สามเหลี่ยมปกติ
รูปสามเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	30
สัญลักษณ์ Schläfli	{30}, t{15}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D 30 ), อันดับ 2×30
มุมภายใน ( องศา )	168°
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตัวเอง

ในทางเรขาคณิตรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หรือรูป 30 เหลี่ยม คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มี 30 ด้านผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าใดๆ จะเท่ากับ5040องศา

รูปสามเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้โดยการแบ่ง ขอบ ของรูปสิบห้าเหลี่ยม ปกติ และยังสามารถสร้างเป็นรูปสิบห้าเหลี่ยมที่ถูกตัดยอดได้ อีกด้วย t{15} รูปสามเหลี่ยม ที่ถูกตัดยอด t{30} เป็นรูปหกเหลี่ยม {60}

มุมภายในมุมหนึ่งของ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ปกติมีค่า 168 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมภายนอกมุมหนึ่งจะมีค่า 12 องศา รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ใหญ่ที่สุดที่มีมุมภายในเป็นผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม ที่เล็กกว่า กล่าวคือ 168 องศาเป็นผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (60 องศา) และรูปห้าเหลี่ยมปกติ (108 องศา)

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปกติคือ (โดยที่t = ความยาวขอบ ) ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A={\frac {15}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {15}{4}}t^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

รัศมีวงในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปกติคือ

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}t\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

รัศมีวงกลมล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปกติคือ

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}t\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$

เนื่องจาก 30 = 2 × 3 × 5 จึงสามารถสร้าง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปกติได้ โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด^{[ 2 ]}

รูปสามเหลี่ยมปกติมีสมมาตรไดเฮดรัล Dih ₃₀ อันดับ 60 ซึ่งแสดงด้วยเส้นสะท้อน 30 เส้น Dih ₃₀มีกลุ่มย่อยไดเฮดรัล 7 กลุ่ม ได้แก่ Dih ₁₅ , (Dih ₁₀ , Dih ₅ ), (Dih ₆ , Dih ₃ ) และ (Dih ₂ , Dih ₁ ) นอกจากนี้ยังมี สมมาตรแบบ วัฏจักร อีกแปด กลุ่มเป็นกลุ่มย่อย ได้แก่ (Z ₃₀ , Z ₁₅ ), (Z ₁₀ , Z ₅ ), (Z ₆ , Z ₃ ) และ (Z ₂ , Z ₁ ) โดยที่ Z _nแทนสมมาตรการหมุน π/ nเรเดียน

จอห์น คอนเวย์กำหนดสัญลักษณ์สมมาตรที่ต่ำกว่าเหล่านี้ด้วยตัวอักษร และลำดับของสมมาตรจะตามตัวอักษร^{[ 3 ]}เขากำหนดให้d (แนวทแยง) มีเส้นสะท้อนผ่านจุดยอด, pมีเส้นสะท้อนผ่านขอบ (ตั้งฉาก), iมีเส้นสะท้อนผ่านทั้งจุดยอดและขอบ และgสำหรับสมมาตรแบบหมุนa1หมายถึงไม่มีสมมาตร

สมมาตรที่ต่ำกว่าเหล่านี้ช่วยให้มีระดับความเป็นอิสระในการกำหนดรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่ไม่สม่ำเสมอ มีเพียง กลุ่มย่อย g30 เท่านั้น ที่ไม่มีระดับความเป็นอิสระ แต่สามารถมองได้ว่าเป็นขอบที่มีทิศทาง

Coxeterระบุว่าโซโนกอน ทุกอัน (รูป 2 mเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและมีความยาวเท่ากัน) สามารถแบ่งออกเป็น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน m ( m -1)/2 รูป^{[ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ ซึ่งในกรณีนี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สำหรับรูปสามเหลี่ยมปกติm =15 สามารถแบ่งออกเป็น 105: 7 ชุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 15 รูป การแบ่งส่วนนี้ขึ้นอยู่กับ การฉายภาพ รูปหลายเหลี่ยมของ Petrieของลูกบาศก์ 15

ตัวอย่าง

ไตรอาคอนทาแกรม (Triacontagram) คือรูป หลายเหลี่ยมดาว 30 ด้าน (แม้ว่าคำนี้จะพบได้น้อยมาก ) มีรูปแบบปกติ 3 รูปแบบที่กำหนดโดยสัญลักษณ์ Schläfliคือ {30/7}, {30/11} และ {30/13} และรูปดาวผสม 11 รูปที่มีการจัดเรียงจุดยอด แบบเดียวกัน

กลุ่มและดาวฤกษ์
รูปร่าง	สารประกอบ					รูปหลายเหลี่ยมดาว	สารประกอบ
รูปภาพ	{30/2}=2{15}	{30/3}=3{10}	{30/4}=2{15/2}	{30/5}=5{6}	{30/6}=6{5}	{30/7}	{30/8}=2{15/4}
มุมภายใน	156°	144°	132°	120°	108°	96°	84°
รูปร่าง	สารประกอบ		รูปหลายเหลี่ยมดาว	สารประกอบ	รูปหลายเหลี่ยมดาว	สารประกอบ
รูปภาพ	{30/9}=3{10/3}	{30/10}=10{3}	{30/11}	{30/12}=6{5/2}	{30/13}	{30/14}=2{15/7}	{30/15}=15{2}
มุมภายใน	72°	60°	48°	36°	24°	12°	0°

นอกจากนี้ยังมี รูปสามเหลี่ยมไอโซโก นัลที่สร้างขึ้นจากการตัดทอนที่ลึกกว่าของรูปสิบห้าเหลี่ยม ปกติ {15} และรูปสิบห้าเหลี่ยม {15/7} และรูปสิบห้าเหลี่ยมกลับหัว {15/11} และ {15/13} การตัดทอนอื่นๆ ก่อให้เกิดการครอบคลุมสองชั้น: t{15/14}={30/14}=2{15/7}, t{15/8}={30/8}=2{15/4}, t{15/4}={30/4}=2{15/4} และ t{15/2}={30/2}=2{15} ^{[ 5 ]}

กลุ่มและดาวฤกษ์
กึ่งปกติ	ไอโซโกนัล							ผ้าคลุมสองชั้น กึ่งปกติ
t{15} = {30}								t{15/14}=2{15/7}
t{15/7}={30/7}								t{15/8}=2{15/4}
t{15/11}={30/11}								t{15/4}=2{15/2}
t{15/13}={30/13}								t{15/2}=2{15}

รูปสามเหลี่ยมปกติ (Regular triacontagon) คือรูป หลาย เหลี่ยมเพทรี (Petrie polygon)สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม 8 มิติสามรูปที่มีสมมาตร E ₈ซึ่งแสดงในภาพฉายตั้งฉาก ใน ระนาบค็อกซ์เตอร์ E ₈ นอกจากนี้ยังเป็นรูปหลายเหลี่ยมเพทรีสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติสองรูป ซึ่งแสดงในระนาบค็อกซ์เตอร์ H ₄ด้วย

อี8			เอช4
4 21	2 41	1 42	120 เซลล์	600 เซลล์

รูปสามเหลี่ยมปกติ {30/7} ยังเป็นรูปหลายเหลี่ยมของ Petrie สำหรับเซลล์ 120 เซลล์ขนาดใหญ่และเซลล์ 600 เซลล์ขนาดใหญ่ด้วย