รูปสามเหลี่ยมหรือรูปสามเหลี่ยม^{[ 1 ]}เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุมและสามด้าน ซึ่งเป็นหนึ่งในรูปทรง พื้นฐาน ในเรขาคณิตมุมหรือที่เรียกว่าจุดยอดเป็นจุดศูนย์ มิติ ในขณะที่ด้านที่เชื่อมต่อมุมหรือที่เรียกว่าขอบเป็นส่วนของเส้นตรงหนึ่งมิติ รูปสามเหลี่ยมมีมุมภายใน สามมุม แต่ละมุมถูกล้อมรอบด้วยขอบที่อยู่ติดกันสองคู่ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับมุมตรง เสมอ (180 องศาหรือ π เรเดียน) รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงระนาบและภายในของมันเป็นบริเวณระนาบบางครั้งขอบใดๆ จะถูกเลือกให้เป็นฐานในกรณีนี้จุดยอดตรงข้ามจะเรียกว่าจุดยอดส่วนที่สั้นที่สุดระหว่างฐานและจุดยอดคือความสูงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวฐาน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดจุดสองจุดใดๆ จะกำหนดส่วนของเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งอยู่บนเส้นตรง เดียวกัน และจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะกำหนดรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งอยู่บน ระนาบแบนที่ไม่ซ้ำกันโดยทั่วไปแล้ว จุดสี่จุดในปริภูมิยุคลิดสามมิติจะกำหนดรูปทรง เรขาคณิตสามมิติ ที่เรียกว่าทรงสี่หน้า

ในเรขาคณิตนอกยุคลิดเส้นตรงสามเส้นยังกำหนด "สามเหลี่ยม" ได้อีกด้วย เช่นสามเหลี่ยมทรงกลมหรือสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกสามเหลี่ยมจี โอเดสิกคือบริเวณบน พื้นผิวสองมิติทั่วไปที่ล้อมรอบด้วยด้านสามด้านที่เป็นเส้นตรงเมื่อเทียบกับพื้นผิว ( เส้นจีโอเดสิก )รูปสามเหลี่ยมโค้งคือรูปทรงที่มีโค้งด้าน ตัวอย่างเช่นรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีโค้งของวงกลม(บทความนี้กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมด้านตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด ยกเว้นกรณีที่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น)

รูปสามเหลี่ยมถูกแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ โดยพิจารณาจากมุมและความยาวด้าน ความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวด้านเป็นหัวข้อหลักของตรีโกณมิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์จะเชื่อมโยงความยาวด้านและมุมในรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมคือรูปทรงที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามส่วน โดยแต่ละส่วนมีจุดปลายเชื่อมต่อกัน ส่วนของเส้นตรงเหล่านี้เรียกว่าด้าน และจุดปลายหรือมุมเรียกว่าจุดยอดหรือมุม^{[ 2 ]}ดังนั้นจึงเกิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านและสามมุม คำศัพท์ที่ใช้ในการจำแนกประเภทของรูปสามเหลี่ยมมีอายุมากกว่าสองพันปี โดยได้รับการกำหนดไว้ในหนังสือเล่มแรกของElements ของยูคลิด [ ^{3 ] ชื่อ}ที่ใช้ในการจำแนกประเภทสมัยใหม่เป็นการถอดความโดยตรงจากภาษากรีกของยูคลิดหรือการแปลเป็นภาษาละติน

^{รูปสามเหลี่ยมมีหลาย ประเภท}โดยพิจารณาจากความยาวของด้านและมุม รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า [ ^{4 ]}รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากันเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว [ ^{5 ] [ a ]} ​​และรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสามด้านยาวต่างกันเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า [ ^{8 ] รูป}สามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็นมุมฉากเรียกว่ารูป^{สามเหลี่ยมมุมฉาก}รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมน้อยกว่ามุมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมและรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมากกว่ามุมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน^{[ 9 ]}คำจำกัดความเหล่านี้มีมาอย่างน้อยตั้งแต่สมัยยูคลิด^{[ 10 ]}

• 
  สามเหลี่ยมด้านเท่า
• 
  สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
• 
  สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

• 
  สามเหลี่ยมมุมฉาก
• 
  สามเหลี่ยมมุมแหลม
• 
  สามเหลี่ยมมุมป้าน

รูปทรงสามเหลี่ยมที่พบได้ทั่วไป (จากซ้ายบนไปขวาล่าง) ได้แก่พีระมิดอียิปต์ที่มีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว หน้าจั่วแหลมเหนือประตูแซงต์-เอเตียนของมหาวิหารนอเทรอดามแห่งปารีสป้ายหยุดรถรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วปกติที่มีหน้าสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่หน้า

รูปสามเหลี่ยมทุกประเภทพบได้ทั่วไปในชีวิตจริง ในการก่อสร้างที่มนุษย์สร้างขึ้น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วอาจพบได้ในรูปทรงของหน้าจั่วและหน้าจั่วและรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถพบได้ในป้ายหยุด^{[ 11 ]} บางครั้ง หน้าของมหาพีระมิดแห่งกิซาถูกพิจารณาว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่การวัดที่แม่นยำกว่าแสดงให้เห็นว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแทน^{[ 12 ]}การปรากฏตัวอื่นๆ ได้แก่ สัญลักษณ์ ^ทางตราประจำตระกูลเช่นธงชาติเซนต์ลูเซียและธงชาติฟิลิปปินส์ [ ^{13 ]}และโครงสร้างที่ใช้ในเรขาคณิตโมเลกุล^{[ 14 ]}

รูปสามเหลี่ยมยังปรากฏในวัตถุสามมิติด้วย โพลีเฮดรอนเป็นทรงตันที่มีขอบเขตปกคลุมด้วย รูปหลาย เหลี่ยม แบน ที่เรียกว่าหน้า มุมแหลมที่เรียกว่าจุดยอด และส่วนของเส้นตรงที่เรียกว่าขอบ โพลีเฮดรอนในบางกรณีสามารถจำแนกประเภทได้โดยพิจารณาจากรูปร่างของหน้า ตัวอย่างเช่น เมื่อโพลีเฮดรอนมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นหน้าทั้งหมด จะเรียกว่าเดลตาเฮดรอน [ ^{15 ] แอ}นติปริซึมมีรูปสามเหลี่ยมสลับกันที่ด้านข้าง^{[ 16 ]}พีระมิดและไบพีระมิดเป็นโพลีเฮดรอนที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและมีรูปสามเหลี่ยมเป็นหน้าด้านข้าง รูปสามเหลี่ยมจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเมื่อใดก็ตามที่เป็นพีระมิดและไบพีระมิดมุมฉาก เคลโทปของโพลีเฮดรอนเป็นโพลีเฮดรอนใหม่ที่สร้างขึ้นโดยการแทนที่แต่ละหน้าของโพลีเฮดรอนเดิมด้วยพีระมิด ดังนั้นหน้าของเคลโทปจะเป็นรูปสามเหลี่ยม^{[ 17 ]}โดยทั่วไปแล้ว สามเหลี่ยมสามารถพบได้ในมิติที่สูงกว่า เช่น แนวคิดทั่วไปของสามเหลี่ยมที่เรียกว่าซิมเพล็กซ์และโพลีโทป ที่มี หน้าสามเหลี่ยมที่เรียกว่าโพลีโทปซิมพลิเชียล^{[ 18 ]}

แต่ละสามเหลี่ยมมีจุดพิเศษมากมายอยู่ภายใน บนขอบ หรือเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมนั้น จุดเหล่านี้สร้างขึ้นโดยการหาเส้นตรงสามเส้นที่สัมพันธ์กันแบบสมมาตรกับด้านทั้งสาม (หรือจุดยอด) แล้วพิสูจน์ว่าเส้นตรงทั้งสามเส้นนั้นมาบรรจบกันที่จุดเดียว เครื่องมือสำคัญในการพิสูจน์การมีอยู่ของจุดเหล่านี้คือทฤษฎีบทของ Cevaซึ่งให้เกณฑ์ในการพิจารณาว่าเส้นตรงสามเส้นดังกล่าว มา บรรจบกัน ที่จุดเดียวหรือ ไม่^{[ 19 ]}ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมักสร้างขึ้นโดยการพิสูจน์ว่าจุดสามจุดที่สร้างขึ้นแบบสมมาตรนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกันในที่นี้ทฤษฎีบทของ Menelausให้เกณฑ์ทั่วไปที่เป็นประโยชน์^{[ 20 ]}ในส่วนนี้ จะอธิบายการสร้างที่พบได้บ่อยที่สุดเพียงไม่กี่แบบเท่านั้น

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านของสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของด้านและตั้งฉากกับด้านนั้น ทำให้เกิดมุมฉากกับด้านนั้น^{[ 21 ]}เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามเส้นมาบรรจบกันที่จุดเดียว ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลาง วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม ล้อมรอบ ซึ่งเป็นวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามจุด^{[ 22 ]}ทฤษฎีบทของทาเลสบ่งชี้ว่า ถ้าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบอยู่บนด้านของสามเหลี่ยม มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก^{[ 23 ]}ถ้าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบอยู่ภายในสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบอยู่ภายนอกสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน^{[ 24 ]}

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมคือจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน

จุดตัดของเส้นมัธยฐานเรียกว่าจุดศูนย์กลาง มวล

จุดตัดของเส้นระดับความสูงคือจุดศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์

เส้นความสูงของสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉากกับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนี้เรียกว่าฐานของเส้นความสูง และจุดที่เส้นความสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ต่อขยาย) เรียกว่าปลายของเส้นความสูง^{[ 25 ]}ความยาวของเส้นความสูงคือระยะห่างระหว่างฐานกับจุดยอด เส้นความสูงทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดเดียว เรียกว่าจุดศูนย์กลางความตั้งฉากของสามเหลี่ยม^{[ 26 ]}จุดศูนย์กลางความตั้งฉากจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม^{[ 27 ]}

วงกลมเก้าจุดแสดงถึงสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนขอบของสามเหลี่ยม เส้นของออยเลอร์เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดออร์โธเซ็นเตอร์ (สีน้ำเงิน) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง) จุดเซนทรอยด์ (สีส้ม) และจุดเซอร์คัมเซ็นเตอร์ (สีเขียว)

เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและแบ่งมุมที่สอดคล้องกันออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดเดียว เรียกว่าจุดศูนย์กลาง วงกลมแนบ ใน ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบ ในของสามเหลี่ยม วงกลมแนบในเป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ภายในสามเหลี่ยม มันสัมผัสกับด้านทั้งสามด้าน รัศมีของมันเรียกว่า รัศมีวงกลมแนบใน นอกจากนี้ยังมีวงกลมสำคัญอีกสามวง เรียกว่า วงกลมแนบนอกซึ่งอยู่ภายนอกสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้าน รวมถึงส่วนขยายของอีกสองด้าน จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกก่อให้เกิดระบบออร์โธเซนทริก [ ^{28 ] จุด}กึ่งกลางของด้านทั้งสามและจุดปลายของเส้นความสูงทั้งสามอยู่บนวงกลมเดียวกัน เรียกว่า วงกลมเก้าจุดของสามเหลี่ยม[ 29 ^{]จุดอีก}สามจุดที่เหลือซึ่งเป็นที่มาของชื่อวงกลมเก้าจุดนั้น เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นความสูงระหว่างจุดยอดและจุดศูนย์กลางออร์โธเซนทริกรัศมีของวงกลมเก้าจุดเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีของวงกลมล้อมรอบ เส้นนี้สัมผัสวงกลมภายใน (ที่จุดเฟือร์บัค ) และ วงกลมภายนอกทั้งสามวงจุดออร์โธเซ็นเตอร์ (จุดสีน้ำเงิน) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง) จุดเซนทรอยด์ (สีส้ม) และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ (สีเขียว) ทั้งหมดอยู่บนเส้นเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าเส้นออยเลอร์ (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่ตรงจุดกึ่งกลางระหว่างจุดออร์โธเซ็นเตอร์และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ และระยะห่างระหว่างจุดเซนทรอยด์และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบเป็นครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุดเซนทรอยด์และจุดออร์โธเซ็นเตอร์^{[ 29 ]}โดยทั่วไป จุดศูนย์กลางของวงกลมภายในไม่ได้อยู่บนเส้นออยเลอร์^{[ 30 ] [ 31 ]}

เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม และแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองพื้นที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางมวลหรือจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตของสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปสามเหลี่ยมแข็ง (ที่ตัดจากแผ่นบางที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ) ก็คือจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ นั้นด้วย กล่าว คือ วัตถุสามารถทรงตัวอยู่บนจุดศูนย์กลางมวลได้ในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ^{[ 32 ]}จุดศูนย์กลางมวลตัดกับเส้นมัธยฐานทุกเส้นในอัตราส่วน 2:1 กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดศูนย์กลางมวลเป็นสองเท่าของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางมวลกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ถ้าเราสะท้อนเส้นมัธยฐานในเส้นแบ่งครึ่งมุมที่ผ่านจุดยอดเดียวกัน เราจะได้เส้นซิมมีเดียน เส้นซิมมีเดียนทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งก็คือจุดซิมมีเดียนของสามเหลี่ยม^{[ 33 ]}

ผลรวมของขนาดของมุมภายในของสามเหลี่ยมในปริภูมิยุคลิดมีค่าเท่ากับ 180 องศาเสมอ^{[ 34 ]}ข้อเท็จจริงนี้เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน ของยุคลิด ซึ่งทำให้สามารถกำหนดขนาดของมุมที่สามของสามเหลี่ยมใดๆ ได้ เมื่อทราบขนาดของมุมสองมุม^{[ 35 ]}มุมภายนอกของสามเหลี่ยมคือมุมที่เป็นคู่เส้นตรง (และดังนั้นจึงเป็นมุมเสริม ) กับมุมภายใน ขนาดของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับผลรวมของขนาดของมุมภายในสองมุมที่ไม่ติดกับมุมนั้น นี่คือทฤษฎีบทมุมภายนอก^{[ 36 ]}ผลรวมของขนาดของมุมภายนอกทั้งสามมุม (มุมละหนึ่งมุมสำหรับแต่ละจุดยอด) ของสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเท่ากับ 360 องศา และในความเป็นจริงแล้ว ข้อนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ไม่ว่าจะมีด้านกี่ด้านก็ตาม^{[ 37 ]}

ความสัมพันธ์อีกประการหนึ่งระหว่างมุมภายในและสามเหลี่ยมสร้างแนวคิดใหม่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักคือไซน์และโคไซน์รวมถึงฟังก์ชันอื่นๆ ด้วย ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถกำหนดได้ว่าเป็นอัตราส่วนระหว่างด้านสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉาก^{[ 38 ]} ในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถใช้เพื่อหาค่าที่ไม่ทราบของด้านหรือมุมภายใน วิธีการ ทำเช่นนั้นใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์^{[ 39 ]}

มุมสามมุมใดๆ ที่รวมกันได้ 180° สามารถเป็นมุมภายในของสามเหลี่ยมได้ สามเหลี่ยมจำนวนอนันต์มีมุมเดียวกัน เนื่องจากการระบุมุมของสามเหลี่ยมไม่ได้กำหนดขนาดของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมเสื่อมสภาพที่มีจุดยอด อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีมุมภายใน 0° และ 180° การที่รูปทรงดังกล่าวจะนับเป็นสามเหลี่ยมหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับข้อตกลง^{[ 40 ] [ 41 ]}เงื่อนไขสำหรับมุมสามมุม, , และซึ่งแต่ละมุมอยู่ระหว่าง 0° ถึง 180° ที่จะเป็นมุมของสามเหลี่ยมสามารถระบุได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมที่มีมุม, , และจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ^{[ 42 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1.}$$

สามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกันหากมุมทุกมุมของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดเท่ากับมุมที่สอดคล้องกันในสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะมีขนาดความยาวเป็นสัดส่วนเดียวกัน และคุณสมบัตินี้ก็เพียงพอที่จะสร้างความคล้ายคลึงกันได้^{[ 43 ]}

ทฤษฎีบทพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับสามเหลี่ยมคล้ายมีดังนี้:

• ถ้ามุมภายในคู่หนึ่งของสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดเท่ากัน และมุมภายในอีกคู่หนึ่งก็มีขนาดเท่ากันด้วย สามเหลี่ยมทั้งสองจึงจะคล้ายกัน^{[ 44 ]}
• ถ้าและเฉพาะเมื่อด้านที่สอดคล้องกันคู่หนึ่งของสามเหลี่ยมสองรูปมีสัดส่วนเดียวกันกับด้านที่สอดคล้องกันอีกคู่หนึ่ง และมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองจึงจะคล้ายกัน^{[ 45 ]} ( มุมที่อยู่ระหว่างด้านสองด้านใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมคือมุมภายในระหว่างด้านทั้งสองนั้น)
• ถ้าและเฉพาะเมื่อด้านที่สอดคล้องกันสามคู่ของสามเหลี่ยมสองรูปมีสัดส่วนเท่ากันทั้งหมด สามเหลี่ยมทั้งสองจึงจะคล้ายกัน^[ข]

สามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการจะมีขนาดและรูปร่างเหมือนกันทุกประการ สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการทุกคู่จะเป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกันด้วย แต่สามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกคู่ไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกประการเสมอไป เมื่อกำหนดสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการมาให้ มุมภายในที่สอดคล้องกันทุกคู่จะมีขนาดเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันทุกคู่จะมีขนาดความยาวเท่ากัน นี่คือความเท่าเทียมกันทั้งหมดหกประการ แต่โดยทั่วไปแล้วสามประการก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการได้^{[ 46 ]}

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอบางประการสำหรับสามเหลี่ยมคู่หนึ่งที่จะเท่ากันทุกประการมีดังนี้: ^{[ 47 ]}

• หลักการ SAS: ด้านสองด้านในสามเหลี่ยมด้านหนึ่งมีความยาวเท่ากับด้านสองด้านในสามเหลี่ยมอีกด้านหนึ่ง และมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน
• มาตรฐาน ASA: มุมภายในสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างมุมทั้งสองในสามเหลี่ยมด้านหนึ่งจะมีขนาดและความยาวเท่ากับมุมภายในสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างมุมทั้งสองนั้นในสามเหลี่ยมอีกด้านหนึ่ง (นี่คือหลักการพื้นฐานของการสำรวจโดยใช้หลักสามเหลี่ยม )
• SSS: ด้านแต่ละด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความยาวเท่ากับด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง
• AAS: มุมสองมุมและด้านที่สอดคล้องกัน (ไม่รวมอยู่ระหว่างมุมทั้งสอง) ในสามเหลี่ยมด้านหนึ่งจะมีขนาดและความยาวเท่ากับมุมและด้านที่สอดคล้องกันในสามเหลี่ยมอีกด้านหนึ่ง (บางครั้งอาจเรียกว่าAAcorrSแล้วจึงรวม ASA ไว้ด้านบน)

ในระนาบยุคลิดพื้นที่ถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ซึ่งมีพื้นที่ 1 มีหลายวิธีในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ วิธีที่เก่าแก่และง่ายที่สุดวิธีหนึ่งคือการนำครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวด้านหนึ่ง⁠ ⁠${\displaystyle b}$ (ฐาน) คูณด้วยความสูงที่สอดคล้องกัน⁠ ⁠${\displaystyle h}$ : ^{[ 48 ]}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$$

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการตัดรูปสามเหลี่ยมและสำเนาที่เหมือนกันออกเป็นชิ้น ๆ แล้ว นำ ชิ้นส่วนเหล่านั้นมาจัดเรียงใหม่ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน⁠ ⁠${\displaystyle b}$และความสูง⁠ ⁠${\displaystyle h}$

ถ้าทราบ ความยาวด้านสองด้าน ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle b}$และมุมระหว่างด้านทั้งสอง แล้ว สามารถคำนวณความสูงได้โดยใช้ตรีโกณมิติ ⁠ ⁠ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle h=a\sin(\gamma )}$$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

สูตรของเฮรอนซึ่งตั้งชื่อตามเฮรอนแห่งอเล็กซานเดรีย^เป็นสูตรสำหรับหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมจากความยาวด้าน, , โดยให้เป็น ครึ่งเส้นรอบรูป [ ^{49 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$$${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.}$$

เนื่องจากอัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของรูปทรงในระนาบเดียวกันจะถูกรักษาไว้โดยการแปลงเชิงเส้นตรงพื้นที่สัมพัทธ์ของรูปสามเหลี่ยมในระนาบเชิงเส้นตรง ใดๆ จึงสามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงแนวคิดเรื่องระยะทางหรือกำลังสอง ในปริภูมิเชิงเส้นตรงใดๆ (รวมถึงระนาบยุคลิด) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีฐานเดียวกันและพื้นที่ที่กำหนดทิศทางจะมีจุดยอด (จุดยอดที่สาม) อยู่บนเส้นขนานกับฐาน และพื้นที่ร่วมกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเดียวกันซึ่งด้านตรงข้ามอยู่บนเส้นขนาน วิธีการเชิงเส้นตรงนี้ได้รับการพัฒนาในหนังสือเล่มที่ 1 ของElements ของยุค ลิด^{[ 50 ]}

เมื่อกำหนดพิกัดเชิงเส้น (เช่นพิกัดคาร์ทีเซียน ) ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$สำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยม พื้นที่เชิงมุมสัมพัทธ์ของสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเชือกผูกรองเท้า

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2}}(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{A}y_{C}),\end{aligned}}}$$

โดยที่ตัวกำหนดเมทริกซ์คือ^{[ 51 ]}${\displaystyle |\cdot |}$

อสมการสามเหลี่ยมระบุว่าผลรวมของความยาวด้านสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับความยาวด้านที่สาม^{[ 52 ]}ในทางกลับกัน สามเหลี่ยมบางรูปที่มีด้านยาวบวกสามด้านที่กำหนดจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อความยาวด้านเหล่านั้นเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม^{[ 53 ]}ผลรวมของความยาวด้านสองด้านจะเท่ากับความยาวด้านที่สามได้เฉพาะในกรณีของสามเหลี่ยมเสื่อมสภาพ ซึ่งเป็นสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ต่างจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งอาจยุบตัวกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ได้ จากการกดที่จุดใดจุดหนึ่ง^{[ 54 ]}รูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแรงเพราะการกำหนดความยาวของด้านทั้งสามด้านจะกำหนดมุม^{[ 55 ]}ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนรูปร่างเว้นแต่ด้านของมันจะงอ ยืดออก หัก หรือข้อต่อจะแตก โดยพื้นฐานแล้ว ด้านทั้งสามด้านแต่ละด้านจะรองรับอีกสองด้าน ในทางตรงกันข้าม รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะขึ้นอยู่กับความแข็งแรงของข้อต่อในเชิงโครงสร้างมากกว่า ด้วยเหตุนี้ รูปสี่เหลี่ยมที่มีโครงสร้างจึงมักสร้างขึ้นโดยใช้ข้อต่อแนวทแยงเพื่อแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่แข็งแรงสองรูป

ในทางคณิตศาสตร์ รูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแกร่งในแง่ที่ว่าจะมีรูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่เป็นไปได้จากการรวมกันของความยาวด้านทั้งสามด้านกล่าวคือ มุมไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้

รูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแรงในแง่ของความแข็งแกร่ง แต่เมื่อนำมาเรียงต่อกันเป็น รูปสามเหลี่ยม แบบเทสเซลเลชันแล้วความแข็งแรงของรูปสามเหลี่ยมจะไม่เท่ากับรูปหกเหลี่ยมเมื่อถูกแรงอัด (ดังนั้นจึงพบรูปทรงหกเหลี่ยมได้ทั่วไปในธรรมชาติ ) อย่างไรก็ตาม รูปสามเหลี่ยมแบบเทสเซลเลชันยังคงมีความแข็งแรงเหนือกว่าสำหรับการรับแรงแบบคานยื่นซึ่งเป็นเหตุผลที่วิศวกรรมใช้โครงสร้างแบบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

การสร้างรูปสามเหลี่ยมหมายถึงการแบ่งวัตถุระนาบใดๆ ออกเป็นกลุ่มของรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ในการสร้างรูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมรูปหลายเหลี่ยมจะถูกแบ่งย่อยออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายรูปที่เชื่อมต่อกันแบบขอบต่อขอบ โดยมีคุณสมบัติว่าจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นตรงกับเซตของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม^{[ 56 ]}ในกรณีของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายที่มีด้าน จะมีรูปสามเหลี่ยมที่แยกจากกันด้วยเส้นทแยงมุม การสร้างรูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายมีความสัมพันธ์กับ " หู"ซึ่งเป็นจุดยอดที่เชื่อมต่อด้วยจุดยอดอีกสองจุด โดยเส้นทแยงมุมระหว่างจุดยอดทั้งสองนั้นอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดทฤษฎีบทสองหูระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายทุกรูปที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมจะมีหูอย่างน้อยสองหู^{[ 57 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-3}$

วิธีหนึ่งในการระบุตำแหน่งของจุดภายใน (หรือภายนอก) สามเหลี่ยมคือการวางสามเหลี่ยมในตำแหน่งและทิศทางที่กำหนดในระนาบคาร์ทีเซียนและใช้พิกัดคาร์ทีเซียน แม้ว่าวิธีนี้จะสะดวกสำหรับวัตถุประสงค์หลายประการ แต่ก็มีข้อเสียคือค่าพิกัดของจุดทั้งหมดขึ้นอยู่กับการวางตำแหน่งที่กำหนดในระนาบ^{[ 58 ]}

ระบบสองระบบหลีกเลี่ยงคุณลักษณะดังกล่าว ดังนั้นพิกัดของจุดจึงไม่ได้รับผลกระทบจากการเคลื่อนย้ายสามเหลี่ยม การหมุน หรือการสะท้อนเหมือนในกระจก ซึ่งทั้งหมดนี้จะให้สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ หรือแม้แต่การปรับขนาดให้เป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน: ^{[ 59 ]}

• พิกัดสามมิติระบุระยะห่างสัมพัทธ์ของจุดจากด้านต่างๆ โดยที่พิกัดจะบ่งชี้ว่าอัตราส่วนของระยะห่างของจุดจากด้านแรกต่อระยะห่างจากด้านที่สองคือเป็นต้น${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle x:y}$
• พิกัดแบบแบรีเซนทริกในรูปแบบนี้ระบุตำแหน่งของจุดโดยใช้ค่าน้ำหนักสัมพัทธ์ที่จะต้องกำหนดให้กับจุดยอดทั้งสามจุดเพื่อให้สามเหลี่ยมที่ไร้น้ำหนักบนจุดที่กำหนดนั้นสมดุลกัน${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงกลมภายใน (วงกลมแนบใน) ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งอยู่ภายในสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านทั้งสามด้าน สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงรีแนบในของสไตเนอร์ ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งอยู่ภายในสามเหลี่ยมและสัมผัสที่จุดกึ่งกลางของด้านต่างๆทฤษฎีบทของมาร์เดนแสดงวิธีการหา จุด โฟกัสของวงรีนี้^{[ 60 ]}วงรีนี้มีพื้นที่มากที่สุดในบรรดาวงรีที่สัมผัสกับด้านทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม วงรีแนบ ในของ แมนดาร์ทของสามเหลี่ยมคือวงรีที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมซึ่งสัมผัสกับด้านต่างๆ ที่จุดสัมผัสของวงกลมแนบนอก สำหรับวงรีใดๆ ที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมให้จุดโฟกัสเป็นและแล้ว: ^{[ 61 ]}${\displaystyle ABC}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

สามเหลี่ยมเพดัลและสามเหลี่ยมเกอร์กอนน์

จากจุดภายในในสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดที่ใกล้ที่สุดบนด้านทั้งสามจะทำหน้าที่เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมเพดัลของจุดนั้น ถ้าจุดภายในเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดยอดของสามเหลี่ยมเพดัลจะเป็นจุดกึ่งกลางของด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิง ดังนั้นสามเหลี่ยมเพดัลจึงเรียกว่าสามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางหรือสามเหลี่ยมมีเดียล สามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางแบ่งสามเหลี่ยมอ้างอิงออกเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการสี่รูปซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยมอ้างอิง^{[ 62 ]}

สามเหลี่ยมสัมผัสภายในของสามเหลี่ยมอ้างอิงมีจุดยอดอยู่ที่จุดสัมผัสทั้งสามจุดของด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิงกับวงกลมภายใน^{[ 63 ]}สามเหลี่ยมสัมผัสภายนอกของสามเหลี่ยมอ้างอิงมีจุดยอดอยู่ที่จุดสัมผัสของวงกลมภายนอกของสามเหลี่ยมอ้างอิงกับด้าน (ที่ไม่ต่อขยาย) ^{[ 64 ]}

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จุดยอดสัมผัสกับด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นกรณีพิเศษของปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมแม้ว่าปัญหาจะถามหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นโค้งปิดอย่างง่าย ก็ตาม ตัวอย่างที่โดดเด่นของความสัมพันธ์รูปทรงนี้คือรูปสามเหลี่ยมคาลาบีซึ่งจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสามรูปจะสัมผัสกับด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมสามรูป (สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมโดยที่จุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นสองจุดยอดจะอยู่บนด้านเดียวกัน และด้วยเหตุนี้ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงทับซ้อนกับส่วนหนึ่งของด้านของรูปสามเหลี่ยม) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปจะทับซ้อนกันและมีจุดยอดอยู่ที่มุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจึงมี สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม ที่แตกต่างกัน เพียงสองรูปเท่านั้น รูปสามเหลี่ยมมุมป้านมี สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียว โดยมีด้านหนึ่งทับซ้อนกับส่วนหนึ่งของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยม ภายในสามเหลี่ยมที่กำหนด ด้านร่วมที่ยาวกว่าจะสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบในที่มีขนาดเล็กกว่า หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบในมีด้านยาวและสามเหลี่ยมมีด้านยาวซึ่งบางส่วนของด้านนั้นทับซ้อนกับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้ว, , จากด้าน, และพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะมีความสัมพันธ์กันตาม^{[ 65 ]}อัตราส่วนที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบในต่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 1/2 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ, , และความสูงของสามเหลี่ยมจากฐานที่มีความยาวเท่ากับอัตราส่วนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบในหนึ่งต่อด้านของอีกสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งในสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมป้านเดียวกันคือ[ ^{66 ] กรณี}สุดขั้วทั้งสองนี้เกิดขึ้นสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ${\displaystyle q_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle h_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$${\displaystyle a^{2}=2T}$${\displaystyle q=a/2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3}$

รูปหกเหลี่ยมเลอมัวน์เป็นรูปหกเหลี่ยมวงกลมที่มีจุดยอดซึ่งกำหนดโดยจุดตัดหกจุดของด้านทั้งหกของรูปสามเหลี่ยมกับเส้นตรงสามเส้นที่ขนานกับด้านและผ่านจุดกึ่งกลางสมมาตรไม่ว่าจะเป็นรูปแบบธรรมดาหรือรูปแบบที่ตัดกันเอง รูปหกเหลี่ยมเลอมัวน์จะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดสองจุดอยู่บนแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมนูนทุก รูป ที่มีพื้นที่สามารถบรรจุอยู่ในรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ไม่เกินเท่ากับ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่านั้น^{[ 67 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle 2T}$

วงกลมล้อมรอบที่สัมผัสกับสามเหลี่ยมและวงกลมล้อมรอบของสไตเนอร์

สามเหลี่ยมสัมผัสของสามเหลี่ยมอ้างอิง (ที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก) คือสามเหลี่ยมที่มีด้านอยู่บนเส้นสัมผัสของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมอ้างอิงที่จุดยอด^{[ 68 ]}

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงกลมล้อมรอบที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามจุด โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านของสามเหลี่ยม นอกจากนี้ สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงรีล้อมรอบ Steiner ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม ในบรรดาวงรีทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม วงรีนี้จะมีพื้นที่น้อยที่สุด^{[ 69 ]}

ไฮเปอร์โบลาของคีเพิร์ตเป็นภาคตัดกรวยที่ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ซึ่งผ่านจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางมวล และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ^{[ 70 ]}

ในบรรดาสามเหลี่ยมทั้งหมดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมนูน ที่กำหนด สามารถหาสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่สูงสุดได้ในเวลาเชิงเส้น โดยสามารถเลือกจุดยอดของสามเหลี่ยมดังกล่าวได้สามจุดจากจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด^{[ 71 ]}

รูปสามเหลี่ยมวงกลมคือรูปสามเหลี่ยมที่มี ขอบ โค้ง เป็นวงกลม ขอบของรูปสามเหลี่ยมวงกลมอาจเป็นนูน (โค้งออกด้านนอก) หรือเว้า (โค้งเข้าด้านใน) ^{[ c ]}การตัดกันของวงกลมสามวงจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีด้านทั้งหมดเป็นนูน ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีขอบนูนสามด้านคือรูปสามเหลี่ยมเรอโลซ์ซึ่งสามารถสร้างได้โดยการตัดกันของวงกลมสามวงที่มีขนาดเท่ากัน การสร้างอาจทำได้โดยใช้เพียงวงเวียนโดยไม่ต้องใช้ไม้บรรทัด ตามทฤษฎีบทของโมห์ร-มาสเชโรนีหรืออาจสร้างได้โดยการโค้งมนด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 72 ]}

กรณีพิเศษของสามเหลี่ยมวงกลมเว้าสามารถมองเห็นได้ในสามเหลี่ยมเทียม^{[ 73 ]}สามเหลี่ยมเทียมเป็น เซตย่อย ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายของระนาบที่อยู่ระหว่างบริเวณนูนสามด้านที่สัมผัสกัน ด้านเหล่านี้คือเส้นโค้งเรียบสามเส้นที่เชื่อมต่อจุดปลายเรียกว่าจุดยอดแหลมสามเหลี่ยมเทียมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมเทียมหลายรูปได้โดยมีขอบเขตเป็นวงกลมนูนและเส้นสัมผัสสองเส้นซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการแบ่งสามเหลี่ยมเทียม สำหรับวงกลมในสามเหลี่ยมเทียม การแบ่งจะให้สามเหลี่ยมเทียมและเส้นสัมผัสสองเส้น^{[ 74 ]}ส่วนนูนของสามเหลี่ยมเทียมใดๆ ก็คือสามเหลี่ยม^{[ 75 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle 3n-3}$

สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกและสามเหลี่ยมทรงกลม

สามเหลี่ยมที่ไม่อยู่ในระนาบคือสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิดกล่าวโดยคร่าวๆ คือปริภูมิแบนราบ ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมอาจพบได้ในปริภูมิอื่นๆ เช่นปริภูมิไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตทรงกลมสามเหลี่ยมในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเรียกว่าสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกและสามารถสร้างได้โดยการวาดบนพื้นผิวโค้งลบ เช่นพื้นผิวอานม้าในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมเรียกว่าสามเหลี่ยมทรงกลมและสามารถสร้างได้โดยการวาดบนพื้นผิวโค้งบวก เช่นทรงกลม^{[ 76 ]}

รูปสามเหลี่ยมในปริภูมิทั้งสองมีคุณสมบัติที่แตกต่างจากรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิยุคลิด ตัวอย่างเช่น ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิยุคลิดจะเท่ากับ 180° เสมอ อย่างไรก็ตาม ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกจะน้อยกว่า 180° และสำหรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมใดๆ ผลรวมจะมากกว่า 180° ^{[ 76 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปได้ที่จะวาดรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมโดยที่ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมเท่ากับ 90° ซึ่งรวมกันได้ทั้งหมด 270° ตามทฤษฎีบทของ Girardผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมคือโดยที่คือเศษส่วนของพื้นที่ทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยรูปสามเหลี่ยม^{[ 77 ] [ 78 ]}${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$${\displaystyle f}$

ในพื้นที่ทั่วไปมากขึ้น มีทฤษฎีบทเปรียบเทียบที่เชื่อมโยงคุณสมบัติของสามเหลี่ยมในพื้นที่กับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันในพื้นที่จำลอง เช่น พื้นที่ไฮเปอร์โบลิกหรือพื้นที่วงรี^{[ 79 ]}ตัวอย่างเช่นพื้นที่ CAT(k)มีลักษณะเฉพาะด้วยการเปรียบเทียบดังกล่าว^{[ 80 ]}

รูปทรง แฟรกทัลที่อิงตามรูปสามเหลี่ยม ได้แก่ปะเก็น Sierpińskiและเกล็ดหิมะ Koch ^{[ 81 ]}

• สามเหลี่ยมเบอร์มูดา
• บิลเลียดสามเหลี่ยม

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม

ลองค้นหาคำว่า "สามเหลี่ยม"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• Ivanov, AB (2001) [1994]. "สามเหลี่ยม" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์ EMS .
• Clark Kimberling: สารานุกรมจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมรวบรวมจุดที่น่าสนใจประมาณ 5200 จุดที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ