินิกซ้าย (และขวา) ที่แตกต่างกันของเซลล์ 600 เซลล์ในระนาบไม่แปรเปลี่ยนของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 12 ระนาบ บนไอโซคลายน์ 5π

มัดของเส้นใยรูปสิบเหลี่ยมขนานของคลิฟฟอร์ด 12 เส้นถูกแบ่งออกเป็นมัดของเส้นใยรูปห้าเหลี่ยมซ้าย 12 เส้นและมัดของเส้นใยรูปห้าเหลี่ยมขวา 12 เส้น โดยแต่ละคู่ของรูปห้าเหลี่ยมซ้าย-ขวาถูกจารึกไว้ในรูปสิบเหลี่ยม^{[ 59 ]} รูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ 12 รูปประกอบกันเป็นมัดเส้นใยที่ครอบคลุมจุดยอดทั้งหมด 120 จุดในไฟเบอร์เรชันฮอปฟ์ แบบไม่ต่อเนื่อง มีวงแหวน 30 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน 20 วงในไฟเบอร์เรชัน แต่มีเพียงวงแหวน 30 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกันโดยสมบูรณ์ 4 วง เซลล์ 600 เซลล์มีไฟเบอร์เรชันรูปสิบเหลี่ยมแบบ ไม่ต่อเนื่องดังกล่าว 6 แบบ และแต่ละแบบเป็นโดเมน (ภาชนะ) ของคู่การหมุนไอโซคลินิกซ้าย-ขวาที่ไม่ซ้ำกัน (มัดเส้นใยซ้ายและขวาของรูปห้าเหลี่ยมขนาดใหญ่ 12 รูป) แต่ละรูปสิบเหลี่ยมใหญ่เป็นของฟิเบรชันเพียงหนึ่งเดียว^{[ 58 ]}แต่ละวงแหวน 30 เซลล์เป็นของฟิเบรชัน 5 ใน 6 ฟิเบรชัน (และแยกขาดจากฟิเบรชันอื่น 1 ฟิเบรชันโดยสิ้นเชิง) เซลล์ 600 เซลล์ประกอบด้วยรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ 72 รูป แบ่งอยู่ในฟิเบรชัน 6 ฟิเบรชัน ซึ่งแต่ละฟิเบรชันเป็นชุดของวงแหวน 30 เซลล์ 20 วงที่แยกขาดจากกัน (วงแหวน 30 เซลล์ 4 วงที่แยกขาดจากกันโดยสิ้นเชิง) แต่เซลล์ 600 เซลล์มีวงแหวน 30 เซลล์ที่แตกต่างกันเพียง 20 วงเท่านั้น แต่ละวงแหวน 30 เซลล์ประกอบด้วยรูปสิบเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด 3 ใน 12 รูปในแต่ละฟิเบรชัน 5 ฟิเบรชัน และจุดยอด 30 ใน 120 จุด

ใน การหมุนไอโซคลินิก แบบสิบเหลี่ยม เหล่านี้ จุดยอดจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นไอโซคลายน์ซึ่งตามขอบของรูปหกเหลี่ยม^{[ 23 ]}โดยเคลื่อนที่ไปตามระยะทางพีทาโกเรียนของขอบรูปหกเหลี่ยมหนึ่งขอบในแต่ละหน่วยการหมุนคู่ 36°×36° ในการหมุนไอโซคลินิก ขอบรูปหกเหลี่ยมแต่ละขอบที่เคลื่อนที่ไปจะอยู่ในรูปหกเหลี่ยมใหญ่ที่แตกต่างกัน ดังนั้นเส้นไอโซคลายน์จึงอธิบายรูปหลายเหลี่ยมเฉียง ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยม ในการหมุนแบบไอโซคลินิก 60°×60° (เช่นเดียวกับการหมุนแบบหกเหลี่ยมที่เป็นลักษณะเฉพาะของเซลล์ 24 เซลล์และ การหมุนแบบ หกเหลี่ยมของเซลล์ 600 เซลล์ด้านล่าง ) รูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นรูปหกเหลี่ยม : การหมุนแบบไอโซคลินิกจะตามเส้นทางวงกลม 6 ขอบ เช่นเดียวกับการหมุนแบบหกเหลี่ยมธรรมดา แม้ว่าจะต้องหมุนสองรอบเพื่อนับจุดยอดทั้งหมด เนื่องจากไอโซคลายน์เป็นวงรอบสองชั้นที่ผ่านจุดยอดเว้นจุด และคอร์ดของมันคือคอร์ดของรูปหกเหลี่ยมแทนที่จะเป็น ขอบของรูปหกเหลี่ยม แต่ในการหมุน แบบสิบเหลี่ยมที่เป็นลักษณะเฉพาะของเซลล์ 600 เซลล์ 36°×36° รูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่ต่อเนื่องกันจะอยู่ใกล้กันมากขึ้นและมีจำนวนมากขึ้น และรูปหลายเหลี่ยมไอโซคลายน์ที่เกิดจากขอบ รูปหกเหลี่ยม 15 ขอบของพวกมัน คือรูปสิบห้าเหลี่ยม (รูป 15) ไม่เพียงแต่คาบเวลาจะไม่เหมือนกับรูปหกเหลี่ยมหรือการหมุนแบบสิบเหลี่ยมธรรมดาเท่านั้น แต่ยังไม่ใช่จำนวนเต็มเท่าของคาบเวลาของรูปหกเหลี่ยมหรือรูปสิบเหลี่ยม หรือการหมุนแบบธรรมดาของรูปใดรูปหนึ่งด้วย มีเพียงไตรอาคอนทาแกรมแบบผสม {30/4}=2{15/2} (30-gram) ซึ่งเป็น 15-gram สองอันที่หมุนขนานกัน (สีดำและสีขาว) เท่านั้นที่เป็นพหุคูณของทั้งหมด และจึงเป็นหน่วยการหมุนของการหมุนไอโซคลินิกแบบสิบเหลี่ยม ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

ในวงแหวน 30 เซลล์ จุดยอดที่ไม่ติดกันซึ่งเชื่อมโยงกันด้วยการหมุนแบบไอโซคลินิกจะอยู่ห่างกันสองความยาวขอบ โดยมีจุดยอดอีกสามจุดของวงแหวนอยู่ระหว่างจุดยอดเหล่านั้น จุดยอดที่ไม่ติดกันสองจุดเชื่อมโยงกันด้วยคอร์ดของไอโซคลายน์ซึ่งเป็นขอบหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ (ขอบ 24 เซลล์) คอร์ดของวงแหวน 30 เซลล์ (โดยไม่รวมขอบ 600 เซลล์) ก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมเฉียง{ _{30/4}=2{15/2} ซึ่งประกอบด้วยวงวนคู่โมเบียส {15/2} ที่ไม่ทับซ้อนกัน 2 วง และไอโซ} คลายน์รูปดาวห้าแฉกคู่ซ้ายขวา มัด เส้นใยรูปดาวห้าแฉก ₁₂เส้นทางซ้าย (หรือขวา) แต่ละมัดจะถูกตัดผ่านโดยมัดเส้นใยรูปดาวห้าแฉกขนานคลิฟฟอร์ด 8 เส้นทางซ้าย (หรือขวา) วงแหวน 30 เซลล์แต่ละวงจะมีเส้นไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉกแบบสองวงวิ่งผ่านจุดยอดคู่หรือคี่ (สีดำหรือสีขาว) ตามลำดับ การหมุนไอโซคลายน์จะแบ่งเซลล์ 600 เซลล์ (และจุดยอด 120 จุด) ของเซลล์ 600 เซลล์ออกเป็นสองเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันของเซลล์ 300 เซลล์ (และจุดยอด 60 จุด) คู่และคี่ (หรือสีดำและสีขาว) ซึ่งจะเปลี่ยนตำแหน่งกันเองบนเส้นไอโซคลายน์สีดำหรือสีขาว ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีที่ การเคลื่อนที่ในแนวทแยงของ บิชอปจำกัดให้พวกมันอยู่บนช่องสีขาวหรือสีดำของกระดานหมากรุก[ ^{16 ] [ 60 ] ซ้าย}และขวาไม่ใช่สี:ในการหมุนซ้าย (หรือขวา) ครึ่งหนึ่งของจุดยอดที่เคลื่อนที่จะเป็นสีดำ วิ่งไปตามเส้นไอโซคลายน์สีดำผ่านจุดยอดสีดำ และอีกครึ่งหนึ่งเป็นจุดยอดสีขาวที่หมุนกันเอง เกลียวรูปดาวห้าแฉกไม่มีความสมมาตรแบบไครัลโดยกำเนิด แต่ละเกลียวทำหน้าที่เป็นเส้นไอโซคลินิกซ้ายหรือขวาในการหมุนไอโซคลินิกที่แตกต่างกัน เส้นใยรูปดาวห้าแฉก 2 เส้นเป็นส่วนหนึ่งของมัดเส้นใยซ้ายและขวาของการจัดเรียงเส้นใย 5 แบบที่แตกต่างกัน ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$

ที่จุดยอดแต่ละจุด จะมีรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ 6 รูป และเส้นไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉก 6 เส้น (สีดำ 6 เส้น หรือสีขาว 6 เส้น) ที่ตัดกันที่จุดยอดนั้น เส้นไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉก 8 เส้น (สีดำและสีขาว 4 เส้น) ประกอบกันเป็นกลุ่มเส้นใยด้านขวา (หรือด้านซ้าย) ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งครอบคลุมจุดยอดทั้ง 120 จุดในการหมุนไอโซคลายน์ด้านขวา (หรือด้านซ้าย) ที่แตกต่างกัน แต่ละการจัดเรียงเส้นใยจะมีทิศทางการหมุนไอโซคลายน์ด้านซ้ายและด้านขวาที่ไม่ซ้ำกัน และกลุ่มเส้นใยด้านซ้ายและด้านขวาที่ไม่ซ้ำกันที่สอดคล้องกัน ซึ่งประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยม 12 รูป และเส้นไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉก 8 เส้น มีเพียงเส้นไอโซคลายน์สีดำที่แตกต่างกัน 20 เส้น และเส้นไอโซคลายน์สีขาวที่แตกต่างกัน 20 เส้น ในเซลล์ 600 เซลล์ แต่ละเส้นไอโซคลายน์ที่แตกต่างกันเป็นของกลุ่มเส้นใย 5 กลุ่ม

ชุดคอร์ดวงแหวน 30 เซลล์ 3 ชุด จากมุมมอง การฉายภาพตั้งฉาก เดียวกัน
เพนทาเดคาแกรม {15/2}	ไตรคอนทาแกรม {30/4}=2{15/2}	ไตรคอนทาแกรม {30/6}=6{5}
ขอบทั้งหมดเป็นคอร์ดไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉก ที่มีความยาว ซึ่งเป็น ขอบ หกเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่มี 24 เซลล์ที่บรรจุอยู่ใน 600 เซลล์ ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$		มีเพียงขอบห้าเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่มีความยาวเท่านั้น ${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$
เส้นไอโซคลายน์สีดำ (หรือสีขาว) เส้นเดียวคือรูปดาวห้าแฉกเฉียงแบบวงคู่โมเบียส {15/2} ที่มีเส้นรอบวง 5𝝅 เส้นคอร์ดคือขอบ 24 เซลล์ (ขอบหกเหลี่ยม) จากเซลล์ 24 เซลล์ที่อยู่ภายในต่างกัน เส้นคอร์ดเหล่านี้มองไม่เห็น (ไม่แสดง) ในภาพประกอบวงแหวน 30 เซลล์ซึ่งเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามของเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองเซลล์ที่ยึดติดกันด้วยหน้า ซึ่งอยู่ห่างกันสองขอบสีส้มหรือสองขอบสีเหลือง ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$	วงแหวน 30 เซลล์เป็นโครงสร้างผสมแบบเฉียงของเส้นไอโซคลายน์รูปดาวห้าแฉก {15/2} สองเส้นที่ไม่ทับซ้อนกัน (คู่สีดำและสีขาว แสดงในที่นี้เป็นสีส้มและสีเหลือง) เส้นคอร์ดของเส้นไอโซคลายน์เชื่อมต่อจุดยอดที่ 4 ของวงแหวน 30 เซลล์ด้วยเส้นคอร์ดตรงภายใต้ขอบสีส้มสองเส้นหรือขอบสีเหลืองสองเส้น เส้นไอโซคลายน์โค้งสองชั้นเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุด (geodesic) ระหว่างจุดยอดเหล่านั้น จุดยอดเหล่านั้นยังอยู่ห่างกันสองขอบโดยมีเส้นทางทำมุมที่แตกต่างกันสามเส้นทางตามขอบของทรงสี่หน้าที่มีหน้าเชื่อมต่อกัน ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$	เส้นไอโซคลายน์ของรูปดาวห้าแฉกแต่ละเส้น (ด้านซ้าย) ตัดกับรูปห้าเหลี่ยมใหญ่ทั้งหกรูป (ด้านบน) ที่จุดยอดสองหรือสามจุด รูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้วางอยู่บนวงกลมใหญ่ 2π แบนราบในระนาบการหมุนคงที่ของรูปสิบเหลี่ยม รูปดาวห้าแฉกเหล่านี้ไม่ได้แบนราบ แต่เป็นวงกลมไอโซคลายน์ 5π แบบเกลียว ซึ่งมีคอร์ด 15 เส้นวางอยู่ใน ระนาบ หกเหลี่ยม ใหญ่ที่ต่อเนื่องกัน โดยเอียงทำมุม π/5 = 36° ต่อกัน กล่าวกันว่าวงกลมไอโซคลายน์นั้นบิดไปทางซ้ายหรือขวาตามการหมุน แต่รูปดาวห้าแฉกทั้งหมดเหล่านี้มีความสอดคล้องกันโดยตรงหรือโดยสมมาตรเชิงเอนันติโอเมอร์
ในภาพประกอบเหล่านี้ไม่มีเส้นขอบของเซลล์ 600 ปรากฏให้เห็น มีเพียงเส้นเชื่อมภายในที่มองไม่เห็นของเซลล์ 600 เท่านั้น ในบทความนี้ ควรวาดเส้นเชื่อมเหล่านั้นทั้งหมดเป็นเส้นประอย่างถูกต้อง

เส้นไอโซคลายน์แบบวงคู่ขนาด 15 กรัมสองเส้นวางตัวเป็นแกนกลางของวงแหวน 30 เซลล์แต่ละวง วงแหวน 30 เซลล์เป็นแบบไครัล โดยแต่ละไฟเบรชันประกอบด้วยวงแหวนขวา (หมุนตามเข็มนาฬิกา) 10 วง และวงแหวนซ้าย (หมุนทวนเข็มนาฬิกา) 10 วง แต่เส้นไอโซคลายน์สองเส้นในแต่ละวงแหวน 3 เซลล์นั้นสมมาตรกันแบบเอนันติโอเมอร์ (ภาพสะท้อนในกระจก) แต่ละเส้นทำหน้าที่เป็นเส้นไอโซคลายน์ซ้าย (หรือขวา) สำหรับการหมุนซ้าย (หรือขวา) แต่ไม่มีความเป็นไครัลโดยกำเนิด ไฟเบรชันประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมเปิดที่ไม่ซ้ำกัน 120 รูป (ซ้าย 60 รูป และขวา 60 รูป) โดยปลายเปิดของรูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้อยู่ติดกับจุดยอดขนาด 600 เซลล์ ( ห่างกันหนึ่งความยาวขอบ) เส้นเชื่อม 30 เส้นที่เชื่อมจุดยอด 30 จุดของไอโซคลายน์เป็นขอบรูปหกเหลี่ยม (ขอบ 24 เซลล์) ซึ่งเชื่อมจุดยอด 600 เซลล์ที่อยู่ ห่างกัน สอง ขอบ 600 เซลล์บนวงกลมใหญ่รูปสิบเหลี่ยม เส้นเชื่อมไอโซคลายน์เหล่านี้เป็นทั้งขอบรูปหกเหลี่ยมและขอบรูป ห้า เหลี่ยม${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$

เส้นไอโซคลายน์ขนานของคลิฟฟอร์ด 20 เส้น (แกนวงแหวน 30 เซลล์) ของแต่ละมัดไอโซคลายน์ซ้าย (หรือขวา) จะไม่ตัดกัน การหมุนไอโซคลายน์แบบสิบเหลี่ยมที่แตกต่างกัน (ซ้ายหรือขวา) จะหมุนจุดยอดทั้ง 120 จุด (และเซลล์ทั้งหมด 600 เซลล์) แต่ไอโซคลายน์แบบสิบห้าเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยมจะเชื่อมต่อกันโดยที่จุดยอดสลับกันเป็นจุดยอดสีดำ 60 จุดและสีขาว 60 จุด (และเซลล์สีดำ 300 เซลล์และสีขาว 300 เซลล์) เหมือนกับช่องสีดำและสีขาวบนกระดานหมากรุกในระหว่างการหมุน จุดยอดบนไอโซคลายน์ซ้าย (หรือขวา) จะหมุนภายในไอโซคลายน์สีดำ (หรือสีขาว) 15 จุดยอดเดียวกัน และเซลล์จะหมุนภายในวงแหวนสีดำ (หรือสีขาว) 30 เซลล์เดียวกัน

การจัดเรียงเส้นใยของเซลล์ 600ประกอบด้วยการจัดเรียงเส้นใย 10 แบบของรูปหกเหลี่ยมใหญ่ 200 รูป : กลุ่มเส้นใย 10 กลุ่มที่ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมใหญ่ 20 รูป รูปหกเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด 20 รูปในแต่ละกลุ่มนั้นแยกจากกันโดยสมบูรณ์ รูปหกเหลี่ยมขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของรูปสิบเหลี่ยมใหญ่ การจัดเรียงเส้นใยแต่ละแบบสอดคล้องกับการหมุนไอโซคลินิกซ้าย (และขวา) ที่แตกต่างกันของเซลล์ 600 ในระนาบไม่แปรเปลี่ยนของรูปหกเหลี่ยมใหญ่ 20 ระนาบ บนไอโซคลายน์ 4𝝅

แต่ละมัดเส้นใยประกอบด้วย วงแหวนเซลล์ที่ตัดกันโดยตรง 20 วงแต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงแปดเหลี่ยม 6 เซลล์ โดยมีวงแหวนเซลล์สามวงซ้อนกันอยู่รอบรูปหกเหลี่ยมแต่ละรูป มัดเส้นใยรูปหกเหลี่ยมขนานคลิฟฟอร์ด 20 เส้นนี้ถูกแบ่งออกเป็นมัด เส้นใยรูป สามเหลี่ยมใหญ่ สีดำ 20 เส้น และมัดเส้นใยรูปสามเหลี่ยมใหญ่สีขาว 20 เส้น โดยมีรูปสามเหลี่ยมสีดำและสีขาวอยู่ภายในรูปหกเหลี่ยมแต่ละรูป และมีรูปสามเหลี่ยมสีดำ 6 รูปและสีขาว 6 รูปอยู่ในวงแหวนทรงแปดเหลี่ยม 6 เซลล์แต่ละวง รูปสามเหลี่ยมสีดำหรือสีขาวเชื่อมต่อกันด้วยเส้นไอโซคลายน์สีดำหรือสีขาวที่ตัดกันสามเส้น ซึ่งแต่ละเส้นเป็นวงกลมใหญ่แบบเกลียวชนิดพิเศษที่ผ่านจุดยอดที่สอดคล้องกันในรูปสามเหลี่ยมใหญ่สีดำ (หรือสีขาว) ขนานคลิฟฟอร์ด 10 รูปเส้นไอโซคลายน์ทั้ง10 เส้นก่อให้เกิดรูปสิบเหลี่ยมเฉียง {10/3}ซึ่งเป็นขอบรูปห้าเหลี่ยมขนาดใหญ่ 10 ขอบที่ต่อกันเป็นวงเกลียวพันรอบเซลล์ 600 เซลล์ 3 ครั้งผ่านมิติทั้งสี่แทนที่จะวางราบในระนาบกลาง เส้นไอโซคลายน์สีดำและสีขาวแต่ละคู่ (จุดยอดรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ตรงข้ามกันที่ตัดกัน) ก่อให้เกิดรูปยี่สิบเหลี่ยมแบบผสม{20/6}=2{10/3 } ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$

สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างการหมุนลักษณะเฉพาะของโพลีแกรม 24 เซลล์ในระนาบไม่แปรเปลี่ยนรูปหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ (บนเส้นไอโซคลายน์รูปหกเหลี่ยม) และการหมุนของระนาบหกเหลี่ยมขนาดใหญ่ในเวอร์ชันของโพลีแกรม 600 เซลล์ (บนเส้นไอโซคลายน์รูปสิบเหลี่ยม) ทั้งสองเป็นการหมุนไอโซคลายน์แบบเดียวกันอย่างแท้จริง กล่าวคือ มีเส้นไอโซคลายน์เดียวกัน แต่มีจำนวนเส้นไอโซคลายน์ที่ต่างกัน และคอร์ดของเส้นไอโซคลายน์ในโพลีแกรม 600 เซลล์นั้นสั้นกว่าคอร์ดของเส้นไอโซคลายน์ในโพลีแกรม 24 เซลล์ เนื่องจากเส้นไอโซคลายน์ตัดกับจุดยอดในโพลีแกรม 600 เซลล์ (10) มากกว่าในโพลีแกรม 24 เซลล์ (6) แต่โพลีแกรมคลิฟฟอร์ดทั้งสองมีเส้นรอบวง 4π โพลีแกรม 24 เซลล์หมุนรูปหกเหลี่ยมบนรูปหกเหลี่ยมในขณะที่โพลีแกรม 600 เซลล์หมุนรูปหกเหลี่ยมบนรูปสิบเหลี่ยม แต่สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่แยกจากกันของการหมุนไอโซคลายน์แบบเดียวกันในระนาบไม่แปรเปลี่ยนรูปหกเหลี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นไอโซคลายน์ที่สอดคล้องกันของพวกมันทั้งหมดเป็นวงกลมจีโอเดสิกที่มีเส้นรอบวง 4σ ที่เหมือนกันทุกประการ พวกมันมีรูปหลายเหลี่ยมไอโซคลายน์ที่แตกต่างกันเพียงเพราะเส้นโค้งไอโซคลายน์ตัดกับจุดยอดในเซลล์ 600 มากกว่าในเซลล์ 24 ${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

การจัดเรียงแบบไฟเบรชันของเซลล์ 600ประกอบด้วยไฟเบรชัน 15 แบบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 450 รูป : กลุ่มไฟเบรชัน 15 กลุ่ม กลุ่มละ 30 สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานคลิฟฟอร์ด 30 รูปในแต่ละกลุ่มแยกจากกันโดยสมบูรณ์ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานที่อยู่ติดกันถูกเชื่อมต่อด้วยขอบของรูปสิบเหลี่ยมขนาดใหญ่ การจัดเรียงแบบไฟเบรชันแต่ละแบบสอดคล้องกับการหมุนไอโซคลินิกซ้าย (และขวา) ที่แตกต่างกันของเซลล์ 600 ในระนาบไม่แปรเปลี่ยนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ 30 ระนาบ (15 คู่ที่ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์) บนไอโซคลายน์ 4π

แต่ละมัดเส้นใยจะกำหนดขอบเขตของวงแหวนเซลล์ไครัล 30 วง โดยแต่ละวงประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 เซลล์โดยวงแหวนเซลล์ด้านซ้ายและด้านขวาจะซ้อนกันเพื่อเติมเต็มเซลล์ 16 เซลล์ที่ไม่ทับซ้อนกัน 15 เซลล์ที่อยู่ภายในเซลล์ 600 เซลล์ แกนของวงแหวนทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 8 เซลล์แต่ละวงจะมีวงกลมใหญ่แบบเกลียวชนิดพิเศษ เรียกว่า ไอโซคลายน์ ในการหมุนไอโซคลายน์ไปทางซ้าย (หรือขวา) ของเซลล์ 600 เซลล์ในระนาบไม่แปรเปลี่ยนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ จุดยอดทั้งหมดจะหมุนรอบหนึ่งใน 1 ใน 15 ไอโซคลายน์ขนานของคลิฟฟอร์ด

สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานคลิฟฟอร์ด 30 รูปในแต่ละมัดเชื่อมต่อกันด้วยเส้นไอโซคลายน์ขนานคลิฟฟอร์ด 24 กรัมสี่เส้น (เส้นหนึ่งผ่านแต่ละจุดยอด) โดยแต่ละเส้นตัดกับจุดยอดหนึ่งจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 รูปจากทั้งหมด 30 รูป และตัดกับจุดยอดทั้ง 24 จุดของเซลล์ 24 เพียงเซลล์เดียวจากทั้งหมด 25 เซลล์ใน 600 เซลล์ เส้นไอโซคลายน์แต่ละเส้นเป็นวงจร 24 กรัมที่ตัดกับเซลล์ 24 ทั้ง 25 เซลล์ โดย 24 เซลล์ตัดเพียงครั้งเดียว และอีกหนึ่งเซลล์ตัด 24 ครั้ง จุดยอด 24 จุดในแต่ละเส้นไอโซคลายน์ 24 กรัมประกอบเป็นเซลล์ 24 เซลล์ที่ไม่ซ้ำกัน มีเส้นไอโซคลายน์ที่แตกต่างกัน 25 เส้นใน 600 เซลล์ เส้นไอโซคลายน์แต่ละเส้นเป็นเส้น 24 กรัมแบบเฉียง {24/5} ซึ่งเป็นคอร์ด 24 เส้นที่เชื่อมต่อกันแบบปลายต่อปลายในวงเกลียว พันรอบเซลล์ 24 เซลล์หนึ่งเซลล์ 5 ครั้งผ่านมิติทั้งสี่ แทนที่จะวางราบในระนาบกลาง จุดยอดที่อยู่ติดกันของกลุ่ม 24 เซลล์นั้นอยู่ห่างกันหนึ่งคอร์ด และห่างกัน 5 คอร์ดบนเส้นไอโซคลายน์ การหมุนไอโซคลายน์ไปทางซ้าย (หรือขวา) เป็นมุม 720° จะทำให้กลุ่ม 24 เซลล์แต่ละกลุ่มเคลื่อนผ่านกลุ่ม 24 เซลล์อื่นๆ ทุกกลุ่ม ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle \phi }$

โปรดสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างการหมุนของเซลล์ 16 เซลล์บนระนาบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเพียง 2ระนาบการหมุนของเซลล์ 24 เซลล์ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ด 6 ระนาบและการหมุนของเซลล์ 600 เซลล์ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ขนานคลิฟฟอร์ด 30 ระนาบ การหมุนทั้งสามนี้เป็นการหมุนแบบเดียวกัน เกิดขึ้นบนวงกลมไอโซคลายน์ชนิดเดียวกัน ซึ่งบังเอิญตัดกับจุดยอดในเซลล์ 600 เซลล์ (24) มากกว่าในเซลล์ 16 เซลล์ (8) ในการหมุนของเซลล์ 16 เซลล์ ระยะห่างระหว่างจุดยอดบนเส้นโค้งไอโซคลายน์คือเส้นผ่านศูนย์กลาง ในเซลล์ 600 จุดยอดอยู่ใกล้กันมากขึ้น และคอร์ดของมันคือระยะห่างระหว่างจุดยอดที่อยู่ติดกันบนไอโซคลายน์เดียวกัน แต่ไอโซคลายน์ทั้งหมดเหล่านี้มีเส้นรอบวง 4π ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \phi }$

เมทริกซ์การกำหนดค่านี้^{[ 61 ]}แสดงถึงเซลล์ 600 เซลล์ แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับจุดยอด ขอบ หน้า และเซลล์ ตัวเลขแนวทแยงแสดงจำนวนองค์ประกอบแต่ละชนิดที่เกิดขึ้นในเซลล์ 600 เซลล์ทั้งหมด ตัวเลขที่ไม่ใช่แนวทแยงแสดงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกิดขึ้นในหรือที่องค์ประกอบของแถว

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

นี่คือโครงสร้างที่ขยายเพิ่มเติมด้วยองค์ประกอบk -face และ k -figure จำนวนองค์ประกอบแนวทแยงคืออัตราส่วนของ ลำดับ กลุ่ม Coxeter เต็มรูป แบบ 14400 หารด้วยลำดับของกลุ่มย่อยที่มีการลบภาพสะท้อน

เอช4		เค -เฟซ	เอฟเค	ฟ0	ฟ1	เอฟ2	เอฟ3	k -รูป	หมายเหตุ
เอช3		( )	ฟ0	120	12	30	20	{3,5}	H 4 /H 3 = 14400/120 = 120
เอ1เอช2		{ }	ฟ1	2	720	5	5	{5}	H 4 /H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
เอ2เอ1		{3}	เอฟ2	3	3	1200	2	{ }	H 4 /A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
เอ3		{3,3}	เอฟ3	4	6	4	600	( )	H 4 /A 3 = 14400/24 ​​= 600

ไอโคเซียนเป็นเซตเฉพาะของควอเทอร์เนียนแฮมิลโทเนียนที่มีสมมาตรเดียวกับเซลล์ 600 ^{[ 62 ]} ไอโคเซียนอยู่ในฟิลด์ทองคำ ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i ⁺ ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) kโดยที่ตัวแปรทั้งแปดเป็นจำนวนตรรกยะ^[ 63 ^] ผลรวมจำกัดของไอโคเซียนหน่วย 120 ตัว เรียกว่าวงแหวนไอโคเซียน

เมื่อตีความว่าเป็นควอเทอร์เนียน — ในเรขาคณิตยุคลิดสี่มิติ ควอเทอร์เนียนก็คือพิกัดคาร์ทีเซียน (w, x, y, z) — จุดยอด 120 จุดของเซลล์ 600 เซลล์จะก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การคูณควอเทอร์เนียน กลุ่มนี้มักเรียกว่ากลุ่มไอโคซาเฮดรัลไบนารี^และใช้สัญลักษณ์2Iเนื่องจากเป็นกลุ่มปกคลุมสองเท่าของกลุ่มไอโคซาเฮดรัล ธรรมดา I [ ^{64 ]} มันปรากฏสองครั้งในกลุ่มสมมาตรการหมุนRSGของเซลล์ 600 เซลล์ในฐานะกลุ่มย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงกล่าวคือเป็นกลุ่มย่อย2I _Lของการคูณควอเทอร์เนียนซ้ายและเป็นกลุ่มย่อย2I _Rของการคูณควอเทอร์เนียนขวา สมมาตรการหมุนแต่ละแบบของเซลล์ 600 เซลล์ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเฉพาะของ2I _Lและ2I _Rคู่ขององค์ประกอบตรงข้ามจะสร้างองค์ประกอบเดียวกันของRSGศูนย์กลางของRSG ประกอบด้วย Idที่ไม่หมุนและการผกผันส่วนกลาง−Idเรามีไอโซมอร์ฟิซึมRSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id}ลำดับของRSGเท่ากับ⁠120 × 120/2= 7200. เมบิอุสอธิบายว่าพีชคณิตควอเทอร์เนียนเป็นเครื่องมือสำหรับการจัดการการหมุน 3 มิติและ 4 มิติ และเป็นหนทางสู่ความเข้าใจทฤษฎีการหมุนในปริภูมิยูคลิด 4 มิติ อย่างสมบูรณ์ ^{[ 65 ]}

กลุ่มไอโคซาเฮดรัลไบนารีมีความสมมาตรกับSL(2,5 )

กลุ่มสมมาตรเต็มของเซลล์ 600 คือกลุ่มCoxeter H ₄ ^{[ 66 ]} นี่คือกลุ่มที่มีอันดับ 14400 ประกอบด้วยการหมุน 7200 ครั้ง และการหมุนสะท้อน 7200 ครั้ง การหมุนก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของกลุ่มสมมาตรเต็ม กลุ่มสมมาตรการหมุนได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย SL van Oss ^{[ 67 ]} กลุ่ม H ₄และ การสร้าง พีชคณิต Cliffordจากกลุ่มสมมาตร 3 มิติโดยการเหนี่ยวนำได้รับการอธิบายโดย Dechant ^{[ 68 ]}

ความสมมาตรของพื้นผิว 3 มิติของเซลล์ 600 เซลล์นั้นค่อนข้างยากที่จะมองเห็นได้เนื่องจากจำนวนเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจำนวนมาก และข้อเท็จจริงที่ว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าไม่มีหน้าหรือจุดยอดตรงข้ามกัน อาจเริ่มต้นด้วยการตระหนักว่าเซลล์ 600 เซลล์เป็นคู่ของเซลล์ 120 เซลล์ นอกจากนี้ยังอาจสังเกตได้ว่าเซลล์ 600 เซลล์ยังประกอบด้วยจุดยอดของทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 35 ]}ซึ่งสามารถมองเห็นได้ในภาพฉายมุมมองด้านล่างส่วนใหญ่ด้วยความพยายามบางอย่าง

ภาพฉาย สิบเหลี่ยม H3 แสดงระนาบของรูปหลายเหลี่ยมแวนออส

การฉายภาพออร์โธกราฟิกโดยระนาบ Coxeter ^{[ 16 ]}

เอช4	-	เอฟ4
[30] (สีแดง=1)	[20] (สีแดง=1)	[12] (สีแดง=1)
เอช3	A 2 / B 3 / D 4	เอ3 / บี2
[10] (แดง=1, ส้ม=5, เหลือง=10)	[6] (แดง=1, ส้ม=3, เหลือง=6)	[4] (แดง=1, ส้ม=2, เหลือง=4)

แบบจำลองสามมิติของเซลล์ 600 เซลล์ ซึ่งอยู่ในคอลเลกชันของสถาบันอองรี ปวงกาเรได้รับการถ่ายภาพในปี พ.ศ. 2477–2478 โดยแมน เรย์และเป็นส่วนหนึ่งของภาพวาด "สมการเชกสเปียร์" สองภาพในภายหลังของเขา^{[ 69 ]}

การฉายภาพแบบจุดยอดก่อน
	ภาพนี้แสดงการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟโดยเริ่มจากจุดยอดของเซลล์ 600 เซลล์ลงบนพื้นผิว 3 มิติ เซลล์ 600 เซลล์ถูกปรับขนาดให้มีรัศมีจุดศูนย์กลางเท่ากับ 1 และจุดมองภาพ 4 มิติถูกวางไว้ห่างออกไป 5 หน่วย จากนั้นจึงทำการปรับปรุงภาพดังต่อไปนี้: รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 20 รูปที่มาบรรจบกันที่จุดยอดใกล้กับมุมมอง 4 มิติที่สุด ถูกแสดงด้วยสีทึบ การจัดเรียงแบบทรงยี่สิบหน้าของพวกมันแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดที่อยู่ติดกับเซลล์ทั้ง 20 เซลล์นี้ถูกแสดงด้วยสีเหลืองโปร่งใส เซลล์ที่เหลือจะแสดงผลแบบเส้นขอบ เซลล์ที่หันออกจากมุมมอง 4 มิติ (เซลล์ที่อยู่ "ด้านไกล" ของกลุ่มเซลล์ 600 เซลล์) ถูกตัดออก เพื่อลดความรกตาในภาพสุดท้าย
การฉายภาพเซลล์แรก
	ภาพนี้แสดงเซลล์ 600 เซลล์ในการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟแบบเซลล์ก่อนลงในภาพ 3 มิติ โดยเซลล์ 600 เซลล์นี้มีรัศมีจุดศูนย์กลางที่ 1 และจุดมองภาพ 4 มิติอยู่ห่างออกไป 5 หน่วย จากนั้นจึงทำการปรับปรุงเพิ่มเติมดังต่อไปนี้: เซลล์ที่อยู่ใกล้จุดมองภาพ 4 มิติที่สุดจะถูกแสดงด้วยสีทึบ โดยอยู่ตรงกลางของภาพฉาย เซลล์ที่อยู่รอบๆ (ซึ่งมีจุดยอดร่วมกันอย่างน้อย 1 จุด) จะถูกแสดงเป็นสีเหลืองโปร่งใส เซลล์ที่เหลือจะแสดงผลแบบเส้นขอบ เซลล์ที่หันออกจากมุมมอง 4 มิติถูกตัดออกเพื่อให้ภาพคมชัดยิ่งขึ้น มุมมองนี้แสดงให้เห็นโครงร่างที่สวยงามของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 5 อันที่ใช้ขอบร่วมกัน บริเวณด้านหน้าของภาพสามมิติ

เซลล์24 เซลล์แบบสนับอาจได้รับจากเซลล์ 600 โดยการลบจุดยอดของเซลล์ 24 เซลล์ ที่จารึกไว้ และนำส่วนนูนของจุดยอดที่เหลือ มาใช้ ^{[ 70 ]}กระบวนการนี้เป็นการลดขนาดของเซลล์ 600

ปริซึมแอนติขนาดใหญ่อาจได้รับโดยการลดขนาดเซลล์ 600 เซลล์อีกครั้ง: ลบจุดยอด 20 จุดที่อยู่บนวงแหวนตั้งฉากกันสองวง และใช้ส่วนนูนของจุดยอดที่เหลือ^{[ 44 ]}

ทรง 600 เซลล์แบบลดขนาด 24 เท่าสองอัน (bi-24-diminished 600-cell) ซึ่งมี เซลล์ทรงยี่สิบเหลี่ยมลดขนาดสาม อัน (tridiminished icosahedron cells) ทั้งหมด จะมีจุดยอดหายไป 48 จุด เหลือจุดยอด 72 จุดจากทั้งหมด 120 จุดของทรง 600 เซลล์ ส่วนทรงคู่ของทรง 600 เซลล์แบบลดขนาด 24 เท่าสองอัน (bi-24-diminished 600-cell) คือ ทรง 600 เซลล์แบบลดขนาด 24 เท่าสามอัน (tri-24-diminished 600-cell) ซึ่งมีจุดยอด 48 จุดและเซลล์ทรงหกเหลี่ยม 72 เซลล์

มีการลดขนาดของเซลล์ 600 จำนวน 314,248,344 ครั้งโดยจุดยอดที่ไม่ติดกัน ทั้งหมดนี้ประกอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ^{[ 71 ]}

เซลล์ 600 เซลล์ที่ลดลง
ชื่อ	ไตร-24-ลดขนาด 600 เซลล์	เซลล์ Bi-24 ที่ลดลง 600 เซลล์	Snub 24-cell (24-diminished 600-cell)	แกรนด์แอนติปริซึม (เซลล์ 600 เซลล์ลดขนาด 20)	600 เซลล์
จุดยอด	48	72	96	100	120
รูปจุดยอด(สมมาตร)	คู่ตรงข้ามของไอโคซาเฮดรอนที่ลดขนาดลงสามเท่า([3], อันดับ 6)	ลิ่มต้านสี่เหลี่ยมจัตุรัส ([2] + , ลำดับที่ 2)	ไอโคซาเฮดรอนลดขนาดสามเท่า ([3], ลำดับที่ 6)	ไอโคซาเฮดรอนแบบลดขนาดสองเท่า ([2], ลำดับที่ 4)	ไอโคซาเฮดรอน ([5,3], อันดับ 120)
สมมาตร	คำสั่งซื้อที่ 144 (48×3 หรือ 72×2)		[3 + ,4,3] ลำดับที่ 576 (96×6)	[10,2 + ,10] ลำดับที่ 400 (100×4)	[5,3,3] คำสั่งซื้อ 14400 (120×120)
สุทธิ
ระนาบ ออร์โธH 4
ระนาบ ออร์โธF 4

เซลล์ 600 เป็นหนึ่งในโพลีโทปปกติและสม่ำเสมอ 15 ชนิดที่มีสมมาตร H ₄ เหมือนกัน [3,3,5]: ^{[ 11 ]}

โพลีโทปตระกูล H 4
120 เซลล์	เซลล์ 120 เซลล์ที่แก้ไขแล้ว	เซลล์ 120 เซลล์ที่ถูกตัดทอน	เซลล์120 เซลล์	รันซิเนต120 เซลล์	เซลล์ 120 เซลล์ที่ถูกตัดทอน	runcitrunkated 120-cell	เซลล์ 120 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมด
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t 0,3 {5,3,3}	tr{5,3,3}	t 0,1,3 {5,3,3}	t 0,1,2,3 {5,3,3}
600 เซลล์	เซลล์ 600 เซลล์ที่แก้ไขแล้ว	เซลล์ 600 เซลล์ที่ถูกตัดทอน	เซลล์600 เซลล์	บิตที่ถูกตัดทอน600 เซลล์	เซลล์ 600 เซลล์ที่ถูกตัดทอน	runcitruncated 600-cell	เซลล์ 600 เซลล์ที่ถูกตัดทอนทั้งหมด
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t 0,1,3 {3,3,5}	t 0,1,2,3 {3,3,5}

มันคล้ายกับโพลีโทป 4 มิติปกติ 3 แบบ ได้แก่ โพลีโทป 5 มิติ {3,3,3} โพลีโทป 16 มิติ {3,3,4} ในปริภูมิยูคลิด 4 มิติ และ โพลี โทปทรงรังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลำดับที่ 6 {3,3,6} ใน ปริภูมิ ไฮเปอร์โบลิก โพลี โทป เหล่านี้ทั้งหมดมีเซลล์ทรง สี่เหลี่ยมด้านเท่า

โพลีโทป {3,3,p}
ช่องว่าง	เอส3			เอช3
รูปร่าง	จำกัด			พาราคอมแพคต์	ไม่กะทัดรัด
ชื่อ	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
ภาพ
รูป จุดยอด	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

รูปทรง 4-polytope นี้เป็นส่วนหนึ่งของลำดับรูปทรง 4-polytope และรูปทรงรังผึ้งที่มี จุดยอดเป็นรูปทรง icosahedron :

โพลีโทป {p,3,5}
ช่องว่าง	เอส3	เอช3
รูปร่าง	จำกัด	กะทัดรัด		พาราคอมแพคต์	ไม่กะทัดรัด
ชื่อ	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
ภาพ
เซลล์	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ₃ {5} ₃ ,และ₅ {3} ₅ ,โดยมีการแสดงจริงเป็นเซลล์ 600 เซลล์ในพื้นที่ 4 มิติ ทั้งสองมีจุดยอด 120 จุดและขอบ 120 เส้น อันแรกมีกลุ่มการสะท้อนเชิงซ้อน₃ [5] ₃ลำดับ 360 และอันที่สองมีสมมาตร₅ [3] ₅ลำดับ 600 ^{[ 72 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

โพลีโทปเชิงซ้อนปกติในการฉายภาพตั้งฉากของระนาบ Coxeter H 4 [ 16 ]
{3,3,5} คำสั่งซื้อที่ 14400	3 {5} 3คำสั่งซื้อ 360	5 {3} 5คำสั่งซื้อ 600

• 24 เซลล์ซึ่งเป็นต้นแบบของ4 โพลีโทปที่ใช้เป็นพื้นฐานในการพัฒนา 600 เซลล์
• แบตเตอรี่ 120 เซลล์ แบตเตอรี่แบบ 4 โพลีโทปคู่สำหรับแบตเตอรี่ 600 เซลล์ และรุ่นต่อจากนั้น
• กลุ่มโพลีโทป 4 รูปทรงสม่ำเสมอที่มีสมมาตร [5,3,3]
• โพลีโทป 4 เหลี่ยมปกติ
• โพลีโทป