ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดหรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Banach–Schauderหรือทฤษฎีบท Banach ^{[ 1 ]} (ตั้งชื่อตามStefan BanachและJuliusz Schauder ) เป็นผลลัพธ์พื้นฐานที่ระบุว่า ถ้า ตัวดำเนินการเชิงเส้น แบบจำกัดหรือต่อเนื่องระหว่างปริภูมิ Banachเป็นแบบทั่วถึงแล้ว มันจะเป็นแผนที่แบบเปิด

กรณีพิเศษอีกกรณีหนึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทตัวผกผันแบบมีขอบเขต (หรือเรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทการแมปแบบผกผัน หรือ ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของบานาค) ซึ่งกล่าวว่า ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตและ หนึ่งต่อหนึ่งจากปริภูมิบานาคหนึ่งไปยังอีกปริภูมิบานาคหนึ่ง มีตัวผกผัน แบบ มีขอบเขต${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$

การพิสูจน์ในที่นี้ใช้ทฤษฎีบทหมวดหมู่ของแบร์ ​​และความสมบูรณ์ของทั้งสองอย่างนั้นมีความสำคัญต่อทฤษฎีบทนี้ ข้อความของทฤษฎีบทจะไม่เป็นจริงอีกต่อไปหากถือว่าปริภูมิใดปริภูมิหนึ่งเป็นเพียงปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน เท่านั้น ดู§ ตัวอย่างค้าน ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

การพิสูจน์นี้อาศัยบทพิสูจน์ย่อยต่อไปนี้ ซึ่งมีความน่าสนใจในตัวเองอยู่บ้างเช่นกันกล่าวได้ว่าแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีนั้นเกือบเปิดถ้าสำหรับแต่ละย่าน ใกล้เคียง ของศูนย์ การปิดของปริภูมิเวกเตอร์นั้นประกอบด้วยย่านใกล้เคียงของศูนย์ บทพิสูจน์ย่อยต่อไปนี้อาจถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแผนที่เปิดในรูปแบบที่อ่อนกว่า ${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$

บทพิสูจน์: เมื่อย่อขนาดลงเราสามารถสมมติว่าเป็นทรงกลมเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ เรามีดังนั้น บางค่าจะมีจุดภายในอยู่ภายในนั่นคือ สำหรับรัศมีบางค่า ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

จากนั้นสำหรับค่าใดๆในโดยอาศัยความเป็นเชิงเส้น ความนูนและ ${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \|v\|<r}$${\displaystyle (-1)U\subset U}$

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$,

ซึ่งพิสูจน์บทตั้งโดยการหารด้วย( การพิสูจน์แบบเดียวกันนี้ใช้ได้ผลหากเป็นปริภูมิพรี-เฟรเชต์) ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \square }$${\displaystyle E,F}$

ความสมบูรณ์ของโดเมนนั้นทำให้สามารถอัปเกรดจากระบบเปิดเป็นระบบเปิดได้เกือบทั้งหมด

บทพิสูจน์: ให้อยู่ในและลำดับบางลำดับ เรามี: ดังนั้น สำหรับแต่ละและในเราสามารถหา ที่มีและใน ได้ดังนั้น เมื่อเลือกเราจะพบที่ทำให้ ${\displaystyle y}$${\displaystyle B(0,\delta )}$${\displaystyle c_{n}>0}$${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$${\displaystyle z=y}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

เมื่อใช้เหตุผลเดียวกันกับเราก็จะพบค่าเช่นนั้น ${\displaystyle z=y-f(x_{1})}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

โดยที่เราสังเกตเห็น. จากนั้นก็เป็นเช่นนั้นต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้น ถ้าเราจะพบลำดับที่ลู่เข้าและ. นอกจากนี้ ${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

เนื่องจากโดยการทำให้เล็กพอ เราสามารถบรรลุได้( การพิสูจน์แบบเดียวกันนี้ใช้ได้เช่นกัน หากเป็นปริภูมิพรี-เฟรเชต์) ${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \|x\|<1}$${\displaystyle \square }$${\displaystyle E,F}$

การพิสูจน์ทฤษฎีบท: โดยทฤษฎีบทประเภทของแบร์ ​​บทพิสูจน์ย่อยข้อแรกใช้ได้ จากนั้นข้อสรุปของทฤษฎีบทจึงได้จากบทพิสูจน์ย่อยข้อที่สอง${\displaystyle \square }$

โดยทั่วไปแล้ว การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีไม่จำเป็นต้องเป็นการจับคู่แบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเสมอไป ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด เมื่อนำมาใช้ได้ จะบ่งชี้ว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งก็เพียงพอแล้ว:

แม้ว่าทฤษฎีบทผกผันแบบมีขอบเขตข้างต้นจะเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด แต่ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดนั้นก็เป็นผลมาจากทฤษฎีบทผกผันแบบมีขอบเขตนั้นเช่นกัน ที่จริงแล้วตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องแบบทั่วถึงจะแยกตัวประกอบได้ดังนี้ ${\displaystyle T:E\to F}$

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

ในที่นี้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ดังนั้นจึงเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมตามทฤษฎีบทผกผันที่มีขอบเขต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นการแมปแบบเปิด เนื่องจากแผนที่ผลหารสำหรับกลุ่มทางทอพอโลยีเป็นการแมปแบบเปิดดังนั้น จึงเป็นแผนที่แบบเปิดเช่นกัน ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$

เนื่องจากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและทฤษฎีบทผกผันแบบมีขอบเขตเป็นผลลัพธ์ที่เหมือนกันโดยพื้นฐาน จึงมักเรียกกันง่ายๆ ว่าทฤษฎีบทของบานาค

นี่คือการกำหนดทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดโดยใช้ตัวดำเนินการทรานสโพส

บทพิสูจน์: แนวคิดของข้อ 1. 2. คือการแสดงให้เห็นว่า: และสิ่งนั้นเป็นผลมาจากทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค ข้อ 2. 3. คือบทพิสูจน์ย่อยข้อที่สองในหัวข้อ § ข้อความและบทพิสูจน์สุดท้าย ข้อ 3. 4. เป็นสิ่งที่เห็นได้ชัด และข้อ 4. 1. ได้มาอย่างง่ายดายจากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle y\notin {\overline {T(B_{X})}}\Rightarrow \|y\|>\delta ,}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \square }$

อีกทางเลือกหนึ่ง 1. บ่งชี้ว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและมีภาพปิด จากนั้นโดยทฤษฎีบทช่วงปิดบ่งชี้ว่ามีภาพหนาแน่นและภาพปิด ตามลำดับ กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง ดังนั้น ผลลัพธ์ข้างต้นจึงเป็นรูปแบบหนึ่งของกรณีพิเศษของทฤษฎีบทช่วงปิด ${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Terence Taoให้สูตรเชิงปริมาณของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}

การพิสูจน์เป็นไปตามวัฏจักรของการบ่งชี้ นี่ คือทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดตามปกติ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4\Rightarrow 3\Rightarrow 2\Rightarrow 1}$${\displaystyle 2\Rightarrow 1}$

${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$สำหรับบางกรณีเราจะมีที่ซึ่งหมายถึงลูกบอลเปิด จากนั้นสำหรับ บางกรณีในนั่นคือด้วย${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B(0,2)\subset T(B(0,r))}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\frac {f}{\|f\|}}=T\left({\frac {u}{\|f\|}}\right)}$${\displaystyle {\frac {u}{\|f\|}}}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle Tu=f}$${\displaystyle \|u\|<r\|f\|}$

${\displaystyle 4\Rightarrow 3}$เราสามารถเขียนโดยใช้ซับสเปซหนาแน่นและผลรวมที่ลู่เข้าในบรรทัดฐานได้ จากนั้น เนื่องจากสมบูรณ์แล้วโดยที่และเป็นคำตอบที่ต้องการ ${\displaystyle f=\sum _{0}^{\infty }f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle u=\sum _{0}^{\infty }u_{j}}$${\displaystyle \|u_{j}\|\leq C\|f_{j}\|}$${\displaystyle Tu_{j}=f_{j}}$

สุดท้ายแล้วมันเป็นเรื่องเล็กน้อยมาก${\displaystyle 3\Rightarrow 2}$${\displaystyle \square }$

ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดอาจใช้ไม่ได้กับปริภูมิบรรทัดฐานที่ไม่สมบูรณ์ วิธีที่เร็วที่สุดที่จะเห็นสิ่งนี้คือการสังเกตว่าทฤษฎีบทกราฟปิดซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดนั้นใช้ไม่ได้หากปริภูมิไม่สมบูรณ์ แต่ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างค้านที่ชัดเจนกว่า พิจารณาปริภูมิของลำดับที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ซึ่งมีบรรทัดฐานสูงสุดแผนที่ที่กำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle x:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle T:X\rightarrow X}$

$${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$$

มีขอบเขต เป็นเชิงเส้น และผกผันได้ แต่ไม่มีขอบเขต สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทผกผันที่มีขอบเขต เนื่องจากไม่สมบูรณ์และดังนั้นจึงไม่ใช่ปริภูมิบานาค เพื่อดูว่ามันไม่สมบูรณ์หรือไม่ ให้พิจารณาลำดับของลำดับที่กำหนดโดย ${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{(n)}\in X}$

$${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$$

ลู่เข้าตามลำดับที่กำหนดโดย ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle x^{(\infty )}}$

$${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$$

ซึ่งมีพจน์ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่อยู่ใน. ${\displaystyle X}$

ส่วนเติมเต็มของคือปริภูมิของลำดับทั้งหมดที่ลู่เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งเป็นปริภูมิย่อย (ปิด) ของปริภูมิℓ ^pซึ่งเป็นปริภูมิของลำดับที่มีขอบเขตทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ฟังก์ชันไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง และดังนั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพื่อให้เห็นเช่นนี้ เพียงแค่สังเกตว่าลำดับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} )}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$$

เป็นองค์ประกอบของแต่ไม่อยู่ในขอบเขตของเหตุผลเดียวกันนี้ใช้ได้กับการแสดงให้เห็นว่า ก็ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงในเช่นกัน ตัวอย่างเช่นไม่อยู่ในขอบเขตของ ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$${\displaystyle T}$

ถึงแม้ว่าโดเมนจะสมบูรณ์ (หรือโคโดเมนสมบูรณ์) ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดก็ยังคงต้องการให้ทั้งสองปริภูมิสมบูรณ์ เพื่อดูสิ่งนี้ ลองพิจารณาแผนที่เอกลักษณ์จากปริภูมิของลำดับที่หาผลรวมสัมบูรณ์ได้ (นั่นคือ ลำดับที่มีนอร์ม 1 จำกัด) ที่มีนอร์ม 1 ไปยังปริภูมิที่มีนอร์มสูงสุด เนื่องจากแผนที่นี้ลดนอร์มลง จึงมีขอบเขต แต่ไม่ใช่ปริภูมิเปิด เพื่อให้เห็นว่าโดเมนต้องสมบูรณ์ด้วย ให้เป็นปริภูมิบานาคที่มีฟังก์ชันเชิงเส้นไม่ต่อเนื่องอยู่บนนั้น ดังนั้น จึงเป็นปริภูมิที่มีนอร์มไม่สมบูรณ์ และแผนที่เอกลักษณ์จากไปยัง เป็นแผนที่ลดนอร์มลง (ดังนั้นจึงมีขอบเขต) ซึ่งไม่ใช่ปริภูมิเปิด ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$

ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดมีผลลัพธ์ที่สำคัญหลายประการ:

• ถ้าเป็น ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องแบบ หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างปริภูมิ Banach และตัวดำเนินการผกผันก็จะต่อเนื่องเช่นกัน (เรียกว่าทฤษฎีบทผกผันที่มีขอบเขต ) ^{[ 10 ]}${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$
• ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิ Banach และและถ้าสำหรับทุกลำดับในโดยที่และเป็นผลให้ แล้วจะต่อเนื่อง ( ทฤษฎีบทกราฟปิด ) ^{[ 11 ]}${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle Tx_{n}\to y}$${\displaystyle y=0,}$${\displaystyle T}$
• เมื่อกำหนดตัวดำเนินการที่มีขอบเขตระหว่างปริภูมิบรรทัดฐาน ถ้าภาพของไม่เล็กและถ้าสมบูรณ์แล้วจะเป็นแบบเปิดและทั่วถึงและสมบูรณ์ (เพื่อดูสิ่งนี้ ให้ใช้สองบทพิสูจน์ในทฤษฎีบท) ^{[ 12 ]}${\displaystyle T:E\to F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$
• ลำดับที่แน่นอนของปริภูมิบานาค (หรือโดยทั่วไปคือปริภูมิเฟรเชต์) นั้นมีความแม่นยำทางโทโพโลยี
• ทฤษฎีบทช่วงปิด (Closed Range Theorem ) กล่าวว่า ตัวดำเนินการ (ภายใต้สมมติฐานบางประการ) จะมีภาพปิดก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการทรานสโพสของมันมีภาพปิด (ดูทฤษฎีบทช่วงปิด#โครงร่างการพิสูจน์ )

ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดไม่ได้หมายความว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบต่อเนื่องทั่วถึงจะยอมรับส่วนเชิงเส้นแบบต่อเนื่อง สิ่งที่เรามีคือ: ^{[ 9 ]}

• ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องแบบทั่วถึงระหว่างปริภูมิบานาคจะมีส่วนตัดเชิงเส้นต่อเนื่องได้ก็ต่อเมื่อเคอร์เนลมีการเติมเต็มเชิงโทโพโลยี

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้างต้นใช้ได้กับตัวดำเนินการระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือตัวดำเนินการที่มีเคอร์เนลมิติจำกัด (ตามทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค ) หากละเว้นข้อกำหนดที่ว่าส่วนต้องเป็นเชิงเส้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องแบบทั่วถึงระหว่างปริภูมิบานาคจะยอมรับส่วนต่อเนื่อง นี่คือทฤษฎีบทบาร์เทิล-เกรฟส์^{[ 13 ] [ 14 ]}

ความนูนเฉพาะที่ของหรือ ไม่ใช่สิ่งจำเป็นต่อการพิสูจน์ แต่ความสมบูรณ์เป็นสิ่งสำคัญ: ทฤษฎีบทนี้ยังคงเป็นจริงในกรณีที่และเป็นปริภูมิ Fยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีบทนี้สามารถรวมเข้ากับทฤษฎีบทหมวดหมู่ของแบร์ได้ในลักษณะต่อไปนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

(การพิสูจน์นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับกรณีของ Banach หรือ Fréchet; เราปรับเปลี่ยนการพิสูจน์เล็กน้อยเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้คุณสมบัติความนูน)

นอกจากนี้ ในกรณีหลังนี้ ถ้าเป็นเคอร์เนลของแล้วจะมีการแยกตัวประกอบแบบแคนอนิกของในรูปแบบ ที่เป็นปริภูมิผลหาร (ซึ่งเป็นปริภูมิ F ด้วย) ของโดย ปริภูมิ ย่อยปิด การแมปผลหารเป็นแบบเปิด และการแมปเป็นการสมสัณฐานของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยี^{[ 16 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$${\displaystyle X/N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle X\to X/N}$${\displaystyle \alpha }$

กรณีพิเศษที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้สามารถกล่าวได้ดังนี้

ในทางกลับกัน สามารถกำหนดสูตรทั่วไปที่ครอบคลุมกว่า ซึ่งหมายความถึงสูตรแรกได้ดังนี้:

แผนที่เชิงเส้นแบบเปิดเกือบสมบูรณ์

แผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) สองปริภูมิเรียกว่าอะไร?${\displaystyle A:X\to Y}$แผนที่เกือบเปิด (หรือบางครั้งเรียกว่าแผนที่เกือบเปิด ) ถ้าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในโดเมน การปิดของภาพของมันคือย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน ^{[ 18 ]} ผู้เขียนหลายคนใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันของ "แผนที่เกือบเปิด" ซึ่งกำหนดให้การปิดของต้องเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในแทนที่จะเป็นใน ^{[ 18 ]}แต่สำหรับแผนที่แบบทั่วถึง คำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากัน แผนที่เชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งเกือบเปิดก็ต่อเมื่อตัวผกผันของมันต่อเนื่อง ^{[ 18 ]} ทุกแผนที่เชิงเส้นแบบทั่วถึงจาก TVS นูนเฉพาะที่ไปยังTVSแบบทรงกระบอกเกือบเปิด ^{[ 19 ]}เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับทุกแผนที่เชิงเส้นแบบทั่วถึงจาก TVS ไปยังBaireTVS ^{[ 19 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A(U)}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle Y,}$

ปริภูมิแบบเว็บบ์ (Webbed spaces)คือกลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและทฤษฎีบทกราฟแบบปิดเป็นจริง

• กราฟปิด  – คุณสมบัติของฟังก์ชันในทางโทโพโลยีPages displaying short descriptions of redirect targets
• ทฤษฎีบทกราฟปิด  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับกราฟ
• ทฤษฎีบทกราฟปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับการปิดของกราฟ
• ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด (การวิเคราะห์เชิงซ้อน)  – ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
• การส่งทั่วถึงของปริภูมิ Fréchet  – การกำหนดลักษณะเฉพาะของการส่งทั่วถึง
• ทฤษฎีบทของ Ursescu  – การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทกราฟปิด การแมปแบบเปิด และความมีขอบเขตสม่ำเสมอ
• พื้นที่เชื่อมโยง  – พื้นที่ที่ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและกราฟแบบปิดใช้ได้

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: ทฤษฎีที่ไม่มีเงื่อนไขความนูน . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 639. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• บานาค, สเตฟาน (1932) Théorie des Opérations Linéaires [ ทฤษฎีการดำเนินการเชิงเส้น ] (PDF ) Monografie Matematyczne (เป็นภาษาฝรั่งเศส) ฉบับที่ 1. วอร์ซอ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej ซบีแอล 0005.20901 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่11-01-2014 สืบค้นเมื่อ2020-07-11 .
• เบอร์เบเรียน, สเตอร์ลิง เค. (1974). บรรยายเรื่องการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีตัวดำเนินการ . ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 15. นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• คอนเวย์, จอห์น บี. (1990). หลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่มที่ 96 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• ดิอูดอนเน, ฌอง (1970) บทความเกี่ยวกับการวิเคราะห์ เล่มที่ 2 . สำนักพิมพ์วิชาการ.
• เอ็ดเวิร์ดส์, โรเบิร์ต อี. (1995). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แปลโดย Chaljub, Orlando. นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• เคอเธ่ กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I. กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1973). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. เล่มที่ 25 (ฉบับพิมพ์ครั้งแรก). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 9780070542259.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• โวกท์, ดีทมาร์ (2000) "การบรรยายเรื่อง Frechet spaces" (PDF) . มหาวิทยาลัยแบร์กิสเช่ วุพเพอร์ทัล
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากบทความ "Proof of open mapping theorem" บนPlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License

• "กลุ่มของปริภูมิบานาคจะมีความแม่นยำเมื่อใดในฐานะกลุ่มอาเบเลียนแบบย่อส่วน?" MathOverflow . 6 กุมภาพันธ์ 2021