ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่LFหรือเขียนว่า( LF )-space คือพื้นที่เวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) Xที่เป็นลิมิตอุปนัยนูน เฉพาะที่ ของระบบอุปนัยนับได้ของพื้นที่ Fréchet [ ^{1 ] ซึ่ง} หมายความว่าXเป็นลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงในหมวดหมู่ของพื้นที่เวกเตอร์เชิงทอพอโลยีนูนเฉพาะที่และแต่ละพื้นที่เป็นพื้นที่ Fréchet ชื่อLFย่อมาจากLimit of Fréchet spaces ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$${\displaystyle X_{n}}$

ถ้าแผนที่พันธะแต่ละอันเป็นการฝังตัวของ TVS แล้ว พื้นที่ LFจะเรียกว่าพื้นที่LFที่เข้มงวดซึ่งหมายความว่าโทโพโลยีของพื้นที่ย่อยที่เหนี่ยวนำบนX _nโดยX _{n +1}นั้นเหมือนกับโทโพโลยีดั้งเดิมบนX n _[ ^{1 ] [ 2 ] ผู้} เขียนบางคน (เช่น Schaefer) นิยามคำว่า " พื้นที่ LF " ให้หมายถึง " พื้นที่ LF ที่เข้มงวด " ดังนั้นเมื่ออ่านวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ ขอแนะนำให้ตรวจสอบเสมอว่า พื้นที่ LFถูกนิยาม อย่างไร${\displaystyle i_{nm}}$

ตลอดทั้งบทความนี้ ถือว่า

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$เป็นได้ทั้งหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีหรือหมวดหมู่ย่อยบางส่วนของหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVSs)
  • ถ้าวัตถุทั้งหมดในหมวดหมู่มีโครงสร้างเชิงพีชคณิตแล้ว จะถือว่ามอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับโครงสร้างเชิงพีชคณิตนั้น
• I คือ เซตทิศทางที่ไม่ว่างเปล่า;
• X _• = ( X _i ) _{i ∈ I}คือตระกูลของวัตถุในที่ซึ่ง ( X _i , τ _{X i} )คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีสำหรับทุกดัชนี i${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนที่อาจเกิดขึ้นไม่ควรเรียกτ _{X i} ว่า "โทโพโลยีเริ่มต้น" ของX _i เนื่องจากคำว่า " โทโพโลยีเริ่มต้น " มีความหมายที่รู้จักกันดีอยู่แล้ว โทโพโลยีτ _{X i}เรียกว่า โทโพโลยี ดั้งเดิมบนX _iหรือโทโพโลยีที่กำหนดให้กับX _i
• Xคือเซต (และหากวัตถุในเซตนั้นมีโครงสร้างเชิงพีชคณิตด้วยแล้ว ก็ จะถือว่า Xมีโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่จำเป็นโดยอัตโนมัติ)${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• f _• = ( f _i ) _{i ∈ I}คือตระกูลของแผนที่ โดยที่สำหรับแต่ละดัชนี iแผนที่จะมีต้นแบบ f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → Xหากวัตถุทั้งหมดในหมวดหมู่มีโครงสร้างพีชคณิต แผนที่เหล่านี้จะถือว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับโครงสร้างพีชคณิตนั้นด้วย

ถ้ามีอยู่จริงโทโพโลยีสุดท้ายบนXใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าโคลิมิตหรือโทโพโลยีแบบอุปนัยในและเขียนแทนด้วยτ _{f •}หรือτ _fก็คือโทโพโลยีที่ละเอียดที่สุดบนXเช่นนั้น ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ( X , τ _f )เป็นวัตถุในและ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. สำหรับทุกดัชนีiแผนที่f _i  : ( X _i , τ X _{i )} → ( X , τ _f )เป็น มอร์ฟิซึม ต่อเนื่องใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทอพอโลยีสุดท้ายมีอยู่เสมอ และยิ่งไปกว่านั้น เซตย่อยU ⊆ Xเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) ใน( X , τ _f )ก็ต่อเมื่อf _i ^{- 1} ( U )เป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) ใน( X _i , τ _{X i} )สำหรับ ทุกดัชนีi

อย่างไรก็ตาม โทโพโลยีสุดท้ายอาจไม่มีอยู่ในหมวดหมู่ของปริภูมิโทโพโลยีของเฮาส์ดอร์ฟเนื่องจากข้อกำหนดที่ว่า( X , τ _{X f} )ต้องเป็นของหมวดหมู่ดั้งเดิม (กล่าวคือ ต้องเป็นของหมวดหมู่ของปริภูมิโทโพโลยีของเฮาส์ดอร์ฟ) ^{[ 3 ]}

สมมติว่า( I , ≤)เป็นเซตทิศทางและสำหรับดัชนีi ≤ j ทั้งหมด จะมีมอร์ฟิซึม (ต่อเนื่อง) อยู่ในเซตนั้น${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

โดยที่ถ้าi = jแล้วf _i ^jคือแผนที่เอกลักษณ์บนX _iและถ้าi ≤ j ≤ kแล้วเงื่อนไขความเข้ากันได้ ต่อไปนี้ จะเป็นจริง:

ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบนั้น

${\displaystyle X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ is equal to }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.}$

ถ้าเงื่อนไขข้างต้นเป็นไปตามที่กำหนดแล้ว จะได้เป็นสามสิ่งที่ประกอบขึ้นจากกลุ่มของวัตถุ มอร์ฟิซึม และเซตดัชนี

${\displaystyle \left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ and }}\;i\leq j\right\},I\right)}$

เรียกว่าระบบโดยตรงในหมวดหมู่ที่มีทิศทาง (หรือดัชนี ) โดยIเนื่องจากเซตดัชนีIเป็นเซตที่มีทิศทางระบบโดยตรงจึงเรียกว่าเป็นระบบที่มีทิศทาง^{[ 4 ]} แผนที่f _i ^jเรียกว่าแผนที่เชื่อมโยงแผนที่เชื่อมต่อหรือแผนที่เชื่อมโยงของระบบ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

หาก เข้าใจชุดดัชนีI แล้ว มักจะละเว้น Iจากทูเปิลข้างต้น (เช่น ไม่เขียน) เช่นเดียวกับแผนที่พันธะ หากเข้าใจแผนที่พันธะเหล่านั้นแล้ว ดังนั้นจึงมักเห็นการเขียนว่า " X _•เป็นระบบโดยตรง" โดยที่ " X _• " จริงๆ แล้วแทนสามสิ่งที่มีแผนที่พันธะและชุดดัชนี ซึ่งอาจถูกกำหนดไว้ที่อื่น (เช่น แผนที่พันธะแบบแคนอนิก เช่น การรวมตามธรรมชาติ) หรือแผนที่พันธะเหล่านั้นเพียงแค่ถือว่ามีอยู่แล้ว แต่ไม่จำเป็นต้องกำหนดสัญลักษณ์ให้กับแผนที่เหล่านั้น (เช่น ไม่จำเป็นต้องใช้แผนที่พันธะในการกล่าวถึงทฤษฎีบท)

สำหรับการสร้างลิมิตโดยตรงของระบบอุปนัยทั่วไป โปรดดูบทความ: ลิ มิตโดยตรง

ขีดจำกัดโดยตรงของระบบฉีด

ถ้าแผนที่พันธะแต่ละอันเป็นแบบฉีดระบบจะเรียกว่าระบบฉีด^{[ 4 ]}${\displaystyle f_{i}^{j}}$

ข้อสมมติฐาน : ในกรณีที่ระบบโดยตรงเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง มักจะถือว่าโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่า สำหรับดัชนีi ≤ j ทั้งหมด X _iแต่ละอันเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของX _j (โดยเฉพาะอย่างยิ่งX _iถูกระบุว่าเป็นช่วงของ) และแผนที่พันธะคือการรวมตามธรรมชาติ ${\displaystyle f_{i}^{j}}$${\displaystyle f_{i}^{j}}$

ใน^จี_ไอ : X _i → X _j

(กล่าวคือ กำหนดโดยx ↦ x ) เพื่อให้โทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนX _iที่เกิดจากX _jนั้นอ่อนกว่า (กล่าวคือ หยาบกว่า)โทโพโลยีเดิม (กล่าวคือ กำหนดให้) บน X _i

ในกรณีนี้ ให้พิจารณาเพิ่มเติมด้วย

X  :=∪i ∈ IX _i .

แผนที่ลิมิตจึงเป็นการรวมตามธรรมชาติIn _i  : X _i → XโทโพโลยีลิมิตโดยตรงบนXคือโทโพโลยีสุดท้ายที่เกิดจากแผนที่การรวมเหล่านี้

ถ้าX _iมีโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น การบวก เป็นต้น แล้วสำหรับx , y ∈ X ใดๆ เราจะเลือกดัชนีi ใดๆ ที่x , y ∈ X _iแล้วกำหนดผลรวมโดยใช้ตัวดำเนินการบวกของX _iนั่นคือ

โดยที่+ _iคือตัวดำเนินการบวกของX _iผลรวมนี้ไม่ขึ้นอยู่กับดัชนีiที่เลือก

ในหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ ทอพอโลยีบนลิมิตโดยตรงX ของลิมิตเหนี่ยวนำทิศทางแบบฉีดของปริภูมิ ^แบบนูนเฉพาะที่สามารถอธิบายได้โดยการระบุว่าเซตย่อยนูนสัมบูรณ์UของXเป็นย่านใกล้เคียงของ0ก็ต่อเมื่อU ∩ X _iเป็นย่านใกล้เคียงนูนสัมบูรณ์ของ0ในX _iสำหรับทุกดัชนีi [ ^{4 ]}

ขีดจำกัดโดยตรงในอันดับต้น ๆ

ขีดจำกัดโดยตรงของระบบโดยตรงที่มีทิศทางนั้นมีอยู่เสมอในหมวดหมู่ของเซต พื้นที่โทโพโลยี กลุ่ม และ TVS นูนเฉพาะที่ในหมวดหมู่ของพื้นที่โทโพโลยี ถ้าแผนที่พันธะทุกอันf _i ^jเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง (หรือ ฟังก์ชันทั่วถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ฟังก์ชันโฮมีโอเมอร์ฟิซึมการฝังโทโพโลยีแผนที่ผลหาร ) แล้วf _i  : X _i → X ทุกอันก็เป็น ฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่งเช่นกัน ^{[ 3 ]}

ลิมิตโดยตรงในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) และ TVS นูนเฉพาะที่แบบเฮาส์ดอร์ฟนั้น "มีพฤติกรรมไม่ดี" ^{[ 4 ]} ตัวอย่างเช่น ลิมิตโดยตรงของลำดับ (เช่น ดัชนีตามจำนวนธรรมชาติ) ของปริภูมิเฟรเชต์นิวเคลียร์ นูนเฉพาะที่ อาจไม่เป็นเฮาส์ดอร์ฟ (ในกรณีนี้ ลิมิตโดยตรงจะไม่มีอยู่ในหมวดหมู่ของ TVS แบบเฮาส์ดอร์ฟ) ด้วยเหตุนี้ จึงมักมีการศึกษาระบบโดยตรงที่มี "พฤติกรรมดี" เฉพาะบางระบบในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวรวมถึงปริภูมิLF ^{[ 4 ]} อย่างไรก็ตาม ลิมิตอุปนัยนูนเฉพาะที่ที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟเกิดขึ้นในคำถามตามธรรมชาติของการวิเคราะห์^{[ 4 ]}

หากแผนที่พันธะแต่ละอันเป็นการฝัง TVS ลงบนพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ที่เหมาะสม และหากระบบถูกกำหนดทิศทางด้วยลำดับตามธรรมชาติ ผลลัพธ์ที่ได้จะเรียกว่าขีดจำกัดโดยตรงที่เข้มงวด ( นับได้ ) ในสถานการณ์เช่นนี้ เราอาจสมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าX _i แต่ละ อันเป็นพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ของX _{i +1}และโทโพโลยีของพื้นที่ย่อยที่เหนี่ยวนำบนX _iโดยX _{i +1} นั้น เหมือนกับโทโพโลยีดั้งเดิมบนX _i ^{[ 1 ]}${\displaystyle f_{i}^{j}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

ขีดจำกัดอุปนัยในหมวดหมู่ของ TVS นูนเฉพาะที่ของตระกูลของปริภูมิบอร์โนโลจิ คัล (หรือปริภูมิบาร์เรล , ปริภูมิกึ่งบาร์เรล ) มีคุณสมบัติเดียวกันนี้^{[ 5 ]}

LF-space ทุกอันเป็น เซตย่อยที่ เล็กจิ๋วของตัวมันเอง^{[ 6 ]} ขีดจำกัดการเหนี่ยวนำที่เข้มงวดของลำดับของปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่สมบูรณ์ (เช่น ปริภูมิ Fréchet) จะต้องสมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง LF-space ทุกอันนั้นสมบูรณ์^{[ 7 ]} LF - space ทุกอันเป็นแบบ barrelledและbornologicalซึ่งเมื่อรวมกับความสมบูรณ์แล้วหมายความว่า LF-space ทุกอันเป็นแบบultrabornological LF-space ที่เป็นขีดจำกัดการเหนี่ยวนำของลำดับที่นับได้ของปริภูมิที่แยกได้นั้นสามารถแยกได้^{[ 8 ]} LF-spaceมีความแตกต่างกันและคู่ที่แข็งแกร่งของพวกมันเป็นแบบ bornologicalและbarrelled (ผลลัพธ์ที่เกิดจากAlexander Grothendieck )

ถ้าXเป็นลิมิตอุปนัยที่เข้มงวดของลำดับที่เพิ่มขึ้นของ^{ปริภูมิ} Fréchet X _nแล้วเซตย่อยBของXจะมีขอบเขตในXก็ต่อเมื่อมีn บางตัว ที่Bเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของX _n [ ^{7 ]}

แผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิ LF ไปยังปริภูมิ TVS อื่นจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องตามลำดับ [ ^{9 ] แผนที่} เชิงเส้นจากปริภูมิ LF Xไปยังปริภูมิ Fréchet Yจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อกราฟของมันปิดในX × Y ^{[ 10} ] ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ มีขอบเขต ทุก ตัว จากปริภูมิ LF ไปยังปริภูมิ TVS อื่นจะต่อ^{เนื่อง[ 11 ]}

ถ้าXเป็นปริภูมิ LF ที่กำหนดโดยลำดับปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่งของXจะเป็นปริภูมิ Fréchet ก็ต่อเมื่อX _i ทั้งหมด เป็นนอร์มที่ [ ^{12 ] ดังนั้น} ปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่งของปริภูมิ LF จะเป็นปริภูมิ Fréchet ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิ LB${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

ตัวอย่างทั่วไปของ ปริภูมิ LFคือปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งทั้งหมดบนที่มีฐานรองรับแบบกระชับ โครงสร้างของปริภูมิ LFได้มาจากการพิจารณาลำดับของเซตกระชับที่มีและสำหรับทุก i, เป็นเซตย่อยของส่วนภายในของลำดับดังกล่าวอาจเป็นลูกบอลรัศมีiที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งบน ที่มีฐานรองรับแบบกระชับซึ่งบรรจุอยู่ในมี โครงสร้าง ปริภูมิ Fréchet ตามธรรมชาติ และ สืบทอด โครงสร้างปริภูมิ LFดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น โครงสร้าง ทางโทโพโลยีของปริภูมิ LFไม่ขึ้นอยู่กับลำดับเฉพาะของเซตกระชับ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle K_{i+1}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle K_{i}}$

โครงสร้างปริภูมิLFนี้เรียกว่าปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบ ซึ่งมีความสำคัญพื้นฐานในทฤษฎีการแจกแจง ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

สมมติว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัวX n : ₌  n ^และ${\displaystyle \mathbb {R} }$สำหรับm < nให้พิจารณาX _mเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของX _nผ่านการฝังแบบแคนอนิกX _m → X _nที่กำหนดโดยx  := ( x ₁ , ..., x _m ) ↦ ( x ₁ , ..., x _m , 0, ..., 0) ให้ Xแทนปริภูมิ LF ที่ได้เนื่องจากโทโพโลยี TVS ใดๆ บนXทำให้การรวมของX _mเข้าไปใน X เป็นแบบต่อเนื่อง ปริภูมิหลังนี้จึงมีค่าสูงสุดในบรรดาโทโพโลยี TVS ทั้งหมดบน ปริภูมิเวกเตอร์ n ที่มี มิติฮาเมลที่นับได้มันเป็นโทโพโลยี LC ที่เกี่ยวข้องกับตระกูลของเซมินอร์มทั้งหมดบนXนอกจากนี้ โทโพโลยีลิมิตอุปนัย TVS ของXยังตรงกับลิมิตอุปนัยเชิงโทโพโลยี นั่นคือ ลิมิตโดยตรงของปริภูมิมิติจำกัดX _nในหมวดหมู่ TOP และในหมวดหมู่ TVS ตรงกัน พื้นที่คู่ต่อเนื่องของXเท่ากับพื้นที่คู่พีชคณิตของXนั่นคือพื้นที่ของลำดับค่าจริงทั้งหมด และโทโพโลยีแบบอ่อนบนเท่ากับโทโพโลยีแบบแข็งบน(เช่น) ^{[ 13 ]}ในความเป็นจริง โทโพโลยี LC ที่ไม่ซ้ำกันบนซึ่งพื้นที่คู่โทโพโลยีคือ X ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

• พื้นที่ DF
• ขีดจำกัดโดยตรง
• โครงสร้างขั้นสุดท้าย
• ช่องว่าง F
• พื้นที่ LB

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: ทฤษฎีที่ไม่มีเงื่อนไขความนูน . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 639. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Bierstedt, Klaus-Dieter ( 1988). "บทนำสู่ขีดจำกัดอุปนัยนูนเฉพาะที่"การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและการประยุกต์ใช้สิงคโปร์-นิวเจอร์ซีย์-ฮ่องกง: ห้องสมุดมหาวิทยาลัย: 35–133 สืบค้นเมื่อ 20 กันยายน 2020
• บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• Dugundji, James (1966). Topology . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• เอ็ดเวิร์ดส์, โรเบิร์ต อี. (1995). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แปลโดย Chaljub, Orlando. นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Horváth, John (1966). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและการแจกแจง . ชุดหนังสือคณิตศาสตร์ Addison-Wesley เล่มที่ 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Khaleelulla, SM (1982). ตัวอย่างค้านในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 936. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• เคอเท, กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• เคอเท, กอตต์ฟรีด (1979) ทอพอโลยีเวกเตอร์สเปซ II กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 237. นิวยอร์ก: สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (บรรณาธิการ). Topics in Locally Convex Spaces . เล่มที่ 67. อัมสเตอร์ดัม นิวยอร์ก, NY: Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC  316568534 .
• Voigt, Jürgen (2020). หลักสูตรเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ขนาดกะทัดรัด. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .