ในทางโทโพโลยีพื้นที่โทโพโลยีเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่าย (หรือเชื่อมต่อแบบ 1หรือเชื่อมต่อแบบ 1 อย่างง่าย^{[ 1 ]} ) หากเชื่อมต่อด้วยเส้นทางและทุกเส้นทางระหว่างสองจุดสามารถแปลงอย่างต่อเนื่องเป็นเส้นทางอื่น ๆ ในลักษณะเดียวกันได้ โดยยังคงรักษาจุดปลายทั้งสองไว้ โดยสัญชาตญาณแล้ว สิ่งนี้สอดคล้องกับพื้นที่ที่ไม่มีส่วนที่แยกออกจากกันและไม่มีรูที่ทะลุผ่านทั้งหมด เพราะเส้นทางสองเส้นที่วนรอบด้านที่แตกต่างกันของรูดังกล่าวไม่สามารถแปลงอย่างต่อเนื่องเป็นกันและกันได้กลุ่มพื้นฐานของพื้นที่โทโพโลยีเป็นตัวบ่งชี้ความล้มเหลวของพื้นที่ที่จะเชื่อมต่ออย่างง่าย: พื้นที่โทโพโลยีที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทางจะเชื่อมต่ออย่างง่ายก็ต่อเมื่อกลุ่มพื้นฐานของมันเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่ายหากเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทาง และวงวน ใดๆ ใน ปริภูมิ ที่กำหนดโดยสามารถหดตัวไปยังจุดได้ กล่าวคือ มีแผนที่ต่อเนื่องอยู่ซึ่งเมื่อจำกัดอยู่ใน จะ เป็น ดังนี้ โดยที่และแทนวงกลมหน่วยและจานหน่วย ปิด ในระนาบยุคลิดตามลำดับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S^{1}\to X}$${\displaystyle F:D^{2}\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

รูปแบบที่เทียบเท่ากันคือ: จะเชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็ต่อเมื่อเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง และเมื่อใดก็ตามที่และเป็นเส้นทางสองเส้น (นั่นคือ แผนที่ต่อเนื่อง) ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกัน ( และ) แล้วสามารถเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่องไปเป็นโดยที่จุดปลายทั้งสองคงที่ กล่าวคือ มีโฮโมโทปี อยู่ เช่นนั้นและ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:[0,1]\to X}$${\displaystyle q:[0,1]\to X}$${\displaystyle p(0)=q(0)}$${\displaystyle p(1)=q(1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็ต่อเมื่อเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง และกลุ่มพื้นฐานของที่แต่ละจุดเป็นกลุ่มที่ไม่มีตัวตน กล่าวคือประกอบด้วยองค์ประกอบเอกลักษณ์ เพียงอย่างเดียว ใน ทำนองเดียวกันเชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็ต่อเมื่อสำหรับทุกจุดเซตของมอร์ฟิซึมในกลุ่มพื้นฐานของมีองค์ประกอบเพียงตัวเดียว^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$${\displaystyle X}$

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน : เซตย่อยเปิดจะเรียกว่าเซตเชื่อมต่อเชิงเดี่ยวก็ต่อเมื่อทั้งเซตย่อยเปิดและเซตส่วนเติมเต็มในทรงกลมรีมันน์นั้นเชื่อมต่อกัน เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตนาการมากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัดเป็นตัวอย่างของเซตย่อยเปิดที่เชื่อมต่อกันและไม่มีขอบเขตบนระนาบ ซึ่งเซตส่วนเติมเต็มของมันไม่เชื่อมต่อกัน อย่างไรก็ตาม มันก็ยังเรียกว่าเซตเชื่อมต่อเชิงเดี่ยว การผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่าต้องเชื่อมต่อกันนำไปสู่การสำรวจเซตย่อยเปิดบนระนาบที่มีเซตส่วนเติมเต็มที่ขยายออกไปและเชื่อมต่อกัน ตัวอย่างเช่น เซตเปิด (ที่ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน) จะมีเซตส่วนเติมเต็มที่ขยายออกไปและเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันแต่ละส่วนของมันเชื่อมต่อกันเชิงเดี่ยว ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไปแล้ว วัตถุในพื้นที่ของเราจะเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่าย (simply connected) หากวัตถุนั้นประกอบด้วยชิ้นเดียวและไม่มี "รู" ที่ทะลุผ่านทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ทั้งโดนัทและถ้วยกาแฟ (ที่มีหูจับ) ไม่ใช่สิ่งที่เชื่อมต่ออย่างง่าย แต่ลูกบอลยางกลวงนั้นเชื่อมต่ออย่างง่าย ในสองมิติ วงกลมไม่ใช่สิ่งที่เชื่อมต่ออย่างง่าย แต่แผ่นดิสก์และเส้นตรงเป็น สิ่งที่เชื่อมต่อกัน แต่ไม่ใช่ สิ่งที่เชื่อมต่ออย่างง่ายเรียกว่า พื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่ออย่างง่าย (non-simply connected)หรือเชื่อมต่อหลายส่วน (multiply connected )

นิยามนี้ตัดเฉพาะ รูที่มีรูปทรงคล้าย ด้ามจับ ออกไปเท่านั้น ทรงกลม (หรือเทียบเท่ากับลูกบอลยางที่มีแกนกลางกลวง) ถือว่าเชื่อมต่อกันอย่างง่าย เพราะห่วงใดๆ บนพื้นผิวของทรงกลมสามารถหดตัวจนเหลือเพียงจุดเดียวได้ แม้ว่าจะมี "รู" อยู่ตรงกลางที่กลวงก็ตาม เงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า คือ วัตถุนั้นต้องไม่มีรูใน มิติ ใดๆ เลยเรียกว่าคุณสมบัติการหดตัวได้

• ระนาบยุคลิด เป็นระนาบเชื่อมต่อเชิงเดียว แต่ระนาบที่ลบจุดกำเนิดออกไปนั้นไม่ใช่ ถ้าเช่นนั้นทั้งระนาบ ที่ลบจุดกำเนิดออกไป และระนาบที่ลบจุดกำเนิดออกไปจะเป็นระนาบเชื่อมต่อเชิงเดียว${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle n>2,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ในทำนองเดียวกันทรงกลมn มิติ จะเชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็ต่อเมื่อ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 2.}$
• เซตย่อยนูนทุก เซต ของ นั้นเชื่อมต่อกันอย่างง่าย${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ทรงโดนัททรงกระบอก (วงรี) แถบ โมเบียสระนาบเชิงฉายและขวดไคลน์ไม่ได้เชื่อมโยงกันอย่างง่ายๆ
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิล้วนเชื่อมต่อกันอย่างง่าย ซึ่งรวมถึงปริภูมิบานาคและปริภูมิฮิลเบิร์ตด้วย
• เนื่องจากกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษไม่ใช่กลุ่มเชื่อมต่อเชิงเดี่ยว และกลุ่มเอกภาพพิเศษเป็นกลุ่มเชื่อมต่อเชิงเดี่ยว${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n)}$
• การทำให้เป็นคอมแพ็กต์แบบจุดเดียวของไม่ใช่เครือข่ายเชื่อมต่อเชิงเดี่ยว (ถึงแม้ว่าจะเป็นเครือข่ายเชื่อมต่อเชิงเดี่ยวก็ตาม)${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เส้นตรงยาว นั้นเชื่อมต่อกันอย่างง่าย แต่เส้นตรงยาวที่ขยายออกและย่อส่วนนั้นไม่เชื่อมต่อกัน (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง)${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{*}}$

พื้นผิว ( แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีสองมิติ) จะเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่ายได้ก็ต่อเมื่อพื้นผิวนั้นเชื่อมต่อกัน และจีนัส ของพื้นผิว (จำนวนแฮนด์เดิลของพื้นผิว) เท่ากับ 0

พื้นที่ครอบคลุมสากลของพื้นที่ใดๆ (ที่เหมาะสม) คือพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ซึ่งสามารถแมปไปยังพื้นที่นั้นได้ผ่าน แผนที่ครอบคลุม${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ถ้าและมีความสมมูลกันแบบโฮโมโทปีและเป็นพื้นที่เชื่อมต่อเชิงเดียว แล้ว ก็เป็นพื้นที่เชื่อมต่อเชิงเดียวเช่นกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

ภาพของเซตที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องเป็นเซตที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเสมอไป ยกตัวอย่างเช่น ระนาบเชิงซ้อนภายใต้การแปลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล: ภาพที่ได้คือซึ่งไม่ใช่เซตที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

แนวคิดเรื่องความเชื่อมโยงอย่างง่ายมีความสำคัญในการวิเคราะห์เชิงซ้อนเนื่องจากข้อเท็จจริงดังต่อไปนี้:

• ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีกล่าวว่า ถ้าเป็นเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายในระนาบเชิงซ้อนและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกแล้วจะมีอนุพันธ์ผกผันบนและค่าของปริพันธ์เส้น ทุกตัว ใน ที่มีตัวถูกอินทิเกรตจะขึ้นอยู่กับจุดปลายและของเส้นทางเท่านั้น และสามารถคำนวณได้เป็น ดังนั้นปริพันธ์จึงไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางเฉพาะที่เชื่อมต่อและ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F(v)-F(u).}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v,}$
• ทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์กล่าวว่า เซตย่อยแบบเปิดที่ไม่ว่างเปล่าและเชื่อมต่อกันอย่างง่ายใดๆ ของ(ยกเว้นตัวมันเอง) จะสมมูลเชิงคอนฟอร์มัลกับดิสก์หน่วย${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

แนวคิดเรื่องการเชื่อมต่ออย่างง่ายเป็นเงื่อนไขสำคัญอีกประการหนึ่งในสมมติฐาน ของปวงกา เร

• การหดกลับของการเปลี่ยนรูป  – การแมปแบบต่อเนื่องและรักษาตำแหน่งจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิย่อยหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• พื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายในระดับท้องถิ่น
• พื้นที่ที่เชื่อมต่อกัน n
• ปริภูมิเอกภาค  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี