ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน F -spaceคือปริภูมิเวกเตอร์ เหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนพร้อมด้วยเมตริกซ์โดยที่ ${\displaystyle X}$${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. การคูณสเกลาร์ในนั้นมีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับและเมตริกมาตรฐานบนหรือ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. การบวกเข้ามีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับ${\displaystyle X}$${\displaystyle d.}$
3. เมตริกนี้ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่งกล่าวคือสำหรับทุก ๆ${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์​${\displaystyle (X,d)}$

การดำเนินการนี้เรียกว่าF-normแม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว F-norm ไม่จำเป็นต้องเป็นเอกพันธุ์ก็ตาม ด้วยคุณสมบัติ การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ การเลื่อนตำแหน่งทำให้สามารถกู้คืนเมตริกจาก F-norm ได้ ดังนั้น F-space จริงหรือเชิงซ้อนจึงเทียบเท่ากับเวกเตอร์สเปซจริงหรือเชิงซ้อนที่มี F-norm สมบูรณ์ ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

นักเขียนบางท่านใช้คำว่า"ปริภูมิเฟรเชต์ " (Fréchet space) แทนคำว่า "ปริภูมิเอฟ" (F-space) แต่โดยทั่วไปแล้ว คำว่า "ปริภูมิเฟรเชต์" จะสงวนไว้สำหรับ ปริภูมิเอฟที่เป็นนูนเฉพาะที่ (locally convex F-space) นักเขียนบางท่านใช้คำว่า "ปริภูมิเอฟ" เป็นคำพ้องความหมายของ "ปริภูมิเฟรเชต์" ซึ่งหมายถึงปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยีที่สมบูรณ์และสามารถกำหนดเมตริก ได้ และเป็นนูนเฉพาะที่ เมตริกอาจเป็นหรือไม่เป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างในปริภูมิเอฟก็ได้ นักเขียนหลายท่านเพียงแต่ต้องการว่าปริภูมินั้นจะต้องสามารถกำหนดเมตริกได้ในลักษณะที่ตรงตามคุณสมบัติข้างต้น

พื้นที่ Banachและพื้นที่ Fréchetทั้งหมดเป็นพื้นที่ F โดยเฉพาะ พื้นที่ Banach เป็นพื้นที่ F ที่มีข้อกำหนดเพิ่มเติมว่า^{[ 1 ]}${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

ปริภูมิL ^pสามารถทำให้เป็นปริภูมิ F ได้สำหรับทุกค่าและสามารถทำให้เป็นปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่และปริภูมิ Fréchet และแม้กระทั่งปริภูมิ Banach ได้${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$เป็นปริภูมิ F มันไม่ยอมรับเซมินอร์มต่อเนื่องและฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องใดๆ — มันมีปริภูมิคู่ ที่ไม่ สำคัญ

ให้เป็นปริภูมิของอนุกรมเทย์เลอร์ ที่มีค่าเชิงซ้อนทั้งหมด บนจานหน่วยโดยที่ สำหรับเป็นปริภูมิ F ภายใต้นอร์ม p : ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$$${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {D} }$$${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$$${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

อันที่จริงแล้วเป็นพีชคณิตกึ่งบานาคยิ่งไปกว่านั้น สำหรับใดๆ ที่มีแผนที่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขต (ฟังก์ชันการคูณ) บน${\displaystyle W_{p}}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดบ่งชี้ว่า ถ้าเป็นโทโพโลยีบนที่ทำให้ทั้งและเป็นปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีแบบเมตริกสมบูรณ์ (เช่นปริภูมิ Banach หรือ Fréchet ) และถ้าโทโพโลยีหนึ่งละเอียดกว่าหรือหยาบกว่าอีกโทโพโลยีหนึ่ง โทโพโลยีทั้งสองจะต้องเท่ากัน (นั่นคือ ถ้า) ^{[ 4 ]}${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

• แผนที่ เชิงเส้นเกือบต่อเนื่องไปยังปริภูมิ F ซึ่งกราฟปิดนั้นต่อเนื่อง^{[ 5 ]}
• แผนที่ เชิงเส้นเกือบเปิดไปยังปริภูมิ F ซึ่งกราฟปิดจะต้องเป็นแผนที่เปิด^{[ 5 ]}
• แผนที่ เชิงเส้นต่อเนื่องเกือบเปิดจากปริภูมิ F จำเป็นต้องเป็นแผนที่เปิด^{[ 6 ]}
• แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องเกือบเปิดจากปริภูมิ F ซึ่งภาพของแผนที่นี้เป็นประเภทที่สองในโคโดเมน จำเป็นต้องเป็นแผนที่เปิดแบบทั่วถึง^{[ 5 ]}

• ปริภูมิบานาค  – ปริภูมิเวกเตอร์แบบนอร์มที่สมบูรณ์
• ปริภูมิทรงกระบอก  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยีPages displaying short descriptions of redirect targets
• พื้นที่กึ่งทรงกระบอกที่นับได้
• ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์  – เรขาคณิตเมตริก
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์  – โครงสร้างในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
• พื้นที่ DF
• ปริภูมิเฟรเชต์ (Fréchet space)  – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ และเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ด้วย
• ปริภูมิฮิลเบิร์ต  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ในทางคณิตศาสตร์
• K-space (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)
• พื้นที่ LB
• LF-space  – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่กำหนดเมตริกได้  – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีสามารถกำหนดได้ด้วยเมตริก
• ปริภูมิเชิงนิวเคลียร์  – การขยายความของปริภูมิยุคลิดมิติจำกัดที่แตกต่างจากปริภูมิฮิลเบิร์ต
• ผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจคทีฟ

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665 .
• Khaleelulla, SM (1982). ตัวอย่างค้านในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 936. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1966). การวิเคราะห์เชิงจริงและเชิงซ้อน . แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 0-07-054234-1.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .