เพนตากอน
รูปห้าเหลี่ยมวงกลม
ขอบและจุดยอด	5

ในทางเรขาคณิตรูปห้าเหลี่ยม (จากภาษากรีก πέντε (pente) ' ห้า'และγωνία (gonia) ' มุม' ^{[ 1 ]} ) คือรูป หลายเหลี่ยมห้าด้านหรือรูป 5 เหลี่ยม ผลรวมของมุมภายในของ รูปห้าเหลี่ยม แบบง่ายคือ 540°

รูปห้าเหลี่ยมอาจเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเดียวหรือรูปห้าเหลี่ยมที่ตัดกันเองรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ตัดกันเอง(หรือรูปห้าเหลี่ยม ดาว ) เรียกว่ารูปห้า เหลี่ยม ดาว (pentagram )

รูปห้าเหลี่ยมปกติ
รูปห้าเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	5
สัญลักษณ์ Schläfli	{5}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D 5 ), อันดับ 2×5
มุมภายใน ( องศา )	108°
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตัวเอง

รูปห้าเหลี่ยมปกติมีสัญลักษณ์ Schläfli {5} และมุมภายใน 108° นอกจากนี้ยังมีเส้นสมมาตรสะท้อน 5 เส้น และสมมาตรการหมุนลำดับที่ 5 (ผ่าน 72°, 144°, 216° และ 288°) เส้นทแยงมุมของ รูปห้า เหลี่ยมปกติแบบนูนมีอัตราส่วนทองคำกับด้านของมัน เมื่อกำหนดความยาวด้านแล้วความสูง(ระยะห่างจากด้านหนึ่งไปยังจุดยอดตรงข้าม) ความกว้าง(ระยะห่างระหว่างจุดที่ห่างกันมากที่สุดสองจุด ซึ่งเท่ากับความยาวเส้นทแยงมุม) และรัศมีวงกลมล้อมรอบจะกำหนดโดย: ${\displaystyle t,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าแบบนูนที่มีความยาวด้านเท่ากับ กำหนดโดยสูตร ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

ถ้าทราบรัศมีวงกลมล้อมรอบของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ความยาวด้านของ รูปห้าเหลี่ยมด้าน เท่าจะหาได้จากสูตรต่อไปนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

และพื้นที่ของมันคือ

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาดประมาณ 0.7568 ของวงกลมที่ล้อมรอบรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ${\displaystyle \pi R^{2},}$

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ คือ:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ราคา}$

โดยที่Pคือเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม และrคือรัศมีวงใน (หรือเทียบเท่ากับระยะ จากจุดศูนย์กลางไปยัง ด้านประกอบมุมฉาก ) เมื่อแทนค่า Pและrของรูปห้าเหลี่ยมปกติลงไปจะได้สูตรดังนี้

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

โดย มีความยาวด้านt

เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมด้านนูนปกติทุกรูป รูปห้าเหลี่ยมด้านนูนปกติก็มีวงกลมแนบใน รัศมี r ของวงกลมแนบใน ซึ่งก็คือระยะจากจุดศูนย์กลาง ไปยังด้าน (apothem ) ของรูปห้าเหลี่ยมด้านนูนปกติ มีความสัมพันธ์กับความยาวด้านtโดย

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูป รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าก็มีวงกลมล้อมรอบสำหรับรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดเรียงกันคือ A, B, C, D, E ถ้า P เป็นจุดใดๆ บนวงกลมล้อมรอบระหว่างจุด B และ C แล้ว PA + PD = PB + PC + PE

สำหรับจุดใดๆ ในระนาบของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่มีรัศมีวงกลมล้อมรอบซึ่งระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของรูปห้าเหลี่ยมปกติและจุดยอดทั้งห้าจุดคือและ ตามลำดับ เราจะได้^{[ 2 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

ถ้าคือระยะทางจากจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติไปยังจุดใดๆ บนวงกลมล้อมรอบ แล้ว^{[ 2 ]}${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเนื่องจาก 5 เป็นจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์มีวิธีการสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าอยู่หลายวิธี ซึ่งจะกล่าวถึงบางส่วนด้านล่าง

วิธีหนึ่งในการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติในวงกลมที่กำหนดนั้นได้รับการอธิบายโดย Richmond ^{[ 3 ]}และมีการกล่าวถึงเพิ่มเติมในPolyhedra ของ Cromwell ^{[ 4 ]}

แผงด้านบนแสดงโครงสร้างที่ใช้ในวิธีของริชมอนด์เพื่อสร้างด้านของรูปห้าเหลี่ยมที่แนบในวงกลม วงกลมที่ล้อมรอบรูปห้าเหลี่ยมมีรัศมีหนึ่งหน่วย จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดCและจุดกึ่งกลางMอยู่ที่กึ่งกลางของรัศมี จุดนี้เชื่อมต่อกับเส้นรอบวงในแนวตั้งเหนือจุดศูนย์กลางที่จุดDมุมCMDถูกแบ่งครึ่ง และเส้นแบ่งครึ่งตัดกับแกนตั้งที่จุดQเส้นแนวนอนที่ลากผ่าน จุด Qตัดกับวงกลมที่จุดPและคอร์ดPDคือด้านที่ต้องการของรูปห้าเหลี่ยมที่แนบในวงกลม

เพื่อหาความยาวของด้านนี้ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปDCMและQCMแสดงอยู่ด้านล่างวงกลม โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและด้านสองด้าน จะหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าได้เป็น ส่วนความยาวด้านhของรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่านั้น หาได้โดยใช้สูตรครึ่งมุม : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

โดยที่ค่าโคไซน์และไซน์ของϕทราบได้จากรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ ผลลัพธ์คือ:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

ถ้า DP เป็นด้านของรูปห้าเหลี่ยมปกติจริง ๆดังนั้น DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°), และ CQ = 1 − 2cos ² (54°) ซึ่งเท่ากับ −cos(108°) โดยใช้สูตรโคไซน์ของมุมสองเท่านี่คือโคไซน์ของ 72° ซึ่งเท่ากับตามที่ต้องการ ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

วงกลมคาร์ไลล์ถูกคิดค้นขึ้นเป็นวิธีการทางเรขาคณิตเพื่อหารากของสมการกำลังสอง [ ^{5 ] วิธี}การนี้นำไปสู่ขั้นตอนการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ ขั้นตอนมีดังนี้: ^{[ 6 ]}

1. วาดวงกลมเพื่อใช้เป็นวงกลมล้อมรอบรูปห้าเหลี่ยม และกำหนดจุดศูนย์กลางเป็นO
2. ลากเส้นแนวนอนผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม ทำเครื่องหมายจุดตัดด้านซ้ายกับวงกลมเป็นจุดB
3. ลากเส้นตรงแนวตั้งผ่านจุดศูนย์กลาง ทำเครื่องหมายจุดตัดจุดหนึ่งกับวงกลมเป็นจุดA
4. สร้างจุดMโดยให้เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุดOและจุดB
5. วาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Mและผ่านจุดAทำเครื่องหมายจุดตัดของวงกลมกับเส้นแนวนอน (ภายในวงกลมเดิม) เป็นจุดWและจุดตัดของวงกลมกับเส้นแนวนอนภายนอกวงกลมเป็นจุดV
6. วาดวงกลมที่มีรัศมีOAและจุดศูนย์กลางWวงกลมนี้ตัดกับวงกลมเดิมที่จุดยอดสองจุดของรูปห้าเหลี่ยม
7. วาดวงกลมที่มีรัศมีOAและจุดศูนย์กลางVวงกลมนี้ตัดกับวงกลมเดิมที่จุดยอดสองจุดของรูปห้าเหลี่ยม
8. จุดยอดที่ห้าคือจุดตัดขวาสุดของเส้นแนวนอนกับวงกลมเดิม

ขั้นตอนที่ 6–8 เทียบเท่ากับเวอร์ชันต่อไปนี้ ซึ่งแสดงในภาพเคลื่อนไหว:

6a. สร้างจุด F โดยให้เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด O และจุด W

7a. ลากเส้นตรงแนวตั้งผ่านจุด F โดยให้เส้นตรงนี้ตัดกับวงกลมเดิมที่จุดยอดสองจุดของรูปห้าเหลี่ยม ส่วนจุดยอดที่สามคือจุดตัดด้านขวาสุดของเส้นตรงแนวนอนกับวงกลมเดิม

8a. สร้างจุดยอดอีกสองจุดโดยใช้เข็มทิศและความยาวของจุดยอดที่พบในขั้นตอนที่ 7a

เนื่องจากเราสามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าได้โดยการสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเฉพาะรูปหนึ่งแล้วทำซ้ำ ดังนี้: ${\displaystyle \cos(36^{\circ })={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$

• ก่อนอื่น เราสังเกตว่ารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เท่ากันทุกประการได้ 10 รูป ดังแสดงในข้อสังเกต
• ในขั้นตอนที่ 1เราใช้หน่วยสี่หน่วย (แสดงด้วยสีน้ำเงิน) และมุมฉากเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว– โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วต่อด้านตรงข้ามมุมฉากออกไปอีก 1 หน่วย จากนั้นเราแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงนั้น – แล้วแบ่งครึ่งอีกครั้ง – เพื่อสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว(แสดงด้วยสีแดง)${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$${\displaystyle 1-2-{\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$
• ในขั้นตอนที่ 2เราสร้างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่และรัศมียาว 1 และ ตามลำดับจากนั้นวางจุดไว้บนวงกลมเล็กตามอำเภอใจ ดังแสดงในรูป ลากเส้นตั้งฉากกับจุดผ่านจุดและสร้างด้านที่มีความยาวที่เหมาะสมโดยใช้จุดตัดระหว่างเส้นสัมผัสและวงกลมหนึ่งหน่วย ทำซ้ำความยาวนั้นสี่ครั้งจะได้รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า${\displaystyle O}$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle P}$

สามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ ได้ โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดไม่ว่าจะโดยการวาดลงบนวงกลมที่กำหนดหรือสร้างบนขอบที่กำหนด กระบวนการนี้ได้รับการอธิบายโดยยูคลิดในหนังสือ Elements ของเขา ราว 300 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 7 ] [ 8 ]}

• สามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติได้จากแถบกระดาษเพียงแถบเดียว โดยการผูกปมธรรมดาลงบนแถบกระดาษ แล้วค่อยๆ ดึงปลายแถบกระดาษให้เรียบเพื่อคลายปมออก การพับปลายด้านหนึ่งกลับไปทับรูปห้าเหลี่ยมจะทำให้เห็นรูปดาวห้าแฉกเมื่อส่องไฟจากด้านหลัง^{[ 9 ]}
• สร้างรูปหกเหลี่ยม ด้านเท่า บนกระดาษแข็งหรือกระดาษการ์ด พับตามแนวเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งสามด้านระหว่างจุดยอดตรงข้าม ตัดจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดศูนย์กลางเพื่อสร้างแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่า ติดแผ่นนี้ไว้ใต้แผ่นข้างเคียงเพื่อสร้างพีระมิดห้าเหลี่ยมฐานของพีระมิดเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า

รูปห้าเหลี่ยมปกติมีสมมาตรได เฮ ด รัล Dih ₅อันดับ 10 เนื่องจาก 5 เป็นจำนวนเฉพาะจึงมีกลุ่มย่อยหนึ่งกลุ่มที่มีสมมาตรไดเฮดรัล คือ Dih ₁และ สมมาตร กลุ่มวัฏจักร 2 กลุ่ม คือ Z ₅และ Z ₁

สมมาตรทั้ง 4 นี้สามารถเห็นได้ในสมมาตรที่แตกต่างกัน 4 แบบบนรูปห้าเหลี่ยมจอห์น คอนเวย์กำหนดชื่อให้กับสมมาตรเหล่านี้ด้วยตัวอักษรและลำดับกลุ่ม^{[ 10 ]}สมมาตรเต็มรูปแบบของรูปแบบปกติคือr10และไม่มีสมมาตรใด ๆ ที่กำหนดชื่อเป็นa1สมมาตรไดเฮดรัลแบ่งตามว่าผ่านจุดยอด ( dสำหรับแนวทแยง) หรือขอบ ( pสำหรับแนวตั้งฉาก) และiเมื่อเส้นสะท้อนผ่านทั้งขอบและจุดยอด สมมาตรแบบวัฏจักรในคอลัมน์กลางจะถูกกำหนดชื่อเป็นgสำหรับลำดับการหมุนรอบจุดศูนย์กลาง

สมมาตรของแต่ละกลุ่มย่อยอนุญาตให้มีระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับหรือมากกว่าสำหรับรูปแบบที่ไม่ปกติ มีเพียง กลุ่มย่อย g5 เท่านั้น ที่ไม่มีระดับความเป็นอิสระ แต่สามารถมองได้ว่าเป็นขอบที่มีทิศทาง

รูป ดาวห้าแฉกหรือเพนแทงเกิลเป็น รูปห้าเหลี่ยมด้าน เท่าปกติสัญลักษณ์ Schläfliของมันคือ {5/2} ด้านของมันประกอบกันเป็นเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าแบบนูน – ในการจัดเรียงนี้ด้านของรูปห้าเหลี่ยมทั้งสองรูปอยู่ในอัตราส่วนทองคำ

รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านทั้งห้าด้านยาวเท่ากัน อย่างไรก็ตาม มุมภายในทั้งห้าของมันสามารถมีค่าได้หลากหลาย ทำให้สามารถสร้างกลุ่มของรูปห้าเหลี่ยมได้ ในทางตรงกันข้าม รูปห้าเหลี่ยมปกติมีลักษณะเฉพาะตัว ( ยกเว้นความคล้ายคลึง) เพราะมันเป็นทั้งรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าและมุมทั้งห้าเท่ากัน (มุมทั้งห้าของมันเท่ากัน)

รูป ห้า เหลี่ยมวงกลมคือรูปห้าเหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบผ่านจุดยอดทั้งห้าจุด รูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นตัวอย่างของรูปห้าเหลี่ยมวงกลม พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมวงกลม ไม่ว่าจะเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติหรือไม่ก็ตาม สามารถแสดงได้เป็นหนึ่งในสี่ของรากที่สองของรากหนึ่งของสมการเซปติกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันของด้านของรูปห้าเหลี่ยม^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

มีรูปห้าเหลี่ยมวงกลมที่มีด้านเป็นจำนวนตรรกยะและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งเรียกว่ารูปห้าเหลี่ยมร็อบบินส์มีการพิสูจน์แล้วว่าเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมร็อบบินส์จะต้องเป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมดหรือจำนวนอตรรกยะทั้งหมด และมีการคาดเดาว่าเส้นทแยงมุมทั้งหมดจะต้องเป็นจำนวนตรรกยะ^{[ 14 ]} ดูเพิ่มเติมที่ รูปหลายเหลี่ยมวงกลม § พื้นที่และความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม

สำหรับรูปห้าเหลี่ยมนูนทั้งหมดที่มีด้านและเส้นทแยงมุมอสมการต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 15 ] : หน้า 75, #1854} ${\displaystyle a,b,c,d,e}$${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$.

รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าไม่สามารถปรากฏในการปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าใดๆ ได้ ประการแรก เพื่อพิสูจน์ว่ารูปห้าเหลี่ยมไม่สามารถสร้างการปูพื้นแบบปกติได้(ซึ่งทุกหน้าเท่ากันทุกประการ ดังนั้นจึงต้องใช้รูปหลายเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปห้าเหลี่ยม) ให้สังเกตว่า360° / 108° = 3 1/3 (โดยที่ 108° คือมุมภายใน) ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงไม่มีรูปห้าเหลี่ยมจำนวนเต็มใดๆ ที่มีจุดยอดร่วมกันเพียงจุดเดียวและไม่มีช่องว่างระหว่างกัน สิ่งที่ยากกว่าคือการพิสูจน์ว่ารูปห้าเหลี่ยมไม่สามารถอยู่ในการปูพื้นแบบขอบชนขอบที่สร้างจากรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าใดๆ ได้:

ความหนาแน่นการบรรจุสูงสุดที่ทราบของรูปห้าเหลี่ยมปกติคือซึ่งได้มาจาก การจัดเรียง แบบตาข่ายคู่ที่แสดงไว้ ในเอกสารก่อนตีพิมพ์ที่เผยแพร่ในปี 2016 โทมัส เฮลส์และโวเดน คุสเนอร์ ได้ประกาศการพิสูจน์ว่าการจัดเรียงแบบตาข่ายคู่ของรูปห้าเหลี่ยมปกติ (ที่รู้จักกันในชื่อ "การออกแบบตาข่ายรูปห้าเหลี่ยมน้ำแข็ง" ของจีน ซึ่งมีมาตั้งแต่ประมาณปี 1900) มีความหนาแน่นที่เหมาะสมที่สุดในบรรดาการจัดเรียงรูปห้าเหลี่ยมปกติทั้งหมดในระนาบ^{[ 16 ]}${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$

ไม่มีการรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมปกติ 4 รูปขึ้นไปที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแล้วมีรูปห้าเหลี่ยมอยู่ สำหรับการรวมกันที่มี 3 รูป ถ้ารูปหลายเหลี่ยม 3 รูปมาบรรจบกันที่จุดยอดและรูปหนึ่งมีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ รูปอีก 2 รูปจะต้องเท่ากันทุกประการ เหตุผลก็คือ รูปหลายเหลี่ยมที่สัมผัสกับขอบของรูปห้าเหลี่ยมจะต้องสลับกันรอบรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากรูปห้าเหลี่ยมมีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ สำหรับรูปห้าเหลี่ยมนี้ จะได้รูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเท่ากับ(360 − 108) / 2 = 126° เมื่อหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมนี้ จะได้360 / (180 − 126) = 6 2/3ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น รูปห้าเหลี่ยมจึงไม่สามารถปรากฏในการปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ได้

มีรูปห้าเหลี่ยม 15 ประเภทที่สามารถปูระนาบได้ด้วยรูปทรงด้านเดียวโดยทั่วไปแล้วรูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้ไม่มีสมมาตรใดๆ เลย แม้ว่าบางรูปจะมีกรณีพิเศษที่มีสมมาตรแบบกระจกเงา

กระเบื้องห้าเหลี่ยมด้านเดียว 15 ชิ้น

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15

ฉันh	ไทย​	ทีดี	โอ	ฉัน	ดี5ดี
ทรงสิบสองเหลี่ยม	ไพริโทเฮดรอน	เตตาทรอยด์	ทรงยี่สิบหน้าห้าเหลี่ยม	เพนทาโกนัลเฮกเซคอนทาเฮดรอน	สี่เหลี่ยมคางหมูตัดยอด

• 
  ภาพตัดขวางรูปห้าเหลี่ยมของกระเจี๊ยบเขียว
• 
  ดอกมอร์นิ่งกลอรี่เช่นเดียวกับดอกไม้อื่นๆ อีกหลายชนิด มีรูปทรงห้าเหลี่ยม
• 
  หลอดกลีบดอกของดอกราฟเฟลเซีย
• 
  เกสรตัวเมียของแอปเปิลประกอบด้วยคาร์เพลห้าอัน เรียงตัวเป็นรูปดาวห้าแฉก
• 
  มะเฟืองเป็นผลไม้อีกชนิดหนึ่งที่มีสมมาตรห้าด้าน

• 
  ดาวทะเล สัตว์ใน กลุ่มเอคิโนเดอร์มหลายชนิดมีสมมาตรแบบรัศมีห้าเท่า
• 
  อีกตัวอย่างหนึ่งของสัตว์ทะเลกลุ่มเอคิโนเดอร์มคือโครงกระดูกภายในของ เม่นทะเล
• 
  ภาพประกอบแสดงดาวเปราะหรือสัตว์ทะเลกลุ่มเอคิโนเดอร์มที่มีรูปร่างห้าเหลี่ยม

• 
  ผลึกกึ่งไอโคซาเฮดรัล Ho-Mg-Zn ก่อตัวเป็นทรงสิบ สองเหลี่ยมห้าเหลี่ยม โดย หน้าของทรงสิบสองซาเฮดรัลเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติแท้จริง
• 
  ผลึก ไพริโท เฮดรัลของไพไรต์ไพริโทเฮดรัลมีหน้าห้าเหลี่ยมที่เหมือนกัน 12 หน้า ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงปกติ
• 
  เหรียญทองคำฟิฟลิง สูงครึ่งเซนติเมตร

• 
  เพนตากอนสำนักงานใหญ่ของกระทรวงกลาโหมสหรัฐอเมริกา
• 
  โฮมเพลทของสนามเบสบอล

• แอสโซซิอาเฮดรอน ; รูปห้าเหลี่ยมเป็นแอสโซซิอาเฮดรอนลำดับที่ 4
• ทรงสิบสองเหลี่ยม (Dodecahedron)คือทรงหลายเหลี่ยมที่มีรูปทรงปกติประกอบด้วยหน้าห้าเหลี่ยม 12 หน้า
• อัตราส่วนทองคำ
• รายชื่อรูปทรงเรขาคณิต
• เลขห้าเหลี่ยม
• เพนทาแกรม
• แผนที่รูปดาวห้าแฉก
• เพนทาสตาร์โลโก้ของไครสเลอร์
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
• ค่าคงที่ตรีโกณมิติสำหรับรูปห้าเหลี่ยม

ลองค้นหาคำว่า "pentagon"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปห้าเหลี่ยมของสหรัฐฯ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เพนตากอน" . แมธเวิลด์ .
• วิดีโอสาธิตการสร้างรูปห้าเหลี่ยมภายในวงกลมโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
• วิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัด
• วิธีพับรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้เพียงกระดาษแผ่นเดียว
• คำจำกัดความและคุณสมบัติของรูปห้าเหลี่ยมพร้อมแอนิเมชันแอนิเมชั่น
• ภาพร่างคร่าวๆ ของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ศิลปินยุคเรเนสซองส์สร้างขึ้น เก็บถาวรเมื่อวันที่ 13 เมษายน 2021 ที่Wayback Machine
• รูปห้าเหลี่ยมวิธีการคำนวณขนาดต่างๆ ของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า