เดมิไฮเปอร์คิวบ์

Q: การค้นพบ

Thorold Gosset ได้อธิบายถึงเดมิเพนเทอร์แร็กต์ในงานตีพิมพ์ปี 1900 ของเขา ซึ่งระบุรายชื่อรูปทรงปกติและกึ่งปกติทั้งหมดใน มิติ n ที่มากกว่าสามมิติ เขาเรียกมันว่า 5-ic กึ่งปกติ และมันก็มีอยู่ในตระกูล โพลีโทป k 21 กึ่งปกติ ด้วย

Q: การก่อสร้าง

โดยแสดงด้วย แผนภาพ Coxeter-Dynkin ของรูปแบบการสร้างสามแบบ:

การสลับตำแหน่งของลูกบาศก์n จะได้ ลูกบาศก์n- ครึ่ง ตัวหนึ่งในสองแบบดังเช่นใน ภาพประกอบ สามมิติของทรงสี่เหลี่ยม สองอัน ที่เกิดขึ้นจากลูกบาศก์ 3-ครึ่งตัวของลูกบาศก์ 3ตัว

ในทางเรขาคณิตเดมิไฮเปอร์คิวบ์_{(เรียกอีกอย่างว่า n-เดมิคิวบ์, n-เฮมิคิวบ์ และโพลีโทปครึ่งขนาด) เป็นกลุ่มของโพลีโทป n}_ที่สร้างขึ้นจากการสลับกันของไฮเปอร์คิวบ์nซึ่งมีป้ายกำกับว่าhγnเนื่องจากเป็นครึ่งหนึ่งของตระกูลไฮเปอร์คิวบ์γnครึ่งหนึ่งของจุดยอดจะถูกลบออกและเกิดหน้าตัดใหม่ขึ้น หน้าตัด 2n จะกลายเป็นเด มิคิวบ์ 2n ( n -1)และ หน้าตัดซิมเพล็กซ์ ^2n-1 ( n -1)จะถูกสร้างขึ้นแทนที่จุดยอดที่ถูกลบออก^[¹^]

รูปทรงเรขาคณิต เหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อโดยเติมคำว่า "เดมิ-"นำหน้าชื่อของไฮเปอร์คิวบ์ แต่ละชนิด เช่น เดมิคิวบ์เดมิเทสเซอแร็กต์เป็นต้น เดมิคิวบ์มีลักษณะเหมือนกับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติและเดมิเทสเซอแร็กต์มีลักษณะเหมือนกับทรง16 เซลล์ ปกติ เดมิเพนเทอร์แร็กต์ถือเป็น รูปทรงกึ่ง ปกติเนื่องจากมีเฉพาะด้านปกติเท่านั้น รูปทรงที่สูงกว่านั้นไม่ได้มีด้านปกติทั้งหมด แต่เป็น รูปทรงหลายเหลี่ยม ที่ มีรูปร่างสม่ำเสมอ ทั้งหมด

กราฟจุดยอด-ขอบ ของเดมิไฮเปอร์คิว บ์ คือกราฟคิวบ์ครึ่งส่วน

ลูกบาศก์nมิติจะมีสมมาตรผกผันก็ต่อ เมื่อnเป็นจำนวนคู่

การค้นพบ

Thorold Gossetได้อธิบายถึงเดมิเพนเทอร์แร็กต์ในงานตีพิมพ์ปี 1900 ของเขา ซึ่งระบุรายชื่อรูปทรงปกติและกึ่งปกติทั้งหมดใน มิติ nที่มากกว่าสามมิติ เขาเรียกมันว่า5-ic กึ่งปกติและมันก็มีอยู่ในตระกูล โพลีโทป k ₂₁ กึ่งปกติ ด้วย

เดมิไฮเปอร์คิวบ์สามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ Schläfli แบบขยาย ในรูปแบบ h{4,3,...,3} โดยเป็นครึ่งหนึ่งของจุดยอดของ {4,3,...,3} รูปทรงจุดยอดของเดมิไฮเปอร์คิวบ์คือซิม เพล็ กซ์n ที่ถูกปรับแก้แล้ว

การก่อสร้าง

โดยแสดงด้วยแผนภาพ Coxeter-Dynkinของรูปแบบการสร้างสามแบบ:

... (ในฐานะออร์โธโทป แบบสลับ ) s{2 ^1,1,...,1 }
...(ในฐานะไฮเปอร์คิวบ์ สลับ ) h{4,3 ^{n −1} }
...(ในฐานะเดมิไฮเปอร์คิวบ์) {3 ^{1, n −3,1} }

นอกจากนี้ HSM Coxeterยังติดป้ายกำกับแผนภาพการแตกแขนงที่สามเป็น1 _{k 1}ซึ่งแสดงถึงความยาวของกิ่งทั้งสาม และนำโดยกิ่งที่มีวงแหวน

ลูกบาศก์ n มิติ ( n-demicube ) โดยที่ nมากกว่า 2 จะมี ขอบ n ( n − 1)/2 ขอบมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด กราฟด้านล่างแสดงจำนวนขอบที่จุดยอดแต่ละจุดยอดน้อยกว่านั้น เนื่องจากมีขอบที่ทับซ้อนกันในการฉายภาพสมมาตร

n	1 _{k 1}	การฉายภาพ ระนาบค็อกซ์เตอร์	สัญลักษณ์ Schläfli	แผนภาพ Coxeter A ₁ⁿ B _n D _n	องค์ประกอบ										เหลี่ยมมุม : เดมิไฮเปอร์คิวบ์และซิมเพล็กซ์	รูปจุดยอด
n	1 _{k 1}	การฉายภาพ ระนาบค็อกซ์เตอร์	สัญลักษณ์ Schläfli	แผนภาพ Coxeter A ₁ⁿ B _n D _n	จุดยอด	ขอบ	ใบหน้า	เซลล์	4 หน้า	5 หน้า	6 หน้า	7 หน้า	8 หน้า	9 หน้า	เหลี่ยมมุม : เดมิไฮเปอร์คิวบ์และซิมเพล็กซ์	รูปจุดยอด
2	1 _−1,1	ครึ่งสี่เหลี่ยม ( ไดกอน )	s{2} h{4} {3 ^1,−1,1 }		2	2									ขอบ 2 ด้าน	--
3	1 ₀₁	เดมิคิวบ์ ( ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า )	s{2 ^1,1 } h{4,3} {3 ^1,0,1 }		4	6	4								(6 ไดกอน ) 4 สามเหลี่ยม	รูปสามเหลี่ยม(สามเหลี่ยมด้านเท่า)
4	1 ₁₁	เดมิเทสเซอแร็กต์ ( 16 เซลล์ )	s{2 ^1,1,1 } h{4,3,3} {3 ^1,1,1 }		8	24	32	16							8 ลูกบาศก์ครึ่ง(ทรงสี่หน้า) 8 ทรงสี่หน้า	ทรงแปดเหลี่ยม (ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปรับแก้)
5	1 ₂₁	เดมิเพนเทอร์แรค	s{2 ^1,1,1,1 } h{4,3 ³ }{3 ^1,2,1 }		16	80	160	120	26						10 16 เซลล์ 16 5 เซลล์	เซลล์ 5 เซลล์ที่แก้ไขแล้ว
6	1 ₃₁	เดมิเฮกเซอแร็กต์	s{2 ^1,1,1,1,1 } h{4,3 ⁴ }{3 ^1,3,1 }		32	240	640	640	252	44					12 demienteracts 32 5- ความเรียบง่าย	เฮกซาเทอรอนที่แก้ไขแล้ว
7	1 ₄₁	เดมิเฮปเทอแร็กต์	s{2 ^1,1,1,1,1,1 } h{4,3 ⁵ }{3 ^1,4,1 }		64	672	2240	2800	1624	532	78				14 เดมิเฮกเซอร์แอคต์ 64 6- แบบง่าย	การแก้ไข 6-ซิมเพล็กซ์
8	1 ₅₁	เดมิออคเทอแร็กต์	s{2 ^{1,1,1,1,1,1,1} } h{4,3 ⁶ }{3 ^1,5,1 }		128	ค.ศ. 1792	7168	10752	8288	4032	1136	144			16 demihepteracts 128 7- แบบง่าย	การแก้ไข 7-ซิมเพล็กซ์
9	1 ₆₁	เดเมียนเนอแร็กต์	s{2 ^{1,1,1,1,1,1,1,1} } h{4,3 ⁷ }{3 ^1,6,1 }		256	4608	21504	37632	36288	23520	9888	2448	274		18 เดมิออคเทอแรคต์ 256 8- แบบง่าย	การแก้ไข 8-ซิมเพล็กซ์
10	1 ₇₁	เดไมด์เคอแร็กต์	s{2 ^{1,1,1,1,1,1,1,1,1} } h{4,3 ⁸ }{3 ^1,7,1 }		512	11520	61440	122880	142464	115584	64800	24000	5300	532	20 การหักล้าง 512 9- ความเรียบง่าย	การแก้ไข 9-ซิมเพล็กซ์
...
n	1 _{n −3,1}	n-เดมิคิวบ์	s{2 ^1,1,...,1 } h{4,3 ^{n −2} }{3 ^{1, n −3,1} }	.........	2 ^{n −1}										2 n ( n − 1)-เดมิคิวบ์2 ^{n −1} ( n − 1)- ความเรียบง่าย	ซิมเพล็กซ์แก้ไข ( n − 1)

โดยทั่วไปแล้ว องค์ประกอบของเดมิคิวบ์สามารถกำหนดได้จากn-คิวบ์ดั้งเดิม: (โดยที่ C _{n , m} = จำนวนหน้าลำดับ ^ที่ mในn-คิวบ์ = 2 ^{n − m} n !/( m !( n − m )!))

จุดยอด: D _{n ,0} = 1/2 C _{n ,0} = 2 ^{n −1} ( เหลือจุดยอดของลูกบาศก์ n ครึ่งหนึ่ง )
ขอบ: D _{n ,1} = C _{n ,2} = 1/2 n ( n – 1) 2 ^{n −2} (ขอบเดิมทั้งหมดหายไป แต่ละหน้าสี่เหลี่ยมสร้างขอบใหม่)
หน้า: D _{n ,2} = 4 * C _{n ,3} = 2/3 n ( n − 1)( n − 2) 2 ^{n −3} (หน้าเดิมทั้งหมดหายไป ลูกบาศก์แต่ละลูกสร้างหน้าสามเหลี่ยมใหม่ 4 หน้า)
เซลล์: D _{n ,3} = C _{n ,3} + 2 ³ C _{n ,4} (ทรงสี่หน้าจากเซลล์เดิมบวกกับเซลล์ใหม่)
ไฮเปอร์เซลล์: D _{n ,4} = C _{n ,4} + 2 ⁴ C _{n ,5} (เซลล์ 16 เซลล์และเซลล์ 5 เซลล์ตามลำดับ)
...
[สำหรับm = 3, ... , n − 1]: D _{n , m} = C _{n , m} + 2 ^m C _{n , m +1} ( m -เดมิคิวบ์และm -ซิมเพล็กซ์ ตามลำดับ)
...
ด้านต่างๆ: D _{n , n −1} = 2 n + 2 ^{n −1} (( n − 1)-เดมิคิวบ์และ ( n − 1)-ซิมเพล็กซ์ ตามลำดับ)

กลุ่มสมมาตร

ตัวรักษาเสถียรภาพของเดมิไฮเปอร์คิวบ์ในกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัล ( กลุ่มค็อกเซเตอร์ [4,3 ⁿ⁻¹ ]) มีดัชนี 2 เป็นกลุ่มค็อกเซเตอร์[3 ⁿ^−3,1,1 ] ที่มีอันดับและสร้างขึ้นโดยการเรียงสับเปลี่ยนของแกนพิกัดและการสะท้อนตามคู่ของแกนพิกัด^[²^] $BC_{n}$ $D_{n},$ $2^{n-1}n!$

โครงสร้างออร์โธโทปิก

โครงสร้างแบบออร์โธโทป สลับกัน จะมีโทโพโลยีเหมือนกัน แต่สามารถยืดออกได้ด้วยความยาวที่แตกต่างกันในแกนสมมาตร n แกน

ดิสฟีนอยด์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวอย่างสามมิติของทรงลูกบาศก์สลับด้าน มีความยาวด้านสามชุด และหน้า เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

โอลเชฟสกี, จอร์จ. "รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบครึ่งวัด" . อภิธานศัพท์สำหรับไฮเปอร์สเปซ . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 4 กุมภาพันธ์ 2550.

วี ที อี โพลีโทปนูน ปกติและสม่ำเสมอพื้นฐานในมิติ 2–10
ตระกูล	$หนึ่ง $	$บี เอ็น$	$I 2 (p)$ / $D n$	$อี 6$ / $อี 7$ / $อี 8$ / $เอฟ 4$ / $จี 2$	$เอช เอ็น$
รูปหลายเหลี่ยมปกติ	สามเหลี่ยม	สี่เหลี่ยม	พี-กอน	หกเหลี่ยม	เพนตากอน
ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ	จัตุรมุข	ทรงแปดเหลี่ยม • ทรงลูกบาศก์	เดมิคิวบ์		ทรงสิบสองเหลี่ยม • ทรงยี่สิบเหลี่ยม
โพลีโครอนแบบสม่ำเสมอ	เพนทาโครอน	เทสเซอแร็กต์ 16 เซลล์	เดมิเทสเซอแร็กต์	24 เซลล์	120 เซลล์ • 600 เซลล์
โพลีโทป 5 เหลี่ยมสม่ำเสมอ	5-ซิมเพล็กซ์	5-ออร์โธเพล็กซ์ • 5-คิวบ์	5-เดมิคิวบ์
โพลีโทป 6 รูปทรงสม่ำเสมอ	6-ซิมเพล็กซ์	6-ออร์โธเพล็กซ์ • 6-คิวบ์	6-เดมิคิวบ์	1 ₂₂ • 2 ₂₁
โพลีโทป 7 รูปทรงสม่ำเสมอ	7-ซิมเพล็กซ์	7-ออร์โธเพล็กซ์ • 7-คิวบ์	7-เดมิคิวบ์	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
โพลีโทป 8 รูปทรงสม่ำเสมอ	8-ซิมเพล็กซ์	8-ออร์โธเพล็กซ์ • 8-คิวบ์	8-เดมิคิวบ์	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
โพลีโทป 9 รูปทรงสม่ำเสมอ	9-ซิมเพล็กซ์	9-ออร์โธเพล็กซ์ • 9-คิวบ์	9-เดมิคิวบ์
โพลีโทป 10 รูปทรงสม่ำเสมอ	10-ซิมเพล็กซ์	10-ออร์โธเพล็กซ์ • 10-คิวบ์	10 เดมิคิวบ์
โพลีโทปnสม่ำเสมอ	n - ซิมเพล็กซ์	n - ออร์โธเพล็กซ์ • n - คิวบ์	n - เดมิคิวบ์	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - โพลีโทปห้าเหลี่ยม
หัวข้อ: ตระกูลของรูปทรงหลายเหลี่ยม • รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ • รายชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ • การดำเนินการกับรูปทรงหลายเหลี่ยม

[

[