ในทางคณิตศาสตร์แผนที่คอนฟอร์มอลคือฟังก์ชันที่รักษาค่ามุม ไว้ในระดับท้องถิ่น แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาค่าความยาวไว้เสมอไป

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ให้และเป็นเซตย่อยเปิดของฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันคอนฟอร์มอล (หรือฟังก์ชันรักษาองศา ) ที่จุดถ้ามันรักษาองศาระหว่างเส้นโค้ง ทิศทาง ที่ผ่านจุดรวมทั้งรักษาทิศทางด้วย แผนที่คอนฟอร์มอลรักษาทั้งองศาและรูปร่างของรูปทรงขนาดเล็กมาก แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาขนาดหรือความโค้ง ของรูป ทรง เหล่านั้น${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle u_{0}\in U}$${\displaystyle u_{0}}$

คุณสมบัติเชิงคอนฟอร์มอลอาจอธิบายได้ในแง่ของ เมทริกซ์อนุพันธ์ จาโคเบียนของการแปลงพิกัดการแปลงจะเป็นเชิงคอนฟอร์มอลเมื่อใดก็ตามที่จาโคเบียน ณ แต่ละจุดเป็นสเกลาร์บวก คูณกับ เมทริกซ์การหมุน ( ออร์โธโกนอลที่ มีดีเทอร์ มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง) ผู้เขียนบางคนกำหนดนิยามของความเป็นคอนฟอร์มอลให้รวมถึงการแมปแบบกลับทิศทางซึ่งจาโคเบียนสามารถเขียนได้เป็นสเกลาร์ใดๆ คูณกับเมทริกซ์ออร์โธโกนอลใดๆ^{[ 1 ]}

สำหรับการแมปในสองมิติ การแมปแบบคอนฟอร์มอล (ที่รักษาทิศทาง) คือ ฟังก์ชัน เชิงซ้อนวิเคราะห์ ที่ผกผันได้ในระดับท้องถิ่น ในสามมิติและมิติที่สูงกว่านั้นทฤษฎีบทของ Liouvilleจำกัดการแมปแบบคอนฟอร์มอลไว้เพียงไม่กี่ประเภทอย่างชัดเจน

แนวคิดเรื่องความสอดคล้องสามารถขยายไปสู่แผนที่ระหว่าง แมนิโฟลด์ แบบรีมันน์หรือแบบกึ่งรีมันน์ได้อย่าง เป็นธรรมชาติ

ถ้าเป็นเซตเปิดของระนาบเชิงซ้อนฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันคอนฟอร์มอลก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและอนุพันธ์ ของฟังก์ชันนั้น ไม่เป็นศูนย์ทุกที่บนถ้าเป็น ฟังก์ชัน แอนติ โฮโลมอร์ฟิก ( คู่เชิงซ้อนของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก) มันจะรักษาค่ามุมไว้แต่กลับทิศทางของมุมเหล่านั้น ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$

ในเอกสารทางวิชาการ มีนิยามอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันคอนฟอร์มอล คือ ฟังก์ชันที่ส่งผ่านแบบหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิดในระนาบ ทฤษฎีบทการส่งผ่านแบบเปิดบังคับให้ฟังก์ชันผกผัน (ที่นิยามบนภาพของเซตเปิด) ต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ดังนั้น ภายใต้นิยามนี้ ฟังก์ชันจะเป็นคอนฟอร์มอลก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันไบโฮโลมอร์ฟิกเท่านั้น นิยามทั้งสองของฟังก์ชันคอนฟอร์มอลไม่เท่ากัน การเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกหมายความว่ามีอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ ในความเป็นจริง เรามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน : ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f^{-1}(z_{0}))'={\frac {1}{f'(z_{0})}}}$

โดยที่. อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์ แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเนื่องจากเป็นฟังก์ชันคาบ^{[ 2 ]}${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

ทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์ซึ่งเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่สำคัญยิ่งของการวิเคราะห์เชิงซ้อนกล่าวว่า เซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างและเชื่อมต่อกันอย่างง่าย ใดๆ ของจะยอมรับการ แมปแบบคอนฟอร์มอลแบบหนึ่งต่อ หนึ่ง ไปยัง ดิสก์หน่วยเปิดในโดยคร่าวๆ แล้ว หมายความว่า บล็อบใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นดิสก์สมบูรณ์ได้โดยการแมปแบบคอนฟอร์มอลบางอย่าง ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

แผนที่ของทรงกลมรีมันน์ที่ทับซ้อนกับตัวมันเองจะเป็นแบบคอนฟอร์มอลก็ต่อเมื่อมันเป็นการแปลงแบบโมเบียสเท่านั้น

การแปลงโมเบียสแบบคอนจูเกตเชิงซ้อนจะรักษาค่ามุมไว้ แต่จะกลับทิศทาง ตัวอย่างเช่นการ กลับด้านวงกลม

ในเรขาคณิตระนาบมีมุมสามประเภทที่อาจคงอยู่ในแผนที่คอนฟอร์มัล^{[ 3 ]}แต่ละประเภทมีพีชคณิตจริงของตัวเอง ได้แก่จำนวนเชิงซ้อน ธรรมดา จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกและจำนวนคู่แผนที่คอนฟอร์มัลอธิบายโดยการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นในแต่ละกรณี^{[ 4 ]}

ในเรขาคณิตแบบรีมันน์เมตริกแบบรีมันน์ สองตัวและบนแมนิโฟลด์เรียบจะเรียกว่าสมมูลกันแบบคอนฟอร์มัลถ้าสำหรับฟังก์ชันบวกบางตัวบนฟังก์ชันนี้เรียกว่าตัวประกอบคอนฟอร์มัล ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g=uh}$${\displaystyle u}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\sqrt {u}}}$

การ แปลง แบบดิฟเฟอเรนเชียลระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์สองตัว เรียกว่าแผนที่แบบคอนฟอร์มอลถ้าเมตริกที่ดึงกลับมานั้นสมมูลแบบคอนฟอร์มอลกับเมตริกเดิม ตัวอย่างเช่นการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกของทรงกลมลงบนระนาบที่เสริมด้วยจุดที่อนันต์เป็นแผนที่แบบคอนฟอร์มอล

นอกจากนี้ เรายังสามารถกำหนดโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มอลบนแมนิโฟลด์เรียบได้ โดยเป็นกลุ่มของเมตริกแบบรีมันน์ ที่สมมูลกันเชิงคอนฟอร์มอ ล

ทฤษฎีบทคลาสสิกของโจเซฟ ลิอูวิลล์แสดงให้เห็นว่ามีแผนที่คอนฟอร์มอลน้อยกว่ามากในมิติที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับสองมิติ แผนที่คอนฟอร์มอลใดๆ จากเซตย่อยเปิดของปริภูมิยูคลิดไปยังปริภูมิยูคลิดเดียวกันที่มีมิติสามหรือมากกว่านั้น สามารถประกอบขึ้นจากการแปลงสามประเภท ได้แก่โฮโมเทตีไอโซเมตรีและการแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษสำหรับการแปลงเชิงเส้นแผนที่คอนฟอร์มอลอาจประกอบขึ้นจากโฮโมเทตีและไอโซเมตรี เท่านั้น และเรียกว่าการแปลงเชิงเส้นคอนฟอร์มอล

การประยุกต์ใช้การแมปคอนฟอร์มอลมีอยู่ในวิศวกรรมการบินและอวกาศ^{[ 5 ]} ในวิทยาศาสตร์ชีวการแพทย์^{[ 6 ]} (รวมถึงการทำแผนที่สมอง^{[ 7 ]} และการทำแผนที่ทางพันธุกรรม^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} ) ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ (สำหรับเส้นทางจีโอเดสิก^{[ 11 ]} และในเรขาคณิต^{[ 12 ]} ) ในวิทยาศาสตร์โลก (รวมถึงธรณีฟิสิกส์^{[ 13 ]} ภูมิศาสตร์^{[ 14 ]} และการทำแผนที่) ^{[ 15 ]} ในวิศวกรรม^{[ 16 ] [ 17 ]} และในอิเล็กทรอนิกส์^{[ 18 ]}

ในวิชาการทำแผนที่การฉายภาพแผนที่หลายแบบที่มีชื่อเรียกรวมถึงการฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์และการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกล้วนเป็นการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอล การรักษาทิศทางของเข็มทิศทำให้การฉายภาพเหล่านี้มีประโยชน์ในการนำทางทางทะเล

การแปลงแบบคอนฟอร์มอลมีคุณค่าอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมและฟิสิกส์ที่สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน แต่มีรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่สะดวก โดยการเลือกการแปลงที่เหมาะสม นักวิเคราะห์สามารถแปลงรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่สะดวกให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่สะดวกยิ่งขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น อาจต้องการคำนวณสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุจุดที่อยู่ใกล้กับมุมของระนาบตัวนำสองระนาบที่แยกจากกันด้วยมุมที่กำหนด (โดยที่คือพิกัดเชิงซ้อนของจุดในปริภูมิ 2 มิติ) ปัญหานี้ค่อนข้างยากที่จะแก้ในรูปแบบปิด อย่างไรก็ตาม โดยการใช้การแปลงแบบคอนฟอร์มอลที่ง่ายมาก มุมที่ไม่สะดวกจะถูกแปลงเป็นมุมที่มีค่าเท่ากับเรเดียน ซึ่งหมายความว่ามุมของระนาบสองระนาบจะถูกแปลงเป็นเส้นตรง ในโดเมนใหม่นี้ ปัญหา (การคำนวณสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุจุดที่อยู่ใกล้กับผนังตัวนำ) จึงง่ายต่อการแก้ วิธีแก้ปัญหาจะได้รับในโดเมนนี้และจากนั้นแมปกลับไปยังโดเมนเดิมโดยสังเกตว่าได้รับเป็นฟังก์ชัน ( เช่นการประกอบของและ) ของซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นซึ่งเป็นฟังก์ชันของฐานพิกัดเดิม โปรดทราบว่าการประยุกต์ใช้นี้ไม่ได้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าการแมปแบบคอนฟอร์มอลรักษาค่ามุมไว้ แต่จะทำเช่นนั้นเฉพาะกับจุดที่อยู่ภายในโดเมนเท่านั้น ไม่ใช่ที่ขอบเขต อีกตัวอย่างหนึ่งคือการประยุกต์ใช้เทคนิคการแมปแบบคอนฟอร์มอลเพื่อแก้ปัญหาค่าขอบเขตของการกระฉอกของของเหลวในถัง^{[ 19 ]}${\displaystyle E(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E(w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E(w)}$${\displaystyle E(w(z))}$${\displaystyle z}$

ถ้าฟังก์ชันเป็น ฟังก์ชันฮาร์มอ นิก (กล่าวคือ สอดคล้องกับสมการลาปลาส ) บนโดเมนระนาบ (ซึ่งเป็นสองมิติ) และถูกแปลงโดยใช้แผนที่คอนฟอร์มอลไปยังโดเมนระนาบอื่น การแปลงนั้นก็จะเป็นฮาร์มอนิกเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันใดๆ ที่นิยามโดยศักย์สามารถแปลงโดยใช้แผนที่คอนฟอร์มอลได้ และยังคงอยู่ภายใต้ศักย์นั้น ตัวอย่างในฟิสิกส์ของสมการที่นิยามโดยศักย์ ได้แก่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าสนามโน้มถ่วงและในพลศาสตร์ของไหลการไหลแบบศักย์ซึ่งเป็นการประมาณการไหลของของไหลโดยสมมติว่าความหนาแน่น คงที่ ความหนืดเป็น ศูนย์ และการไหลแบบไร้การหมุนตัวอย่างหนึ่งของการประยุกต์ใช้แผนที่คอนฟอร์มอลในพลศาสตร์ของไหลคือการแปลงจูคอฟสกีซึ่งสามารถใช้ตรวจสอบสนามการไหลรอบปีกเครื่องบินจูคอฟสกีได้ ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

แผนที่คอนฟอร์มอลยังมีคุณค่าในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นในรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะบางแบบ โซลูชันเชิงวิเคราะห์ดังกล่าวมีประโยชน์ในการตรวจสอบความถูกต้องของการจำลองเชิงตัวเลขของสมการควบคุม ตัวอย่างเช่น ในกรณีของการไหลของพื้นผิวอิสระที่มีความหนืดสูงมากรอบผนังกึ่งอนันต์ โดเมนสามารถแมปไปยังระนาบครึ่งหนึ่งซึ่งโซลูชันเป็นแบบหนึ่งมิติและคำนวณได้ง่าย^{[ 20 ]}

สำหรับระบบแบบไม่ต่อเนื่อง Noury ​​และ Yang ได้นำเสนอวิธีการแปลงตำแหน่งราก ของระบบแบบไม่ต่อเนื่อง ให้เป็นตำแหน่งราก แบบต่อเนื่อง ผ่านการแมปคอนฟอร์มอลที่รู้จักกันดีในเรขาคณิต (หรือที่เรียกว่าการแมปผกผัน ) ^{[ 21 ]}

สมการของแม็กซ์เวลล์ยังคงรักษาไว้ได้ด้วยการแปลงลอเรนซ์ซึ่งเป็นกลุ่มที่รวมถึงการหมุนแบบวงกลมและการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิก การหมุนแบบไฮเปอร์โบลิ กบางครั้งเรียกว่าการเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์ (Lorentz boosts) เพื่อแยกความแตกต่างจากการหมุนแบบวงกลม การแปลงเหล่านี้ทั้งหมดเป็นการแปลงแบบคอนฟอร์มอล เนื่องจากการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกรักษาค่ามุมไฮเปอร์โบลิก (เรียกว่าความเร็ว ) และการหมุนแบบอื่น ๆ รักษาค่ามุมวงกลมการนำการเลื่อนมาใช้ในกลุ่มปวงกาเรก็ยังคงรักษาค่ามุมไว้เช่นกัน

กลุ่มแผนที่คอนฟอร์มอลขนาดใหญ่สำหรับการเชื่อมโยงคำตอบของสมการของแม็กซ์เวลล์ได้รับการระบุโดยEbenezer Cunningham (1908) และHarry Bateman (1910) การฝึกอบรมของพวกเขาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ทำให้พวกเขามีความเชี่ยวชาญในวิธีการประจุภาพและวิธีการภาพที่เกี่ยวข้องสำหรับทรงกลมและการผกผัน ดังที่ Andrew Warwick (2003) เล่าไว้ในMasters of Theory : ^{[ 22 ]}

แต่ละโซลูชันสี่มิติสามารถกลับด้านในไฮเปอร์สเฟียร์สี่มิติที่มีรัศมีเสมือนเพื่อสร้างโซลูชันใหม่ได้${\displaystyle K}$

วอร์วิคเน้นย้ำว่า "ทฤษฎีสัมพัทธภาพใหม่" นี้เป็นคำตอบของเคมบริดจ์ต่อทฤษฎีของไอน์สไตน์ และมีพื้นฐานมาจากแบบฝึกหัดที่ใช้วิธีการผกผัน เช่นเดียวกับที่พบในตำราเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของไฟฟ้าและแม่เหล็กของเจมส์ ฮอปวูด จีนส์

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปการแปลงแบบคอนฟอร์มอลเป็นรูปแบบการแปลงเชิงสาเหตุที่ง่ายที่สุดและพบได้บ่อยที่สุด ในทางกายภาพ การแปลงเหล่านี้อธิบายถึงเอกภพที่แตกต่างกัน ซึ่งเหตุการณ์และการปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดเหมือนเดิมยังคงเป็นไปได้ (ในเชิงสาเหตุ) แต่จำเป็นต้องมีแรงเพิ่มเติมใหม่เพื่อส่งผลกระทบต่อสิ่งนี้ (กล่าวคือ การจำลองวิถีโคจรทั้งหมดเหมือนเดิมจะต้องเบี่ยงเบนจาก การเคลื่อนที่ตามเส้นทาง จีโอเดสิกเนื่องจากเทนเซอร์เมตริกแตกต่างกัน) มักใช้เพื่อพยายามสร้างแบบจำลองที่สามารถขยายออกไปนอกเหนือจากภาวะเอกฐานของความโค้งตัวอย่างเช่น เพื่อให้สามารถอธิบายเอกภพได้แม้กระทั่งก่อนเกิดบิ๊กแบง

• แผนที่ไบโฮโลมอร์ฟิก
• ทฤษฎีบทของคาราเธโอโดรี – แผนที่คอนฟอร์มอลขยายไปสู่ขอบเขตอย่างต่อเนื่อง
• แผนที่คอนฟอร์มอลกำลังสองน้อยที่สุด
• แผนภาพเพนโรส
• การแมปแบบ Schwarz–Christoffel – การแปลงแบบคอนฟอร์มอลของระนาบครึ่งบนไปยังส่วนภายในของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย
• กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ – การแปลงที่รักษาปริมาตร (ตรงข้ามกับมุม) และทิศทาง

• Ahlfors, Lars V. (1973), ตัวแปรคงที่เชิงคอนฟอร์มอล: หัวข้อในทฤษฎีฟังก์ชันเชิงเรขาคณิต , นิวยอร์ก: McGraw–Hill Book Co., MR  0357743
• Constantin Carathéodory (1932) การแทนแบบคอน ฟอร์มอล , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
• Chanson, H. (2009), อุทกพลศาสตร์ประยุกต์: บทนำเกี่ยวกับการไหลของของเหลวในอุดมคติและของจริง , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, เนเธอร์แลนด์, 478 หน้า, ISBN 978-0-415-49271-3
• เชอร์ชิลล์, รูเอล วี. (1974), ตัวแปรเชิงซ้อนและการประยุกต์ใช้ , นิวยอร์ก: บริษัท แมคกรอว์-ฮิลล์ บุ๊ค จำกัด, ISBN 978-0-07-010855-4
• EP Dolzhenko (2001) [1994], "การแปลงคอนฟอร์มอล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• รูดิน, วอลเตอร์ (1987), การวิเคราะห์เชิงจริงและเชิงซ้อน (ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR  0924157
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การแปลงแบบคอนฟอร์มอล" . MathWorld .

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับConformal mapping

• การแสดงภาพเชิงโต้ตอบของแผนที่คอนฟอร์มอลจำนวนมาก
• แผนที่คอนฟอร์มอล (Conformal Maps)โดย ไมเคิล ทรอตต์ จากโครงการสาธิตของวูล์ฟแรม (Wolfram Demonstrations Project )
• ภาพการแปลงคอนฟอร์มอลของกระแสไฟฟ้าในรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ ทั้งแบบไม่มีและมีสนามแม่เหล็ก โดย เกอร์ฮาร์ด บรุนธาเลอร์
• การแปลงคอนฟอร์มอล: จากวงกลมเป็นสี่เหลี่ยม
• โปรแกรมสร้างแผนที่คอนฟอร์มอลออนไลน์
• Joukowski แปลงแอปพลิเคชันเว็บแบบโต้ตอบ