ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดกล่าวว่า ถ้าเป็นโดเมนของระนาบเชิงซ้อนและ เป็น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่แล้วเป็นการแมปแบบเปิด (กล่าวคือ ส่งเซตย่อยแบบเปิดของไปยังเซตย่อยแบบเปิดของและเรามีความไม่แปรเปลี่ยนของโดเมน ) ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดชี้ให้เห็นถึงความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างโฮโลมอร์ฟีและความสามารถในการหาอนุพันธ์ในจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น บนเส้นจำนวนจริงฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้นั้นไม่ใช่การแมปแบบเปิด เนื่องจากภาพของช่วงเปิดคือช่วงครึ่งเปิด ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle [0,1)}$

ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ที่ไม่คงที่นั้น ไม่สามารถแปลงวงกลมเปิดไปเป็นส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ฝังอยู่ในระนาบเชิงซ้อนได้ ภาพของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถมีมิติเป็นศูนย์ (ถ้าคงที่) หรือสอง (ถ้าไม่คงที่) แต่จะไม่มีทางมีมิติเป็นหนึ่ง

สมมติให้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ และเป็นโดเมนของระนาบเชิงซ้อน เราต้องแสดงว่าทุกจุดในเป็นจุดภายในของ กล่าวคือ ทุกจุด ในมีบริเวณใกล้เคียง (วงกลมเปิด) ซึ่งอยู่ใน ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(U)}$

พิจารณาเซตของจำนวนเฉพาะใน เซตนั้น แล้วจะมีจุดในเซตนั้น อยู่จุดหนึ่งที่ทำให้ เนื่องจากเซตนั้นเป็นเซตเปิด เราจึงสามารถหาเซตนั้นได้ที่ทำให้วงกลมปิดรอบ เซตนั้นที่มี รัศมีอยู่ภายในเซตนั้นทั้งหมดพิจารณาฟังก์ชันสังเกตว่าเป็นรากของฟังก์ชันนั้น ${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$

เรารู้ว่าเป็นจำนวนที่ไม่คงที่และเป็นจำนวนเชิงโฮโลมอร์ฟิก รากของถูกแยกได้โดยทฤษฎีบทเอกลักษณ์และโดยการลดรัศมีของดิสก์ลงอีกเราสามารถรับประกันได้ว่ามีรากเพียงรากเดียวใน(ถึงแม้ว่ารากเดียวนี้อาจมีจำนวนซ้ำมากกว่า 1 ก็ตาม) ${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle B}$

ขอบของเป็นวงกลมและดังนั้นจึงเป็นเซตกระชับซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบวก ดังนั้นทฤษฎีบทค่าสุดขีดจึงรับประกันการมีอยู่ของค่าต่ำสุดบวก นั่นคือเป็นค่าต่ำสุดของสำหรับบนขอบของ และ${\displaystyle B}$${\displaystyle |g(z)|}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle |g(z)|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle B}$${\displaystyle e>0}$

ให้ เป็นวงกลมเปิดรอบ ที่มีรัศมีตามทฤษฎีบทของรูเช่ฟังก์ชันจะมีจำนวนราก (นับรวมความซ้ำซ้อน) เท่ากันในเช่น เดียว กับ สำหรับทุก ในเนื่องจาก และสำหรับบนขอบของดังนั้นสำหรับทุกในจะมีอย่างน้อยหนึ่งในเช่นนั้นซึ่งหมายความว่าวงกลมบรรจุอยู่ใน ${\displaystyle D}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle h(z):=f(z)-w_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h(z)=g(z)+(w_{0}-w_{1})}$${\displaystyle z}$${\displaystyle B}$${\displaystyle |g(z)|\geq e>|w_{0}-w_{1}|}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(z_{1})=w_{1}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(B)}$

ภาพของลูกบอลเป็นเซตย่อยของภาพของดังนั้นจึงเป็นจุดภายในของเนื่องจากเป็นจำนวนใดๆ ในเราจึงทราบว่าเป็นเซตเปิด เนื่องจากเป็นจำนวนใดๆ ฟังก์ชันจึงเป็นเซตเปิด ${\displaystyle B}$${\displaystyle f(B)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$

• หลักการโมดูลัสสูงสุด
• ทฤษฎีบทของรูเช่
• เลมมาของชวาร์ซ

• ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)